1
00:00:01,100 --> 00:00:05,940
Buenas, vamos a realizar este ejercicio que es bastante sencillo.

2
00:00:06,120 --> 00:00:09,839
Tenemos que ver, dada una función real de variable real,

3
00:00:10,380 --> 00:00:12,759
que está definida a trozo, tenemos que estudiar la continuidad.

4
00:00:12,980 --> 00:00:17,140
Si os fijáis, aquí no me dice que estudie la continuidad en un punto concreto.

5
00:00:17,679 --> 00:00:20,699
Entonces nosotros tenemos que fijar en las funciones a trozo.

6
00:00:21,320 --> 00:00:23,539
Esto es una función polinómica, esto es una parábola.

7
00:00:23,699 --> 00:00:27,600
Toda función polinómica es siempre continua y esto es súper importante.

8
00:00:27,600 --> 00:00:42,520
Una función polinómica siempre es continua, y eso es muy importante, siempre es continua.

9
00:00:42,520 --> 00:00:52,640
Si fuera racional, tendríamos que ver en el denominador dónde se hace 0 y tenemos que ver si nos afecta en su dominio de definición.

10
00:00:52,799 --> 00:00:57,479
Este intervalo sabemos que es desde menos infinito a menos 1 abierto.

11
00:00:58,259 --> 00:01:03,960
Este de aquí, que es la función identidad, la función f de x igual a x,

12
00:01:04,459 --> 00:01:08,060
esto está definido entre menos 1 cerrado y 1 abierto.

13
00:01:08,680 --> 00:01:11,620
Y esto, que es otra parábola, esta es una parábola hacia abajo,

14
00:01:11,620 --> 00:01:18,780
porque el término en a es negativo, es desde 1 incluido hasta más infinito.

15
00:01:19,019 --> 00:01:23,819
Por lo tanto, como las tres funciones a trozos son polinómicas,

16
00:01:24,459 --> 00:01:29,959
Estas tres funciones son polinómicas porque, efectivamente, al ser polinómicas son continuas,

17
00:01:30,379 --> 00:01:35,900
nosotros donde tenemos que ver la continuidad es en x igual a menos 1 y en x igual a menos 1.

18
00:01:35,900 --> 00:01:43,640
Entonces, siempre, siempre que empecemos un ejercicio de continuidad, tenemos que poner la definición.

19
00:01:43,640 --> 00:02:06,780
Una función f de x es continua en x igual a, si y solo si, el límite de f de x cuando x tiende a es igual a f de a.

20
00:02:06,780 --> 00:02:09,219
Y esto es súper importante y no es complicado.

21
00:02:10,240 --> 00:02:14,139
Entonces, ¿dónde vamos a estudiar la continuidad? Lo vamos a estudiar en x igual a.

22
00:02:14,800 --> 00:02:27,740
Tenemos que hacer los límites laterales, puesto que el menos 1 a la izquierda está definido aquí y menos 1 a la derecha está definido en este trozo, pues nosotros tenemos que hacer los límites laterales.

23
00:02:28,199 --> 00:02:43,340
Entonces hacemos el límite de f de x cuando x tiende a menos 1 a la izquierda y si nos fijamos tenemos que coger esta de la derecha porque está el menos 1 hacia la derecha que está incluido aquí en el x cuadrado.

24
00:02:44,139 --> 00:02:51,580
Menos 2x. Este ejercicio es muy sencillo, pero es básico para saber hacer los ejercicios de continuación.

25
00:02:51,840 --> 00:02:56,439
Sustituimos y tenemos menos 1 al cuadrado menos 2 por menos 1.

26
00:02:57,120 --> 00:02:59,979
Esto ya vale, es 1 más 2, que es igual.

27
00:03:02,289 --> 00:03:09,530
Vamos a hacer el límite ahora de f de x cuando x tiende a menos 1 hacia la derecha.

28
00:03:09,530 --> 00:03:19,810
Y esto aquí es igual al límite de x, uno a la derecha, justo está definido aquí en x, cuando x tiende a menos uno.

29
00:03:20,330 --> 00:03:22,069
¿Y esto qué es menos uno?

30
00:03:22,770 --> 00:03:27,229
Fijaros que menos uno es distinto de tres, como los límites laterales.

