1 00:00:03,819 --> 00:00:09,699 Buenas tardes. Voy a hacer unos cuantos problemas de trigonometría. 2 00:00:11,300 --> 00:00:20,019 Son problemas que son bastante laboriosos, pero no son problemas especialmente difíciles. 3 00:00:20,399 --> 00:00:31,160 Básicamente lo que tenemos que tener en cuenta son las distintas expresiones que tiene un ángulo 4 00:00:31,160 --> 00:00:38,079 cuando está en los distintos cuadrantes. Entonces, lo primero que voy a hacer es explicar 5 00:00:38,079 --> 00:00:45,340 cuál sería la expresión de un ángulo alfa que estuviera en el primer cuadrante, un ángulo 6 00:00:45,340 --> 00:00:50,640 alfa que estuviera en el segundo cuadrante, un ángulo alfa que estuviera en el tercero 7 00:00:50,640 --> 00:00:55,600 y uno que estuviera en el cuarto. Me vais a disculpar, los dibujos no son muy buenos, 8 00:00:55,600 --> 00:00:58,020 pero bueno, a ver 9 00:00:58,020 --> 00:01:00,719 he dicho mal, del primer cuadrante 10 00:01:00,719 --> 00:01:02,240 no voy a hablar, porque del primer cuadrante 11 00:01:02,240 --> 00:01:03,600 digamos que ya sabemos 12 00:01:03,600 --> 00:01:05,719 ya sabemos cómo funciona 13 00:01:05,719 --> 00:01:08,359 básicamente vamos a trabajar en el segundo cuadrante 14 00:01:08,359 --> 00:01:10,540 en el tercero y en el cuarto 15 00:01:10,540 --> 00:01:12,299 entonces, fijaos 16 00:01:12,299 --> 00:01:14,200 si yo tengo un ángulo 17 00:01:14,200 --> 00:01:15,379 en el primer cuadrante 18 00:01:15,379 --> 00:01:17,340 que se llama alfa 19 00:01:17,340 --> 00:01:18,599 quiero buscar 20 00:01:18,599 --> 00:01:21,599 qué ángulos en el segundo cuadrante 21 00:01:21,599 --> 00:01:22,920 se puedan parecer a él 22 00:01:22,920 --> 00:01:41,739 Entonces yo defino aquí mi ángulo, el ángulo lo voy a pintar, a ver, el seno lo pinto de rojo, que sería este, el coseno lo pinto de azul, que sería este de aquí. 23 00:01:41,739 --> 00:02:04,000 Este segmento sería el seno de este ángulo, que sería beta, y yo sé que su seno es positivo, que es este segmento, y que este seno corresponde al coseno. 24 00:02:04,000 --> 00:02:18,280 Entonces, si os fijáis, aquí tengo un ángulo beta, voy a pintar en azul, y este ángulo beta tiene el mismo seno y tiene el mismo coseno en valor absoluto. 25 00:02:18,280 --> 00:02:35,439 Si yo este ángulo beta lo traslado al primer cuadrante, es decir, si esto tiene la misma altura, fijaos, aquí tengo mi seno, aquí tengo mi coseno, y los valores absolutos son iguales. 26 00:02:35,439 --> 00:02:46,860 Entonces, ¿cuál es el ángulo equivalente a este ángulo alfa en el primer cuadrante? Pues sería este ángulo beta que tengo en el primer cuadrante. 27 00:02:46,860 --> 00:02:53,180 Entonces, el seno de beta es el seno de alfa. 28 00:02:53,599 --> 00:02:56,840 Recordad que alfa está en el segundo cuadrante, es este ángulo de aquí. 29 00:02:58,020 --> 00:03:00,659 ¿Coseno de beta? ¿Cuál es el coseno de beta? 30 00:03:00,780 --> 00:03:03,539 Pues sería el menoseno de alfa, porque es negativo. 