1
00:00:00,510 --> 00:00:03,970
Hola, en este vídeo vamos a ver más ejercicios de integrales, ¿vale?

2
00:00:04,429 --> 00:00:07,570
De la 188 al 202 del libro.

3
00:00:07,889 --> 00:00:09,910
Venga, empezamos con la 188.

4
00:00:10,470 --> 00:00:13,169
A primera vista nos puede parecer una integral muy complicada,

5
00:00:13,310 --> 00:00:14,869
pero sin embargo es una integral inmediata,

6
00:00:15,529 --> 00:00:19,070
ya que lo que tenemos justamente es la raíz de una función

7
00:00:19,070 --> 00:00:21,850
y arriba en el numerador, o sea, en el denominador,

8
00:00:21,949 --> 00:00:23,489
tenemos la raíz cuadrada de una función.

9
00:00:24,070 --> 00:00:26,949
Y en el numerador lo que tenemos es justamente la derivada,

10
00:00:27,510 --> 00:00:29,309
salvo un signo, del radicando.

11
00:00:29,309 --> 00:00:38,030
Es decir, que esto justamente es la función de la que viene, la primitiva, es la raíz de 1 menos elevado a x,

12
00:00:38,289 --> 00:00:41,590
que es lo único que me falta arriba para tener la derivada del radicando, el menos.

13
00:00:42,049 --> 00:00:46,109
Por lo tanto, lo único que tengo que poner es un menos delante y ya tendríamos el más k.

14
00:00:47,149 --> 00:00:48,350
Es así de inmediata.

15
00:00:49,009 --> 00:00:56,009
La 189, sin embargo, no es inmediata y la vamos a hacer utilizando un cambio de variable.

16
00:00:56,009 --> 00:01:12,769
Vamos a llamar t ae elevado a x, por lo tanto x es el logaritmo neperiano de t y diferencial de x será 1 partido por t diferencial de t.

17
00:01:12,769 --> 00:01:36,079
¿Vale? Sustituimos en la integral estos cambios y me queda 1 partido de 1 menos t, el diferencial de x, esta tengo la sensación de que esta la hemos hecho un montón de veces, 1 partido por t, diferencial de t, ¿verdad?

18
00:01:36,079 --> 00:01:55,000
Esta la he hecho en un vídeo anterior. Bueno, da igual, la volvemos a hacer. Es un producto, o sea, es una función racional, ¿vale? Porque esto lo podríamos poner como 1 partido de 1 menos t por t, diferencial de t.

19
00:01:55,000 --> 00:02:16,379
Las raíces del denominador son 1 y 0, por lo tanto van a ser fracciones simples, así que lo que hacemos es dividir el 1 partido por 1 menos t, t, lo vamos a poner como una suma de dos fracciones, a partido por 1 menos t más b partido de t.

20
00:02:16,379 --> 00:02:28,900
Y esto es a por t más b por 1 menos t, todo dividido por 1 menos t por t.

21
00:02:29,699 --> 00:02:41,300
Y de aquí lo que sacamos es, sacamos que 1 es lo mismo que a por t más b por 1 menos t por lo de siempre,

22
00:02:41,300 --> 00:02:46,539
para que dos fracciones sean iguales, tienen que tener el mismo, en este caso como tienen el mismo denominador,

23
00:02:46,680 --> 00:02:47,979
tienen que tener el mismo numerador.

24
00:02:48,580 --> 00:02:58,379
Ahora sustituimos las raíces, que hemos dicho que eran 1 y 0, si t es 0, lo que obtenemos es 1 igual a b,

25
00:02:59,379 --> 00:03:05,319
y si t es 1, lo que obtenemos es que 1 es igual a a, ¿vale?

26
00:03:05,319 --> 00:03:24,020
Por lo tanto, esta integral será integral de, a ver, a partido, a es 1, partido de 1 menos t, más b, que es 1, partido de t, diferencial de t.

27
00:03:24,020 --> 00:03:43,219
Y esta, sustituyo, sigo aquí abajo, es igual a logaritmo neperiano de 1 menos t, más logaritmo neperiano de t, ¿vale? Más k.

28
00:03:43,879 --> 00:03:49,400
Vale, creo que en el otro caso no salía, digamos, la misma integral, pero sin hacer un cambio de variable.