31
00:03:27,229 --> 00:03:38,210
Como el límite de f de x cuando x tiende a menos 1 a la izquierda es igual a 3

32
00:03:38,210 --> 00:03:48,669
Que es distinto de menos 1 que es igual al límite de f de x cuando x tiende a menos 1 hacia la derecha

33
00:03:48,669 --> 00:03:56,669
Como los límites laterales son distintos directamente no existe el límite de f de x

34
00:03:56,669 --> 00:04:00,409
cuando x tiende a menos 1, ¿de acuerdo? No existe.

35
00:04:00,889 --> 00:04:02,870
Pero ¿qué ocurre? Que el salto, ¿cuánto vale?

36
00:04:03,110 --> 00:04:08,590
El salto vale el valor absoluto de 3 menos menos 1,

37
00:04:09,610 --> 00:04:12,610
es decir, el salto vale 4.

38
00:04:12,889 --> 00:04:14,750
Este salto es finito, por supuesto.

39
00:04:15,310 --> 00:04:16,709
Entonces, ¿qué tenemos que decir?

40
00:04:16,709 --> 00:04:26,019
Pues que f de x presenta en x igual a menos 1,

41
00:04:26,019 --> 00:04:29,759
una discontinuidad

42
00:04:29,759 --> 00:04:33,629
una discontinuidad

43
00:04:33,629 --> 00:04:37,250
de salto finito

44
00:04:37,250 --> 00:04:41,350
de salto finito

45
00:04:41,350 --> 00:04:44,100
¿de acuerdo?

46
00:04:44,699 --> 00:04:45,920
entonces siempre es lo mismo

47
00:04:45,920 --> 00:04:47,339
y en este caso es súper sencillo

48
00:04:47,339 --> 00:04:49,279
tenemos tres funciones a trozos

49
00:04:49,279 --> 00:04:51,199
una función pero una definida a trozos

50
00:04:51,199 --> 00:04:53,560
donde cada trozo es una función polinómica

51
00:04:53,560 --> 00:04:55,100
por ser una función polinómica

52
00:04:55,100 --> 00:04:56,639
siempre es continua

53
00:04:56,639 --> 00:04:58,759
entonces donde tenemos que ver

54
00:04:58,759 --> 00:05:01,000
las discontinuidades es

55
00:05:01,000 --> 00:05:06,540
en cada una de las separaciones de la frontera, en este caso en menos 1 y en el 1.

56
00:05:06,920 --> 00:05:11,579
Hacemos el límite lateral de la izquierda de menos 1, que me sale 3,

57
00:05:12,639 --> 00:05:17,920
hago eso y no hago otra cosa, y luego por la derecha me sale distinto.

58
00:05:18,439 --> 00:05:22,220
Los dos son, por lo tanto, no existe, al ser distinto no existe el límite,

59
00:05:22,699 --> 00:05:26,500
pero lo que sí tenemos claro es que al ser los dos límites laterales finitos,

60
00:05:26,899 --> 00:05:29,019
la discontinuidad es de salto finito.

61
00:05:29,019 --> 00:05:38,240
Vamos a hacer ahora el estudio para x igual a 1.

62
00:05:38,240 --> 00:05:42,060
Entonces, ahora en x igual a 1, hacemos igual.

63
00:05:42,699 --> 00:05:49,500
Hacemos el límite de f de x cuando x tiende a 1 por la izquierda.

64
00:05:50,259 --> 00:05:56,920
Y es igual al límite, fijaros, el límite de 1 por la izquierda es esta función de aquí.

65
00:05:56,920 --> 00:06:01,639
Es decir, el límite de x cuando x tiende a 1 por la izquierda.

66
00:06:01,879 --> 00:06:02,980
Sustituimos y es 1.

67
00:06:03,620 --> 00:06:06,959
Cosas importantes. Fijaros, aquí aparece la x, ¿verdad?

68
00:06:07,420 --> 00:06:11,000
Si aparece aquí la x, yo tengo que poner la palabra.

69
00:06:11,500 --> 00:06:17,220
Y ya no me aparece la x, entonces aquí ya no tiene sentido ninguno poner la palabra.

70
00:06:18,459 --> 00:06:26,720
Bueno, vamos a seguir al hacer el límite de f de x cuando x tiende a 1 por la derecha.

