1
00:00:00,640 --> 00:00:09,359
Un concepto que consideramos fundamental es un poco el corazón de lo que se llama la geometría fin.

2
00:00:10,380 --> 00:00:13,179
Más que un concepto y también una herramienta.

3
00:00:13,220 --> 00:00:19,239
A un nivel muy intuitivo, pero que nos va a servir para entender todos los procesos que siguen en adelante.

4
00:00:20,320 --> 00:00:28,019
Nuestra idea es construir ese espacio que nos permita hablar de una manera rigurosa,

5
00:00:28,019 --> 00:00:31,019
de puntos rectas

6
00:00:31,019 --> 00:00:33,100
y hemos hablado hasta ahora

7
00:00:33,100 --> 00:00:36,640
del espacio vectorial

8
00:00:36,640 --> 00:00:38,600
hemos hablado de vectores

9
00:00:38,600 --> 00:00:42,420
pero el espacio vectorial y el vector

10
00:00:42,420 --> 00:00:45,560
realmente es algo que

11
00:00:45,560 --> 00:00:48,280
resulta insuficiente

12
00:00:48,280 --> 00:00:52,359
si lo queremos es ubicarnos en el espacio físico

13
00:00:52,359 --> 00:00:54,179
¿de acuerdo?

14
00:00:54,179 --> 00:00:57,060
lo que pasa es que como herramienta, como instrumento

15
00:00:57,060 --> 00:01:05,640
lo hemos visto como una herramienta, quiero decir, es un acercamiento a la idea del espacio físico.

16
00:01:06,019 --> 00:01:14,450
Pero nos falta algo. Los sistemas de referencia que se han utilizado tradicionalmente en astronomía, por ejemplo,

17
00:01:15,409 --> 00:01:26,689
sabéis que se consideraba un universo, un espacio geocéntrico, también luego se pasó a ver el espacio de forma como un espacio heliocéntrico,

18
00:01:26,689 --> 00:01:54,689
Y después incluso puedes considerar que el centro del universo esté en el centro de masas de la galaxia. En fin, pero en todo caso es relativo. Quiero decir, donde esté ubicado el sistema de referencia, donde tomamos no solo las medidas, también las observaciones, pues es una cuestión que nos ayuda a acceder.

19
00:01:56,689 --> 00:02:05,530
Pero que es acceder a los puntos, ¿no? Poder medir coordenadas de puntos, pero que es algo relativo al lugar del observador, ¿no?

20
00:02:06,269 --> 00:02:15,250
En todo caso, siempre hay un observador, ¿no? Y ese observador es lo que en espacio afín se llama el origen, ¿vale?

21
00:02:16,569 --> 00:02:25,400
Entonces, vamos a ver qué pasa en el plano. La misma idea la podemos trasladar al espacio, a las tres dimensiones.

22
00:02:25,400 --> 00:02:51,599
Pero en principio vamos a ver qué pasa en el plano. O incluso vamos a hacer algo más inusual. ¿Qué pasa en la recta? Si tengo una recta, vamos a ver qué pasa en la recta. Esto es un espacio de una sola dimensión. Imagínate que todo vive aquí. ¿No? ¿Cómo a partir de la idea de función puedo acceder a todos los puntos de este espacio único?

23
00:02:52,479 --> 00:02:55,039
Repito, imaginemos que todo vive aquí.

24
00:02:56,300 --> 00:02:59,180
¿Cuáles son los elementos de este espacio?

25
00:02:59,659 --> 00:03:00,919
Pues son los puntos, ¿no?

26
00:03:03,979 --> 00:03:13,759
Bien, fijaos que yo, en realidad, si determino dónde hay un origen,

27
00:03:14,560 --> 00:03:18,460
con el concepto de función puedo acceder a cualquier punto.

28
00:03:19,740 --> 00:03:23,539
Perdona, con el concepto de vector puedo acceder a cualquier punto.

29
00:03:24,180 --> 00:03:24,520
¿Sí o no?

30
00:03:24,520 --> 00:03:52,259
Por ejemplo, el vector este me está señalando a este punto que podría ser el 1. ¿Se ve? Por cierto, ¿este es un vector? En este mundo que he determinado, no. He determinado que el mundo se desarrolla en esta línea recta, en ese supuesto. ¿Entendéis o no? Este no sería un vector. ¿Me entendéis o no? Bien.

31
00:03:52,259 --> 00:04:11,319
Bien, podría establecer este vector como el vector base de vectores, ¿sí o no? Cualquier vector de esta línea recta sería una combinación lineal de este vector, ¿sí o no?

32
00:04:11,319 --> 00:04:26,160
Por ejemplo, este es un vector paralelo y, por tanto, no. Y entonces, este podría ser 2,5e. ¿Se entiende o no? ¿Me seguís? Bien, bien.

33
00:04:26,160 --> 00:04:46,410
Entonces, pues mira, por ejemplo, otro punto es el 2, sería como un vector que nace en el origen y termina en el 2, ¿sí o no?

