1
00:00:03,250 --> 00:00:13,310
Bien, vamos a calcular hoy las asíntotas de funciones exponenciales y logarítmicas.

2
00:00:14,169 --> 00:00:20,510
Bueno, vamos a empezar con esta función. Lo primero que tenemos que hacer es calcular el dominio de la función.

3
00:00:21,329 --> 00:00:30,250
El dominio va a estar formado por aquellos números reales para los que existe la función del numerador y la función del denominador.

4
00:00:30,969 --> 00:00:34,289
En el numerador tenemos un polinomio, pues el dominio es todo r,

5
00:00:35,630 --> 00:00:40,149
y en el denominador tenemos la función exponencial, que también está definida para todos los números reales,

6
00:00:40,450 --> 00:00:43,929
y x, que también está definida para todos los números reales.

7
00:00:44,509 --> 00:00:49,130
Por lo tanto, pues el dominio va a ser igual a todos los números reales,

8
00:00:50,759 --> 00:00:56,479
menos los valores para los que se anula el denominador, porque la división por cero no está definida.

9
00:00:57,259 --> 00:01:03,000
Entonces, bueno, resolvemos la ecuación e elevado a x menos x igual a cero.

10
00:01:03,859 --> 00:01:08,439
Entonces, e elevado a x, pues tiene que ser igual a x.

11
00:01:09,180 --> 00:01:09,359
¿Vale?

12
00:01:09,739 --> 00:01:12,939
Pero esta ecuación, vamos a ver que no tiene solución.

13
00:01:13,400 --> 00:01:15,840
Fijaos, la función exponencial e elevado a x,

14
00:01:16,120 --> 00:01:23,530
la función exponencial e elevado a x es de esta forma.

15
00:01:25,359 --> 00:01:27,299
Esta sería la e elevado a x.

16
00:01:28,620 --> 00:01:28,920
¿Vale?

17
00:01:28,920 --> 00:01:33,379
Y la y igual a x, esta es la y igual a e elevado a x.

18
00:01:33,700 --> 00:01:36,359
Y la y igual a x es la bisectriz del primer cuadrante.

19
00:01:37,299 --> 00:01:40,200
Entonces, como veis, en ningún momento toman el mismo valor.

20
00:01:40,879 --> 00:01:42,760
Por lo tanto, no tiene solución.

21
00:01:44,219 --> 00:01:46,620
No tiene solución.

22
00:01:51,260 --> 00:01:53,920
Por lo tanto, el dominio van a ser todos los números reales.

23
00:01:55,120 --> 00:01:58,359
Las asíndotas verticales se buscan en los puntos donde la función no está definida.

24
00:01:58,439 --> 00:02:01,659
Y como el dominio es todo R, pues las asíndotas verticales no tiene.

25
00:02:01,659 --> 00:02:15,979
Y las asíndotas horizontales se buscan calculando los límites cuando x tiende a infinito y a menos infinito de la función.

26
00:02:16,319 --> 00:02:22,740
Si estos límites existen, pues entonces tenemos asíndotas horizontales.

27
00:02:23,039 --> 00:02:35,960
Entonces hacemos el límite cuando x tiende a infinito de x partido por elevado a x menos x.

28
00:02:36,819 --> 00:02:42,960
Pues este límite es igual a infinito partido por elevado a infinito es infinito menos infinito.

29
00:02:43,819 --> 00:02:51,840
Bueno, aquí podríamos tener una indeterminación, pero claramente la función exponencial es la que tiende a infinito mucho más deprisa.

30
00:02:52,180 --> 00:02:59,439
Claramente se ve en la gráfica que tiende mucho más deprisa a infinito, por lo tanto esto es infinito partido por infinito.

31
00:03:00,740 --> 00:03:03,280
Indeterminación, que resolvemos por l'hôpital.

32
00:03:06,900 --> 00:03:15,979
Y esto pues es igual al límite cuando x tiende a infinito de derivada de x1.

33
00:03:16,819 --> 00:03:20,819
Derivada de elevado a x, pues es elevado a x, derivada de x, 1.

34
00:03:23,500 --> 00:03:29,020
Esto es igual a 1 partido por infinito menos 1.

35
00:03:29,740 --> 00:03:32,560
1 partido por infinito, que es 0.

36
00:03:33,379 --> 00:03:35,840
Por lo tanto, este límite existe y es igual a 0.