71
00:06:26,920 --> 00:06:37,019
Hacemos el límite cuando x tiende a 1 por la derecha y recordamos, esto es desde menos 1 a 1, está abierto.

72
00:06:37,519 --> 00:06:50,579
El 1 por la izquierda está aquí, sin embargo, este de aquí abajo es el 1 incluido más infinito y el 1 por la derecha, pues entonces tenemos que sustituir.

73
00:06:50,579 --> 00:06:54,959
sustituimos, y como ya sustituimos tened mucho cuidado

74
00:06:54,959 --> 00:06:58,740
aquí pasa una cosa, aquí el cuadrado

75
00:06:58,740 --> 00:07:01,459
no afecta al signo

76
00:07:01,459 --> 00:07:06,790
el cuadrado no afecta al signo

77
00:07:06,790 --> 00:07:11,129
no afecta al signo, y esto es un error

78
00:07:11,129 --> 00:07:15,110
muy común, es decir, menos x cuadrado es distinto

79
00:07:15,110 --> 00:07:17,829
de menos x al cuadrado, ¿vale?

80
00:07:18,509 --> 00:07:21,790
Entonces, esto que es un menos, aquí, 1, 1 al cuadrado.

81
00:07:21,889 --> 00:07:26,050
Si os fijáis, siempre que yo sustituyo, pongo el signo entre paréntesis.

82
00:07:26,170 --> 00:07:27,730
Es una recomendación que yo hago.

83
00:07:30,149 --> 00:07:31,850
1 al cuadrado, ¿cuánto es?

84
00:07:31,850 --> 00:07:51,410
es 1, pues resulta que es 1. Fijaros que aquí los límites sí que coinciden, entonces, como el límite de f de x cuando x tiende a 1 por la izquierda es igual a 1,

85
00:07:51,410 --> 00:07:59,269
que es igual a 1, que es igual al límite de f de x cuando x tiende a 1 por la derecha,

86
00:07:59,850 --> 00:08:10,569
pues entonces yo sí que tengo la potestad de decir que existe el límite de f de x cuando x tiende a 1 y es igual a 1.

87
00:08:11,490 --> 00:08:15,670
Como existe un límite y en fin es finito, pues ¿qué ocurre?

88
00:08:15,670 --> 00:08:17,610
Es decir, que yo aquí tengo dos posibilidades.

89
00:08:18,089 --> 00:08:25,189
Yo aquí, la función puede ser continua o puede ser una discontinuidad evitada

90
00:08:25,189 --> 00:08:32,360
por el simple hecho de existir el límite y de ser finita.

91
00:08:33,179 --> 00:08:34,580
Volvemos a la definición.

92
00:08:34,899 --> 00:08:37,799
Cuando una función es continua en x igual a a,

93
00:08:37,919 --> 00:08:42,320
cuando el límite de f de x cuando x tiende a es igual a f.

94
00:08:42,940 --> 00:08:44,220
¿Qué es lo que tenemos que ver?

95
00:08:44,220 --> 00:08:56,320
Pues, ¿existe f de 1? Pues vamos a ver, porque aquí es lo que nos va a discernir entre una continuidad y una discontinuidad.

96
00:08:56,940 --> 00:09:01,200
Entonces, fijaros, f de 1, ¿cuál es el donde existe el 1?

97
00:09:01,200 --> 00:09:18,610
¿De acuerdo? Entonces, f de 1, voy a enseñar en azul, f de 1, que es menos 1 al cuadrado más 2 por 1, que es esto que ya lo habíamos resuelto aquí, dado.

98
00:09:19,090 --> 00:09:30,350
Por lo tanto, ¿qué ocurre? Que el límite f de x cuando x tiende a 1 es igual a 1 que es igual a f de 1.

99
00:09:30,350 --> 00:09:31,629
Y yo ahora, ¿qué ocurre?

100
00:09:32,049 --> 00:09:37,389
Como existe f de 1 y además es igual al límite, ya no es una discontinuidad habitable,

101
00:09:37,929 --> 00:09:48,399
sino que f de x es continua en x igual a 1, ¿vale?

102
00:09:48,980 --> 00:09:52,799
Espero que haya servido, si tenéis cualquier duda, pues me lo preguntáis.