29
00:03:49,400 --> 00:03:55,219
Es un cambio de variable, tenemos que volver a poner, o sea, tenemos que quitar, deshacer el cambio, ¿no?

30
00:03:55,219 --> 00:04:03,479
Lo que se llama, en lugar de t necesitamos x, luego esto se me va a quedar como logaritmo neperiano de 1 menos e elevado a x,

31
00:04:04,580 --> 00:04:10,740
más el logaritmo neperiano de e elevado a x más k.

32
00:04:11,580 --> 00:04:15,879
Y bueno, ¿quién es el logaritmo neperiano de elevado a x?

33
00:04:15,879 --> 00:04:26,759
pues eso es justamente x, ¿vale? Luego esto me queda logaritmo neperiano de 1 menos elevado a x más x más k, ¿vale?

34
00:04:27,680 --> 00:04:32,939
Venga, seguimos con el 190. Es un cociente, o sea, una función racional, un cociente de polinomios.

35
00:04:33,560 --> 00:04:39,779
Tienen el mismo grado, así que hacemos la división. 2x lo divido entre x menos 1.

36
00:04:40,699 --> 00:04:45,500
2x entre x es 2, 2 por menos 1 es menos 2, por lo tanto aquí quedaría el 2,

37
00:04:46,420 --> 00:04:50,100
el más 2 y sería 2 por x, 2x, luego el menos.

38
00:04:51,279 --> 00:04:53,620
Se me va y me queda directamente un 2, ¿vale?

39
00:04:53,959 --> 00:05:03,939
Os recuerdo la fórmula, que el dividendo partido por divisor es lo mismo que cociente más el resto partido de divisor.

40
00:05:03,939 --> 00:05:12,180
Por lo tanto esto me queda la integral del cociente que es 2 más el resto que es 2 partido del divisor que es x menos 1

41
00:05:12,180 --> 00:05:15,439
Diferencial de x y ahora ya todo esto es inmediato

42
00:05:15,439 --> 00:05:22,819
Esto es la integral de 2 es 2x más la siguiente integral, siguiente sumando es un logaritmo neperiano

43
00:05:22,819 --> 00:05:29,399
Luego es 2 por el logaritmo neperiano de valor absoluto x menos 1 más k

44
00:05:29,399 --> 00:05:33,879
vale, ya he escrito el 191

45
00:05:33,879 --> 00:05:36,620
el 191 pues también es inmediata, ¿verdad?

46
00:05:37,019 --> 00:05:37,839
porque ¿qué tenemos?

47
00:05:38,339 --> 00:05:40,259
es una función racional

48
00:05:40,259 --> 00:05:41,680
pero resulta que en el numerador

49
00:05:41,680 --> 00:05:43,839
tenemos la derivada del denominador

50
00:05:43,839 --> 00:05:45,279
que siempre lo tenemos que mirar

51
00:05:45,279 --> 00:05:47,540
es la derivada salvo un 2

52
00:05:47,540 --> 00:05:49,579
por lo tanto esto es una integral inmediata

53
00:05:49,579 --> 00:05:51,540
no es otra cosa que un logaritmo neperiano

54
00:05:51,540 --> 00:05:53,699
del x cuadrado más 1

55
00:05:53,699 --> 00:05:55,699
¿qué es lo que me falta para tener

56
00:05:55,699 --> 00:05:57,399
exactamente toda la derivada?

57
00:05:57,399 --> 00:05:59,639
el 2, pues lo divido entre 2

58
00:05:59,639 --> 00:06:00,800
más k

59
00:06:00,800 --> 00:06:06,639
venga, vamos a seguir con la 192

60
00:06:06,639 --> 00:06:08,579
que es también inmediata

61
00:06:08,579 --> 00:06:10,579
porque es lo que tengo, una fracción

62
00:06:10,579 --> 00:06:12,839
pero en el numerador tengo la derivada del denominador

63
00:06:12,839 --> 00:06:14,459
luego esto no es otra cosa que

64
00:06:14,459 --> 00:06:15,560
un logaritmo en el periano

65
00:06:15,560 --> 00:06:17,220
de x más 1

66
00:06:17,220 --> 00:06:20,139
más k, vale

67
00:06:20,139 --> 00:06:22,439
la 193 es también

68
00:06:22,439 --> 00:06:24,500
muy sencillita, es la integral

69
00:06:24,500 --> 00:06:26,899
de un polinomio, por lo tanto son funciones potenciales

70
00:06:26,899 --> 00:06:28,199
luego esta es x quinta

71
00:06:28,199 --> 00:06:34,759
partido de 5, menos aquí directamente x cuarta, ya tenemos el 4 delante,

72
00:06:35,579 --> 00:06:42,660
más x3 partido de 3, más, y aquí lo mismo, el 6 es 3 por 2, ¿vale?

