1
00:00:00,560 --> 00:00:07,179
En este vídeo vamos a repasar las reglas de divisibilidad por los principales números.

2
00:00:07,660 --> 00:00:12,080
Primero vamos a ver algunas reglas de divisibilidad por números primos,

3
00:00:12,199 --> 00:00:16,500
porque son las que más se utilizan luego posteriormente en la descomposición en factores,

4
00:00:17,120 --> 00:00:23,719
y luego repasamos también algunas otras reglas de divisibilidad por otros números que no son primos

5
00:00:23,719 --> 00:00:28,940
y otras que se utilizan muy poco y que son raras, algunas seguro que no has escuchado nunca.

6
00:00:29,780 --> 00:00:33,359
Vamos a empezar con la regla de divisibilidad por 2.

7
00:00:33,359 --> 00:00:38,960
Esta es muy sencilla. Un número es divisible por 2 si su última cifra es un número par.

8
00:00:39,299 --> 00:00:42,920
Las cifras pares son 0, 2, 4, 6 y 8.

9
00:00:43,479 --> 00:00:54,140
Por lo tanto, por ejemplo, son números divisibles por 2 el 48 porque termina en 8, el 24 porque termina en 4, 132 termina en 2.

10
00:00:54,140 --> 00:01:02,399
No me hace falta hacer la división por 2, simplemente mirar la última cifra como el 76 que termina en 6 o el 10 que termina en 0

11
00:01:02,399 --> 00:01:08,579
y comprobar que su última cifra es una cifra par y ya puedo decir que esos números son divisibles por 2.

12
00:01:09,420 --> 00:01:15,680
Y efectivamente también mirando solamente el número, si no termina en cifra par, pues no son divisibles por 2.

13
00:01:15,680 --> 00:01:23,840
Por ejemplo, el 37 que termina en 7, el 15 que termina en 5, el 2763 que termina en 3.

14
00:01:24,180 --> 00:01:29,159
Como no terminan en cifra par, al hacer la división por 2 no es una división exacta.

15
00:01:29,340 --> 00:01:30,900
No necesito ni hacer la división.

16
00:01:31,420 --> 00:01:35,439
Simplemente mirando el número, pues ya lo puedo afirmar que no son divisibles por 2.

17
00:01:36,900 --> 00:01:42,079
La regla de divisibilidad por 5 es muy parecida, porque simplemente también mirando el número

18
00:01:42,079 --> 00:01:48,400
y viendo si termina en 0 o en 5, pues puedo decir que el número es divisible por 5.

19
00:01:48,760 --> 00:01:56,260
Por ejemplo, el 40, que termina en 0, el 25, que termina en 5, el 370, que también termina en 0,

20
00:01:56,680 --> 00:02:02,599
o el 85, son números divisibles por 5. Su última cifra es 0 o 5.

21
00:02:03,340 --> 00:02:08,439
Y, por ejemplo, ¿no serían divisibles por 5? Pues el 43, porque termina en 3,

22
00:02:08,439 --> 00:02:13,479
el 17 porque termina en 7, 374 porque termina en 4.

23
00:02:15,139 --> 00:02:20,360
La regla de divisibilidad por 3, pues lleva un poco más de operaciones,

24
00:02:20,599 --> 00:02:25,680
no tan difícil como la división, pero vamos a tener que realizar algunas sumas.

25
00:02:26,300 --> 00:02:31,699
Bueno, se dice que un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

26
00:02:32,080 --> 00:02:37,319
Sabemos que los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18.

27
00:02:37,460 --> 00:02:41,620
Repasando la tabla del 3, pues sabemos los números que son múltiplos de 3.

28
00:02:42,259 --> 00:02:45,259
Por ejemplo, son divisibles por 3 el 525.

29
00:02:45,780 --> 00:02:50,560
¿Por qué? Si sumo 5 más 2 más 5, pues da 12.

30
00:02:50,560 --> 00:02:54,080
Y 12 aparece en la tabla del 3, es múltiplo de 3 la suma.

31
00:02:54,159 --> 00:02:57,219
Por lo tanto, 525 es divisible por 3.