34
00:04:46,410 --> 00:05:03,069
Y este punto como tal, P, el punto P, sería igual a anclar el vector 2E en el origen, a esto es lo que escribimos como 0 más 2E.

35
00:05:04,389 --> 00:05:10,410
¿Se entiende la idea? ¿Se entiende? Hay una idea que es lo que voy a desarrollar ahora, que es la de...

36
00:05:10,410 --> 00:05:17,649
de qué supone anclar un vector en un punto. ¿Se entiende? Por ejemplo, ¿qué pasa si

37
00:05:17,649 --> 00:05:29,100
este mismo vector 2e lo anclo en 2? Hostia, perdón. Vamos a ver. ¿Qué pasa si este

38
00:05:29,100 --> 00:05:37,060
mismo vector 2e lo anclo en 2, en el punto 2? Esto es un punto, ¿no? Pues, ¿a qué

39
00:05:37,060 --> 00:05:48,290
me da lugar? Al punto 4. ¿Se ve o no? En el fondo, este espacio lo conocemos, es la

40
00:05:48,290 --> 00:05:54,370
recta real, ¿no? Donde determinamos un origen en su día, que era el cero, y a partir de

41
00:05:54,370 --> 00:05:59,430
ahí construíamos los números. ¿Se entiende o no? Bien. O sea, la recta real podríamos

42
00:05:59,430 --> 00:06:06,610
considerarla como una recta, un espacio de una dimensión afín. ¿Me seguís? Bien,

43
00:06:06,610 --> 00:06:28,230
Bien, pues vamos a ver esta misma idea. Fijaros que este punto sería lo mismo que, o sea, el 4 sería igual a 2, el punto 2, más dos veces el vector e. ¿Se entiende o no?

44
00:06:28,230 --> 00:06:33,430
También lo puedo ver como que 4 es el vector O4

45
00:06:33,430 --> 00:06:35,250
¿Sí o no?

46
00:06:36,110 --> 00:06:36,889
¿Se ve?

47
00:06:37,750 --> 00:06:40,509
Y que 2 es el vector O2

48
00:06:40,509 --> 00:06:43,110
Que al que sumo 2E

49
00:06:43,110 --> 00:06:48,589
Fijaos que pongo el pie de 2E en la cabeza del vector O2

50
00:06:48,589 --> 00:06:52,129
Que es como está establecido que sumemos vectores

51
00:06:52,129 --> 00:06:52,910
¿Sí o no?

52
00:06:52,910 --> 00:06:56,610
Y me da como resultado O4

53
00:06:56,610 --> 00:06:58,209
¿Se comprende?

54
00:06:58,230 --> 00:07:45,220
Bien. Vamos a ver esta misma idea en el plano. ¿Se ha entendido hasta aquí o...? Vamos a trasladar la misma idea al plano. Vamos a ver. En un plano lo que consideramos es un origen y cuando hacemos un sistema de ejes cartesianos, en el fondo esto que he explicado antes está hecho aquí, en la recta horizontal y en la vertical. ¿Sí o no?

55
00:07:45,220 --> 00:08:08,100
¿Sí o no? Y aquí puede estar el vector E1 y aquí el vector E2. ¿Sí o no? Que forman una base del plano. ¿Sí o no? Pero esto tiene una novedad. Está todo fijado desde un origen.

56
00:08:08,100 --> 00:08:12,079
Aquí hay algo más que un espacio de vectores

57
00:08:12,079 --> 00:08:13,339
¿Os dais cuenta o no?

58
00:08:14,199 --> 00:08:14,740
¿Me seguís?

59
00:08:15,160 --> 00:08:18,100
Aquí estoy añadiendo el anclaje

60
00:08:18,100 --> 00:08:22,300
El espacio de vectores lo anclo a un origen, a un punto

61
00:08:22,300 --> 00:08:30,180
La pregunta es, ¿de alguna manera a partir de este punto puedo acceder a cualquier punto del plano?

62
00:08:30,819 --> 00:08:32,200
Esa es la pregunta que nos hacemos

63
00:08:32,200 --> 00:08:37,659
Y la respuesta está en la idea de anclar un vector a un punto

64
00:08:37,659 --> 00:08:40,210
¿Se ve la idea?

65
00:08:40,730 --> 00:08:41,429
Entonces, por ejemplo

66
00:08:41,429 --> 00:08:44,169
El punto de coordenadas 4

67
00:08:44,169 --> 00:08:50,039
El punto de coordenadas 4-2, por ejemplo

68
00:08:50,039 --> 00:08:52,700
Sería este, ¿no?

