1 00:00:01,690 --> 00:00:09,150 Existe una relación muy estrecha entre los coeficientes de una ecuación de segundo grado y sus raíces. 2 00:00:09,689 --> 00:00:20,230 Observa que si multiplicamos x-4 por x-5, el término de grado 1 va a resultar de sumar menos 4x con menos 5x. 3 00:00:20,469 --> 00:00:27,350 Es decir, valdrá menos 9x, siendo menos 9 la suma de las raíces cambiada de signo de la ecuación. 4 00:00:27,890 --> 00:00:39,130 Por otro lado, el término independiente se obtiene multiplicando menos 4 por menos 5, es decir, 20, que es justo el producto de las raíces 4 y 5. 5 00:00:41,640 --> 00:00:44,259 Vamos a ver que esto ocurre siempre así. 6 00:00:45,460 --> 00:00:50,460 Ten en cuenta para ello que el producto de dos números es 0 sólo si lo es uno de ellos. 7 00:00:50,460 --> 00:00:59,899 Luego la ecuación que tiene por raíces a y b se obtiene de multiplicar los factores x menos a y x menos b e igual a cero. 8 00:01:00,939 --> 00:01:12,379 Ahora recuerda que podemos pensar los factores x menos a y x menos b como los lados de un rectángulo cuya área será el producto de dichos lados. 9 00:01:12,379 --> 00:01:19,000 Multiplicando y sumando tendremos x por x, x cuadrado 10 00:01:19,000 --> 00:01:22,000 x por menos b, menos bx 11 00:01:22,000 --> 00:01:25,120 menos a por x, menos ax 12 00:01:25,120 --> 00:01:28,900 y menos a por menos b, ab 13 00:01:28,900 --> 00:01:32,819 Los colores rojo indican cambio de signo 14 00:01:32,819 --> 00:01:38,379 Ahora nos quedamos con los rectángulos rojos que representan los monomios de grado 1 15 00:01:38,379 --> 00:01:42,819 Entre los dos suman menos a más b por x 16 00:01:42,819 --> 00:01:49,140 Es decir, el coeficiente de la x coincide con la suma de a y b, pero con signo contrario 17 00:01:49,140 --> 00:01:56,459 Y el término independiente, como ves, coincide con el producto de a por b sin cambio de signo 18 00:01:56,459 --> 00:02:01,280 A estas fórmulas se las conoce como fórmulas de Cardano 19 00:02:01,280 --> 00:02:06,239 En honor del matemático italiano del siglo XVI, Gerolamo Cardano 20 00:02:07,180 --> 00:02:10,099 La utilidad de estas relaciones es doble. 21 00:02:10,759 --> 00:02:16,259 Por un lado, nos permite construir una ecuación a partir de sus soluciones sin hacer cuentas. 22 00:02:16,900 --> 00:02:22,780 Por ejemplo, imagina que queremos encontrar la ecuación cuyas raíces son 5 y menos 7. 23 00:02:23,520 --> 00:02:31,860 La suma de estas dos raíces es menos 2, con lo que el coeficiente de la x en la ecuación de segundo grado será más 2. 24 00:02:31,860 --> 00:02:38,460 Mientras que el producto de 5 por menos 7 es menos 35, que será el término independiente 25 00:02:38,460 --> 00:02:47,099 La ecuación buscada, por tanto, es x cuadrado más 2x menos 35 igual a 0 26 00:02:47,099 --> 00:02:54,650 Pero por otro lado, las ecuaciones de Cardano nos permiten también encontrar las raíces de la ecuación 27 00:02:54,650 --> 00:02:57,449 Sin tener que resolver propiamente dicha ecuación 28 00:02:57,449 --> 00:03:00,830 Para ello, en primer lugar hay que simplificar 29 00:03:00,830 --> 00:03:10,889 En ese ejemplo dividimos por 2. Ahora la ecuación es x cuadrado más x menos 12 igual a 0 y ya tiene por primer coeficiente 1. 30 00:03:12,189 --> 00:03:20,550 Fijémonos en el resto de coeficientes. El de la x vale más 1, por lo que la suma de las raíces buscadas valdrá menos 1. 31 00:03:21,110 --> 00:03:23,669 El término independiente, menos 12. 32 00:03:24,289 --> 00:03:31,770 Estamos buscando, por ello, dos números cuya suma sea menos 1 y cuyo producto sea menos 12. 33 00:03:32,189 --> 00:03:33,430 ¿Te animas a buscarlos? 34 00:03:38,250 --> 00:03:42,669 Exacto. Los números buscados eran el menos 4 y el 3. 35 00:03:43,210 --> 00:03:46,430 Ahora no tienes más que practicar este doble camino. 36 00:03:47,210 --> 00:03:53,610 Calcular las raíces a partir de los coeficientes y calcular los coeficientes si conoces las raíces. 37 00:03:53,610 --> 00:03:58,449 Te va a resultar muy útil cuando trabajes con ecuaciones de grado 2 38 00:03:58,449 --> 00:03:59,509 ¡Hasta otra!