1
00:00:00,300 --> 00:00:05,960
En este vídeo vamos a ver las relaciones entre punto y recta.

2
00:00:06,059 --> 00:00:11,519
Lo primero que vamos a calcular es la proyección ortogonal de un punto P

3
00:00:11,519 --> 00:00:15,380
coordenadas x, y, 0, y, 0, z, 0

4
00:00:15,380 --> 00:00:21,320
sobre una recta R en las que conocemos un punto A, x1, y1, z1

5
00:00:21,320 --> 00:00:26,239
y un vector director 1, u2, u3.

6
00:00:26,239 --> 00:00:39,320
entonces lo primero que vamos a hacer es representar en GeoGebra el punto, el vector y el punto P

7
00:00:39,320 --> 00:00:45,280
aquí tenemos la recta definida por A y por U

8
00:00:45,280 --> 00:00:49,399
y tenemos también el punto P

9
00:00:49,399 --> 00:00:53,399
y también he puesto en la vista CAS que la vamos a utilizar siempre como auxiliar

10
00:00:53,399 --> 00:00:59,179
pues las coordenadas de un punto genérico de la recta R

11
00:00:59,179 --> 00:01:02,420
y las ecuaciones de la recta R

12
00:01:02,420 --> 00:01:03,240
¿de acuerdo?

13
00:01:03,899 --> 00:01:07,459
porque esto en la vista CAS después me va a solucionar muchos problemas

14
00:01:07,459 --> 00:01:08,560
tener eso escrito

15
00:01:08,560 --> 00:01:12,040
no he conseguido, igual que con los listeners

16
00:01:12,040 --> 00:01:14,579
si que puedo añadir aquí lo que quiera

17
00:01:14,579 --> 00:01:19,280
no he conseguido añadir directamente en la vista CAS

18
00:01:19,280 --> 00:01:21,400
estas cosas en los listeners

19
00:01:21,400 --> 00:01:25,599
pero bueno, se tarda poco en escribir

20
00:01:25,599 --> 00:01:31,599
lo primero que vamos a hacer es calcular la proyección ortogonal

21
00:01:31,599 --> 00:01:36,859
de P sobre la recta, de acuerdo

22
00:01:36,859 --> 00:01:43,700
entonces, para ello, pues hemos cogido estas coordenadas

23
00:01:43,700 --> 00:01:45,739
en concreto de

24
00:01:45,739 --> 00:01:48,140
de

25
00:01:48,140 --> 00:01:51,659
un punto 6 menos 1, 6

26
00:01:51,659 --> 00:01:53,560
y una recta dada por

27
00:01:53,560 --> 00:01:55,719
el punto 1, 1, 1

28
00:01:55,719 --> 00:01:58,120
y el vector y el vector 3 menos 1, 1

29
00:01:58,120 --> 00:02:00,019
hemos escrito R

30
00:02:00,019 --> 00:02:01,599
y ahora usando el vector U

31
00:02:01,599 --> 00:02:03,859
vamos a construir el plano

32
00:02:03,859 --> 00:02:05,859
perpendicular a la recta R

33
00:02:05,859 --> 00:02:07,879
que pasa por P

34
00:02:07,879 --> 00:02:09,080
¿de acuerdo?

35
00:02:09,580 --> 00:02:12,180
plano perpendicular a la recta R

36
00:02:12,180 --> 00:02:16,819
que pasa por p y lo vamos a hacer en la forma normal

37
00:02:16,819 --> 00:02:20,900
¿qué quiere decir eso? que vamos a hacer el producto escalar

38
00:02:20,900 --> 00:02:26,939
del vector 3-1,1 por un vector genérico

39
00:02:26,939 --> 00:02:30,819
que obligamos a estar sobre el plano que hemos dicho

40
00:02:30,819 --> 00:02:37,879
yo cojo un punto genérico x,y,z y le resto un vector 6-1,6

41
00:02:37,879 --> 00:02:39,180
que quiero que esté en el plano

42
00:02:39,180 --> 00:02:44,439
pues así obtenemos la ecuación de la recta

43
00:02:44,439 --> 00:02:51,699
y como veis pues nos sale 3x menos y más z menos 25 igual a 0

44
00:02:51,699 --> 00:02:58,979
si vamos al GeoGebra y lo hacemos

45
00:02:58,979 --> 00:03:03,020
por cierto le hemos preguntado mediante el comando de distancia

46
00:03:03,020 --> 00:03:05,259
que distancia está, nos da 3,16

47
00:03:05,259 --> 00:03:06,620
pues lo que os decía

48
00:03:06,620 --> 00:03:16,740
Si hacemos esto del producto escalar, en forma normal del plano, pues nos sale la ecuación que contiene a P y es perpendicular a la recta R.

