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00:00:12,400 --> 00:00:17,820
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,820 --> 00:00:22,719
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,719 --> 00:00:34,539
de la unidad AN5 dedicada a las integrales. En la videoclase de hoy estudiaremos las propiedades

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00:00:34,539 --> 00:00:51,140
de la integral definida. En esta videoclase vamos a estudiar las propiedades de la integral

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00:00:51,140 --> 00:00:56,899
definida. Como podemos ver, en primer lugar son propiedades de la integral definida las

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00:00:56,899 --> 00:01:01,939
de la integral indefinida. Os recuerdo que se refería a la linealidad de la integral,

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00:01:02,259 --> 00:01:07,079
esto es, la integral de la suma o resta de dos funciones es igual a la suma o resta de

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00:01:07,079 --> 00:01:11,659
las integrales de ambas funciones por separado. La integral del producto de un número real

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00:01:11,659 --> 00:01:15,879
por una función es igual al producto de dicho número real por la integral de la función.

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00:01:16,480 --> 00:01:20,879
Bien, pues además de esas propiedades de la integral indefinida, tenemos propiedades

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00:01:20,879 --> 00:01:25,459
que son específicas de la integral definida y que hacen referencia al problema del área,

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00:01:25,459 --> 00:01:30,420
la forma en la cual está definida como esas sumas de las áreas de los rectángulos

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00:01:30,420 --> 00:01:35,439
con base en la partición del intervalo en el cual estamos calculando la integral definida

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00:01:35,439 --> 00:01:37,900
y como alturas los valores de la función.

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00:01:38,719 --> 00:01:46,719
En primer lugar, vemos que la integral entre a y a, la misma abscisa de una función cualquiera, es igual a cero.

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00:01:46,819 --> 00:01:52,060
Y esto tiene sentido, puesto que estaríamos calculando el área subtendida por un único punto.

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00:01:52,060 --> 00:01:57,939
Por ejemplo, la amplitud del intervalo es idénticamente nula y el área que tendríamos es idénticamente cero.

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00:01:58,040 --> 00:02:04,459
Así pues, si el extremo inicial y final del intervalo de integración es el mismo, la integral es nula.

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00:02:05,420 --> 00:02:12,620
Si dentro del intervalo de integración la función es no negativa, esto es mayor o igual que cero,

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00:02:13,199 --> 00:02:18,199
en ese caso la integral, tal y como estará definida, es también no negativa.

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00:02:18,659 --> 00:02:26,819
Mientras que si las imágenes o la función es no positiva, en ese caso la integral también será no positiva.

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00:02:27,699 --> 00:02:36,580
Tened en cuenta que tal y como estamos definiendo la integral, las alturas de los rectángulos que comentaba en la videoclase anterior eran iguales a los valores de la función.

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00:02:36,580 --> 00:02:55,479
Si la función toma valores no negativos, estaremos multiplicando la longitud de las bases de los rectángulos, que equivalen a la amplitud de los intervalos dentro de la partición, por unas alturas que son números no negativos, de tal forma que estaremos obteniendo la suma de números no negativos.

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00:02:55,479 --> 00:03:10,360
Mientras que en el caso en el que la función pudiera tomar valores negativos, en ese caso estaríamos multiplicando por unos valores que son negativos y por eso, en ese caso, estaríamos obteniendo valores no positivos para el valor de la integral.

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00:03:10,819 --> 00:03:15,780
Cuando estemos calculando áreas en sentido estricto, tendríamos que tener mucho cuidado con esto.

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00:03:16,300 --> 00:03:25,240
Tal y como estamos definiendo las áreas, estamos multiplicando las longitudes de los intervalos de la base, que son positivas, por el valor de la función.

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00:03:25,740 --> 00:03:31,099
Si la función es no negativa, el valor de la función coincide con la longitud de la altura,

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00:03:31,659 --> 00:03:39,139
mientras que en el caso en el que la función pudiera tomar valores negativos, insisto, en ese caso estaremos multiplicando por un número negativo

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00:03:39,139 --> 00:03:45,680
Y el área que estaríamos calculando no sería un área en sentido estricto, puesto que estaríamos obteniendo un número negativo.

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00:03:46,159 --> 00:03:50,240
Hablaremos de esto un poco más adelante cuando resolvamos alguno de los ejemplos.

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00:03:51,219 --> 00:03:57,900
Otra propiedad también de la integral indefinida es que si el intervalo de integración, que en este caso supongamos que fuera de a a c,

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00:03:58,520 --> 00:04:02,460
se dividirá en 2 con un número intermedio, que en este caso vamos a pensar que es b,

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00:04:02,460 --> 00:04:10,479
En ese caso, la integral de A a C se podría escribir como la suma de la integral de A a B más la integral que va de B a C.

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00:04:10,719 --> 00:04:19,699
Así pues, podríamos dividir una integral definida como la suma de dos o varias, o más de dos, integrales definidas,

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00:04:19,779 --> 00:04:23,240
siempre y cuando dividiéramos de manera oportuna el intervalo de integración.

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00:04:24,939 --> 00:04:30,439
Si intercambiamos el orden en el cual tenemos los extremos del intervalo de integración,

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00:04:30,439 --> 00:04:33,040
Vamos a pensar siempre que a es menor que b.

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00:04:34,040 --> 00:04:39,019
Bueno, si intercambiamos a por b, en ese caso lo que hacemos es cambiar el signo de la integral.

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00:04:39,379 --> 00:04:42,839
Así pues, la integral de 1 a 2, por ejemplo, de una cierta función,

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00:04:43,579 --> 00:04:47,519
tiene signo cambiado a lo que sería la integral de 2 a 1 de dicha función.

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00:04:47,699 --> 00:04:52,720
Si recorremos el intervalo en sentido contrario, en ese caso tenemos que cambiar el signo de la integral.

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00:04:53,839 --> 00:04:59,379
Por último, un último resultado interesante es el teorema que es el valor medio del cálculo integral.

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00:04:59,740 --> 00:05:05,120
Si tenemos f, una función real de variable real continua en el intervalo de integración a b,

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00:05:05,819 --> 00:05:09,199
en ese caso existe un punto contenido dentro del intervalo,

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00:05:09,579 --> 00:05:13,519
de tal manera que la integral se puede calcular como el producto d,

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00:05:13,959 --> 00:05:19,699
como base la amplitud del intervalo de integración y como altura el valor de la función en ese punto.

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00:05:19,860 --> 00:05:23,259
Existe un valor intermedio, tal que el área del rectángulo correspondiente

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00:05:23,259 --> 00:05:26,279
equivale al área que estaríamos intentando determinar.

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00:05:26,279 --> 00:05:34,779
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:05:35,500 --> 00:05:39,620
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:05:40,420 --> 00:05:45,180
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:05:45,740 --> 00:05:47,139
Un saludo y hasta pronto.