31 00:03:04,139 --> 00:03:06,340 Bien, menoseno de alfa. 32 00:03:06,960 --> 00:03:12,919 Y ahora, la gran pregunta es, ¿y cuál es la expresión de beta? 33 00:03:12,919 --> 00:03:41,289 Pues fijaos, este ángulo beta es igual que este, alfa más beta suma 180 grados, por tanto, ¿cuánto vale beta? Es decir, el equivalente en el primer cuadrante, pues vale 180, repito, lo que estoy buscando es un equivalente que estuviera en el primer cuadrante que me dé exactamente los mismos valores. 34 00:03:41,289 --> 00:04:02,490 Por ejemplo, si alfa vale 135, ¿cuánto vale beta? Pues 180 menos 135, 45. Pero luego lo que tendré que hacer es actualizar los senos y los cosenos con sus signos correspondientes. 35 00:04:02,490 --> 00:04:06,270 Aquí he cometido un error, seno de beta es seno de alfa 36 00:04:06,270 --> 00:04:10,050 Y coseno de beta es menos coseno de alfa 37 00:04:10,050 --> 00:04:12,069 Aquí es coseno, igual al coseno 38 00:04:12,069 --> 00:04:14,669 En realidad mi adjetivo es coseno de alfa 39 00:04:14,669 --> 00:04:17,189 Luego ya tendré que cambiar el signo 40 00:04:17,189 --> 00:04:20,069 Fijaos que el ángulo en el primer cuadrante siempre tiene 41 00:04:20,069 --> 00:04:25,529 Seno positivo y, ¿dónde está el azul? 42 00:04:26,529 --> 00:04:34,800 Y el coseno es positivo también 43 00:04:34,800 --> 00:04:37,139 seno 44 00:04:37,139 --> 00:04:38,420 de coseno. 45 00:04:40,120 --> 00:04:40,759 Es positivo. 46 00:04:41,220 --> 00:04:42,899 Por tanto, tendré luego que actualizar 47 00:04:42,899 --> 00:04:44,959 los valores. 48 00:04:45,439 --> 00:04:46,680 Bueno, continúo pues. 49 00:04:47,639 --> 00:04:48,300 Tercer cuadrante. 50 00:04:52,089 --> 00:04:53,110 ¿Cuál es mi ángulo beta? 51 00:04:53,250 --> 00:04:55,910 Mi ángulo beta puede ser este que tengo aquí. 52 00:04:57,430 --> 00:04:59,189 Este sería mi ángulo beta. 53 00:05:01,800 --> 00:05:02,779 Y aquí, por ejemplo, 54 00:05:02,779 --> 00:05:06,319 tengo mi ángulo alfa. 55 00:05:08,000 --> 00:05:08,980 Chicos, ¿sí me saca a pasar? 56 00:05:09,279 --> 00:05:13,420 Aquí tendré un ángulo alfa. 57 00:05:18,509 --> 00:05:20,910 Este no es mi ángulo beta, es mi ángulo alfa, perdonad. 58 00:05:21,949 --> 00:05:23,250 Y aquí tengo un ángulo beta. 59 00:05:25,250 --> 00:05:33,230 Entonces, este ángulo beta es el que tiene este seno y tiene este coseno aquí también. 60 00:05:34,170 --> 00:05:39,250 Lo voy a pintar en negro porque les acabo de decir que acabo de perder el rotulador. 61 00:05:39,250 --> 00:05:47,550 Entonces, si yo prolongo la primer cuadrante, este ángulo es igual que este. 62 00:05:47,970 --> 00:05:51,490 Entonces, mi ángulo beta es este que estoy buscando. 63 00:05:52,550 --> 00:05:54,209 Entonces, ¿cuánto vale beta? 64 00:05:54,930 --> 00:06:01,949 Pues beta vale este ángulo que es el valor de alfa, menos 180. 65 00:06:03,430 --> 00:06:07,329 Bien, el seno de beta ya sabemos que es un valor esencialmente positivo, 66 00:06:07,329 --> 00:06:10,250 porque está el primer cuadrante y el coseno también es exactamente igual. 67 00:06:10,689 --> 00:06:12,949 Entonces, ¿cuánto vale el coseno de alfa? 68 00:06:13,149 --> 00:06:18,350 El coseno de alfa es negativo, porque este es el método que está aquí. 69 00:06:18,750 --> 00:06:23,230 Entonces es el menos seno, coseno, perdón, de beta. 70 00:06:24,310 --> 00:06:26,329 ¿Y cuánto vale el seno de alfa? 71 00:06:26,769 --> 00:06:29,089 Pues es el menos seno de beta. 72 00:06:29,509 --> 00:06:31,290 Aquí pone coseno. 