49
00:03:17,340 --> 00:03:31,560
¿Cuál será la proyección? Pues no es muy complicado ver que la proyección será simplemente el punto de corte del plano y la recta.

50
00:03:31,560 --> 00:03:46,240
Eso lo he hecho aquí, pues simplemente sustituyendo en el plano las ecuaciones de la recta, me queda una ecuación en lambda, sale lambda2 y el punto B que es el 7-1,3.

51
00:03:46,240 --> 00:03:52,039
7 menos 1, 3, sería las coordenadas de la proyección ortogonal.

52
00:03:52,340 --> 00:04:02,080
Por supuesto, si lo hacemos en papel, pues aquí está con todos sus pasos para que los podáis tener,

53
00:04:03,000 --> 00:04:07,240
y ya tenemos la proyección ortogonal, que es 7 menos 1, 3.

54
00:04:08,860 --> 00:04:13,500
¿Vale? Ahora, si lo que nosotros queremos hacer es otro ejercicio,

55
00:04:13,500 --> 00:04:22,779
que sería calcular la simetría axial de P por la recta R

56
00:04:22,779 --> 00:04:25,699
bueno, pues lo que hay que hacer es, primero

57
00:04:25,699 --> 00:04:31,069
lo primero que vamos a hacer es calcular la proyección ortogonal B

58
00:04:31,069 --> 00:04:33,050
eso ya lo hemos hecho en el paso 1

59
00:04:33,050 --> 00:04:35,490
es decir, para hallar la simetría axial

60
00:04:35,490 --> 00:04:42,949
necesitamos obligatoriamente calcular la proyección ortogonal

61
00:04:42,949 --> 00:04:49,310
Y una vez que tenemos la proyección octogonal, ¿qué haremos? Pues resolvemos el problema mediante vectores.

62
00:04:49,310 --> 00:05:17,629
PP' será 2PB, PP' será 2PB, planteamos la ecuación, la resolvemos y nos queda bastante fácil que el punto P' 8 menos 1, 0 es el simétrico de P respecto de R.

63
00:05:19,310 --> 00:05:29,029
Si ahora nos vamos otra vez a GeoGebra a plantearlo, pues simplemente, si hubiéramos hecho la distancia,

64
00:05:29,129 --> 00:05:34,709
por cierto, me estoy comiendo el paso de la distancia siempre, pues el segmento pb es raíz de 10.

65
00:05:35,329 --> 00:05:36,750
Esto saldrá después.

66
00:05:38,370 --> 00:05:48,370
Y aquí tenemos la ecuación, x y z menos p igual a 2 por b menos p, sale la ecuación, resuelta 8 menos 1, 0.

67
00:05:48,370 --> 00:05:56,810
Así que así ya tenemos, pues como decíamos, el punto simétrico P' que está ahí abajo

68
00:05:56,810 --> 00:06:02,110
¿Veis P'? Por supuesto pertenece al plano también, ¿no?

69
00:06:02,110 --> 00:06:05,410
Porque sería la prolongación de esta recta

70
00:06:05,410 --> 00:06:09,649
Entonces P' es 2 por Pb

71
00:06:09,649 --> 00:06:12,329
¿De acuerdo? Seguimos

72
00:06:12,329 --> 00:06:21,350
Ahora lo que vamos a hacer es calcular la distancia entre P y la recta R usando la fórmula

73
00:06:21,350 --> 00:06:24,449
Para eso empezamos por calcular el vector AP

74
00:06:24,449 --> 00:06:34,250
Y ahora cogemos en vez del vector U cualquier punto C que esté sobre la recta

75
00:06:34,250 --> 00:06:39,449
Cualquier vector AC será un vector director de la recta

76
00:06:39,449 --> 00:06:42,170
Cualquiera será un vector director de la recta

77
00:06:42,170 --> 00:06:48,910
al que teníamos antes, que era 3, menos 1, 1, aquí lo tenéis, pero cualquiera es un vector directo.

