1 00:00:02,540 --> 00:00:16,660 En la geometría clásica, los objetos matemáticos, puntos, planos, rectas, poliedros, suelen estudiarse en función de las reglas del juego que se consideran. 2 00:00:16,660 --> 00:00:28,480 Por ejemplo, en la geometría afín se consideran sólo puntos, vectores entre puntos y las operaciones más sencillas entre ellas, que es decir, suma-resta de vectores y producto por escalares. 3 00:00:28,480 --> 00:00:34,100 En la geometría afín pueden estudiarse nociones, pues las más sencillas, como por ejemplo incidencia o paralelismo. 4 00:00:34,840 --> 00:00:41,500 Si además de todas estas operaciones incluimos el producto escalar de vectores, estamos en el dominio de la geometría euclídea. 5 00:00:41,960 --> 00:00:47,659 En esta geometría podremos, además de lo anterior, estudiar ángulos, distancias, etc. 6 00:00:48,460 --> 00:00:56,359 En este vídeo vamos a estudiar el objeto más sencillo de todos, el punto, desde la geometría más sencilla de los dos, la geometría afín. 7 00:00:56,359 --> 00:00:58,840 ¿Estás preparado? Pues adelante 8 00:00:58,840 --> 00:01:03,420 Si solo tenemos un punto, pues no hay nada que estudiar 9 00:01:03,420 --> 00:01:06,079 Un punto es un punto, lo mires por donde lo mires 10 00:01:06,079 --> 00:01:10,120 Y si solo tenemos dos, pues la cosa es igual de sencilla 11 00:01:10,120 --> 00:01:14,819 O están alineados, o definen una única recta, que es lo mismo 12 00:01:14,819 --> 00:01:20,760 Supongamos que tenemos tres puntos, P, Q y R, en el espacio afín 13 00:01:20,760 --> 00:01:24,579 ¿Hay dos situaciones distintas que pueden darse? ¿Sabrías decir cuáles? 14 00:01:24,579 --> 00:01:30,879 ¡Exacto! O los tres puntos están alineados o determinan un triángulo. 15 00:01:31,200 --> 00:01:35,459 Pero, ¿cómo distinguir en cuál de las dos situaciones estamos mediante el uso de vectores? 16 00:01:35,980 --> 00:01:45,879 Pues muy fácil. Si los tres puntos PQ y R están alineados, los vectores PQ y QR tienen la misma dirección, por lo que son proporcionales. 17 00:01:46,280 --> 00:01:53,579 Si no están alineados, los vectores PQ y QR son linealmente independientes, por lo que la matriz de sus coeficientes tendrá rango 2. 18 00:01:53,579 --> 00:02:08,379 Por ejemplo, los puntos P123, Q-1211 y R5211 están alineados, pues PQ y QR son vectores proporcionales. 19 00:02:09,340 --> 00:02:12,120 Si te fijas, la matriz de los coeficientes tiene rango 1. 20 00:02:13,000 --> 00:02:16,479 Por supuesto, hay otras formas de ver que los tres puntos están alineados. 21 00:02:17,039 --> 00:02:23,520 Podríamos calcular la recta que pasa por P y por Q y ver si R está en dicha recta, si verifica su cocción. 22 00:02:23,580 --> 00:02:28,879 O también podríamos calcular las rectas PQ y QR y ver si son la misma recta. 23 00:02:29,080 --> 00:02:32,539 En fin, en geometría hay muchos caminos que conducen a un mismo fin. 24 00:02:32,919 --> 00:02:34,819 Lo importante es buscarse un buen plan. 25 00:02:36,000 --> 00:02:41,539 Pasemos ahora al caso de cuatro puntos, P, Q, R y S en el espacio fin. 26 00:02:42,280 --> 00:02:45,840 Ahora la situación es un poquitín más complicada, pero poco más. 27 00:02:46,439 --> 00:02:51,479 En general, P, Q, R y S definirán un tetraedro, 28 00:02:51,479 --> 00:02:58,719 Al no ser que estén en el mismo plano, es decir, que sean puntos coplanarios, o en la misma recta, puntos colineales. 29 00:02:59,219 --> 00:03:08,400 Para ver en cuál de las tres situaciones estamos, bastará con calcular tres vectores usando los cuatro puntos, por ejemplo, PQ, PR y PS, 30 00:03:09,039 --> 00:03:13,319 y calcular el rango de la matriz 3x3 que forman sus coeficientes. 