1
00:00:01,070 --> 00:00:18,789
Bueno, vamos con la parte más difícil del tema de las potencias. Son las propiedades de las potencias. Esta primera ya la conocemos porque era la definición de potencia. Si tengo a por a por a por a, pues multiplicándose muchas veces, lo escribimos como a elevado a n. Y n es el número de veces que se estaba multiplicando.

2
00:00:18,789 --> 00:00:27,309
¿Vale? De aquí se deriva la primera propiedad. a elevado a 1 es que simplemente hay una a. ¿Vale? Por ejemplo, 7 elevado a 1 es 7.

3
00:00:27,649 --> 00:00:35,170
O al revés, si tengo un 6, pues es como si pusiera 6 elevado a 1. O sea que los números que no ponga el exponente, en el fondo del exponente, es un 1.

4
00:00:36,090 --> 00:00:45,429
La siguiente propiedad es sencilla pero extraña. Cualquier número elevado a 0 es 1. O sea, 7 elevado a 0 es 1. 4 elevado a 0 es 1.

5
00:00:45,429 --> 00:00:54,009
Cualquier número elevado a 0 es 1. Esto es un poco raro, intentaremos ver después una pequeña demostración. Colocamos aquí estas propiedades y seguimos.

6
00:00:54,829 --> 00:01:06,510
Venga, una importante. a elevado a m por a elevado a n es igual a a elevado a, y sumo los exponentes, m más n. Por ejemplo, 5 elevado a 3 por 5 elevado a 4,

7
00:01:06,510 --> 00:01:09,390
pues sumo los exponentes y es como 5 elevado a 7.

8
00:01:09,829 --> 00:01:13,269
Importante, esto se cumple si la base es la misma, que es 5, ¿vale?

9
00:01:14,010 --> 00:01:19,989
Por ejemplo, 2 elevado a 3 por 2 por 2 elevado a 6 es igual a, sumad exponentes, os sale,

10
00:01:20,969 --> 00:01:25,450
recordad que el 2 del centro, que no pone nada, es como si el exponente fuera un 1.

11
00:01:25,790 --> 00:01:30,290
Entonces si sumáis es 3 más 1, 4 más 6, 10, ¿vale? Cuidado con eso.

12
00:01:31,030 --> 00:01:34,950
¿Por qué? Pues fijaos, 2 elevado a 3 es como si fuera 2 por 2 por 2.

13
00:01:34,950 --> 00:01:45,930
Aquí tenemos un 2, que es un 2, no pone nada, pero hay un 2. Y aquí tendríamos 6 doses. Entonces, si os dais cuenta, si multiplicamos todos esos, en el fondo estamos multiplicando 10 doses.

14
00:01:46,310 --> 00:01:58,510
¿Lo veis la suma? Esa es la razón por la que esta propiedad es así. Así que la colocamos aquí, siguiente propiedad. A elevado a m entre, ahora dividimos, a elevado a n, pues los exponentes se restan.

15
00:01:58,510 --> 00:02:11,569
es a elevado a m menos n. Ejemplo, 5 elevado a 8 entre 5 elevado a 6, pues resto de los exponentes es 5 elevado a 2. 2 elevado a 3 entre 2, ojo que ese 2 no pone exponente,

16
00:02:11,689 --> 00:02:21,990
pero si no pone nada es que es un 1. Entonces, 3 menos 1, 2. ¿Vale? 4 elevado a 5 entre 4 elevado a 9, pues resto, y 5 menos 9 es menos 4. ¿Qué se le va a hacer?

17
00:02:21,990 --> 00:02:31,169
Si da negativo, da negativo, ¿vale? Lo tengáis en medio. 5 menos 9, menos 4. Mirad, vamos a quedarnos un poco con esta demostración para ver por qué esta propiedad es así.

18
00:02:31,550 --> 00:02:41,050
5 elevado a 8 es como si hubiera 8 5s arriba entre 5 elevado a 6, que es como si hubiera 6 5s abajo, ¿vale? Es como si podemos colocar esta división de esta manera.

19
00:02:41,050 --> 00:02:52,310
Y entonces, mirad los primeros 5. En el fondo podría dividir 5 entre 5, que es 1. Y el siguiente 5 también, 5 entre 5 es 1. Así se van tachando, tachando, pero ¿qué pasa?

20
00:02:52,330 --> 00:03:01,050
Que en el piso de arriba había 8 y en el de abajo 6. Cuando voy tachando, al final quedan, o sobreviven, por así decirlo, dos 5s arriba. Por eso los exponentes se tachan, ¿no?

21
00:03:01,050 --> 00:03:06,349
5 elevado a 8 entre 5 elevado a 6, se van dividiendo, dividiendo, y queda 5 elevado a 2.

22
00:03:09,090 --> 00:03:13,169
Mirad ahora esta extraña mostración. Por ejemplo, ¿cuánto sería 2 elevado a 3 entre 2 elevado a 3?