32
00:02:57,879 --> 00:03:04,699
24, pues 2 más 4 es 6. 6 aparece en la tabla del 3, el múltiplo de 3, por lo tanto, el 24 también.

33
00:03:06,840 --> 00:03:13,319
1278, la suma de 1 más 2 más 7 más 8, pues da 18, que es múltiplo de 3.

34
00:03:13,500 --> 00:03:26,400
La suma de 4.564.839, si sumo 4 más 5 más 6 más 4 más 8 más 3 más 9, pues da 39, que es múltiplo de 3.

35
00:03:26,400 --> 00:03:29,979
3 por 13 da 39, por lo tanto este número es múltiplo de 3.

36
00:03:30,400 --> 00:03:34,300
Por ejemplo, ¿no serían divisibles por 3? 247.

37
00:03:34,479 --> 00:03:39,139
Si sumo 2 más 4 más 7, pues da 13, y 13 no es múltiplo de 3.

38
00:03:39,819 --> 00:03:45,340
El 46 tampoco. 4 más 6 es 10, tampoco es 10, es múltiplo de 3.

39
00:03:46,000 --> 00:03:49,300
Y el 124.567 tampoco.

40
00:03:49,300 --> 00:03:56,460
Si sumo 1 más 2 más 4 más 5 más 6 más 7, pues da 25, que no es múltiplo de 3.

41
00:03:58,020 --> 00:04:04,500
La regla de divisibilidad por 7 es un poco rara y la mayoría de las veces no se suele explicar.

42
00:04:05,180 --> 00:04:10,599
Casi se termina antes dividiendo el número que queremos comprobar si es divisible por 7,

43
00:04:11,139 --> 00:04:14,139
haciendo la división por 7, que aplicando la regla.

44
00:04:14,400 --> 00:04:15,860
Pero vamos a explicarla.

45
00:04:16,399 --> 00:04:20,160
Bueno, si tengo un número y quiero comprobar si es divisible por 7,

46
00:04:20,480 --> 00:04:25,120
pues lo que tengo que hacer es coger el número, quitarle la cifra de las unidades

47
00:04:25,120 --> 00:04:30,620
y al número que me queda le resto el doble de la cifra de las unidades que he quitado.

48
00:04:31,079 --> 00:04:36,759
Si esa resta me da 0 o un múltiplo de 7, los múltiplos de 7 son 7, 14, 21,

49
00:04:37,160 --> 00:04:41,439
los que aparecen en la tabla del 7, pues entonces el número es divisible por 7.

50
00:04:41,439 --> 00:05:00,639
Por ejemplo, 364. Si quito las unidades, si quito el 4, me queda 36. El doble de las unidades, el doble de 4, es 8. Pues 36 menos 8 me da 28, que es múltiplo, como vemos aquí en los que he puesto, múltiplo de 7.

51
00:05:01,500 --> 00:05:06,100
El 91, pues si quito la cifra de las unidades, me queda solo el 9.

52
00:05:06,660 --> 00:05:10,379
El doble de 1, que es el doble de la cifra de las unidades, es 2.

53
00:05:10,579 --> 00:05:12,899
Por lo tanto, 9 menos 2 es 7.

54
00:05:13,199 --> 00:05:17,800
7 es múltiplo de 7, por lo tanto, el 91 es divisible por 7.

55
00:05:18,480 --> 00:05:22,339
El 126, si quito la cifra de las unidades, me queda el 12.

56
00:05:22,959 --> 00:05:26,639
El doble de las cifras de las unidades, el doble de 6, también es 12.

57
00:05:26,639 --> 00:05:34,879
Pues 12 menos 12, 0. Pues es divisible por 7, porque si sale 0 o un múltiplo de 7, el número es divisible por 7.

58
00:05:35,379 --> 00:05:41,860
Vamos a comprobar alguno que no lo sea. El 173, pues si quito el 3, me queda 17.

59
00:05:42,579 --> 00:05:53,319
El doble de 3 es 6. 17 menos 6 es 11. El 11 no es múltiplo de 7, no aparece en la lista de los resultados de la tabla del 7.

