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00:00:00,500 --> 00:00:10,160
En este vídeo vamos a resolver el problema de la PAU de Madrid del modelo 2017, es decir, de la nueva EVAU.

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00:00:10,980 --> 00:00:17,739
Es un problema de geometría 3D que tenemos aquí, es del modelo A, el ejercicio 1.

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00:00:18,300 --> 00:00:23,940
Nos dan dos rectas, una en forma continua, otra en forma paramétrica, es decir, explícitamente punto y vector.

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00:00:23,940 --> 00:00:30,359
Y lo primero que nos piden es comprobar que se cruzan y calcular la distancia entre ellas.

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00:00:30,500 --> 00:00:43,020
Voy a empezar, aunque eso no lo podríamos hacer en la EBAU, por pintar las dos rectas, punto y vector, la recta R, y punto y vector, la recta S.

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00:00:44,240 --> 00:00:52,719
Se puede ver en GeoGebra fácilmente que las rectas se cruzan, pero claro, esto no valdría en la EBAU.

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00:00:52,719 --> 00:01:03,479
Lo que tenemos que hacer, lógicamente, es construir la matriz con los dos vectores directores de las dos rectas y calcular el rango.

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00:01:04,280 --> 00:01:12,239
Se ve fácilmente que si cogemos este determinante 2 por 2, da menos 5, menos 1, menos 6, diferente de 0, el rango es 2.

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00:01:12,540 --> 00:01:22,439
Ahora, añadimos el vector AB, construimos una matriz de 3 por 3 y calculamos el rango, que en este caso es 3.

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00:01:22,719 --> 00:01:39,040
Luego la respuesta a comprobar que se cruzan ya estaría, porque hemos dicho que el rango de la matriz de los vectores u y v es 2 y el rango de la matriz de los vectores u, v y ab es 3.

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00:01:39,280 --> 00:01:46,780
Es decir, los tres vectores son linealmente independientes. Esto quiere decir que las dos rectas se cruzan.

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00:01:46,780 --> 00:01:58,040
En realidad, aquí en GeoGebra hemos calculado el rango, pero lo que nos interesaría es calcular el determinante de esta matriz, que le hacemos y da menos 20.

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00:01:58,459 --> 00:02:03,280
Distinto de 0, luego el rango es 3, luego las dos rectas se cruzan.

14
00:02:03,939 --> 00:02:10,080
Para calcular la distancia vamos a utilizar este problema incluso para explicar la fórmula.

15
00:02:10,080 --> 00:02:27,800
Si nosotros construimos la fórmula de la distancia sería esta, el cociente entre el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores y el módulo del producto vectorial de los vectores u y v correspondientes a cada una de las rectas.

16
00:02:27,800 --> 00:02:46,879
Pues como decíamos, vamos a construir un paralelepípedo, que como se puede ver aquí, está formado o definido por los vectores u, este, v, este y ab, este, es un paralelepípedo inclinado, vamos a decir así,

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00:02:46,879 --> 00:02:57,659
y lo que vamos a hacer es calcular, poner la base también y entonces aquí entendemos la fórmula.

18
00:02:58,120 --> 00:03:03,580
La fórmula es el volumen del paralelepípedo dividido por el área de la base.

19
00:03:04,139 --> 00:03:10,819
Lógicamente, como el volumen es área por altura, pues la altura será el volumen partido por el área,

20
00:03:11,379 --> 00:03:14,240
con lo cual ahí viene la fórmula conocida.

21
00:03:14,240 --> 00:03:18,419
Vamos a hacerlo con el GeoGebra

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00:03:18,419 --> 00:03:21,900
El volumen ya le teníamos calculado

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00:03:21,900 --> 00:03:25,360
Porque cuando hemos calculado el determinante de estos tres vectores

24
00:03:25,360 --> 00:03:29,639
Para decir que se cruzan, resulta que es el producto mixto de los tres vectores

25
00:03:29,639 --> 00:03:32,460
Con lo cual ya sabemos que el numerador va a valer 20

26
00:03:32,460 --> 00:03:36,479
Para el denominador hacemos el producto vectorial

27
00:03:36,479 --> 00:03:40,300
Nos sale el vector 2, 2, menos 6

28
00:03:40,300 --> 00:03:44,219
Que sería un vector perpendicular a R y a S

29
00:03:44,219 --> 00:03:51,360
y si calculamos un módulo, que en GeoGebra se llama longitud, pues nos da 2 raíz de 11.