23
00:03:13,270 --> 00:03:20,530
Por una parte, nos olvidamos de las potencias. 2 elevado a 3 es como 2 por 2 por 2, entonces sería como 8 entre 8, que es 1.

24
00:03:20,770 --> 00:03:27,270
¿Estáis de acuerdo con eso? Pero por otra parte, si hacemos caso a la propiedad que dice que hay que restar los exponentes, sería 2 elevado a 0.

25
00:03:27,270 --> 00:03:31,110
entonces si os dais cuenta, 1 es lo mismo que 2 elevado a 0

26
00:03:31,110 --> 00:03:34,270
y más o menos así podemos demostrar esta propiedad tan rara

27
00:03:34,270 --> 00:03:37,430
que decía que cada número elevado a 0 es 1

28
00:03:37,430 --> 00:03:40,090
bueno, pues colocamos aquí esta propiedad

29
00:03:40,090 --> 00:03:40,930
vamos con la siguiente

30
00:03:40,930 --> 00:03:43,030
ahora, fijaos que las bases cambian

31
00:03:43,030 --> 00:03:45,590
es a y b, pero los exponentes son el mismo

32
00:03:45,590 --> 00:03:48,569
entonces, a elevado a m por b elevado a m

33
00:03:48,569 --> 00:03:52,409
es como si multiplico a por b y lo elevo a m

34
00:03:52,409 --> 00:03:55,789
y esta propiedad tiene sentido también al revés

35
00:03:55,789 --> 00:04:03,150
Si me encuentro con un paréntesis que pone a por b elevado a m, pues ese exponente m, ¿para quién es? Pues para los dos, para a y para b.

36
00:04:03,289 --> 00:04:12,509
O sea, es como si pusiera a elevado a m por b elevado a m. Ejemplos con números, que es más fácil. 5 elevado a 8 por 3 elevado a 8, como es el mismo exponente,

37
00:04:12,650 --> 00:04:22,649
pues puedo multiplicar. Es 15 elevado a 8, ¿vale? O si me encuentro entre paréntesis 7 por x elevado a 2, ¿para quién es ese 2? ¿Para el 7 o para el x?

38
00:04:22,649 --> 00:04:32,550
Pues para los dos. Es como si fuera 7 elevado a 2 por x elevado a 2. Fijaos que ya he puesto 49, porque 7 elevado a 2 no es 14, es 7 por 7, que es 49.

39
00:04:34,149 --> 00:04:42,629
Coloco aquí esta propiedad. La siguiente es parecida, pero con la división a elevado a m entre b elevado a m, si tiene el mismo exponente, puedo dividir las bases.

40
00:04:42,829 --> 00:04:51,069
Es a entre b elevado a m. O, si me encuentro primero el paréntesis, pues ¿para quién es ese exponente? ¿Es a m para la a o para la b? Para los dos.

41
00:04:51,069 --> 00:04:59,230
Ejemplos, 12 elevado a 8 entre 3 elevado a 8, pues puedo dividir 12 entre 3, sería 4 elevado a 8

42
00:04:59,230 --> 00:05:06,170
O si me encuentro el paréntesis, 3 entre 5 elevado a 2, ¿quién está elevado a 2, el 3 o el 5? Pues los dos

43
00:05:06,170 --> 00:05:14,769
Por eso lo han puesto entre paréntesis, entonces sería, fijaos, 9 partido de 25, 9 que es 3 por 3 y 25 que es 5 por 5

44
00:05:14,769 --> 00:05:17,750
¿Vale? De nuevo aquí va esa propiedad

45
00:05:17,750 --> 00:05:19,550
Una nueva propiedad

46
00:05:19,550 --> 00:05:21,269
La potencia de una potencia

47
00:05:21,269 --> 00:05:23,050
Si tengo a elevado a m

48
00:05:23,050 --> 00:05:24,730
Y a la vez elevado a n

49
00:05:24,730 --> 00:05:27,170
Entonces los exponentes se multiplican

50
00:05:27,170 --> 00:05:29,129
¿Vale? Por ejemplo si tengo

51
00:05:29,129 --> 00:05:31,629
5 elevado a 3 y a la vez elevado a 4

52
00:05:31,629 --> 00:05:33,730
Pues multiplico 5 elevado a 12

53
00:05:33,730 --> 00:05:35,769
¿Explicación? Pues fijaos

54
00:05:35,769 --> 00:05:39,550
5 elevado a 3 elevado a 4

55
00:05:39,550 --> 00:05:41,089
Es como si tuviéramos 4 veces

56
00:05:41,089 --> 00:05:43,470
5 elevado a 3, 5 elevado a 3, 5 elevado a 3 y 5 elevado a 3

57
00:05:43,470 --> 00:06:02,709
Y a su vez, cada 5 elevado a 3 es como si tuviera 3 5s. 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5. Total, que al final multiplicas 3 por 4, que es 12. Tienes 12 5s ahí, ¿vale? Un nuevo ejemplo. 2 elevado a 3 elevado a menos 2, pues sin miedo, multiplicamos 3 por menos 2 es menos 6, pues es 2 elevado a menos 6. Estupendo.

