1
00:00:00,370 --> 00:00:11,109
Problema 1. Un planeta gigante de radio R tiene dos satélites, S1 y S2, que giran a su alrededor en órbitas circulares de radios 10R y 20R respectivamente.

2
00:00:11,710 --> 00:00:19,690
La masa del planeta es 10 elevado a 27 kg y el tiempo invertido por el satélite S1 en cada órbita es 4,56 días.

3
00:00:20,449 --> 00:00:28,329
Calcula el radio del planeta en kilómetros, la velocidad del satélite 1 en kilómetros por segundo y el periodo orbital del satélite 2.

4
00:00:28,329 --> 00:00:37,509
Para resolver este problema necesitamos, por un lado, la tercera ley de Kepler y por otro, una expresión para la velocidad orbital

5
00:00:37,509 --> 00:00:39,450
Así que hay que deducirlas, ¿vale?

6
00:00:39,450 --> 00:01:02,439
Vamos con ello, diremos, en una órbita circular, la fuerza gravitatoria es una fuerza centrípeta, ¿vale?

7
00:01:02,439 --> 00:01:09,810
es centrípeta, es decir, la fuerza gravitatoria

8
00:01:09,810 --> 00:01:13,849
se trata de una fuerza centrípeta. ¿Y esto qué quiere decir?

9
00:01:13,950 --> 00:01:17,590
Pues lo que voy a poner, g por m por m

10
00:01:17,590 --> 00:01:21,829
masa del planeta por masa del satélite entre radio orbital

11
00:01:21,829 --> 00:01:25,709
al cuadrado es igual fuerza centrípeta que tiene esta expresión

12
00:01:25,709 --> 00:01:29,129
masa por aceleración centrípeta v al cuadrado

13
00:01:29,129 --> 00:01:33,590
partido por el radio orbital. Simplificando esto

14
00:01:33,590 --> 00:01:41,370
que estoy poniendo, tengo una expresión para la velocidad orbital al cuadrado, por lo tanto,

15
00:01:41,590 --> 00:01:48,370
la velocidad orbital es la raíz de g por m partido por r. Ya tengo la primera de las

16
00:01:48,370 --> 00:01:56,909
dos expresiones que necesito, ¿vale? Para la velocidad orbital. Velocidad orbital.

17
00:01:56,909 --> 00:02:12,919
Por otro lado, vamos a por la tercera ley de Kepler. Por otro lado, yo sé que la velocidad orbital es 2 por pi por r partido por el periodo.

18
00:02:13,319 --> 00:02:23,780
Entonces, voy a elevar al cuadrado esto, 4pi al cuadrado por r al cuadrado partido t al cuadrado, y lo igualo a esto que acabo de marcar.

19
00:02:23,780 --> 00:02:38,849
¿Vale? Entonces, igualando se tiene que 4pi al cuadrado partido t al cuadrado es igual a g por m partido por r.

20
00:02:39,610 --> 00:02:43,610
Entonces, de aquí ya puedo deducir la tercera ley de Kepler.

21
00:02:44,169 --> 00:02:52,090
Periodo al cuadrado es igual a 4pi al cuadrado partido gm por r al cubo.

22
00:02:52,090 --> 00:03:01,930
Ya lo tengo. Tercera ley de Kepler.

23
00:03:03,050 --> 00:03:06,050
Vamos a por los apartados A, B y C.

24
00:03:06,810 --> 00:03:08,370
Recordemos que tenemos estos datos.

25
00:03:08,629 --> 00:03:12,449
El radio orbital del satélite 1 es esto, 10R, esto que acabo de marcar.

26
00:03:13,009 --> 00:03:14,889
El del satélite 2 es 20R.

27
00:03:15,629 --> 00:03:18,430
La masa del planeta, 10 elevado a 27 kilogramos.

28
00:03:18,430 --> 00:03:23,750
el periodo del satélite 1 es 4,56 días

29
00:03:23,750 --> 00:03:26,370
y me dan la constante de la gravitación universal

30
00:03:26,370 --> 00:03:29,250
venga, vamos a por los apartados

31
00:03:29,250 --> 00:03:32,729
como digo, apartado, calcula el radio del planeta en kilómetros

32
00:03:32,729 --> 00:03:36,370
bueno, ¿qué voy a hacer?

33
00:03:36,810 --> 00:03:38,270
según lo que acabo de marcar

34
00:03:38,270 --> 00:03:41,770
fíjate, el radio orbital del planeta 1 es

35
00:03:41,770 --> 00:03:45,389
10 veces el radio

36
00:03:45,389 --> 00:03:48,009
el radio orbital del satélite 1, perdón

37
00:03:48,009 --> 00:03:49,849
es 10 veces el radio del planeta, ¿vale?