73 00:06:33,490 --> 00:06:35,649 Por tanto, ángulo en el tercer cuadrante. 74 00:06:36,550 --> 00:06:39,709 Ángulo entre 180 y 270 grados, 70 grados. 75 00:06:40,949 --> 00:06:45,709 Le resto 180, ya me he trasladado, y luego le pongo el signo que corresponde. 76 00:06:48,089 --> 00:06:59,699 Cuarto, este es mi ángulo alfa, y este ángulo beta yo lo dibujo porque quiero. 77 00:07:01,259 --> 00:07:02,139 Este es mi seno. 78 00:07:02,139 --> 00:07:15,899 Si yo hago un triángulo, aquí que tenga exactamente el mismo seno que este, este ángulo me va a valer también beta. 79 00:07:17,519 --> 00:07:19,240 Entonces, ¿este ángulo beta cuánto vale? 80 00:07:19,420 --> 00:07:24,019 Pues beta vale 360 menos alfa. 81 00:07:25,000 --> 00:07:27,819 Entonces, ¿cuánto vale el coseno de alfa? 82 00:07:27,819 --> 00:07:35,540 Pues el coseno de alfa es este segmento de aquí, es esencialmente positivo, pues es igual a un coseno de beta. 83 00:07:36,339 --> 00:07:44,079 ¿Y el seno de alfa cuánto vale? Pues el seno de alfa aquí es negativo, menos seno de beta. 84 00:07:45,699 --> 00:07:54,560 Entonces, lo primero que hago siempre, cada vez que tengo un problema de estos, los que me dicen, pues conocido este valor, intenta calcular el otro, 85 00:07:54,560 --> 00:08:00,019 pues ¿qué es lo primero que hago? Paso a un valor que me sea cómodo, es decir, me voy al primer cuadrante. 86 00:08:00,259 --> 00:08:03,560 Y una vez que esté en el primer cuadrante las cosas van a resultar muchísimo más sencillas. 87 00:08:04,860 --> 00:08:12,759 Van a resultar sencillas siempre que me acuerde y no tenga ningún problema de acordarme que aquí el seno es positivo, 88 00:08:13,680 --> 00:08:22,160 aquí el coseno es negativo, aquí el seno y el coseno son negativos y aquí el seno es negativo y el coseno es positivo. 89 00:08:22,160 --> 00:08:31,089 Bueno, pues una vez que ya he comentado todo esto, me voy al ejercicio número 1. 90 00:08:31,709 --> 00:08:32,529 Y voy a hacer el 1-1. 91 00:08:33,929 --> 00:08:46,470 Me dice, calcula seno de 123 si seno de 57 es igual a h. 92 00:08:47,710 --> 00:08:49,230 Entonces, fijaos. 93 00:08:49,950 --> 00:08:52,690 Primero, lo que tengo que hacer es saber dónde estoy. 94 00:08:53,409 --> 00:08:57,470 123 pertenece al segundo parámetro. 95 00:08:58,710 --> 00:09:00,190 Estoy en este caso de aquí. 96 00:09:00,429 --> 00:09:04,809 Entonces, si busco el equivalente, lo que tendré que hacer será 180 menos alfa. 97 00:09:08,539 --> 00:09:14,519 180 menos 123 es igual a B a 57. 98 00:09:15,399 --> 00:09:24,480 Entonces, resulta que el ángulo equivalente de alfa, que hemos dicho que era beta, es 57. 99 00:09:24,480 --> 00:09:45,080 Y resulta que me están dando este dato. Por tanto, el seno positivo, positivo, seno de 123 es igual a seno de 57 y, por tanto, seno de 123 es igual a h. 100 00:09:45,080 --> 00:09:50,659 tangente de 260 101 00:09:50,659 --> 00:09:58,059 si seno de 80 102 00:09:58,059 --> 00:10:01,220 es igual a h 103 00:10:01,220 --> 00:10:03,220 ¿en qué cuadrante estoy? 