73
00:06:42,660 --> 00:06:48,339
Pues ya directamente quito el 2 y esto me queda simplemente el 3x cuadrado, ¿de acuerdo?

74
00:06:48,660 --> 00:06:50,560
Y me falta la K de siempre.

75
00:06:51,639 --> 00:06:56,459
La 194 es una función racional, pero el denominador es más pequeño,

76
00:06:56,459 --> 00:07:11,319
El grado del denominador es más pequeño que el del numerador, se puede dividir y como además es simplemente x, divido cada uno de los sumandos por x y me quedaría x menos 3 más 2 partido por x, diferencial de x.

77
00:07:11,620 --> 00:07:21,899
Uy, me he comido aquí el de x, ¿vale? No me he dado cuenta, me he comido aquí como siempre un de x, en la siguiente también me he comido aquí el de x, ¿vale?

78
00:07:21,899 --> 00:07:40,379
¿Vale? Venga, pues esta integral es inmediata también como la anterior, esta es x cuadrado partido por 2 menos 3x más 2 y lo que tengo que es 1 partido por x es el logaritmo neperiano de x más k, ¿vale? Esas tres serán inmediatas.

79
00:07:40,379 --> 00:07:54,639
Venga, vamos con la 195. La 195 es un cociente de fracciones, ¿vale? El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, por lo tanto podemos dividir.

80
00:07:54,639 --> 00:08:03,259
4x cuadrado más 3x menos 9, lo divido entre x más 2.

81
00:08:04,540 --> 00:08:13,560
Me queda primero 4x, 4 por 2 son 8x, menos 8x, 4x por x, 4x cuadrado,

82
00:08:13,560 --> 00:08:16,180
así que ponemos el opuesto, menos 4x cuadrado.

83
00:08:16,860 --> 00:08:20,279
Se me va, aquí me queda menos 5x, menos 9.

84
00:08:20,279 --> 00:08:23,420
Menos 5x entre x, esto es un menos 5

85
00:08:23,420 --> 00:08:26,019
Menos 5 por 2 es menos 10

86
00:08:26,019 --> 00:08:27,759
Opuesto más 10

87
00:08:27,759 --> 00:08:30,259
Menos 5 por x, menos 5x

88
00:08:30,259 --> 00:08:31,740
Opuesto 5x

89
00:08:31,740 --> 00:08:34,480
Se me va y me queda de resto 1

90
00:08:34,480 --> 00:08:34,860
¿Vale?

91
00:08:35,200 --> 00:08:37,379
Os recuerdo otra vez la fórmula

92
00:08:37,379 --> 00:08:40,259
Dividendo partido por divisor

93
00:08:40,259 --> 00:08:44,740
Es cociente más el resto partido del divisor

94
00:08:44,740 --> 00:08:47,860
Y entonces esta integral me queda cociente

95
00:08:47,860 --> 00:08:49,639
4x menos 5

96
00:08:49,639 --> 00:08:57,379
más el resto que es 1 partido del divisor que es x más 2, ¿vale?

97
00:08:57,539 --> 00:08:58,379
Diferencial de x.

98
00:08:58,679 --> 00:09:01,899
En este caso la última fracción que me queda es también un logaritmo

99
00:09:01,899 --> 00:09:04,879
ya que la derivada de x más 2 es directamente 1.

100
00:09:05,480 --> 00:09:09,539
Luego me queda todo inmediato, la integral de 4x es 2x cuadrado

101
00:09:09,539 --> 00:09:12,919
de menos 5 es menos 5x

102
00:09:12,919 --> 00:09:18,320
y como he dicho la última fracción es el logaritmo neperiano de x más 2.