69
00:08:56,110 --> 00:08:58,470
Pero esto está muy impreciso

70
00:08:58,470 --> 00:09:00,509
Dicho así, la idea es intuitiva

71
00:09:00,509 --> 00:09:03,909
Coja usted, marque unas rayitas en la horizontal

72
00:09:03,909 --> 00:09:05,450
Otras rayitas en la vertical

73
00:09:05,450 --> 00:09:06,850
Bum, bum, bam, bam

74
00:09:06,850 --> 00:09:09,309
Y ahí sales, juegas a los barquitos

75
00:09:09,309 --> 00:09:11,070
Como cuando haces A5

76
00:09:11,070 --> 00:09:13,049
Dado o no tocado y tal

77
00:09:13,049 --> 00:09:13,590
Y ya está

78
00:09:13,590 --> 00:09:29,570
Pero ¿cómo formalizar esto matemáticamente? ¿Os dais cuenta? Bien, pues necesitamos formalizarlo matemáticamente para poder desarrollar ecuaciones con nuestros elementos geométricos. ¿Entendí lo que digo? Entonces, ¿cómo formalizar esta idea?

79
00:09:29,570 --> 00:09:48,289
Pues mire, coja usted. Pues el vector, el punto P, lo vamos a considerar en realidad más que un punto, como un vector que nace en el origen. Y este le llamamos vector de posición, porque está marcando una posición. ¿Se entiende o no?

80
00:09:48,289 --> 00:10:14,389
Pero tiene una ventaja el verlo como un vector. ¿Sabéis el qué? ¿Cuál? Pues que lo puedo operar con otros vectores. ¿Se entiende? Bien. Por ejemplo, ¿qué pasa si ahora quiero referirme a este otro punto, Q? ¿Se ve?

81
00:10:14,389 --> 00:10:36,090
Por cierto, OP, vuelvo a la idea de antes, OP es lo que yo identifico con el punto P, ¿se ve o no? Bien, es un vector de coordenadas, esto es 4E1 más 2E2, ¿sí o no?

82
00:10:36,090 --> 00:10:39,850
respecto de la base de vectores

83
00:10:39,850 --> 00:10:43,509
E1, E2

84
00:10:43,509 --> 00:10:45,769
este vector

85
00:10:45,769 --> 00:10:48,909
tiene esta combinación

86
00:10:48,909 --> 00:10:50,970
se construye con esta combinación lineal

87
00:10:50,970 --> 00:10:54,389
y por tanto podríamos decir que tiene coordenadas 4, 2

88
00:10:54,389 --> 00:10:57,129
y por esa razón

89
00:10:57,129 --> 00:10:59,370
decimos que el punto P

90
00:10:59,370 --> 00:11:03,610
como tal punto tiene coordenadas 4, 2

91
00:11:03,610 --> 00:11:04,649
¿se entiende?

92
00:11:04,649 --> 00:11:10,509
Y eso es porque el vector OP tiene coordenadas 4, 2 respecto de esa base.

93
00:11:11,129 --> 00:11:12,129
¿Hasta aquí estamos de acuerdo?

94
00:11:14,090 --> 00:11:19,269
Entonces, a partir de ahora, cada vez que pensemos en un punto, hemos de pensar en un vector de posición.

95
00:11:19,970 --> 00:11:26,149
Que nace en el origen y se le añade el vector determinado.

96
00:11:26,450 --> 00:11:32,610
¿Os dais cuenta de que de esta manera solo he necesitado crear un punto?

97
00:11:32,610 --> 00:11:35,429
porque todo lo demás viene dado

98
00:11:35,429 --> 00:11:37,330
a partir de ese punto

99
00:11:37,330 --> 00:11:39,370
con la idea de espacio vectorial

100
00:11:39,370 --> 00:11:40,210
¿os dais cuenta?

101
00:11:41,269 --> 00:11:42,950
bien, seguimos

102
00:11:42,950 --> 00:11:44,450
bien, seguimos

103
00:11:44,450 --> 00:11:46,909
voy a pensar en otro punto Q diferente, perdón

104
00:11:46,909 --> 00:11:48,750
que no me interesa este, me interesa más

105
00:11:48,750 --> 00:11:50,690
un poquito más arriba

106
00:11:50,690 --> 00:11:55,840
este

107
00:11:55,840 --> 00:11:58,960
punto Q

108
00:11:58,960 --> 00:12:02,600
de manera intuitiva, ¿qué coordenadas tiene?

109
00:12:02,759 --> 00:12:04,419
pues oiga, dependerá

110
00:12:04,419 --> 00:12:07,279
sí, pero vamos a verlo formalmente

111
00:12:07,279 --> 00:12:07,960
perdón, no he dicho

112
00:12:07,960 --> 00:12:40,019
Es este vector, ¿verdad? Su vector de posición, que llamamos vector OQ. El vector OQ, o sea, Q, el punto Q, lo identificamos con el vector OQ, que es 6E1, 5E2, y en consecuencia tendrá coordenadas 6, 5.

113
00:12:40,019 --> 00:13:03,450
¿Se ve o no? Bien. Y la pregunta es, y la cuestión es, ¿no es cierto que OQ es igual a OP más PQ, vectorialmente, que la suma de OP más PQ tiene que dar OQ?