38
00:03:49,870 --> 00:03:56,669
Me están dando el periodo del satélite 1 que es 4,56 días

39
00:03:56,669 --> 00:04:04,289
Y lo que voy a hacer es aplicar la tercera ley de Kepler al satélite 1 para obtener R1 y con esto el radio del planeta

40
00:04:04,289 --> 00:04:10,449
Lo primero que tengo que hacer aquí es expresar el periodo en segundos, unidades del sistema internacional

41
00:04:10,449 --> 00:04:14,789
Un día, 86.400 segundos

42
00:04:14,789 --> 00:04:23,930
Y esto es 393.984, 393.984 segundos, ¿vale?

43
00:04:24,029 --> 00:04:34,769
Entonces, aplico la tercera ley de Kepler a S1.

44
00:04:36,069 --> 00:04:43,889
T sub 1 al cuadrado es igual a 4 pi al cuadrado partido G por M por R1 al cubo.

45
00:04:43,889 --> 00:04:58,129
Despejando, el radio orbital del planeta 1 es la raíz cúbica de g por m por t1 al cuadrado partido 4pi al cuadrado.

46
00:04:58,129 --> 00:05:13,170
Sustituyendo raíz cúbica de 6,67 por 10 elevado a menos 11 por 10 elevado a 27 por t sub 1 al cuadrado.

47
00:05:13,709 --> 00:05:20,949
3, 9, 3, 9, 8, 4 elevado al cuadrado entre 4pi al cuadrado.

48
00:05:22,370 --> 00:05:24,649
Recuerda que es la raíz cúbica.

49
00:05:24,649 --> 00:05:31,250
Y esto es 6,40 por 10 elevado a 8 metros.

50
00:05:32,069 --> 00:05:40,089
Entonces, como R1 es el radio orbital del satélite 1, es 10 veces el radio, pues ya puedo despejar el radio.

51
00:05:41,649 --> 00:05:54,350
R1, ya lo pongo otra vez, es 10 veces el radio, pues de aquí el radio es R1 partido por 10, que es 6,40 por 10 elevado a 7 metros.

52
00:05:54,350 --> 00:06:04,750
y hay que expresarlo en kilómetros. 6,40 por 10 elevado a 4 kilómetros, que son 64.000 kilómetros, ¿vale?

53
00:06:07,240 --> 00:06:18,379
Apartado A resuelto. Radio del planeta. En el apartado B hay que averiguar, hay que calcular la velocidad orbital del satélite 1.

54
00:06:18,379 --> 00:06:41,120
Vale, la velocidad orbital sabemos que es la raíz de G por masa del planeta partido radio orbital del satélite 1, sustituyendo 6,67 por 10 elevado a menos 11 por 10 elevado a 27 entre R1 que es 6,40 por 10 elevado a 8.

55
00:06:41,120 --> 00:06:43,860
vale, y esta es la raíz cuadrada

56
00:06:43,860 --> 00:06:46,360
esto es 10.208

57
00:06:46,360 --> 00:06:48,439
10.208

58
00:06:48,439 --> 00:06:49,879
metros por segundo

59
00:06:49,879 --> 00:06:52,060
y hay que expresarlo en kilómetros por segundo

60
00:06:52,060 --> 00:06:54,279
divido entre mil, 10,21

61
00:06:54,279 --> 00:06:56,399
kilómetros por segundo

62
00:06:56,399 --> 00:06:57,519
redondeo, vale

63
00:06:57,519 --> 00:07:00,360
10,21 kilómetros por segundo

64
00:07:00,360 --> 00:07:02,000
otra manera de hacer

65
00:07:02,000 --> 00:07:03,500
este apartado

66
00:07:03,500 --> 00:07:05,079
como hemos demostrado antes

67
00:07:05,079 --> 00:07:08,339
hemos utilizado antes esta expresión

68
00:07:08,339 --> 00:07:10,040
para demostrar la tercera ley

69
00:07:10,040 --> 00:07:15,199
Hemos dicho, velocidad orbital es 2 pi por r partido por el periodo, ¿vale?

70
00:07:15,500 --> 00:07:22,560
El radio orbital lo tengo, el periodo orbital lo tengo para el satélite 1, pues lo podría hacer con esta otra expresión y sale lo mismo, ¿vale?

71
00:07:22,819 --> 00:07:23,939
Vamos al apartado C.

72
00:07:24,779 --> 00:07:33,019
En el apartado C lo que hay que hacer es averiguar el periodo orbital del satélite 2, ¿vale?

73
00:07:33,139 --> 00:07:35,839
Y lo voy a hacer de dos maneras.