37
00:03:36,400 --> 00:03:45,740
Tenemos una asíntota horizontal en y igual a 0, cuando x tiende a infinito.

38
00:03:45,740 --> 00:03:50,000
y igual a 0 cuando x tiende a infinito.

39
00:03:50,580 --> 00:04:00,169
Hacemos el límite también cuando x tiende a menos infinito de la función

40
00:04:00,169 --> 00:04:13,680
y, bueno, pues este límite es igual a menos infinito partido por elevado a menos infinito.

41
00:04:14,219 --> 00:04:19,300
Fijaos, cuando nos aproximamos a la función con x muy pequeño,

42
00:04:19,420 --> 00:04:24,060
cuando x tiende a menos infinito, la función hacia donde tiende, pues se aproxima a 0.

43
00:04:24,060 --> 00:04:36,920
¿Vale? Por lo tanto esto es 0 menos menos infinito, 0 más infinito, menos infinito partido por infinito, indeterminación.

44
00:04:37,379 --> 00:04:48,259
Por si hay alguna duda, e elevado a menos infinito, pues es igual a 1 partido por e elevado a infinito, y esto claramente pues es igual a 0.

45
00:04:48,259 --> 00:05:01,279
Bien, pues nos queda una indeterminación del tipo menos infinito partido por infinito, pues aplicamos L'Hôpital, la regla de L'Hôpital.

46
00:05:01,279 --> 00:05:14,430
Nos queda el límite, cuando x tiende a menos infinito, de 1 partido por e elevado a x menos 1.

47
00:05:16,370 --> 00:05:24,029
Y esto es igual a 1 partido elevado a menos infinito, pues es 0 menos 1.

48
00:05:25,029 --> 00:05:26,149
Esto es igual a menos 1.

49
00:05:26,410 --> 00:05:29,810
El límite cuando x tiende a menos infinito existe y es menos 1.

50
00:05:29,810 --> 00:05:40,779
Por lo tanto, tenemos una asíndota en y igual a menos 1 cuando x tiende a menos infinito.

51
00:05:43,850 --> 00:05:45,689
Cuando x tiende a menos infinito.

52
00:05:51,550 --> 00:05:55,350
Y tenemos una asíndota horizontal en y igual a 0 cuando x tiende a infinito.

53
00:05:55,810 --> 00:06:02,189
Por lo tanto, asíndotas oblicuas no tiene.

54
00:06:05,779 --> 00:06:13,019
Porque en el caso de que tuviese, imaginaos que tiene una cuando x tiende a infinito.

55
00:06:13,019 --> 00:06:16,439
Fijaos, por un lado la función se tiene que aproximar a igual a cero.

56
00:06:16,740 --> 00:06:22,399
Si tuviese una asíndota oblicua, pues se tendría que aproximar a igual a cero de la asíndota oblicua.

57
00:06:22,519 --> 00:06:25,199
Entonces, esto no podría ser una función.

58
00:06:25,839 --> 00:06:29,220
Por lo tanto, no tiene asíndotas oblicuas.

59
00:06:29,300 --> 00:06:33,560
Si tiene horizontales, no puede tener asíndotas oblicuas.

60
00:06:37,779 --> 00:06:42,620
Bien, vamos a ver ahora las asíndotas de una función logarítmica.

61
00:06:42,620 --> 00:06:46,579
f de x igual a neperiano de x partido por x.

62
00:06:47,660 --> 00:06:50,579
Bien, lo primero que tenemos que hacer es calcular el dominio.

63
00:06:51,279 --> 00:06:55,360
Esto es un cociente, pues el dominio será el dominio del numerador,

64
00:06:55,879 --> 00:06:59,939
intersección con el dominio del denominador, menos los valores para los que se anula el denominador.

65
00:07:00,639 --> 00:07:06,699
La función neperiano de x está definida, pues, en el intervalo que va de cero a infinito,

66
00:07:06,699 --> 00:07:10,480
porque los logaritmos solamente existen para números positivos.

67
00:07:11,259 --> 00:07:16,860
x está definido, pues, para todos los números reales, menos infinito hasta infinito.

68
00:07:17,500 --> 00:07:22,319
Por lo tanto, el dominio serán aquellos números reales que pertenecen al dominio de ambas funciones,

69
00:07:23,620 --> 00:07:30,220
que será el intervalo que va desde cero hasta infinito, menos los valores para los que se anula el denominador.