114
00:13:03,450 --> 00:13:25,419
¿Estamos de acuerdo? Bien. Fijaos, cuando yo digo que, cuando considero el vector PQ, en realidad estoy diciendo, esto es un vector, no es un punto, el vector PQ no es un punto.

115
00:13:25,419 --> 00:13:41,659
Pero voy a crear esa operación, voy a inventar, como matemático, imagina que estamos creando esta idea y necesitamos crearla. No, no la he creado yo, pero imaginemos que la creamos en este instante.

116
00:13:41,659 --> 00:14:09,679
Pues mirad la idea que es importante. Es decir, voy a crear, necesito crear una operación, que no se ha dado nombre, pero necesito crear una operación que me permita llegar a Q, perdona, que me permita identificar el punto al que señala el vector este, que yo llamo PQ, pero podría llamarlo V, ¿no?

117
00:14:09,679 --> 00:14:39,850
¿Sí o no? Anclándolo en P. ¿Se ve la idea? Es decir, sabemos que OP es igual a OQ es igual a OP más PQ. Aquí estoy hablando solo de vectores.

118
00:14:39,850 --> 00:15:02,789
¿Sí o no? Bien. Geométricamente lo que yo observo aquí es que puedo viajar a Q o bien desde el origen mediante el vector OQ, impulsado por el vector OQ llegando a Q, ¿se ve o no?

119
00:15:02,789 --> 00:15:21,049
O bien, siendo impulsado por el vector OP y después el vector PQ. ¿Se ve la idea? Pero llego al mismo punto. Bien. Aquí hay algo novedoso respecto del discurso anterior.

120
00:15:21,049 --> 00:15:29,450
Y es que este vector PQ no está en el origen. ¿Se ve? No está en el origen.

121
00:15:31,169 --> 00:15:37,750
Pareciera que hubiera dos naturalezas de vectores. Son la misma, pero hay dos naturalezas.

122
00:15:38,409 --> 00:15:45,830
Los vectores posición y este tipo de vectores, que son vectores libres, se llama.

123
00:15:45,830 --> 00:15:49,070
¿Vale? Que es un poco la idea que hemos manejado

124
00:15:49,070 --> 00:15:51,009
Este vector de aquí

125
00:15:51,009 --> 00:15:53,009
¿Es el mismo que este?

126
00:15:54,870 --> 00:15:56,429
Este vector de aquí

127
00:15:56,429 --> 00:15:58,629
¿Sería el mismo que este?

128
00:16:00,230 --> 00:16:01,629
Es paralelo

129
00:16:01,629 --> 00:16:04,649
Tiene la misma dirección y el mismo módulo

130
00:16:04,649 --> 00:16:06,169
Y el mismo sentido

131
00:16:06,169 --> 00:16:06,809
¿Se ve o no?

132
00:16:07,230 --> 00:16:08,730
Se consideraría paralelo

133
00:16:08,730 --> 00:16:10,429
Entonces vamos a manejarnos

134
00:16:10,429 --> 00:16:14,090
Con la idea de que un vector lo puedo trasladar paralelamente

135
00:16:14,090 --> 00:16:15,169
¿Vale?

136
00:16:15,830 --> 00:16:27,769
¿De acuerdo? Bien. Pues entonces, mediante traslado paralelo, este vector llevado a P me va a señalar a Q. ¿Sí o no? Esto es lo que está aquí en juego.

137
00:16:27,769 --> 00:16:30,590
la cuestión es

138
00:16:30,590 --> 00:16:33,570
¿qué coordenadas tiene el vector PQ?

139
00:16:34,889 --> 00:16:35,029
¿no?

140
00:16:35,629 --> 00:16:36,470
pues para

141
00:16:36,470 --> 00:16:39,110
para considerar

142
00:16:39,110 --> 00:16:39,769
ojito eh

143
00:16:39,769 --> 00:16:42,830
para calcular las coordenadas del vector PQ

144
00:16:42,830 --> 00:16:46,470
hemos de trasladarlo al origen

145
00:16:46,470 --> 00:16:49,970
o trasladar el origen

146
00:16:49,970 --> 00:16:51,450
a P

147
00:16:51,450 --> 00:16:55,029
en realidad no es una cuestión de trasladar el origen

148
00:16:55,029 --> 00:17:07,849
Bien, mirad, en el fondo, ¿qué coordenadas tiene el vector PQ? ¿No? Pues mirad, lo que hay que hacer es llevar aquí E1, lo voy a hacer aquí, porque es equivalente, ¿sí o no?

149
00:17:08,710 --> 00:17:19,569
Lo mismo, no es ni P ni Q, porque P está aquí y Q está aquí, pero el vector este V es igual que PQ, ¿sí o no? Pues bien, ¿qué coordenadas tiene?