103
00:09:18,320 --> 00:09:21,720
Todo esto, como siempre, más k

104
00:09:21,720 --> 00:09:24,320
Vamos con el 196

105
00:09:24,320 --> 00:09:27,679
Es un cociente, una función racional, un cociente de polinomios

106
00:09:27,679 --> 00:09:30,620
Mismo grado, por lo tanto podemos dividir

107
00:09:30,620 --> 00:09:34,360
Pues dividimos x cuadrado más x más 2

108
00:09:34,360 --> 00:09:38,320
Entre el x cuadrado menos 1

109
00:09:38,320 --> 00:09:43,539
Me queda 1 y que me quedaría 1 por menos 1 es menos 1

110
00:09:43,539 --> 00:09:48,860
Por lo tanto, más 1, 1 por x cuadrado, x cuadrado opuesto, menos x cuadrado.

111
00:09:49,720 --> 00:09:52,580
Sumando me queda x más 3, ¿vale?

112
00:09:53,899 --> 00:09:58,759
Y aplicamos la fórmula, esto será igual, no la escribo, la acabo de escribir antes,

113
00:09:59,299 --> 00:10:03,139
cociente que es 1 más el resto que es x más 3,

114
00:10:04,440 --> 00:10:13,120
dividido entre el divisor que es x cuadrado menos 1, diferencial de x.

115
00:10:13,539 --> 00:10:21,600
¿Qué ocurre? Que la fracción que tengo ahora no es inmediata, o sea, no tenemos arriba la derivada del denominador.

116
00:10:22,220 --> 00:10:26,720
Por lo tanto, tenemos que aplicar el método de fracciones simples.

117
00:10:27,039 --> 00:10:37,519
x cuadrado menos 1 se ve a ojo, ¿verdad? Sabemos que x cuadrado menos 1, lo voy a quitar de aquí para que se vea un poco.

118
00:10:37,519 --> 00:10:42,320
esta es la primera parte, ahora lo que hacemos es que el x cuadrado menos 1

119
00:10:42,320 --> 00:10:47,460
es la suma por diferencia, ¿verdad? es x más 1 por x menos 1

120
00:10:47,460 --> 00:10:51,580
fijaos lo que os he dicho antes también, el coeficiente del x es 1, ¿vale?

121
00:10:51,580 --> 00:10:56,559
si hubiéramos calculado las raíces, como el coeficiente es 1, se nos hubiera quedado de esta manera

122
00:10:56,559 --> 00:11:02,559
y de aquí lo que nosotros sabemos es que las raíces son x igual 1 y x igual a menos 1

123
00:11:02,559 --> 00:11:18,639
Por lo tanto, x más 3, la fracción que tenemos entre x cuadrado menos 1, lo vamos a escribir como a partido por x más 1 más b partido por x menos 1.

124
00:11:20,139 --> 00:11:27,259
Operamos y esto me queda a por x menos 1 más b por x más 1, fijaos que siempre hacemos lo mismo, ¿vale?

125
00:11:27,259 --> 00:11:35,519
entre x más 1, más 1, por x menos 1.

126
00:11:36,519 --> 00:11:41,159
Igualamos las fracciones y entonces lo que me queda es x más 3, es lo mismo que a,

127
00:11:42,019 --> 00:11:44,600
no es que igualemos las fracciones, es lo que siempre digo, ¿vale?

128
00:11:45,019 --> 00:11:49,100
Para que dos fracciones sean iguales, como tienen el mismo denominador,

129
00:11:49,100 --> 00:11:55,100
tienen que tener el mismo numerador, entonces igualamos los numeradores, más b por x más 1.

130
00:11:56,000 --> 00:12:12,720
Para calcular el a y el b sustituimos en las raíces cuando x es 1, lo que me queda es 1 más 3 es 4, el a se me va porque es 0 y me queda 2b, por lo tanto b es 4 entre 2, 2.

131
00:12:12,720 --> 00:12:19,700
y si la x vale menos 1, aquí me queda 1, menos 1 más 3 es 2

132
00:12:19,700 --> 00:12:23,659
y aquí me quedaría menos 2a y la b se me iría

133
00:12:23,659 --> 00:12:28,860
y me queda que la a es 2 entre menos 2, es decir, menos 1.