70
00:07:30,620 --> 00:07:34,339
¿Cuándo se anula el denominador? Pues para x igual a cero, ¿vale?

71
00:07:34,420 --> 00:07:37,100
Pero el cero no está incluido, pues se quedaría así.

72
00:07:37,100 --> 00:07:51,279
Bien, vamos a estudiar ahora las asíndotas verticales. ¿Dónde las vamos a estudiar? Pues aquí en los extremos, en el 0, pues vamos a ver si en el 0 tenemos una asíndota vertical.

73
00:07:51,620 --> 00:08:07,100
Entonces hacemos el límite cuando x tiende a 0, pero claro, por la izquierda no existe, tenemos que hacer el límite cuando x tiende a 0 por la derecha del neperiano de x partido por x.

74
00:08:07,100 --> 00:08:24,860
Bien, el neperiano de 0 es menos infinito, partido por 0, y además este 0 es un 0 más, porque si nos acercamos a 0 por la derecha, ese 0 va a ser un 0 más.

75
00:08:25,839 --> 00:08:31,300
Menos infinito partido por 0 más, pues esto va a ser igual a menos infinito.

76
00:08:32,279 --> 00:08:36,500
No sé si veis por qué el neperiano de 0 tiende a menos infinito.

77
00:08:37,980 --> 00:08:40,740
Pues lo vemos aquí un momento gráficamente.

78
00:08:41,320 --> 00:08:43,940
Vamos a reventar gráficamente la función neperiano de x.

79
00:08:44,519 --> 00:08:46,879
La función neperiano de x es de esta forma.

80
00:08:47,840 --> 00:08:51,100
A medida que nos vamos acercando a 0, la función tiende a menos infinito.

81
00:08:52,340 --> 00:08:55,879
Por lo tanto, ¿tenemos una asíntota vertical en x igual a 0?

82
00:08:55,879 --> 00:08:59,259
Sí, tenemos una asíntota vertical en x igual a 0,

83
00:08:59,259 --> 00:09:03,899
porque el límite cuando x tiende a cero por la derecha es menos infinito.

84
00:09:04,639 --> 00:09:08,259
Basta con que uno de los límites, o bien por la izquierda o por la derecha,

85
00:09:08,419 --> 00:09:14,259
o en el punto, sean infinito o menos infinito para tener una asíndota vertical.

86
00:09:15,220 --> 00:09:18,460
Por la izquierda no tiene sentido y el límite en el punto tampoco tiene sentido

87
00:09:18,460 --> 00:09:20,799
porque a la izquierda no está definida.

88
00:09:22,620 --> 00:09:23,860
Asíndotas horizontales.

89
00:09:23,860 --> 00:09:32,639
Pues hacemos el límite cuando x tiende a infinito de la función.

90
00:09:33,639 --> 00:09:40,240
Cuando x tiende a menos infinito, nuevamente no tiene sentido porque no está definida para los números negativos.

91
00:09:41,740 --> 00:09:45,360
Si este límite existe, es un número real, tendremos asíndota horizontal.

92
00:09:46,419 --> 00:09:52,179
Bien, pues este límite es infinito partido por infinito, indeterminación.

93
00:09:52,879 --> 00:09:55,120
Y aplicamos pues la regla de L'Hôpital.

94
00:09:55,120 --> 00:10:13,909
Bien, el límite cuando x tiende a infinito de esa función, pues es igual al límite cuando x tiende a infinito de la derivada del neperiano de x, 1 partido por x, derivada de x, 1.

95
00:10:13,909 --> 00:10:33,200
Nos queda el límite cuando x tiende a infinito de 1 dividido entre x, y este límite pues va a ser igual a 1 dividido entre infinito.

96
00:10:34,179 --> 00:10:40,419
Uno partido entre infinito, pues esto es igual a cero.

97
00:10:41,299 --> 00:10:53,539
Por tanto, tenemos una asíndota horizontal en y igual a cero, cuando x tiende a infinito.

98
00:10:53,539 --> 00:10:59,710
Y cuando x tiende a menos infinito, pues no tiene sentido.

99
00:10:59,710 --> 00:11:14,529
¿Y asíndotas oblicuas? No tiene. No tiene. Porque tiene asíndotas horizontales. No podemos tener una asíndota horizontal y oblicua a la vez. ¿Vale? Bueno, pues esto es todo.