104 00:10:04,960 --> 00:10:06,620 alfa es igual a 260 105 00:10:06,620 --> 00:10:10,500 y pertenece al tercer cuadrante 106 00:10:10,500 --> 00:10:12,620 porque fijaos en el tercer cuadrante 107 00:10:12,620 --> 00:10:14,360 ¿entre qué valor es esto? 108 00:10:14,360 --> 00:10:17,379 alfa es menor que 270 109 00:10:17,379 --> 00:10:36,940 que es este ángulo de aquí, y menor, y es mayor que 180. Aquí, por ejemplo, son 90, y en el cuarto cuadrante, 270, alfa, 360. 110 00:10:36,940 --> 00:10:46,820 Bueno, evidentemente, 260, estoy aquí, entonces estoy en el tercer cuadrado. 111 00:10:49,600 --> 00:10:51,059 Alfa menos 180. 112 00:10:52,360 --> 00:11:02,240 Alfa, que son 260, menos 180, es igual a beta, que son 80. 113 00:11:03,159 --> 00:11:07,419 Entonces, le están dando la frazón trigonométrica de seno. 114 00:11:07,419 --> 00:11:09,679 Y ahora, ¿qué es lo que tengo que hacer? 115 00:11:10,480 --> 00:11:14,379 ¿Conocido el seno de un ángulo, puedo calcular su tangente? 116 00:11:14,940 --> 00:11:16,980 Pues evidentemente, claro que sí puedo. 117 00:11:17,539 --> 00:11:19,399 Entonces, tengo varias maneras de hacerlo. 118 00:11:20,779 --> 00:11:26,299 Una de ellas es decir, bueno, pues voy a escribir, ¿cuánto me da la tangente? 119 00:11:26,679 --> 00:11:36,100 Mirad, tangente de alfa es igual a seno de alfa, que lo conozco, entre el coseno de alfa. 120 00:11:37,419 --> 00:11:43,779 ¿Cuál es mi punto cógnito aquí? El coseno cuadrado. El coseno, perdón, ya se me dorará el ego. 121 00:11:43,779 --> 00:11:50,779 Pero fijaos si hago una cosa. Elevo todo al cuadrado. Me queda seno cuadrado entre coseno cuadrado de alfa. 122 00:11:51,259 --> 00:11:59,960 Y ahora voy a utilizar el mejor amigo del hombre en lo que se refiere a trigonometría, la identidad fundamental de la trigonometría. 123 00:11:59,960 --> 00:12:17,809 Si por seno cuadrado lo pongo como 1 menos seno cuadrado de alfa, ya he expresado la tangente en función del seno. 124 00:12:19,990 --> 00:12:26,570 Tangente de alfa es igual a la raíz cuadrada, el seno de alfa, ¿cuánto vale? h. 125 00:12:28,090 --> 00:12:31,710 Entre 1 menos h cuadrado raíz. 126 00:12:32,690 --> 00:12:33,789 Solo me queda un detalle. 127 00:12:33,789 --> 00:12:36,769 ¿En qué cuadrante estoy? En el tercer cuadrante. 128 00:12:36,970 --> 00:12:44,950 en el tercer cuadrante de la tangente es positivo 129 00:12:44,950 --> 00:12:48,610 le planto más aquí y me quedo tan a gusto 130 00:12:48,610 --> 00:12:51,230 problema 1C 131 00:12:51,230 --> 00:12:55,950 bueno, perdonadme, este no era el 1B, este era el 1C 132 00:12:55,950 --> 00:12:58,070 pues voy a hacer el 1B 133 00:12:58,070 --> 00:13:03,269 el enunciado es que coseno de 220 es mi incógnita 134 00:13:03,269 --> 00:13:08,870 y me dan tangente de 40 grados 135 00:13:08,870 --> 00:13:10,269 como dato. 136 00:13:11,690 --> 00:13:15,070 Bueno, pues lo primero, alfa son 220 grados 137 00:13:15,070 --> 00:13:18,090 y pertenece al tercer cuadrante. 138 00:13:18,710 --> 00:13:20,289 Esto es como os he dicho varias veces en clase. 139 00:13:20,429 --> 00:13:21,769 ¿Y por qué trabajo en el tercer cuadrante? 