31 00:03:13,319 --> 00:03:23,460 Si el rango es 1, los puntos son colineales. Si es 2, coplanarios. Y si es 3, están en posición general. Es decir, definen un tetraedro. 32 00:03:24,039 --> 00:03:30,800 Hay una forma de determinar si los cuatro puntos son coplanarios o están en posición general sin necesidad de andar con los vectores. 33 00:03:31,639 --> 00:03:39,680 Esta forma necesita las coordenadas de los cuatro puntos. Imaginemos que tenemos P, A1, B1, C1, Q, A2, B2, C2 y así con R y con S. 34 00:03:39,680 --> 00:03:50,759 Con estos cuatro puntos vamos a formar un determinante 4x4 de la siguiente forma. La primera fila tenemos las coordenadas de P, la segunda las de Q, las de R después y luego las de S. 35 00:03:51,180 --> 00:04:01,199 Y para que sea una matriz cuadrada añadimos una columna de unos. Bien, pues este determinante nos va a determinar, valga la redundancia, si los cuatro puntos están en posición general. 36 00:04:01,199 --> 00:04:07,280 ¿Los cuatro puntos determinan un tetrahedro? Sí, solo si ese determinante es no nulo. Vamos a ver por qué. 37 00:04:08,099 --> 00:04:19,319 En primer lugar, recordad que para calcular un determinante 4x4 conviene hacer ceros. Es decir, en la primera fila la vamos a utilizar de pivote y en la segunda fila le vamos a restar la primera. 38 00:04:19,920 --> 00:04:28,300 A las dos últimas también. A la fila 3 le restamos la primera y a la fila 4 la primera. Recordad que de esta forma el valor del determinante no cambia. 39 00:04:28,959 --> 00:04:33,959 Bien, ahora lo que hacemos es orlar por la primera fila y, bueno, en realidad por la primera columna. 40 00:04:34,899 --> 00:04:36,740 Y el valor del determinante sería ese. 41 00:04:37,920 --> 00:04:39,800 Y ahora bien, ¿este determinante qué es? 42 00:04:39,800 --> 00:04:49,139 Bueno, pues este determinante es precisamente el determinante formado por los tres vectores PQ, PR y PS que habíamos utilizado anteriormente. 43 00:04:49,480 --> 00:04:54,300 Es decir, que si este determinante es distinto de cero, los cuatro puntos están en posición general. 44 00:04:54,300 --> 00:04:58,040 Y si es igual a 0, pues serán coplanarios o colineales. 45 00:04:58,160 --> 00:04:59,500 Tendremos que mirar. 46 00:04:59,800 --> 00:05:00,819 Bien, vamos a ver un ejemplo. 47 00:05:01,500 --> 00:05:08,480 Supongamos que tenemos esos 4 puntos y queremos ver si son coplanarios o son colineales o están en posición general. 48 00:05:08,660 --> 00:05:09,379 Para ello, ¿qué hacemos? 49 00:05:09,939 --> 00:05:11,939 Construimos nuestro determinante 4x4. 50 00:05:12,040 --> 00:05:19,060 La primera columna, unos, y las otras, las otras columnas, corresponden por filas con las coordenadas de los 4 puntos. 51 00:05:19,540 --> 00:05:20,899 Calculamos el valor de ese determinante. 52 00:05:20,899 --> 00:05:23,019 Resulta que ese determinante vale 62. 53 00:05:23,019 --> 00:05:27,079 es distinto de cero y, por tanto, los cuatro puntos están en posición general. 54 00:05:27,500 --> 00:05:28,279 Así de sencillo. 55 00:05:28,579 --> 00:05:33,100 Bueno, y si tenemos cinco o más puntos, la situación se puede complicar muchísimo 56 00:05:33,100 --> 00:05:36,019 y conviene utilizar un software de representación geométrica, 57 00:05:36,699 --> 00:05:38,019 por ejemplo, el GeoGebra, que es magnífico. 58 00:05:38,800 --> 00:05:42,800 En futuros vídeos vamos a estudiar las posiciones relativas entre dos rectas, 59 00:05:42,899 --> 00:05:44,379 entre dos planos o entre recta y plana. 60 00:05:44,720 --> 00:05:47,459 Situaciones un pelín más complicadas que las que se han visto en este vídeo. 61 00:05:48,060 --> 00:05:48,680 ¡Hasta la próxima!