30
00:03:51,800 --> 00:03:59,080
Y así solamente nos queda dividir el numerador producto mixto en valor absoluto

31
00:03:59,080 --> 00:04:03,400
entre el denominador módulo del vector producto vectorial

32
00:04:03,400 --> 00:04:08,560
y nos queda 10 raíz de 11 partido por 11 racionalizado,

33
00:04:08,560 --> 00:04:20,540
que en decimal nos sale 3,02, esa es la distancia entre las dos rectas y ya habríamos terminado el apartado A.

34
00:04:21,500 --> 00:04:28,360
Simplemente como curiosidad vamos a ver también cómo se haría, digamos, por la cuenta la vieja.

35
00:04:28,360 --> 00:04:53,019
Yo podría calcular el plano que contiene AR porque tiene el vector U y es perpendicular a S porque incluye el vector que hemos calculado 2, 2, menos 6 de U por V y pintar, me sale un plano que le puedo pintar.

36
00:04:53,019 --> 00:05:00,660
Repetir lo mismo ahora con el plano que contiene a S

37
00:05:00,660 --> 00:05:03,019
Entonces tiene el punto S y el vector S

38
00:05:03,019 --> 00:05:05,379
Y es perpendicular a R y a S

39
00:05:05,379 --> 00:05:11,800
Vamos a R porque incluye el vector del producto vectorial

40
00:05:11,800 --> 00:05:16,759
Y ahí tendríamos el plano que hemos hallado

41
00:05:16,759 --> 00:05:20,480
Eso me serviría si la pregunta que me hubieran hecho

42
00:05:20,480 --> 00:05:22,040
Y ya hemos contestado otro ejercicio

43
00:05:22,040 --> 00:05:27,660
es la recta perpendicular a R y a S que corta a ambas

44
00:05:27,660 --> 00:05:30,800
con lo cual en este ejercicio también hemos aprendido a hacer eso

45
00:05:30,800 --> 00:05:35,079
si halláramos los puntos de corte F y G

46
00:05:35,079 --> 00:05:38,759
que han aparecido aquí como se puede ver

47
00:05:38,759 --> 00:05:46,500
pues tendríamos, ocultando la recta que habíamos pintado

48
00:05:46,500 --> 00:05:54,060
tendríamos el segmento FG que es la altura del paralelepípedo, ¿lo veis?

49
00:05:54,439 --> 00:06:01,639
La altura del paralelepípedo y que lógicamente tiene de longitud 3,02

50
00:06:01,639 --> 00:06:06,019
como habíamos visto en el apartado anterior.

51
00:06:06,019 --> 00:06:10,040
Y ya sí que hemos terminado el apartado A completamente.

52
00:06:10,040 --> 00:06:14,600
bueno, hemos limpiado un poco la página

53
00:06:14,600 --> 00:06:17,620
para poder entender ahora ya el apartado B

54
00:06:17,620 --> 00:06:19,040
aquí teníamos R y S

55
00:06:19,040 --> 00:06:22,279
y vamos a hallar la ecuación del plano que contiene a R

56
00:06:22,279 --> 00:06:24,519
y es paralelo a S

57
00:06:24,519 --> 00:06:30,500
para ello lo único que tenemos que hacer es una matriz

58
00:06:30,500 --> 00:06:33,620
y a partir de ahí calcular su

59
00:06:33,620 --> 00:06:36,379
así que

60
00:06:36,379 --> 00:06:44,279
ponemos en un determinante las coordenadas del punto A

61
00:06:44,279 --> 00:06:51,120
el vector de R y el vector de S

62
00:06:51,120 --> 00:06:52,939
ya que tiene que ser paralelo a los dos

63
00:06:52,939 --> 00:06:57,300
igualamos, hacemos el determinante y lo igualamos a cero

64
00:06:57,300 --> 00:06:58,480
nos sale este plano

65
00:06:58,480 --> 00:07:02,660
que si le dividimos por dos para que quede más simple

66
00:07:02,660 --> 00:07:04,259
pues nos queda este plano

67
00:07:04,259 --> 00:07:07,800
X más Y menos 3Z menos 8 igual a 0.

