1
00:00:02,100 --> 00:00:06,700
Bueno, vamos a ver ahora la independencia e independencia lineal de vectores.

2
00:00:07,379 --> 00:00:11,640
Cuando un conjunto de vectores se dice que son linealmente independientes,

3
00:00:12,060 --> 00:00:19,160
pues cuando al formar una combinación lineal de ellos e igualarlo al vector nulo,

4
00:00:20,160 --> 00:00:26,760
necesariamente todos los lambda swing, todos los escalares por los cuales multiplicamos a estos vectores,

5
00:00:27,359 --> 00:00:29,059
deben ser nulos también.

6
00:00:29,059 --> 00:00:37,060
es decir, esto solamente es cierto si lambda 1, lambda 2, así hasta lambda n son 0

7
00:00:37,060 --> 00:00:45,320
al contrario, si no necesariamente todos los lambda sui tienen que ser nulos

8
00:00:45,320 --> 00:00:52,820
para que se verifique esta igualdad, para que esta combinación lineal igualada al vector nulo se cumpla

9
00:00:52,820 --> 00:01:00,500
si eso no tiene por qué ser así, efectivamente, claro, si lambda sui, lambda 1

10
00:01:00,500 --> 00:01:05,140
o lambda 2, todos estos son nulos, esto se hace cero aunque sean los vectores linealmente

11
00:01:05,140 --> 00:01:14,019
dependientes. Pero no solamente hay esa combinación de lambda sui, es decir, puede haber una concreta

12
00:01:14,019 --> 00:01:21,099
en la cual no todos los lambda sui sean nulos. Entonces, en ese caso se dice que los vectores

13
00:01:21,099 --> 00:01:33,200
son linealmente dependientes. Bueno, vamos a ilustrar esto con un ejemplo. Vamos a considerar

14
00:01:33,200 --> 00:01:47,530
Estos dos vectores, por ejemplo, 0, menos 3, y el vector v, pues 1, 4, por ejemplo.

15
00:01:48,530 --> 00:01:54,530
Y queremos determinar si son linealmente dependientes o linealmente independientes.

16
00:01:55,069 --> 00:02:00,609
Según la definición que hemos visto, nosotros tenemos que formar una combinación lineal de u y de v,

17
00:02:01,269 --> 00:02:10,789
por ejemplo, vamos a llamar a los escalares a y b, igual a 0.

18
00:02:10,969 --> 00:02:27,639
al vector nulo. Haciendo las operaciones, en este caso, el vector nulo es el que tiene

19
00:02:27,639 --> 00:02:37,310
componentes 0, 0, pues resulta el siguiente sistema. Vamos a multiplicar a por 0 más

20
00:02:37,310 --> 00:02:43,810
b por 1. La primera ecuación sería que b tiene que ser igual a 0. Y la segunda ecuación

21
00:02:43,810 --> 00:02:52,389
sería menos 3a más 4b igual a cero.

22
00:02:53,289 --> 00:03:00,270
Bueno, en este caso nos queda un sistema en el cual la primera ecuación ya nos da el valor de b.

23
00:03:00,469 --> 00:03:08,189
b vale cero. Al sustituir ese resultado aquí, pues obtendríamos que a también tiene que ser cero.

24
00:03:08,189 --> 00:03:16,189
Fijaros que en este caso necesariamente a y b, que son los escalares por los cuales multiplicamos u y v

25
00:03:16,189 --> 00:03:20,770
Tienen que ser nulos para que se verifique esta condición

26
00:03:20,770 --> 00:03:30,650
Por lo tanto los vectores u y v son linealmente independientes

27
00:03:31,090 --> 00:03:35,129
Vamos a ver ahora otro ejemplo

28
00:03:35,129 --> 00:03:49,840
Imaginad que ahora los vectores u y v son estos

29
00:03:49,840 --> 00:04:19,939
Vamos a formar una combinación lineal de ellos, igualamos al vector 0, el vector nulo de componentes 0, 0 y veamos qué sistema nos queda.

30
00:04:34,360 --> 00:04:49,639
En este caso la primera ecuación sería 3a menos 6b igual a 0 y la segunda ecuación sería menos a más 2b igual a 0.