60
00:05:54,040 --> 00:05:57,459
El 82, si quito las unidades, me queda solo el 8.

61
00:05:58,060 --> 00:05:59,500
El doble de 2 es 4.

62
00:05:59,740 --> 00:06:03,220
8 menos 4, 4, que no es múltiplo de 7.

63
00:06:05,279 --> 00:06:09,939
1255, si quito el 5 de las unidades, me queda 125.

64
00:06:10,439 --> 00:06:17,680
El doble de 5 es 10, pues 125 menos 10 es 115, y 115 no es múltiplo de 7.

65
00:06:18,220 --> 00:06:20,660
¿Por qué sé que el 115 no es múltiplo de 7?

66
00:06:20,660 --> 00:06:27,560
pues puedo aplicar, ya que es un número grande y no aparece en los resultados de la tabla de 7 que conocemos,

67
00:06:28,139 --> 00:06:32,000
pues puedo aplicar la misma regla para ver que el 115 no es múltiplo de 7.

68
00:06:32,279 --> 00:06:38,620
Si quito la cifra de las unidades me queda 11, el doble de la cifra de las unidades, el doble de 5 sería 10,

69
00:06:38,720 --> 00:06:47,879
y 11 menos 10, 1. Luego el 115 no es múltiplo de 7, por eso como esta resta de 125 menos el doble de 5, 10,

70
00:06:47,879 --> 00:06:50,879
me quedaba 115, pues no era múltiplo de 7.

71
00:06:52,600 --> 00:06:57,100
La regla para saber cuándo un número es divisible por 11 también es un poco rara.

72
00:06:57,720 --> 00:07:03,279
Lo que tenemos que hacer es coger las cifras que están en las posiciones impares,

73
00:07:03,860 --> 00:07:07,560
primera, tercera, quinta, séptima, etcétera, del número,

74
00:07:08,459 --> 00:07:14,839
luego coger las cifras que están en las posiciones pares, segunda, cuarta, sexta, si es un número muy largo,

75
00:07:15,579 --> 00:07:19,680
sumar las cifras impares, sumar las cifras de las posiciones pares,

76
00:07:19,759 --> 00:07:23,060
de las posiciones, no las cifras pares o impares, de las posiciones,

77
00:07:23,779 --> 00:07:27,199
y si esa resta me da 0 o un múltiplo de 11,

78
00:07:27,500 --> 00:07:29,759
los múltiplos de 11 los que aparecen en la tabla del 11,

79
00:07:29,759 --> 00:07:34,800
que serían 11, 22, 33, 44, 55, etc.,

80
00:07:34,800 --> 00:07:36,980
pues el número sería divisible por 11.

81
00:07:37,120 --> 00:07:38,540
Vamos a verlo con algún ejemplo.

82
00:07:39,079 --> 00:07:43,740
1.584, la primera cifra es 1, la tercera cifra es 8.

83
00:07:43,740 --> 00:07:46,420
Si yo la sumo, 1 y 8, 9.

84
00:07:46,980 --> 00:07:50,379
Las cifras pares, la segunda, 5.

85
00:07:50,740 --> 00:07:54,060
La cuarta, 4. 5 más 4, 9.

86
00:07:54,660 --> 00:07:59,319
Si resto las cifras impares, de posiciones impares, 9,

87
00:07:59,759 --> 00:08:04,199
menos las de las posiciones pares, 9, 9 menos 9, 0.

88
00:08:04,620 --> 00:08:08,920
Pues el número 1584 es divisible por 11.

89
00:08:09,839 --> 00:08:11,379
El 759.

90
00:08:11,379 --> 00:08:18,459
Las posiciones impares, primera 7, tercera 9, 7 más 9, 16

91
00:08:18,459 --> 00:08:25,759
Las de las posiciones pares, la segunda, solo tengo 1, el 5, pues 16 menos 5, 11

92
00:08:25,759 --> 00:08:32,000
Pues es un múltiplo de 11, por lo tanto es 759, es múltiplo de 11 o es divisible por 11

93
00:08:32,000 --> 00:08:36,899
La siguiente, 5.263.918

94
00:08:36,899 --> 00:08:46,159
Si sumo las posiciones, las cifras de las posiciones impares, 5 más 6 más 9 más 8, pues me da 28.

