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00:00:12,339 --> 00:00:17,800
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,800 --> 00:00:22,620
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,620 --> 00:00:33,659
de la unidad AN2 dedicada a las aplicaciones de los límites. En la videoclase de hoy estudiaremos

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00:00:33,659 --> 00:00:49,750
algunos teoremas de las funciones continuas. En esta videoclase vamos a estudiar algunos

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00:00:49,750 --> 00:00:53,850
de los teoremas de las funciones continuas. Vamos a comenzar con el teorema de Bolzano,

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00:00:53,850 --> 00:00:58,030
que nos dice que si una función f es continua en un intervalo cerrado a b

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00:00:58,030 --> 00:01:02,049
y en los extremos del intervalo, en x igual a a y en x igual a b,

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00:01:02,530 --> 00:01:07,030
toma valores de signos opuestos, así que f de a es positivo y f de b es negativo,

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00:01:07,150 --> 00:01:10,230
o viceversa, f de a es positivo y f de b es negativo,

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00:01:11,030 --> 00:01:15,849
entonces, en al menos un valor x0 perteneciente al intervalo abierto,

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00:01:16,590 --> 00:01:18,829
la función toma un valor idénticamente nulo.

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00:01:19,909 --> 00:01:22,829
Relacionado con el teorema de Bolzano, tenemos el teorema de los valores intermedios,

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00:01:22,829 --> 00:01:28,129
intermedios de Dagbu. En él vemos como si una función f es continua en un

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00:01:28,129 --> 00:01:32,769
intervalo cerrado a b, entonces la función toma todos los valores

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00:01:32,769 --> 00:01:39,129
intermedios comprendidos entre f de a y f de b. Así que para cualquier imagen que

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00:01:39,129 --> 00:01:44,450
se nos pueda ocurrir comprendida entre f de a y f de b, existe al menos una

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00:01:44,450 --> 00:01:48,450
abstisa dentro del intervalo abierto donde la función toma ese valor. Aquí

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00:01:48,450 --> 00:01:52,510
vemos la definición algebraica. En el caso en el que f de a sea menor que f de b,

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00:01:52,510 --> 00:01:54,670
en el caso de que f de a sea mayor que f de b.

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00:01:55,829 --> 00:02:00,390
Aquí tenemos a la derecha una representación gráfica de una cierta función continua

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00:02:00,390 --> 00:02:04,810
en un cierto intervalo cerrado que va desde x igual a hasta x igual a b.

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00:02:06,069 --> 00:02:13,909
Si f de a fuera un valor negativo, f de b fuera un valor positivo y este y sub cero fuera el valor cero,

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00:02:14,729 --> 00:02:21,889
vemos cómo nos es imposible con un trazo continuo unir este punto con un valor de imagen negativo

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00:02:21,889 --> 00:02:26,710
con este punto, con un valor de imagen positivo, sin cruzar a esta línea,

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00:02:27,110 --> 00:02:30,949
que sería lo que se correspondería con el eje de las x, con el valor y igual a cero.

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00:02:31,530 --> 00:02:36,830
Así pues, necesariamente existiría un valor x cero tal que f de x cero fuera igual a cero.

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00:02:37,270 --> 00:02:39,530
Estaríamos comprobando el teorema de Bolzano.

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00:02:40,169 --> 00:02:45,210
En el caso en el que este f de a y f de b no fueran necesariamente valores con signos opuestos

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00:02:45,210 --> 00:02:51,129
y este y cero fuera un y cero cualquiera, a una altura intermedia entre f de a y f de b,

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00:02:51,129 --> 00:03:00,050
vemos que por la misma razón nos es imposible unir este punto con este otro sin cortar al menos en una ocasión esta línea recta

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00:03:00,050 --> 00:03:03,189
vemos cómo se debe cumplir el teorema de los valores intermedios

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00:03:03,189 --> 00:03:10,289
y existe al menos un cierto valor x0 donde f de x0 es igual a este y0 que tendríamos aquí.

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00:03:11,169 --> 00:03:14,729
Por último vamos a mencionar únicamente el teorema de Weierstrass

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00:03:14,729 --> 00:03:19,389
donde se nos dice que si una función f es continua en un intervalo cerrado a b

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00:03:20,009 --> 00:03:25,289
entonces la función va a alcanzar un máximo absoluto y un mínimo absoluto dentro de este intervalo.

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00:03:25,289 --> 00:03:32,969
Esto quiere decir que existe un valor m minúscula y un valor m mayúscula dentro del intervalo cerrado a b,

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00:03:33,689 --> 00:03:39,930
tal que el valor de la imagen en este valor m minúscula es menor o igual que todas las imágenes,

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00:03:40,530 --> 00:03:45,349
y el valor de la imagen en este m mayúscula es mayor o igual que el valor de todas las imágenes.

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00:03:45,349 --> 00:03:51,349
Este sería el mínimo absoluto, este sería el máximo absoluto de la función dentro de este intervalo.