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00:00:02,540 --> 00:00:13,220
El producto vectorial de vectores en R3 resuelve un problema muy habitual, encontrar un vector

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00:00:13,220 --> 00:00:18,059
perpendicular a otros dos. Esto es, dados dos vectores u y v del espacio, tenemos que

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00:00:18,059 --> 00:00:23,420
buscar un vector w que sea perpendicular a la vez a u y a v. Esto puede resultar útil,

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00:00:23,539 --> 00:00:27,719
por ejemplo, cuando queremos calcular el vector normal, es decir, el perpendicular al plano

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00:00:27,719 --> 00:00:34,179
que contienen a u y a v, por ejemplo. Si consideramos las coordenadas del vector u y del vector v,

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00:00:34,600 --> 00:00:40,859
el problema reside en encontrar el vector w, x y z, tal que u es perpendicular con w,

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00:00:41,039 --> 00:00:47,060
es decir, u por w es igual a cero, y también es perpendicular con v, es decir, v por w

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00:00:47,060 --> 00:00:53,020
es igual a cero. Escribiendo estas dos ecuaciones en coordenadas obtenemos un sistema de dos

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00:00:53,020 --> 00:00:58,380
ecuaciones con tres incógnitas y una manera de resolver este sistema es aplicar reducción

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00:00:58,380 --> 00:01:06,019
eliminando la z. Para ello multiplicamos por menos c2 la primera ecuación, por c1 la segunda y

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00:01:06,019 --> 00:01:12,799
sumamos. Habremos obtenido así una ecuación en x e y que puede escribirse de la forma p por x más

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00:01:12,799 --> 00:01:19,540
q por y igual a cero, siendo p y q esos números que tenéis ahí en pantalla. Este sistema es

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00:01:19,540 --> 00:01:25,739
compatible indeterminado y una solución puede ser x igual a menos q y igual a p. Es decir, x e y

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00:01:25,739 --> 00:01:30,900
tomarían los valores que aparecen en pantalla y podemos hacer algo parecido para calcular el

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00:01:30,900 --> 00:01:37,879
valor de z correspondiente. Tendremos así la solución del vector w con esas fórmulas de x,

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00:01:37,879 --> 00:01:45,060
y y z. Pero claro, no son fórmulas fáciles, son horribles. Para simplificar esta notación podemos

17
00:01:45,060 --> 00:01:50,840
utilizar determinantes 2x2 para la x, la y y la z, pero se puede mejorar de verdad la

18
00:01:50,840 --> 00:01:55,540
notación si introducimos los vectores i, j, k, es decir, la base canónica del espacio

19
00:01:55,540 --> 00:02:02,939
1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1. Con esta notación, el vector w se puede calcular desarrollando

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00:02:02,939 --> 00:02:08,439
por la primera fila un determinante 3x3. Lo que hacemos es en la primera fila colocar

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00:02:08,439 --> 00:02:14,599
los vectores i, j, k, en la segunda el vector u y en la tercera el vector v, sus coordenadas,

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00:02:14,599 --> 00:02:20,639
claro. Esta es la forma óptima de calcular el producto vectorial u por v como un determinante

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00:02:20,639 --> 00:02:26,960
3 por 3. Veamos un ejemplo. Bueno, en este ejercicio nos piden calcular el producto vectorial

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00:02:26,960 --> 00:02:33,120
de dos vectores que están escritos en forma o en función de i, j, k, que son los vectores

25
00:02:33,120 --> 00:02:39,659
de la base canónica 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1. Para calcularlo lo podemos hacer usando

26
00:02:39,659 --> 00:02:55,199
esta misma notación, que sería de la siguiente forma, u por v igual, lo que hay que hacer es escribir i, j, k en la primera fila del determinante, después, primer vector, 2, 3, 4, ese es el vector u,

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00:02:55,199 --> 00:03:09,020
Segundo vector, 5, 6, 7. 5, 6, 7. Y desarrollar este determinante. ¿Cómo? Pues lo vamos a desarrollar, calcular, desarrollando por los términos de la primera fila.

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00:03:09,020 --> 00:03:25,900
Es decir, esto valdrá 3, 4, 6, 7, el determinante multiplicado por i. Ahora va con signo menos porque es el elemento 2, 1, así que es impar, con lo que aquí hay un signo menos.

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00:03:25,900 --> 00:03:47,210
Tenemos 2, 5, 4, 7 multiplicado por j, lo que hemos hecho es 2, 5, 4, 7, quitar esta fila y después, esta columna quiero decir, y después quitar esta y tendríamos 2, 5, 3, 6 multiplicado por k.

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00:03:47,210 --> 00:04:17,529
Hacemos esa cuenta, 3 por 7 es 21, 6 por 4 es 24, 21 menos 24 por i, 14 menos 20 por j, 12 menos 15 por k, menos 3, menos 5 con menos, más 5, cuidado con los dobles signos, menos 3.

31
00:04:17,529 --> 00:04:33,029
Es decir, este es el vector, menos 3, 5, menos 3. Y este será el producto vectorial de los dos vectores. Fácil, ¿verdad?

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00:04:33,029 --> 00:04:40,399
podríamos haberlo calculado de otra forma multiplicando y aplicando las propiedades del producto vectorial

33
00:04:40,399 --> 00:04:53,939
y quitar paréntesis aquí, pero para eso tenemos que saber cuánto vale i por i, i por j, i por k

34
00:04:53,939 --> 00:04:59,980
esto lo podréis ver en otro vídeo, así que creo que es más sencillo de momento usar esta otra forma

35
00:04:59,980 --> 00:05:04,620
un saludo, hasta luego, espero que os haya gustado, nos vemos en siguientes vídeos