134
00:12:29,159 --> 00:12:35,919
Por lo tanto vuelvo a mi integral inicial y aquí me queda que esto es la integral de 1

135
00:12:35,919 --> 00:12:40,860
también la podríamos haber hecho, pero bueno, más a que es menos 1

136
00:12:40,860 --> 00:12:51,820
partido por x más 1 más b que es 2 partido por x menos 1 diferencial de x y ya hemos dicho que

137
00:12:51,820 --> 00:12:57,019
estas dos integrales son inmediatas vale y aquí que es lo que me quedaría bueno las dos integrales

138
00:12:57,019 --> 00:13:03,360
quiere decir la integral son una suma de tres que son todas inmediatas x menos logaritmo neperiano

139
00:13:03,360 --> 00:13:14,000
de x más 1, observar que su derivada es justamente 1, más 2 logaritmo neperiano de x menos 1 más k.

140
00:13:17,600 --> 00:13:23,259
Venga, pues ahora vamos con el 197, tenemos un producto de una función potencial por una exponencial,

141
00:13:24,159 --> 00:13:29,500
obviamente lo que tenemos no es la derivada del exponente, así que lo que parece bastante claro

142
00:13:29,500 --> 00:13:32,340
es que lo que tenemos que hacer es aplicar el método de integración por partes,

143
00:13:32,340 --> 00:13:45,750
ya que lo que tenemos también es un producto, llamamos u al x cuadrado más 5 y entonces el diferencial de u será 2x diferencial de x

144
00:13:45,750 --> 00:13:59,529
y vamos a llamar diferencial de v a elevado a menos x diferencial de x y entonces la v va a ser ella misma con el menos de la derivada del exponente

145
00:13:59,529 --> 00:14:01,909
elevado a menos x

146
00:14:01,909 --> 00:14:02,870
¿vale?

147
00:14:03,210 --> 00:14:05,649
bien, pues aplicamos la integración por partes

148
00:14:05,649 --> 00:14:10,370
escribo la fórmula aquí para recordarosla

149
00:14:10,370 --> 00:14:13,210
si tenemos la integral de u diferencial de v

150
00:14:13,210 --> 00:14:16,029
esto es u por v

151
00:14:16,029 --> 00:14:21,690
menos la integral de v diferencial de u

152
00:14:21,690 --> 00:14:22,509
¿vale?

153
00:14:23,850 --> 00:14:24,450
bien

154
00:14:24,450 --> 00:14:27,590
pues aquí me queda ahora u por v menos

155
00:14:27,590 --> 00:14:28,870
voy a poner delante el menos

156
00:14:28,870 --> 00:14:35,009
menos x cuadrado más 5 por elevado a menos x, ¿vale?

157
00:14:35,990 --> 00:14:42,490
Menos la integral de v diferencial de v, es decir, el menos que tenemos de la v,

158
00:14:42,710 --> 00:14:51,549
este de aquí, lo voy a transformar aquí en más, y me quedaría 2x por elevado a menos x diferencial de x, ¿vale?

159
00:14:52,590 --> 00:14:58,169
Todavía no nos queda una integral inmediata, tenemos que volver a aplicar la integración por partes, ¿vale?

160
00:14:58,169 --> 00:15:23,750
Bueno, pues hacemos lo mismo, u lo voy a llamar, voy a llamarle 2x y entonces diferencial de u es 2 diferencial de x y mi diferencial de v va a ser la misma de antes, la e elevado a menos x, diferencial de x y entonces la v va a ser menos e elevado a menos x.

161
00:15:23,750 --> 00:15:35,090
Y aquí sustituimos, aplicamos otra vez la fórmula y me queda menos lo que teníamos, el x cuadrado más 5 por e elevado a menos 5.

162
00:15:35,450 --> 00:15:42,169
Y había cambiado el signo porque ahora para poder directamente poner la fórmula con el más sin poner paréntesis sería u por v,

163
00:15:42,169 --> 00:15:54,470
que sería 2x por menos e elevado a menos x menos la integral de v diferencial de u.

164
00:15:54,649 --> 00:16:05,529
Como tengo otra vez el menos de la v, lo voy a poner aquí más y me queda 2e elevado a menos x diferencial de x.

165
00:16:05,529 --> 00:16:27,200
¿Vale? Y esto vamos a bajarlo aquí abajo, a ver si me quiere seguir escribiendo, esto sería menos x cuadrado más 5 por elevado a menos 5, ahora pongo aquí el menos 2x por elevado a menos x, ¿vale?

166
00:16:27,200 --> 00:16:31,539
He cogido este menos de aquí, es lo que he cogido, y ahora ¿qué tengo?

167
00:16:31,620 --> 00:16:34,480
Ahora ya sí que tengo una integral inmediata, ¿y esto qué sería?