140 00:13:22,490 --> 00:13:25,389 Pues porque es más difícil, porque el coseno y el seno son negativos 141 00:13:25,389 --> 00:13:28,870 y cuando tengo signos negativos, pues la cosa es un poquito más delicada. 142 00:13:29,490 --> 00:13:30,909 Entonces, ¿qué tengo que hacer? 143 00:13:31,090 --> 00:13:32,730 Alfa menos 180. 144 00:13:33,269 --> 00:13:42,230 que son 220 menos 180, que son 40 grados, es igual a beta. 145 00:13:42,429 --> 00:13:48,389 Es decir, tengo la razón trigonométrica de beta, que es el equivalente en el primer cuadrante, 146 00:13:48,750 --> 00:13:50,049 de alfa, que son 220. 147 00:13:50,669 --> 00:13:54,970 Entonces ahora lo que tengo que hacer es expresar el coseno en función de la tangente. 148 00:13:55,690 --> 00:13:57,690 Y esto es muy sencillo. 149 00:13:57,690 --> 00:14:07,710 De hecho, yo os recomiendo que lo, no que lo memoricéis, pero sí que cada vez que lo utilicéis, os acordéis de ello. 150 00:14:08,610 --> 00:14:10,429 Mi dato es tangente y quiero el coseno. 151 00:14:10,429 --> 00:14:12,889 Bueno, pues lo que hago es que divido todo por el coseno. 152 00:14:13,269 --> 00:14:17,529 Seno cuadrado de alfa entre coseno cuadrado de alfa. 153 00:14:17,610 --> 00:14:19,549 Divido todo entre el coseno cuadrado. 154 00:14:20,409 --> 00:14:24,169 Coseno cuadrado de alfa entre coseno cuadrado de alfa. 155 00:14:28,769 --> 00:14:29,029 Bien. 156 00:14:29,029 --> 00:14:32,149 seno entre coseno es tangente cuadrado 157 00:14:32,149 --> 00:14:35,830 coseno cuadrado entre coseno cuadrado es 1 158 00:14:35,830 --> 00:14:40,250 esto es 1 entre coseno cuadrado de alfa 159 00:14:40,250 --> 00:14:43,230 el espejo, coseno cuadrado de alfa 160 00:14:43,230 --> 00:14:49,210 es 1 entre 1 más tangente cuadrado de alfa 161 00:14:49,210 --> 00:14:51,129 esto pasa dividiendo, esto pasa multiplicando 162 00:14:51,129 --> 00:14:56,110 coseno de alfa es igual a la tangente que es h 163 00:14:56,110 --> 00:15:03,789 Así, 1 entre 1 más h al cuadrado, le meto la raíz y ahora me fijo en el signo. 164 00:15:04,289 --> 00:15:07,750 El coseno de 220 está en el tercer cuadrante. 165 00:15:08,029 --> 00:15:09,690 ¿Qué signo tiene? Negativo. 166 00:15:10,649 --> 00:15:11,210 Menos. 167 00:15:11,789 --> 00:15:12,730 Ya está, resuelto. 168 00:15:13,490 --> 00:15:19,330 Entonces, fijaos, para este tipo de problemas, lo primero que hago, ¿qué es? 169 00:15:19,330 --> 00:15:22,169 Pensaba que estaba con el rojo y el azul lo tenía por ahí guardado. 170 00:15:22,909 --> 00:15:24,269 Lo primero que hago, ¿qué es? 171 00:15:26,110 --> 00:15:36,149 Buscar el equivalente del ángulo que me dan. En este caso he buscado 123, en este caso he buscado 260 y en este caso he buscado 220. 172 00:15:37,889 --> 00:15:44,669 Calculo el equivalente que sería lo que hemos llamado el ángulo beta. Aquí tengo beta 40, aquí tengo beta 80 y aquí tengo beta 57. 173 00:15:44,669 --> 00:16:05,610 Y como me dan una razón trigonométrica de mi ángulo equivalente, pues lo único que me queda es expresar, en este caso el coseno en función de la tangente, en este caso la tangente en función del seno, y en este caso el seno en función del otro seno, que el seno es igual al seno, evidentemente. 174 00:16:06,610 --> 00:16:08,330 Y nada más, gracias por la atención.