78
00:06:48,910 --> 00:07:02,269
Si yo construyo un polígono paralelogramo de lados, el vector director y el vector AP,

79
00:07:02,269 --> 00:07:16,329
me doy cuenta que, por un lado, el área de ese paralelogramo es el producto vectorial, lógicamente, de AC por AP.

80
00:07:18,329 --> 00:07:24,649
En mi caso, pues he hecho el vector AP aquí, he hecho el producto vectorial por U y he hecho su módulo.

81
00:07:24,649 --> 00:07:35,509
O sea que este área, en el caso de que lo ponga así, sería raíz de 110, el área de este paralelogramo.

82
00:07:36,110 --> 00:07:38,610
Lógicamente, si muevo C, pues sería cada vez más grande.

83
00:07:38,810 --> 00:07:40,550
Aquí lo tenemos, va saliendo el numerito.

84
00:07:41,149 --> 00:07:48,430
Pero lo que lo vamos a comparar es con que, por otro lado, el área del paralelogramo, lógicamente, es base por altura.

85
00:07:49,029 --> 00:07:52,050
La base es AC y la altura es PB.

86
00:07:52,050 --> 00:08:05,810
De tal manera que ponga C donde lo ponga, el área va a ser siempre AC, el módulo de AC, por la distancia de P a R.

87
00:08:06,350 --> 00:08:13,810
Y eso es lo que va a permitir la fórmula de la distancia de P a R como el módulo del producto vectorial de U por AP partido de U.

88
00:08:14,189 --> 00:08:21,829
Donde U puede ser cualquier vector director de la recta, pero en particular puede ser el que ya teníamos desde el principio.

89
00:08:21,829 --> 00:08:24,550
no hay ningún problema para eso

90
00:08:24,550 --> 00:08:30,209
y así es como calculamos la distancia

91
00:08:30,209 --> 00:08:32,610
que nos vuelve a dar raíz de 10

92
00:08:32,610 --> 00:08:34,970
y nos vuelve a dar toda la distancia

93
00:08:34,970 --> 00:08:38,269
de las tres maneras nos ha dado raíz de 10

94
00:08:38,269 --> 00:08:41,210
si nosotros nos vamos al papel

95
00:08:41,210 --> 00:08:46,529
pues podemos lógicamente calcular aquí la distancia

96
00:08:46,529 --> 00:08:49,210
usando el segmento en el 1

97
00:08:49,210 --> 00:08:50,830
módulo de pb

98
00:08:50,830 --> 00:08:54,929
y aquí lo he hecho calculándolo con la fórmula

99
00:08:54,929 --> 00:08:57,830
lógicamente habría que hacer el vector AP

100
00:08:57,830 --> 00:09:01,929
el módulo del producto vectorial U por AP

101
00:09:01,929 --> 00:09:04,970
y sustituir en la fórmula

102
00:09:04,970 --> 00:09:08,649
por si a alguno le parece diferente

103
00:09:08,649 --> 00:09:11,690
aquí lo que he querido hacer

104
00:09:11,690 --> 00:09:16,269
es de todas las construcciones que hemos hecho

105
00:09:16,269 --> 00:09:21,149
mostraros lo que significa cada paso

106
00:09:21,149 --> 00:09:25,669
metido en un rectángulo azul

107
00:09:25,669 --> 00:09:31,970
tenemos hacerlo calculando la proyección ortogonal

108
00:09:31,970 --> 00:09:35,129
y la longitud del segmento

109
00:09:35,129 --> 00:09:39,429
y en moradito tenemos la fórmula

110
00:09:39,429 --> 00:09:43,889
pues como podéis entender en la mayoría de los casos

111
00:09:43,889 --> 00:09:47,870
es mucho más rápido hacerlo con la fórmula

112
00:09:47,870 --> 00:09:50,370
si la recuerdo, me la sé de memoria

113
00:09:50,370 --> 00:09:55,870
que haciendo geometría y calculando realmente

114
00:09:55,870 --> 00:10:02,470
el plano perpendicular, el punto de corte

115
00:10:02,470 --> 00:10:04,309
y la distancia del segmento

116
00:10:04,309 --> 00:10:07,509
y hasta aquí esto