31
00:04:51,100 --> 00:05:02,250
Podemos hacerlo por sustitución, por ejemplo, aquí tendríamos que a es igual a 2b

32
00:05:02,250 --> 00:05:12,759
y al sustituir en la primera ecuación, 3a, o sea, 3 por 2b menos 6b igual a 0.

33
00:05:13,319 --> 00:05:21,300
Veis que nos queda 6b menos 6b igual a 0, es decir, 0 por b igual a 0.

34
00:05:21,300 --> 00:05:26,779
veis que en este caso los valores de b son infinitos

35
00:05:26,779 --> 00:05:32,480
porque esto se cumple para todo b que sea un número real

36
00:05:32,480 --> 00:05:35,740
para cualquier valor que tome b esto se va a cumplir

37
00:05:35,740 --> 00:05:39,920
la única condición es que a tiene que ser igual al doble de b

38
00:05:39,920 --> 00:05:43,180
es decir, esto se cumple efectivamente cuando b vale 0

39
00:05:43,180 --> 00:05:45,879
y si b vale 0 la a valdría 0

40
00:05:45,879 --> 00:05:48,759
pero es el único valor para el cual esto se hace 0

41
00:05:48,759 --> 00:05:55,500
Pues no, por ejemplo, si b vale 1, esto se cumple y a sería 2 por 1, 2.

42
00:05:56,120 --> 00:06:01,139
Así que hay infinitos pares de valores, hay infinitas soluciones para este sistema,

43
00:06:01,680 --> 00:06:06,100
no solamente la solución a igual a 0, b igual a 0.

44
00:06:06,319 --> 00:06:15,389
Por lo tanto, en este caso, u y v son linealmente dependientes.

45
00:06:15,389 --> 00:06:39,759
Bueno, vamos a ver ahora que para determinar si dos vectores u y v pertenecientes a v2 son linealmente dependientes o independientes

46
00:06:39,759 --> 00:06:47,639
no hace falta formar la combinación lineal, igualarlo a cero y resolver el sistema

47
00:06:47,639 --> 00:06:49,800
Va a ser mucho más sencillo

48
00:06:49,800 --> 00:06:57,300
Fijaros, imaginaos que tenemos dos vectores u y v y vamos a suponer que son linealmente dependientes.

49
00:06:57,300 --> 00:07:11,300
¿Eso qué significa? Que si nosotros formamos una combinación lineal de ellos, vamos a llamar a y b los escalares con los cuales multiplicamos e igualamos a cero,

50
00:07:11,300 --> 00:07:17,899
No necesariamente A y B tienen que ser nulos

51
00:07:17,899 --> 00:07:20,720
Eso significaba que eran linealmente dependientes

52
00:07:20,720 --> 00:07:23,839
No necesariamente tienen que ser A y B nulos

53
00:07:23,839 --> 00:07:28,100
Supongamos que A es distinto de 0

54
00:07:28,100 --> 00:07:30,199
Por ejemplo, vamos a suponer que A no es 0

55
00:07:30,199 --> 00:07:34,399
De esta manera, si A es distinto de 0

56
00:07:34,399 --> 00:07:37,300
Puedo dividir toda esta ecuación por A

57
00:07:37,300 --> 00:07:48,500
Dividiendo todo por a tendríamos u más b partido de a por v igual a el vector nulo

58
00:07:48,500 --> 00:07:54,300
Porque al multiplicar el vector nulo por el inverso de a me va a quedar el vector nulo

59
00:07:54,300 --> 00:08:06,540
Y de aquí despejando u, u sería igual a menos b partido de a por v más 0 que me vuelve a dar esto

60
00:08:06,540 --> 00:08:09,899
Fijaros el resultado tan importante que tenemos aquí

61
00:08:09,899 --> 00:08:17,920
Al final lo que nos resulta es que u se puede expresar como un escalar

62
00:08:17,920 --> 00:08:21,420
Que va a ser este, vamos a llamarle lambda

63
00:08:21,420 --> 00:08:27,980
Por el vector u, es decir, u es lambda veces v

64
00:08:27,980 --> 00:08:37,110
Esto es importante porque recordad que cuando veíamos producto de un escalar por un vector

65
00:08:37,110 --> 00:08:45,370
Decíamos, lo que obtenemos es un nuevo vector que tiene la misma dirección que el de partida