95
00:08:46,620 --> 00:08:55,720
Las de las posiciones pares, 2 más 3 más 1, pues da 6. 28 menos 6, 22, que es un múltiplo de 11.

96
00:08:56,620 --> 00:08:59,600
Por ejemplo, ¿no sería el múltiplo de 11 el 744?

97
00:09:00,460 --> 00:09:05,220
En este caso, las cifras de las posiciones impares, 7 y 4, 11.

98
00:09:05,600 --> 00:09:09,679
Las de las posiciones pares, la segunda en este caso nada más, el 4.

99
00:09:10,259 --> 00:09:12,919
Pues 11 menos 4 es 7, que no es múltiplo de 11.

100
00:09:13,700 --> 00:09:15,480
3.683.

101
00:09:15,899 --> 00:09:19,700
Las posiciones impares, 3 y 8, 11.

102
00:09:20,100 --> 00:09:23,519
Las posiciones pares, 6 y 3, 9.

103
00:09:24,019 --> 00:09:26,519
Pues 11 menos 9 da 2, que no es múltiplo de 11.

104
00:09:27,399 --> 00:09:29,580
83.458.

105
00:09:29,580 --> 00:09:34,899
Las posiciones impares, primera 8, tercera 4.

106
00:09:35,220 --> 00:09:38,960
Quinta, 8, pues 8 más 4 más 8, 20.

107
00:09:39,559 --> 00:09:44,240
Las de las posiciones pares, segunda, 3, cuarta, 5.

108
00:09:44,580 --> 00:09:45,460
3 y 5, 8.

109
00:09:45,919 --> 00:09:47,700
20 menos 8, 12.

110
00:09:47,960 --> 00:09:48,919
No es múltiplo de 11.

111
00:09:50,500 --> 00:09:55,299
Vemos ahora algunas otras reglas de divisibilidad por otros números que no son primos.

112
00:09:55,460 --> 00:09:56,500
Por ejemplo, el 4.

113
00:09:56,500 --> 00:10:01,279
Se utilizan menos porque generalmente solo utilizamos las reglas de divisibilidad

114
00:10:01,279 --> 00:10:05,139
cuando tenemos que descomponer en factores primos.

115
00:10:05,220 --> 00:10:08,639
Y el 4, al no ser un número primo, pues se utiliza poco.

116
00:10:09,320 --> 00:10:14,500
Bueno, un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras es múltiplo de 4.

117
00:10:14,919 --> 00:10:19,919
Por ejemplo, el 724 termina en 24, que es un múltiplo de 4.

118
00:10:20,580 --> 00:10:27,919
El 30.508, como termina en 08, pues es múltiplo de 4 el número entero.

119
00:10:28,580 --> 00:10:33,240
132 termina en 32, que es múltiplo de 4, pues el 132 también.

120
00:10:33,240 --> 00:10:39,639
No importa las cifras anteriores que haya, todo el número que termina en 32, por ejemplo, es divisible por 4.

121
00:10:39,919 --> 00:10:44,740
1.516 termina en 16, por lo tanto, es divisible por 4.

122
00:10:45,340 --> 00:10:53,299
No son múltiplos de 4, no son divisibles por 4, por ejemplo, el 126, porque termina en 26, y el 26 no es múltiplo de 4.

123
00:10:53,899 --> 00:11:02,059
El 2.343, el 43 no es múltiplo de 4, ni el 782, el 82 tampoco es múltiplo de 4,

124
00:11:02,059 --> 00:11:05,399
Por lo tanto, estos números no son divisibles por 4.

125
00:11:06,519 --> 00:11:09,740
La siguiente es la regla de divisibilidad por 6.

126
00:11:09,919 --> 00:11:15,100
Un número es divisible por 6 cuando a la vez es divisible por 2 y divisible por 3.

127
00:11:15,440 --> 00:11:19,740
Por ejemplo, el 324 es divisible por 2. ¿Por qué?

