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Hola, ¿qué tal? Bienvenidos de nuevo a este curso de matemáticas de segundo de bachillerato.

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Este vídeo se centra en los sistemas compatibles indeterminados. Vamos a ver cómo calcular

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todas las soluciones, estas infinitas soluciones que tiene un sistema compatible indeterminado,

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y vamos a ver qué significa eso de que tengan infinitas soluciones. ¡Empezamos!

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Comencemos recordando cómo se detectaba cuando un sistema era compatible indeterminado o

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utilizando los rangos de la matriz ampliada y la matriz de coeficientes. Si tenemos un sistema con k ecuaciones y n incógnitas, para que el sistema sea compatible

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00:00:43,320 --> 00:00:51,200
los rangos de las matrices de coeficientes y de la ampliada tienen que coincidir y para que sea indeterminado el número k tiene que ser menor que la n,

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00:00:51,200 --> 00:01:03,780
es decir, tenemos que tener más incógnitas que ecuaciones. Entonces, en este caso, imaginemos que tenemos el menor de orden k, no nulo, de orden máximo,

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colocado a la izquierda del todo. ¿Eso qué va a significar? Bueno, pues que lo de la derecha de ese menor van a ser variables que, entre comillas,

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00:01:11,879 --> 00:01:21,719
nos van a sobrar para resolver el sistema, es decir, que tenemos n menos k variables fuera del menor principal y esas las tendremos que despejar a la derecha

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00:01:21,719 --> 00:01:30,780
cambiadas de signo. Bueno, entonces esto significa que vamos a tener un primer menor principal de orden k cuyo determinante sea no nulo

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00:01:30,780 --> 00:01:38,439
y eso significa, por lo tanto, que es un sistema de Cramer. Entonces, ¿qué pasa con todo lo de la derecha? Bueno, pues con todo lo de la derecha

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00:01:38,439 --> 00:01:47,079
esas variables que nos han quedado ahí van a ser n-k parámetros porque pueden tomar cualquier valor, su valor no influye a la hora de resolver el sistema.

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Vamos a verlo con un ejemplo, ahí tenéis un sistema de ecuaciones, tenemos dos ecuaciones, tenemos rango por tanto de la matriz como no son proporcionales,

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00:01:59,359 --> 00:02:07,459
Rango 2, la matrícula de coeficientes. La ampliada no puede aumentar el rango porque seguimos teniendo dos filas, así que el rango de la ampliada es 2.

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00:02:07,459 --> 00:02:17,520
Y por tanto, es un sistema compatible indeterminado porque tenemos tres incógnitas. Bueno, una vez visto esto, tendríamos que coger un menor de orden máximo, no nulo.

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Por ejemplo, ese que tenéis ahí. Pero ojo, resulta que ese, el determinante es 0. Fijaos, 1, 2, 2, 4 son proporcionales. Eso significa que si despejamos la Z a la derecha,

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ya la hemos fastidiado, estaría mal. ¿Qué tenemos que hacer? Pues buscar el menor 2 por 2 no nulo y por ejemplo puede ser ese, el formado por los coeficientes de la x y de la z.

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Eso nos da pie a despejar la y a la derecha. Bueno, pues una vez despejada tendremos la y a la derecha, a la y le podemos ya mandar el valor lambda y eso va a significar

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que pues la i va a poder tomar cualquier valor y vamos a tener entonces ahora ya el sistema pues despejado dos ecuaciones con dos incógnitas x y z y a la derecha los términos independientes pues dependiendo de un parámetro lambda.

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Aplicamos la regla de Kramer ahora, tan sencillo como eso, tened en cuenta que los términos independientes pues se tienen que colocar en la primera y en la segunda columna respectivamente para despejar la x y la z,

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nos queda la división de dos determinantes haciendo la cuenta pues nos daría pues eso que tenéis ahí ese sería el valor de la x y de la z

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bien y esta es la solución juntamos con el valor de y igual a lambda y tenemos los tres valores de la x de la y de la z

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para cualquier valor de la lambda yo voy a generar una terna de valores de x y z es decir una solución por ejemplo si la lambda vale 0

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ahí tendréis la solución, x igual a 11 partido por 5, y igual a 0, z igual a 2 partido por 5. Si os paráis un segundito, retomáis el sistema de ecuaciones,

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veréis que efectivamente esto es una solución del sistema dado en el ejemplo, el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas.

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Bien, ahora lo que vamos a ver es una interpretación geométrica de qué es lo que significa un sistema con infinitas soluciones.

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Si por ejemplo consideramos esa ecuación, vamos a empezar con un ejemplo sencillo, una ecuación con dos incógnitas, eso en el plano, sabéis que es la ecuación de una recta, el conjunto de soluciones de esa ecuación son los puntos de la recta.

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A esa ecuación se le llama ecuación cartesiana. Si ahora despejamos la ecuación como si fuese un sistema de ecuaciones compatible e indeterminado, que lo es, pues obtendríamos la solución en función del parámetro.

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Damos a la y el valor lambda y la x sería 4 menos 3 lambda. ¿Esto qué es? Bueno, pues como veis ahí, esta es la misma recta, los puntos son los mismos, las soluciones son exactamente las mismas,

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esos infinitos puntos, pero ahora dando a la lambda valores, el punto que estamos obteniendo se mueve. Mientras que una recta la podemos pensar más estática,

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un conjunto de puntos fijos, la otra la podemos considerar como que es un punto que se mueve sobre esa línea recta.

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Bien, y esto ha sido todo. Espero que os haya gustado. Nos vemos en próximos vídeos. ¡Un saludo!