168
00:16:36,179 --> 00:16:38,759
Sería un menos, porque me falta de antes, ¿vale?

169
00:16:38,820 --> 00:16:44,919
Menos 2 por elevado a menos x, es la integral que he estado haciendo todo el tiempo, más k.

170
00:16:46,440 --> 00:16:52,519
Y podemos sacar, uy, aquí he puesto elevado a menos 5, ¿y por qué he puesto elevado a menos 5?

171
00:16:52,980 --> 00:16:54,820
Esto se me fue la pinza antes.

172
00:16:55,759 --> 00:17:02,840
Supongo que cuando lo puse en el vídeo vosotros os daríais cuenta de que no sé por qué estaríais diciendo

173
00:17:02,840 --> 00:17:06,720
¿y por qué pones elevado a menos 5? Pues eso, porque se me fue la pinza.

174
00:17:07,240 --> 00:17:09,240
Es elevado a menos x todo el tiempo, ¿vale?

175
00:17:10,539 --> 00:17:16,079
Elevado a menos x, porque ahora lo que voy a hacer es sacar factor común al elevado a menos x

176
00:17:16,079 --> 00:17:29,109
Y me queda que multiplica a menos x cuadrado menos 5 menos 2x menos 2, ¿vale?

177
00:17:29,390 --> 00:17:31,869
Estoy cogiendo todos los coeficientes más k.

178
00:17:33,089 --> 00:17:47,670
Y operamos un poquito el paréntesis y me queda que esto es elevado a menos x por menos x cuadrado menos 2x menos 7 más k.

179
00:17:48,349 --> 00:17:59,630
Venga, seguimos con el 198 que es una integral inmediata porque lo que tenemos es una función potencial, ¿verdad?

180
00:17:59,630 --> 00:18:10,990
Esto lo puedo poner como si fuera la integral de 16 por x más 1 elevado a menos 2 diferencial de x y la derivada del x más 1 es directamente 1.

181
00:18:10,990 --> 00:18:23,049
Luego esto es 16, la constante, y el x más 1 elevado a menos 2 más 1, y en el denominador, menos 2 más 1 más k.

182
00:18:24,529 --> 00:18:37,690
Luego esto va a ser igual, el denominador es menos 1, así que me queda un menos 16, y ya lo voy a bajar directamente porque me quedaría elevado a menos 1, que es lo mismo que partido de x más 1, más k.

183
00:18:38,829 --> 00:18:39,230
¿Vale?

184
00:18:40,990 --> 00:18:44,190
Bien, el 199, pues es otra integral inmediata.

185
00:18:44,789 --> 00:18:46,150
¿Quién es? La hemos hecho antes.

186
00:18:46,369 --> 00:18:49,470
Esta es menos elevado a menos x, más k.

187
00:18:50,650 --> 00:18:52,789
Se repiten mucho las del libro.

188
00:18:53,430 --> 00:18:54,750
Y venga, vamos con la 200.

189
00:18:56,789 --> 00:18:59,190
El ejercicio 200, pues ¿qué vamos a tener que hacer?

190
00:18:59,630 --> 00:19:01,529
Pues en el 200 es una integración por partes.

191
00:19:01,529 --> 00:19:06,349
Tenemos un no es inmediata, porque la derivada de 2x no es x, es 2.

192
00:19:06,970 --> 00:19:08,609
Por lo tanto, hacemos una integración por partes.

193
00:19:08,609 --> 00:19:31,490
Entonces vamos a llamar u a x, diferencial de u va a ser diferencial de x y diferencial de v va a ser elevado a 2x, diferencial de x, por lo tanto v va a ser elevado a 2x ella misma pero me falta la derivada del exponente que es 2 así que lo dividimos entre ella.

194
00:19:31,490 --> 00:19:57,460
Y ahora aplicamos la fórmula u por v, es decir, x por e elevado a 2x partido por 2 menos la integral de v diferencial de u, es decir, de e elevado a 2x partido por 2 diferencial de x.

195
00:19:57,460 --> 00:20:01,539
que ahora esta sí que es otra vez una integral inmediata, y entonces aquí ¿qué es lo que me queda?

196
00:20:01,980 --> 00:20:13,059
x por e elevado a 2x, todo partido por 2, menos e elevado a 2x, ella misma, tendríamos que dividirla por el 2 que tengo,

197
00:20:13,660 --> 00:20:18,119
y este otro 2 del exponente, luego me queda dividido entre 4, más k.