128
00:11:19,940 --> 00:11:22,379
Porque termina en cifra par, termina en 4.

129
00:11:23,139 --> 00:11:29,679
Y también es divisible por 3 porque si sumo sus cifras, 3 más 2 más 4, pues da 9.

130
00:11:29,679 --> 00:11:36,879
Por lo tanto, el número es divisible por 2 y por 3 a la vez, pues 324 es divisible por 6.

131
00:11:37,559 --> 00:11:42,679
El 78 termina en 8, que es cifra par, por lo tanto, es divisible por 2.

132
00:11:43,159 --> 00:11:48,580
Si sumo sus cifras, 7 y 8 es 15, que es múltiplo de 3, por lo tanto, es divisible por 3.

133
00:11:48,779 --> 00:11:52,159
Pues es divisible por 2 y por 3, es divisible por 6.

134
00:11:52,919 --> 00:11:56,559
No serían divisibles por 6 el 165, ¿por qué?

135
00:11:56,559 --> 00:11:59,580
Porque ya no es divisible por 2, no termina en cifra par.

136
00:11:59,679 --> 00:12:06,720
pues no hace falta seguir comprobando. Ni el 46. Este sí es divisible por 2, pero no es divisible por 3,

137
00:12:06,879 --> 00:12:15,580
porque 4 y 6 son 10 y 10 no es múltiplo de 3. Por lo tanto, el 46 no es divisible por 3 y, por lo tanto, no es divisible por 6.

138
00:12:16,440 --> 00:12:24,419
La regla de divisibilidad por 9 es muy similar a la del 3, porque lo que hay que comprobar es que la suma de sus cifras del número

139
00:12:24,419 --> 00:12:29,179
sea un múltiplo de 9, es decir, salga en los resultados de la tabla del 9.

140
00:12:29,480 --> 00:12:33,240
9, 18, 27, 36, 45, 54.

141
00:12:33,440 --> 00:12:34,840
Por ejemplo, 135.

142
00:12:35,559 --> 00:12:38,100
Si sumo 1 más 3 más 5 me da 9.

143
00:12:38,360 --> 00:12:44,820
Es múltiplo de 9, por lo tanto, pues es múltiplo o divisible por 9 el 135.

144
00:12:45,700 --> 00:12:47,440
2.556.

145
00:12:47,600 --> 00:12:51,580
Si sumo 2 más 5 más 5 más 6, pues me da 18.

146
00:12:51,580 --> 00:12:57,700
18 aparece en la tabla del 9, por lo tanto el 2.556 es divisible por 9.

147
00:12:58,700 --> 00:13:03,980
Por ejemplo, no serían divisibles por 9 o no serían múltiplos de 9 el 147.

148
00:13:04,179 --> 00:13:09,159
Si sumo 1 más 4 más 7 me da 12, que no es múltiplo de 9.

149
00:13:09,779 --> 00:13:19,440
El número 42.456, si sumo sus cifras me da 21, que no es múltiplo de 9, por lo tanto este número no es divisible por 9.

150
00:13:19,440 --> 00:13:23,799
La regla de divisibilidad por 10 es muy sencilla

151
00:13:23,799 --> 00:13:29,059
porque aunque se puede definir como que sea a la vez divisible por 2 y divisible por 5

152
00:13:29,059 --> 00:13:34,500
es mucho más cómodo simplemente aprenderse que un número es divisible por 10 si termina en 0

153
00:13:34,500 --> 00:13:41,100
Por ejemplo, el 170 yo podía comprobar que es divisible por 2 porque termina en cifra par, el 0

154
00:13:41,100 --> 00:13:44,879
y es divisible por 5 porque termina en 0 o en 5

155
00:13:44,879 --> 00:13:51,519
Luego es divisible por 2 y por 5, por lo tanto, el 170 cumple las dos condiciones, sería divisible por 10.

156
00:13:51,820 --> 00:13:58,220
Pero también podría decir, por ejemplo, el 90, que como el 90 termina en 0, pues es divisible por 10.

157
00:13:58,820 --> 00:14:04,659
No serían divisibles por 10 el 85, ¿por qué? Porque no cumple que sea divisible por 2.