150
00:17:19,569 --> 00:17:39,500
Pues mira, te llevas E1 aquí y E2 aquí, porque son el mismo vector, está trasladado paralelamente, ¿sí o no? ¿Y qué coordenadas tendría este vector? Muy bien, porque es 2E1 más 3E2, ¿de acuerdo?

151
00:17:39,500 --> 00:18:05,559
Haz lo mismo aquí. Llévatelo aquí. Es que no quería enguarrar el dibujo. Aquí está E1. Me cago en... Y aquí E2. ¿Se entiende o no? Pues el vector PQ tiene coordenadas 2, 3. ¿Estamos de acuerdo? ¿Lo has pillado? Bien.

152
00:18:05,559 --> 00:18:22,200
Bien, veamos a ver en qué se traduce al final esta expresión. Pues mirad, a un nivel práctico es OQ. Por cierto, ¿qué coordenadas tiene OQ? Vamos a olvidarnos, no lo sabemos.

153
00:18:22,200 --> 00:18:51,769
No lo sabemos. Quiero encontrar las coordenadas de OQ. ¿De acuerdo? ¿Sí o no? Pues mirad. Vemos que es OP más PQ. ¿Sí o no? ¿Cuánto es OP? ¿Qué es OP? ¿Qué coordenadas tiene? 4 y 2. Y PQ es 2, 3.

154
00:18:51,769 --> 00:19:14,450
Entonces, tengo que sumar los vectores OP y PQ. ¿Y cómo se suman a partir de sus coordenadas? Sumando las coordenadas 2 a 2, ¿sí o no? Bien. Sería 4 más 2, 6. 2 más 3, 5. Y mirad, ¿qué coordenadas tiene el vector OQ entonces? 6, 5.

155
00:19:14,450 --> 00:19:32,549
Que fijaos que son las coordenadas de Q. ¿Se entiende la idea? ¿Se entiende? Bien, esto parece obvio, pero no lo es. Es decir, hemos construido un lenguaje que nos permite hablar con coherencia de los puntos.

156
00:19:32,549 --> 00:19:55,390
Pero fijaos lo que está por debajo. Lo suyo es no ver la gráfica. Mira, otra cosa. ¿Esta expresión se entiende? ¿Se entiende o no? Bien.

157
00:19:55,390 --> 00:20:17,789
Y yo lo que estoy apostando aquí es porque veáis que OQ es... Esto lo puedo escribir así. El punto Q es igual al... Perdón. El punto Q es igual al punto P más PQ. ¿Se ve la idea? ¿Se ve la idea? ¿Se entiende o no?

158
00:20:17,789 --> 00:20:22,470
A ver, es que estoy diciendo que un punto Q es el vector de posición OQ

159
00:20:22,470 --> 00:20:28,430
No se ve del todo porque esto es una trampa

160
00:20:28,430 --> 00:20:33,150
Es decir, no es una trampa, pero yo lo que estoy diciendo es identificando un punto con un vector

161
00:20:33,150 --> 00:20:35,049
¿Se entiende o no?

162
00:20:35,049 --> 00:20:39,009
Y es que en el fondo, yo lo que quiero es que os acostumbréis a ver un punto

163
00:20:39,009 --> 00:20:42,970
Cuando te dé la gana como un punto, pero cuando te dé la gana como un vector

164
00:20:42,970 --> 00:20:45,329
Como un vector de posición

165
00:20:45,329 --> 00:20:47,230
¿Me estáis entendiendo o no?

166
00:20:47,230 --> 00:21:03,250
¿Y por qué? Porque ahora ya entiendo qué significa esto. Porque si tú te quedas con la idea de que P es un punto sin más, uno dice, pero ¿qué es esto de sumar un punto con un vector? ¿Qué me estás contando? ¿Se entiende la idea o no?

167
00:21:04,009 --> 00:21:12,230
¿Se entiende? Pero claro, si lo que ves es P como un vector de posición, ahora ya estamos entendiendo que puedo sumar un punto y un vector.

168
00:21:13,190 --> 00:21:19,849
¿Se puede sumar un punto a un vector? Sí, porque un punto P lo puedo ver como un vector.

169
00:21:20,430 --> 00:21:32,069
Bien, a esta operación es lo que vamos a llamar anclar el vector PQ, un vector cualquiera, puedo anclar un vector en un punto.

170
00:21:33,250 --> 00:21:33,769
¿De acuerdo?

171
00:21:34,990 --> 00:21:36,049
Que levante la mano.

172
00:21:36,490 --> 00:21:37,589
Venga, continuamos.

173
00:21:38,750 --> 00:21:39,710
Y ahora pregunto.

174
00:21:40,470 --> 00:21:47,029
Entonces, fijaos que yo estoy identificando el punto Q con sus coordenadas.

175
00:21:48,369 --> 00:21:54,970
Lo puedo ver como coordenadas de vectores o con las coordenadas del punto.

176
00:21:55,329 --> 00:21:55,990
Es lo mismo.