198
00:20:19,319 --> 00:20:27,299
Y si queremos, sacamos un factor común al e elevado a 2x, de hecho podríamos sacarlo también partido de 2,

199
00:20:27,299 --> 00:20:36,900
pero bueno, elevado a 2x y me quedaría que multiplica a x medios menos un cuarto más k, ¿vale?

200
00:20:37,019 --> 00:20:37,980
Este sería el 200.

201
00:20:39,359 --> 00:20:45,240
Venga, el 201 me pide en la integral, ya que tenemos una trigonométrica, x por coseno de x cuadrado,

202
00:20:45,819 --> 00:20:51,460
pero nos tenemos que dar cuenta que es inmediata, porque ¿quién es la derivada de x cuadrado?

203
00:20:51,460 --> 00:20:54,960
La derivada de x al cuadrado es 2x y aquí tengo una x, ¿vale?

204
00:20:55,440 --> 00:21:01,359
Por lo tanto, tengo la integral del coseno de una función y tengo la derivada de esa función.

205
00:21:01,980 --> 00:21:05,579
Luego esto va a ser directamente el seno de x al cuadrado,

206
00:21:06,380 --> 00:21:11,400
en la que la única que me falta es el 2 para que fuera directamente su integral, ¿vale?

207
00:21:11,720 --> 00:21:13,700
Más k, perdón, su derivada.

208
00:21:15,380 --> 00:21:18,619
Venga, en el ejercicio 202 lo que me piden es calcular esa integral

209
00:21:18,619 --> 00:21:21,420
y me están dando además el cambio que tengo que hacer.

210
00:21:21,460 --> 00:21:32,420
¿Vale? Hay veces que en los enunciados directamente me dicen el cambio y lo que me están diciendo es que resuelva esa integral haciendo el cambio t igual a elevado a x, ¿vale?

211
00:21:32,640 --> 00:21:40,059
Y que luego de entre todas las primitivas calcule el valor de la constante, de la constante k, para que pase por el origen de coordenadas.

212
00:21:40,640 --> 00:21:43,160
Venga, vamos a ir primero, vamos a hacer primero el cambio de variable.

213
00:21:43,619 --> 00:21:49,539
Si t es igual a elevado a x, sabemos que entonces x es el logaritmo neperiano de t

214
00:21:49,539 --> 00:21:55,279
y que por lo tanto diferencial de x será 1 partido por t diferencial de t.

215
00:21:56,200 --> 00:21:58,319
Venga, pues ahora vamos simplemente a sustituir.

216
00:21:59,339 --> 00:22:00,380
Esto va a ser igual.

217
00:22:01,799 --> 00:22:06,900
La integral es 2x y me han dicho que haga el cambio elevado a x.

218
00:22:07,000 --> 00:22:08,619
Bueno, pues esto es lo que significa.

219
00:22:08,619 --> 00:22:18,480
O sea, si t es igual a elevado a x, sabemos que elevado a 2x es lo mismo que elevado a x al cuadrado, ¿verdad?

220
00:22:18,599 --> 00:22:20,799
Por lo tanto, esto es lo mismo que si fuera t cuadrado.

221
00:22:21,539 --> 00:22:27,779
Por lo tanto, aquí me queda t cuadrado por el seno de t.

222
00:22:28,079 --> 00:22:35,420
Y ahora tengo que multiplicar por derivada diferencial de x, de x, que es 1 partido de t, diferencial de t.

223
00:22:36,200 --> 00:22:36,400
¿Vale?

224
00:22:37,200 --> 00:22:38,500
¿Y esto cuánto va a ser?

225
00:22:38,619 --> 00:22:47,519
Pues esto va a ser la integral de t por el seno de t diferencial de t.

226
00:22:48,359 --> 00:22:50,420
Vale, ¿y esta cómo lo vamos a hacer?

227
00:22:50,519 --> 00:22:55,839
Pues a ver, es un producto, tengo una t que sé que su derivada es 1

228
00:22:55,839 --> 00:22:59,200
y tengo un seno que sé integrar y derivar fácilmente.

229
00:22:59,640 --> 00:23:01,779
Bueno, pues ahora vamos a hacer un cambio de variable.

230
00:23:02,700 --> 00:23:02,900
¿Vale?