58
00:06:02,709 --> 00:06:06,430
4 elevado a 3 elevado a 0 elevado a 2

59
00:06:06,430 --> 00:06:08,069
Bueno, pues voy multiplicando exponentes

60
00:06:08,069 --> 00:06:09,410
Y en el fondo esto tiene trampa

61
00:06:09,410 --> 00:06:11,209
Porque 3 por 0 es 0

62
00:06:11,209 --> 00:06:12,889
Pues es 4 elevado a 0

63
00:06:12,889 --> 00:06:15,069
Que por cierto, si os acordáis, era 1

64
00:06:15,069 --> 00:06:19,089
Antes de terminar, aclaraciones importantísimas

65
00:06:19,089 --> 00:06:21,689
Las propiedades son más o menos sencillas

66
00:06:21,689 --> 00:06:23,029
Pero también es importante saber

67
00:06:23,029 --> 00:06:24,670
Que no es propiedad

68
00:06:24,670 --> 00:06:26,990
Lo que no salgan las propiedades no se puede hacer

69
00:06:26,990 --> 00:06:28,509
Entonces, recordamos

70
00:06:28,509 --> 00:06:30,490
Si las potencias tienen la misma base

71
00:06:30,490 --> 00:06:32,189
El resultado tiene la misma base

72
00:06:32,189 --> 00:06:44,449
O sea, 3 elevado a 5 por 3 elevado a 4, pues el resultado era 3 elevado a 9. O 3 elevado a 5 entre 3 elevado a 4, el resultado es 3 elevado a 1, aunque no he puesto nada.

73
00:06:45,310 --> 00:06:55,209
Si las potencias tienen el mismo exponente, el resultado también tiene el mismo exponente. Por ejemplo, 3 elevado a 5 por 2 elevado a 5, la base no es la misma, pero el exponente sí.

74
00:06:55,209 --> 00:07:11,990
Entonces podría hacer 3 por 2, 6 elevado a 5. O 6 elevado a 5 entre 3 elevado a 5, pues puedo dividir, es 2 elevado a 5. Pero si no tienen nada en común, si no tienen los exponentes ni las mismas bases, no se puede aplicar ninguna propiedad, solo operar.

75
00:07:11,990 --> 00:07:23,389
Por ejemplo, 3 elevado a 5 por 2 elevado a 4, pues no sé lo que es. Se puede saber si cojo la calculadora y lo opero. 3 elevado a 5 y 2 elevado a 4, que en este caso es, pues fíjate, 243 por 16.

76
00:07:23,569 --> 00:07:29,089
Pero que eso no nos interesa. Seguramente no os encontréis con cosas así, porque lo que interesa en este tema es manejar potencias.

77
00:07:30,089 --> 00:07:36,910
Y luego, importantísimo, si os dais cuenta, ninguna de estas propiedades habla de la suma o la resta de potencias. Así que mucho cuidado.

78
00:07:36,910 --> 00:07:39,089
2 elevado a 5 más

79
00:07:39,089 --> 00:07:40,910
2 elevado a 3 no es nada

80
00:07:40,910 --> 00:07:43,050
o por lo menos no es 2 elevado a 8

81
00:07:43,050 --> 00:07:45,110
¿vale? será lo que sea si opero

82
00:07:45,110 --> 00:07:46,410
2 elevado a 5 por una parte

83
00:07:46,410 --> 00:07:48,949
tampoco es 4 elevado a 8, no se puede hacer nada

84
00:07:48,949 --> 00:07:51,250
para agrupar ¿vale? es por 2 elevado a 5

85
00:07:51,250 --> 00:07:52,990
que es 32 más 2 elevado a 3

86
00:07:52,990 --> 00:07:54,430
que es 8, pues estupendo lo que dé

87
00:07:54,430 --> 00:07:56,629
pero no hay ninguna propiedad que lo pueda agrupar

88
00:07:56,629 --> 00:07:58,209
de la misma manera con la resta

89
00:07:58,209 --> 00:08:00,490
5 elevado a 4 menos 2 elevado a 4

90
00:08:00,490 --> 00:08:02,550
no es 3 elevado a 4

91
00:08:02,550 --> 00:08:04,610
ni es 3 elevado a 0

92
00:08:04,610 --> 00:08:06,389
ni es nada extraño, es lo que sea

93
00:08:06,389 --> 00:08:08,829
5 elevado a 4, pues que es 625

94
00:08:08,829 --> 00:08:10,629
menos 2 elevado a 4, 16, ¿vale?