68
00:07:08,560 --> 00:07:16,899
Si lo pintamos, pues vemos que es ya simplemente la respuesta al apartado B,

69
00:07:17,759 --> 00:07:21,959
porque estamos ahí intentándolo, ahora se va a ver.

70
00:07:22,639 --> 00:07:28,399
Se ve que contiene a R y es paralelo a la recta roja S.

71
00:07:28,399 --> 00:07:36,860
Se ve perfectamente. Así que ese es el plano que estábamos buscando.

72
00:07:37,500 --> 00:07:42,019
Ese es el plano que estábamos buscando. Contiene a R y es paralelo a S.

73
00:07:42,480 --> 00:07:51,720
Para contestar al apartado C, lo primero que vamos a hacer es pintar el plano Y igual a 0.

74
00:07:53,060 --> 00:08:00,259
Y lo que me preguntan es el ángulo que forma la recta R, la recta azul, con el plano Y igual a 0.

75
00:08:00,259 --> 00:08:17,759
Vemos en el dibujo que incluso se nos saldría, tendríamos que hacerlo más pequeño, bastante más pequeño, alejarnos para que ya se pudiera ver que efectivamente la recta R corta al plano y igual a cero.

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00:08:17,759 --> 00:08:33,580
Si nosotros le decimos a GeoGebra con la herramienta ángulo que nos calcule dicho ángulo, pues se ve que forma un ángulo de 10,52 grados.

77
00:08:33,940 --> 00:08:34,720
Ahí lo tenemos.

78
00:08:35,179 --> 00:08:40,320
En realidad nosotros no podemos utilizar esto, sino que utilizaremos la fórmula del producto escalar,

79
00:08:40,320 --> 00:08:44,200
de tal manera que el producto escalar del vector u de la recta R

80
00:08:44,200 --> 00:08:49,299
y el perpendicular que hemos llamado n al plano i igual a 0

81
00:08:49,299 --> 00:08:52,740
pues será esta fórmula

82
00:08:52,740 --> 00:08:56,559
lógicamente no se puede poner alfa sino 90 menos alfa

83
00:08:56,559 --> 00:08:59,960
ya que estamos cogiendo el vector normal al plano

84
00:08:59,960 --> 00:09:05,059
coger el vector normal al plano nos va a salir el complementario realmente

85
00:09:05,059 --> 00:09:13,360
así que ya simplemente calculamos ese producto

86
00:09:13,360 --> 00:09:17,059
aquí tenemos la cuenta que habría que hacer es

87
00:09:17,059 --> 00:09:21,840
el producto escalar del vector u por el vector 0, 1, 0

88
00:09:21,840 --> 00:09:25,720
que es el normal al plano i igual a 0

89
00:09:25,720 --> 00:09:32,519
eso daría 1 porque sería el vector u que teníamos aquí

90
00:09:32,519 --> 00:09:35,480
25, 1, 2 por 0, 1, 0, pues da 1.

91
00:09:35,820 --> 00:09:42,080
En el denominador pondríamos la longitud de u, que sería raíz de 30, 25 más 1 más 4,

92
00:09:42,759 --> 00:09:45,340
y la longitud del vector 0, 1, 0, que sería 1.

93
00:09:45,740 --> 00:09:49,039
O sea, resumiendo, sería 1 partido por raíz de 30.

94
00:09:49,559 --> 00:09:54,460
Si hago el arco coseno, obtendría el ángulo que forman esos dos vectores,

95
00:09:54,980 --> 00:09:58,919
pero ya hemos dicho que con el plano realmente habría que hacer el complementario.

96
00:09:58,919 --> 00:10:04,480
Como el cas de GeoGebra trabaja en radianes, pues lo hemos puesto pi medios menos ese ángulo.

97
00:10:04,879 --> 00:10:10,200
Si ahora lo queremos pasar a grados, pues multiplicamos por 180 y dividimos por pi,

98
00:10:10,799 --> 00:10:16,620
o si lo hubiéramos hecho con la calculadora en grados, habríamos hecho 90 menos este arco coseno,

99
00:10:17,100 --> 00:10:21,000
y nos da, como el mismo GeoGebra nos ha dado, 10,52.

100
00:10:21,580 --> 00:10:24,299
Y esta es la respuesta al apartado C.