74
00:07:35,839 --> 00:07:58,420
Primero, voy a aplicar la tercera ley de Kepler al satélite 2. Y digo, periodo orbital del satélite 2 al cuadrado es igual a 4pi cuadrado partido g por m por r2 al cubo.

75
00:07:59,240 --> 00:08:04,079
R2, en el enunciado, nos han dicho que es 20 veces el radio del planeta.

76
00:08:04,279 --> 00:08:08,300
Y como el radio del planeta lo he averiguado en el apartado A, pues calculo R2.

77
00:08:08,959 --> 00:08:14,759
El radio del planeta es 6,40 por 10 elevado a 7 metros.

78
00:08:15,860 --> 00:08:24,560
Entonces, el radio orbital del satélite 2 es 1,28 por 10 elevado a 9 metros.

79
00:08:24,560 --> 00:08:46,799
Pues sustituyo el periodo orbital es la raíz cuadrada de 4pi al cuadrado por 1,28 por 10 elevado a 9 elevado al cubo entre 6,67 por 10 elevado a menos 11 por 10 elevado a 27.

80
00:08:46,799 --> 00:09:05,779
Y esto es, operando, 1.114.120 segundos, ¿vale? No lo expreso en días porque no dice el enunciado que haya que hacerlo. Pues así lo dejo.

81
00:09:05,779 --> 00:09:12,360
¿Qué pasa si hemos calculado mal el radio del planeta en el apartado A?

82
00:09:12,480 --> 00:09:15,460
Pues que el radio orbital del satélite 2 estaría mal

83
00:09:15,460 --> 00:09:17,080
Y este periodo estaría mal

84
00:09:17,080 --> 00:09:19,279
Entonces, ¿se puede hacer de otra manera?

85
00:09:19,480 --> 00:09:20,259
Sí, fíjate

86
00:09:20,259 --> 00:09:24,259
Lo que voy a hacer es aplicar la tercera ley de Kepler al satélite 1 y al satélite 2

87
00:09:24,259 --> 00:09:26,940
Vale, para el satélite 2, hemos dicho que es

88
00:09:26,940 --> 00:09:28,919
Bueno, lo he puesto antes

89
00:09:28,919 --> 00:09:31,379
Esto, ¿vale?

90
00:09:31,379 --> 00:09:56,840
Para el satélite 2, la tercera ley de Kepler es esta que acabo de poner. Para el satélite 1, la tercera ley de Kepler es K por R1 al cubo, siendo K igual a 4pi al cuadrado partido G por M, la misma para S1 y S2.

91
00:09:56,840 --> 00:10:15,860
Entonces dividiendo ambas expresiones se va, ¿vale? Y lo que tengo es, al dividir, dividiendo t sub 2 al cuadrado entre t sub 1 al cuadrado es igual a r sub 2 al cubo entre r sub 1 al cubo.

92
00:10:15,860 --> 00:10:24,679
Entonces despejo T2 al cuadrado igual a T1 al cuadrado por R2 partido R1 al cubo

93
00:10:24,679 --> 00:10:27,259
Y de aquí lo voy a poner aquí abajo

94
00:10:27,259 --> 00:10:36,059
T2 es T1 por radio orbital 2 menos radio orbital 1 elevado a 3 medios

95
00:10:36,059 --> 00:10:40,179
Voy a mover esto y ya termino el problema

96
00:10:40,179 --> 00:10:45,620
Entonces tenemos el radio orbital del satélite 2 y del satélite 1

97
00:10:45,620 --> 00:11:02,100
Pero es que además, fíjate que lo tenemos porque lo hemos calculado en el radio del planeta, pero es que el enunciado nos está diciendo que R2 es 20 veces el radio del planeta y R1 es 10 veces el radio del planeta.

98
00:11:02,100 --> 00:11:30,360
Entonces, R2 entre R1 es 20R entre 10R, que es 2, ¿vale? Este 2 es este de aquí. Por lo tanto, el periodo orbital del satélite 2 es el periodo orbital del satélite 1, que lo tenemos porque es un dato, y esto es 393.984 por 2 elevado a 3 medios.

99
00:11:30,360 --> 00:11:50,679
Y esto es 1.114.355 segundos. Otra manera de hacerlo. Si te fijas, no es lo mismo que este periodo, no es exactamente igual al periodo que he obtenido antes, haciéndolo de esta otra manera.

100
00:11:51,419 --> 00:11:58,139
¿Por qué? Pues porque al calcular los radios orbitales, esto que estoy marcando aquí, he truncado, ¿vale?

101
00:11:58,159 --> 00:12:05,019
Y al truncar, bueno, pues estoy cogiendo un valor que no es el exacto, ¿de acuerdo?

102
00:12:05,779 --> 00:12:07,500
Bueno, problema terminado.

103
00:12:08,360 --> 00:12:08,840
Hasta luego.