177
00:21:56,450 --> 00:21:56,630
¿Vale?

178
00:21:57,190 --> 00:21:57,450
Bien.

179
00:21:58,410 --> 00:21:59,529
Y ahora vais a entender algo.

180
00:21:59,529 --> 00:22:20,849
A que, ¿cómo puedo encontrar las coordenadas de un vector que une A, imagínate que es de coordenadas A1, A2, con B de coordenadas B1, B2?

181
00:22:20,849 --> 00:22:26,349
¿Cómo puedo encontrar las coordenadas del vector AB?

182
00:22:27,869 --> 00:22:29,289
Este es el vector AB

183
00:22:29,289 --> 00:22:33,369
El que une A con B, que escribo así

184
00:22:33,369 --> 00:22:36,130
¿Qué coordenadas tendrá este vector?

185
00:22:41,089 --> 00:22:48,329
Mirad, vamos al origen de nuestra herramienta fundamental que es esta

186
00:22:48,329 --> 00:22:50,109
¿Sí o no?

187
00:22:50,630 --> 00:22:54,509
Queremos encontrar las coordenadas, en este caso de PQ

188
00:22:54,509 --> 00:22:59,630
¿No será cierto que es igual a OQ menos OP?

189
00:23:02,039 --> 00:23:02,559
¿Sí o no?

190
00:23:03,900 --> 00:23:04,579
¿Sí o no?

191
00:23:05,619 --> 00:23:05,960
¿Se ve?

192
00:23:07,440 --> 00:23:08,000
Bien

193
00:23:08,000 --> 00:23:10,319
¿Y cuáles son las coordenadas de OQ?

194
00:23:10,700 --> 00:23:11,680
Las del punto Q

195
00:23:11,680 --> 00:23:14,640
¿Y la de P?

196
00:23:15,259 --> 00:23:16,339
Las del punto P

197
00:23:16,339 --> 00:23:17,500
Q menos P

198
00:23:17,500 --> 00:23:21,869
Es decir, que el vector

199
00:23:21,869 --> 00:23:24,529
Perdona, que es con minúsculas

200
00:23:24,529 --> 00:23:30,029
Q, P

201
00:23:30,029 --> 00:23:31,990
¿Vale?

202
00:23:32,829 --> 00:23:51,190
Q menos P, como puntos. ¿Me seguís o no? Es decir, que para encontrar las coordenadas de un vector que une un punto con otro, resto las coordenadas, porque en el fondo estoy restando dos vectores. ¿Se entiende o no?

203
00:23:53,440 --> 00:23:54,200
Vamos al dibujo.

204
00:23:55,079 --> 00:23:55,839
Vamos al dibujo.

205
00:23:56,480 --> 00:24:02,559
Esto de aquí, esto de aquí se entiende.

206
00:24:05,710 --> 00:24:06,009
Esto.

207
00:24:11,740 --> 00:24:25,740
Esto es, en realidad, que PQ, que fatalidad, este es P y este es Q, ¿vale?

208
00:24:25,940 --> 00:24:38,279
Que PQ es lo mismo que el vector OQ, que es este, menos OP, o sea, más PO.

209
00:24:39,220 --> 00:24:39,619
¿Sí o no?

210
00:24:39,619 --> 00:24:42,789
peo es este

211
00:24:42,789 --> 00:24:44,509
¿se entiende?

212
00:24:45,150 --> 00:24:46,410
si lo sumas pones

213
00:24:46,410 --> 00:24:48,289
más peo

214
00:24:48,289 --> 00:24:49,329
entonces

215
00:24:49,329 --> 00:24:51,710
sale pecu

216
00:24:51,710 --> 00:24:53,990
¿os dais cuenta o no?

217
00:24:54,769 --> 00:24:56,670
porque peo nace aquí

218
00:24:56,670 --> 00:24:57,410
y termina

219
00:24:57,410 --> 00:24:59,390
su cabeza está en los pies de

220
00:24:59,390 --> 00:25:00,549
o cu

221
00:25:00,549 --> 00:25:02,589
y si lo sumas te da peo

222
00:25:02,589 --> 00:25:03,410
¿se entiende o no?

223
00:25:03,970 --> 00:25:04,210
bien

224
00:25:04,210 --> 00:25:06,549
pero además está despejado de aquí

225
00:25:06,549 --> 00:25:07,630
de esta expresión

226
00:25:07,630 --> 00:25:08,849
¿se entiende?

227
00:25:09,589 --> 00:25:09,849
bien

228
00:25:09,849 --> 00:25:30,250
Bien, pues lo que digo es, ¿cómo encontrar, que esto es importante, cómo encontrar las coordenadas de un vector que une dos puntos? Pues a partir de esta expresión, el vector PQ resulta de restar OQ menos OP.