158
00:14:05,179 --> 00:14:10,220
Es divisible por 5, pero no termina en 0, por lo tanto, no es divisible por 2.

159
00:14:10,679 --> 00:14:14,340
El 142 es divisible por 2, pero no es divisible por 5.

160
00:14:14,879 --> 00:14:22,460
Y también podría decir que no termina en 0, como aquí he dicho que en el 72, que como no termina por 0, pues no es divisible por 10.

161
00:14:23,960 --> 00:14:32,080
Y para terminar vamos a decir una un poquito también rara, es parecida a la del 7, pero es la regla de divisibilidad por 13.

162
00:14:32,080 --> 00:14:36,419
Esta prácticamente no aparece en ningún libro, en muy pocos libros.

163
00:14:36,419 --> 00:14:57,059
Un número es divisible por 13 si al número que nos dan le quitamos la cifra de las unidades y le resto al número que me queda nueve veces la cifra de las unidades, si el número que me da esa resta es 0 o un múltiplo de 13, pues el número es divisible por 13.

164
00:14:57,799 --> 00:15:01,740
Claro, los números múltiplos de 13, pues no es una tabla que se suele aprender,

165
00:15:01,740 --> 00:15:08,600
pero serían 13 por 1, 13, 13 por 2, 26, 13 por 3, 39, etcétera, etcétera, etcétera.

166
00:15:08,759 --> 00:15:12,460
Por ejemplo, sería divisible por 13 el 273.

167
00:15:12,940 --> 00:15:16,200
Si quito la cifra de las unidades, me queda el 27.

168
00:15:17,019 --> 00:15:25,179
Si ahora la cifra de las unidades, que es 3, hago 9 veces esa cifra, lo multiplico por 9, 9 por 3 es 27.

169
00:15:25,179 --> 00:15:51,039
Pues me queda 27 menos 27, por lo tanto la resta me da 0. Pues si da 0 es divisible por 13. El número 585. Si quito la cifra de las unidades me queda 58. 9 veces la cifra de las unidades, 9 por 5 sería 45. Pues 58 menos 45 me sale 13. Pues es múltiplo de 13 y por lo tanto el número es divisible por 13.

170
00:15:51,039 --> 00:15:55,519
no sería por ejemplo divisible por 13 el 192

171
00:15:55,519 --> 00:15:59,100
si quito la cifra de las unidades me queda el 19

172
00:15:59,100 --> 00:16:02,139
9 veces 2 sería 18

173
00:16:02,139 --> 00:16:04,700
que es 9 veces la cifra de las unidades

174
00:16:04,700 --> 00:16:07,519
19 menos 18 pues 1

175
00:16:07,519 --> 00:16:10,139
no es múltiplo de 13

176
00:16:10,139 --> 00:16:12,700
no es divisible por 13 el 192

177
00:16:12,700 --> 00:16:15,360
y por último el 1278

178
00:16:15,360 --> 00:16:18,740
si quito la cifra de las unidades me queda 127

179
00:16:18,740 --> 00:16:23,340
9 veces la cifra de las unidades, 9 veces 8, 72

180
00:16:23,340 --> 00:16:27,320
Si resto 127 menos 72, 55

181
00:16:27,320 --> 00:16:30,139
Y 55 no es múltiplo de 13

182
00:16:30,139 --> 00:16:32,759
Bueno, pues con esto terminamos

183
00:16:32,759 --> 00:16:33,860
Hay más reglas

184
00:16:33,860 --> 00:16:36,340
Por ejemplo, la regla de divisibilidad por 8

185
00:16:36,340 --> 00:16:38,700
Es que sus tres últimas cifras del número

186
00:16:38,700 --> 00:16:40,480
Sea divisible por 8

187
00:16:40,480 --> 00:16:43,000
Cada número tiene una regla

188
00:16:43,000 --> 00:16:45,299
Pero estas son las principales

189
00:16:45,299 --> 00:16:46,919
Incluso alguna como la del 13

190
00:16:46,919 --> 00:16:50,600
que no suelen aparecer, pero si te las aprendes, pues mucho mejor.