231
00:23:03,240 --> 00:23:05,960
Vamos a llamarle u a t.

232
00:23:05,960 --> 00:23:12,940
cuando lo quiera escribir y por lo tanto diferencial de u será diferencial de t

233
00:23:12,940 --> 00:23:20,640
y vamos a llamar diferencial de v al seno de t, diferencial de t

234
00:23:20,640 --> 00:23:27,799
y por lo tanto mi v va a ser el menos coseno de t, ¿vale?

235
00:23:28,559 --> 00:23:37,309
Venga, pues aplicamos la integración por partes, u por v, es decir, menos t coseno de t

236
00:23:37,309 --> 00:23:43,480
menos la integral de v diferencial de u.

237
00:23:44,059 --> 00:23:50,000
Como tengo un menos, voy a quitarlo, o sea, tengo este menos del menos coseno de t,

238
00:23:50,000 --> 00:23:56,140
lo voy a sumar aquí y me queda coseno de t diferencial de t.

239
00:23:56,500 --> 00:23:57,920
¿Vale? Y veis que ahora ya es todo inmediato.

240
00:23:58,559 --> 00:24:05,019
Me queda el menos t coseno de t más, ¿quién es la integral del coseno de t?

241
00:24:05,119 --> 00:24:08,420
¿Qué función tiene por derivada el coseno de t? Pues el seno de t.

242
00:24:08,880 --> 00:24:19,690
diferencial, ui, no, diferencial de t, no, seno de t más k, ¿vale?

243
00:24:19,690 --> 00:24:25,029
Y ahora, ¿qué tenemos que hacer? Deshacer el cambio, porque hemos empezado con un cambio de variable, ¿vale?

244
00:24:25,170 --> 00:24:31,930
Pues esto, ¿quién va a ser? Hemos dicho que la t era e elevado a x, pues esto me queda menos e elevado a x,

245
00:24:31,930 --> 00:24:43,410
coseno de elevado a x más el seno de elevado a x más k.

246
00:24:44,069 --> 00:24:46,150
¿Qué me estaban pidiendo en el segundo apartado?

247
00:24:46,289 --> 00:24:50,730
Os he dicho que lo que me estaban pidiendo es calcular el valor de k, ¿vale?

248
00:24:50,730 --> 00:24:57,609
De alguna manera lo que me están pidiendo, calcular el valor de k para que pase, ¿vale?

249
00:24:58,150 --> 00:25:00,250
Para que pase por el origen de coordenadas.

250
00:25:00,730 --> 00:25:03,769
¿Quién es el origen de coordenadas? El punto 0, 0.

251
00:25:05,589 --> 00:25:13,369
Venga, pues entonces, si a esta función, que es lo que yo acabo de calcular, esta integral, le llamo f de x,

252
00:25:14,289 --> 00:25:22,720
lo que nosotros queremos de aquí es que f de 0 sea 0.

253
00:25:23,519 --> 00:25:25,140
Bueno, pues vamos a imponerlo.

254
00:25:26,460 --> 00:25:27,599
¿Quién es f de 0?

255
00:25:27,599 --> 00:25:46,990
Bueno, pues a ver, sustituimos menos e elevado a 0, que es 1, por el coseno elevado a 0, sigue siendo 1, por tanto sería por el coseno de 1, más el seno de 1 más k.

256
00:25:46,990 --> 00:25:50,509
Y queremos que esto sea 0

257
00:25:50,509 --> 00:25:52,450
Bueno, pues de aquí sacamos

258
00:25:52,450 --> 00:25:54,690
Que cuánto tiene que valer k

259
00:25:54,690 --> 00:25:57,130
Pues k tiene que ser igual

260
00:25:57,130 --> 00:25:59,329
Al coseno de 1

261
00:25:59,329 --> 00:26:01,490
Menos

262
00:26:01,490 --> 00:26:03,630
El seno de 1

263
00:26:03,630 --> 00:26:04,289
¿Vale?

264
00:26:05,589 --> 00:26:07,650
Y lo dejaríamos así

265
00:26:07,650 --> 00:26:08,390
No hace falta

266
00:26:08,390 --> 00:26:10,670
A ver si queréis tirar de calculadora

267
00:26:10,670 --> 00:26:13,109
Pero lo podemos dejar así tranquilamente

268
00:26:13,109 --> 00:26:13,329
¿Vale?