229
00:25:30,250 --> 00:25:34,029
Esto de aquí son las coordenadas del punto Q

230
00:25:34,029 --> 00:25:38,509
Porque identificamos el punto con el vector de posición

231
00:25:38,509 --> 00:25:41,730
Que nace en O y termina en Q en este caso

232
00:25:41,730 --> 00:25:42,410
¿Se ve o no?

233
00:25:43,190 --> 00:25:45,369
Y estas son las coordenadas del punto P

234
00:25:45,369 --> 00:25:50,430
¿Pues cómo calculan las coordenadas del vector que une P con Q?

235
00:25:50,630 --> 00:25:52,210
Pues restando las coordenadas de Q

236
00:25:52,210 --> 00:25:55,769
O sea, las del final menos las coordenadas del origen

237
00:25:55,769 --> 00:25:57,289
¿Se entiende o no?

238
00:25:57,289 --> 00:26:16,119
Y por tanto, el vector AB es el que tiene coordenadas, las coordenadas de B menos las coordenadas de A, restar los puntos.

239
00:26:16,960 --> 00:26:19,259
Pero es que restar los puntos en realidad no existe.

240
00:26:20,660 --> 00:26:26,079
Si existe, restar los vectores OB y OA, porque es lo mismo.

241
00:26:26,680 --> 00:26:30,220
O sea, lo que estoy intentando es que os acostumbréis a ver esa dualidad.

242
00:26:30,220 --> 00:26:45,660
Un punto lo veo como un vector de posición cuando me haga falta operar con ellos. ¿Entendéis o no? Entonces, aquí es OB menos OA, que son las coordenadas de B y de A.

243
00:26:45,660 --> 00:27:07,539
O sea, decidme. Sí, señora. Muy bien. En la práctica, el punto A de coordenadas 2, 5 y el punto B de coordenadas menos 3, 4, ¿cómo es el vector AB?

244
00:27:07,539 --> 00:27:26,880
Pues es b menos a, que es menos 3 menos 2, 4 menos 5, que es igual a menos 5 menos 1. ¿Se entiende o no? Pero en todo momento quiero que estéis entendiendo lo que estoy haciendo.

245
00:27:26,880 --> 00:27:58,569
¿Vale? Bien, esta cuestión es muy importante. Esto, ¿qué me lleva? Me lleva a lo siguiente. Vamos a ver ahora, a darle otra vueltecita más a esto. En realidad, si observo... A ver, me hacen una pregunta aquí, que es, ¿por qué el vector AB es B menos A y no A menos B?

246
00:27:58,569 --> 00:28:24,779
No es lo mismo, no. Vamos a ver por qué no. Pues si haces a menos b, en realidad estás haciendo oa menos ob, ¿sí o no? Vamos a ver qué es esto geométricamente. Aquí tienes a y aquí tienes b. ¿Quién es oa? Aquí está el origen, oa es este. Y ob sería este, ¿sí o no?

247
00:28:24,779 --> 00:28:45,519
Restar OA menos OB es lo mismo que sumar OA más el opuesto de OB. ¿Estás de acuerdo? O sea, OA más BO. ¿Sí o no? ¿Seguro? Bien.

248
00:28:45,519 --> 00:29:06,640
Bien, ahora hay que sumar entonces. A menos B es lo mismo que sumar OA más BO. El pie está aquí y aquí la cabeza. Aquí está el pie de OA y aquí la cabeza. El vector es este, ¿verdad? Este es BA, el que une B con A, no A con B.

249
00:29:07,579 --> 00:29:09,019
¿Te das cuenta? No es lo mismo.

250
00:29:13,799 --> 00:29:22,640
Lo que estoy intentando decir es, a ver, ¿cuáles son las coordenadas de un vector que empieza en A y termina en B?

251
00:29:25,720 --> 00:29:26,980
O sea, el vector AB.

252
00:29:28,119 --> 00:29:28,740
¿Sí o no?

253
00:29:29,599 --> 00:29:30,420
¿Me sigues o no?

254
00:29:30,660 --> 00:29:31,140
Bien.

255
00:29:31,579 --> 00:29:39,099
Pues estamos diciendo aquí, hemos visto que es equivalente a restar las coordenadas de B menos las de A.

256
00:29:41,380 --> 00:29:42,079
¿Por qué?

257
00:29:42,079 --> 00:29:56,940
¿Por qué? Por lo que hemos visto antes. Pues por lo que hemos visto antes, mira, a b, yo he dicho que es lo mismo que hacer b menos a, ¿sí o no?

258
00:29:57,220 --> 00:30:07,640
Pero ¿esto qué es exactamente? Pues es restar el vector ob menos el vector a, ¿sí o no? Vamos a ver si es cierto o no.

259
00:30:07,640 --> 00:30:13,519
Lo he explicado antes, ¿no? Está grabado, pero lo repito

260
00:30:13,519 --> 00:30:20,920
Pues mira, si aquí está A y aquí está B

261
00:30:20,920 --> 00:30:31,480
Yo lo que estoy defendiendo es que el vector OB es OB menos OA

262
00:30:31,480 --> 00:30:35,660
O sea, más AO, ¿sí o no?