66
00:08:45,370 --> 00:08:50,570
Si yo multiplico lambda por v, u tiene la misma dirección que v

67
00:08:50,570 --> 00:08:55,690
Luego el sentido dependía de si lambda era positivo o negativo, pero la dirección es la misma

68
00:08:55,690 --> 00:09:03,190
Entonces una primera conclusión que tenemos es que si nosotros representamos los vectores u y v

69
00:09:03,190 --> 00:09:07,909
Vamos a ver que tienen la misma dirección

70
00:09:07,909 --> 00:09:32,769
Y analíticamente veremos que los vectores u y v son linealmente dependientes cuando exista proporcionalidad entre sus componentes.

71
00:09:33,289 --> 00:09:41,570
Fijaros, si u tiene componentes u1 y u2 y v tiene componentes v1 y v2,

72
00:09:41,570 --> 00:09:48,409
y aquí resulta que U1 tiene que ser igual a lambda veces V1

73
00:09:48,409 --> 00:09:53,970
y U2 tiene que ser igual a lambda veces V2

74
00:09:53,970 --> 00:10:01,529
De la primera ecuación sacamos lambda y obtenemos que esto es U1 por V1

75
00:10:01,529 --> 00:10:08,409
De la segunda ecuación, lambda tiene que ser igual a U2 partido de V2

76
00:10:08,409 --> 00:10:12,710
Igualando ambas, puesto que este lambda tiene que ser el mismo

77
00:10:12,710 --> 00:10:21,129
Resulta que U1 partido de V1 tiene que ser igual a U2 partido de V2

78
00:10:21,129 --> 00:10:27,809
Es decir, existe proporcionalidad entre las componentes de U y de V

79
00:10:27,809 --> 00:10:32,629
Así que gráficamente vamos a ver que tienen la misma dirección

80
00:10:32,629 --> 00:10:40,909
y analíticamente lo veremos con sus componentes, viendo que hay proporcionalidad entre ellas.

81
00:10:44,379 --> 00:10:47,399
Volvamos a los dos ejemplos que vimos antes.

82
00:10:50,779 --> 00:10:56,580
Los vectores u y v que tenemos en el ejemplo número 1,

83
00:10:57,440 --> 00:11:03,460
fijaros que si nosotros los representamos gráficamente, están aquí representados en color rojo estos dos vectores,

84
00:11:03,460 --> 00:11:11,700
no tienen la misma dirección y también podemos observar que si vemos si hay proporcionalidad o no

85
00:11:11,700 --> 00:11:25,029
entre sus componentes, fijaros que 0 es a 1 como menos 3 es a 4, vamos a ver si esta proporcionalidad

86
00:11:25,029 --> 00:11:33,830
se cumple o no, 0 es a 1 como menos 3 es a 4, pues vemos que no, 0 por 4, 0, menos 3 por 1, menos 3

87
00:11:33,830 --> 00:11:42,830
Esto no se cumple, no hay proporcionalidad entre las componentes, por eso estos vectores son linealmente independientes.

88
00:11:43,789 --> 00:11:51,409
Gráficamente vemos que no tienen la misma dirección, analíticamente vemos que no hay proporcionalidad entre sus componentes.

89
00:11:52,009 --> 00:11:59,690
En el ejemplo número 2 que vimos después, en el cual los vectores eran linealmente dependientes,

90
00:11:59,690 --> 00:12:10,110
pues observamos que gráficamente, si lo representamos, u y v pertenecen a la misma recta, es decir, tienen la misma dirección

91
00:12:10,110 --> 00:12:25,009
y si formamos la proporción entre las componentes, 3 es a menos 6, 3 es a menos 6, como menos 1 es a 2,

92
00:12:25,009 --> 00:12:28,950
Pues en este caso la proporcionalidad sí se cumple

93
00:12:28,950 --> 00:12:34,269
Multiplicando en cruz, 3 por 2 es 6, menos 1 por menos 6 es 6

94
00:12:34,269 --> 00:12:36,649
Al multiplicar en cruz da lo mismo

95
00:12:36,649 --> 00:12:42,610
Es decir, gráficamente, misma dirección, vectores que sean linealmente dependientes

96
00:12:42,610 --> 00:12:45,570
Proporcionalidad entre las componentes