263
00:30:37,660 --> 00:30:41,640
AO más OB, ¿quién es?

264
00:30:41,640 --> 00:30:58,680
Es este vector más este. No es BA, es AB. Empieza en A y termina en B. ¿Se ve la idea o no? ¿Se entiende?

265
00:30:59,180 --> 00:31:06,759
Mirad, de todo esto, lo que a mí me interesa es que veáis la siguiente operación. Vamos a hacer un resumen, intentar...

266
00:31:06,759 --> 00:31:11,880
Lo que me interesa es que os deis cuenta de lo siguiente.

267
00:31:11,880 --> 00:31:27,230
Mira, que desde el origen y el concepto de vector libre puedo llegar a cualquier punto.

268
00:31:27,750 --> 00:31:28,430
Esta es la idea.

269
00:31:29,230 --> 00:31:34,750
Es decir, por ejemplo, ¿yo puedo llegar a A mediante el vector o A?

270
00:31:35,890 --> 00:31:36,509
¿Sí o no?

271
00:31:36,509 --> 00:31:52,150
Bien, y si yo le sumo al punto A el vector V, que en realidad lo que estoy haciendo es sumar al vector OA el vector V, ¿sí o no?

272
00:31:53,150 --> 00:32:03,089
Donde me señala es a un punto que llamo Q. ¿Me seguís? Bien. Pues, ¿qué es esto? ¿Cómo escribo esto matemáticamente?

273
00:32:03,329 --> 00:32:08,230
Pues mira, esto es el vector OQ. Hemos dicho que si es un punto es un vector de posición.

274
00:32:08,650 --> 00:32:30,480
Bien, quiero que os deis cuenta de lo que significa esto que escribo. Q es igual al punto A más el vector V. ¿Qué pone en realidad? Pues pone que el vector OQ es igual a OA más V.

275
00:32:30,480 --> 00:32:55,859
Y esto es cierto, ¿verdad? Bien. A esta operación yo la voy a llamar a partir de ahora para referirme a ella, anclar un vector a un punto. ¿Vale? ¿Y qué resultado da de anclar un vector a un punto? ¿Cuál es el resultado de anclar un vector V a un punto? Otro punto.

276
00:32:55,859 --> 00:32:58,839
si yo anclo un vector a un punto

277
00:32:58,839 --> 00:32:59,839
me da otro punto

278
00:32:59,839 --> 00:33:01,380
y mira lo que está pasando

279
00:33:01,380 --> 00:33:03,500
que de esta manera

280
00:33:03,500 --> 00:33:05,819
estoy creando el espacio afín

281
00:33:05,819 --> 00:33:08,420
estoy creando todos los puntos

282
00:33:08,420 --> 00:33:09,059
¿por qué?

283
00:33:09,500 --> 00:33:11,079
porque mediante

284
00:33:11,079 --> 00:33:14,819
el origen

285
00:33:14,819 --> 00:33:15,920
por ejemplo

286
00:33:15,920 --> 00:33:18,720
esto me sirve

287
00:33:18,720 --> 00:33:20,240
para trasladar la idea

288
00:33:20,240 --> 00:33:21,660
del sistema de referencia

289
00:33:21,660 --> 00:33:23,920
por ejemplo, si yo quiero ver

290
00:33:23,920 --> 00:33:41,059
no todo desde O, sino desde A, cualquier punto S puedo llegar desde aquí como A más S, más vector K, imagínate.

291
00:33:42,160 --> 00:33:47,799
¿Os dais cuenta o no? ¿Se entiende? Bien, esta operación es una operación muy importante.

292
00:33:47,799 --> 00:33:55,180
y simbólicamente además funciona

293
00:33:55,180 --> 00:33:57,740
en el sentido de que yo puedo escribir V

294
00:33:57,740 --> 00:34:01,880
como el A pasó a restar

295
00:34:01,880 --> 00:34:03,220
Q menos A

296
00:34:03,220 --> 00:34:04,920
que ojo, son vectores

297
00:34:04,920 --> 00:34:08,079
son vectores porque yo quiero ahora

298
00:34:08,079 --> 00:34:10,780
porque tengo que restar estos dos puntos

299
00:34:10,780 --> 00:34:11,599
¿se entiende o no?

300
00:34:12,300 --> 00:34:14,000
y mira, es justamente el vector

301
00:34:14,000 --> 00:34:17,380
¿cómo puedo llamar también a V?

302
00:34:20,199 --> 00:34:20,719
muy bien

303
00:34:20,719 --> 00:34:22,099
a Q

304
00:34:22,099 --> 00:34:24,460
¿se ve la idea o no?

305
00:34:26,619 --> 00:34:27,019
¿se ve?

306
00:34:27,500 --> 00:34:29,599
y ahora vamos a hacer una construcción