0 00:00:00,000 --> 00:00:11,000 Vamos a ver cómo hay que representar una función racional, los pasos que hay que dar 1 00:00:11,000 --> 00:00:18,000 y lo que hay que estudiar para poderla representar. Recordemos que una función racional es aquella 2 00:00:18,000 --> 00:00:24,000 que está formada por un cociente de polinomios. El caso que vamos a estudiar o la función 3 00:00:24,000 --> 00:00:31,000 que vamos a estudiar es ésta, igual a 7-2X dividido por X-2. Seguiremos una serie de 4 00:00:31,000 --> 00:00:39,000 pasos y lo primero que vamos a ver es el dominio y recorrido. Recordemos que el dominio de 5 00:00:39,000 --> 00:00:47,000 una función son aquellos valores de X para los cuales tenemos una Y y podemos hallar 6 00:00:47,000 --> 00:00:55,000 el valor de Y. Para poder hallar el dominio lo que tenemos que hacer es ver aquellos valores 7 00:00:55,000 --> 00:01:01,000 que anulan el denominador, que son los que no van a tener un valor de Y, porque no podemos 8 00:01:01,000 --> 00:01:07,000 dividir por cero. Igualamos el denominador a cero, con lo cual obtenemos X-2. Luego el 9 00:01:07,000 --> 00:01:14,000 dominio de la función sería todos aquellos números reales, pero excluimos los valores 10 00:01:14,000 --> 00:01:25,000 que anulan el denominador. En cuanto al recorrido, es difícil hallarlo sin tener la función 11 00:01:25,000 --> 00:01:35,000 representada. La vamos a representar y luego pondremos el recorrido o imagen. Siguiente 12 00:01:35,000 --> 00:01:43,000 paso, el punto de cortes con ejes coordenados. Hallaremos los puntos de corte con el eje 13 00:01:43,000 --> 00:01:50,000 X y con el eje Y. Para los puntos de corte con el eje X lo que hacemos es igualar la 14 00:01:50,000 --> 00:02:01,000 coordenada Y a cero y vemos los valores de X correspondientes. Igualamos a cero la función 15 00:02:01,000 --> 00:02:09,000 y para hallar esos valores lo que tenemos que hacer es igualar únicamente el numerador 16 00:02:09,000 --> 00:02:21,000 a cero. De aquí nos sale 7-7, con lo cual sale el valor X igual a 7 medios. Punto de 17 00:02:21,000 --> 00:02:32,000 corte tiene coordenadas 7 medios, 0. Con el eje Y lo que hacemos es igualar la coordenada 18 00:02:32,000 --> 00:02:42,000 X a cero y hallamos el valor de Y correspondiente. El punto va a tener coordenada X cero y 7-2 19 00:02:42,000 --> 00:02:54,000 por cero, que es cero, y 0-2. Esto es menos 7 medios. Sabemos que menos 7 medios es con 20 00:02:54,000 --> 00:03:00,000 5, pero lo dejamos siempre en forma de fracción. Vamos a representar estos puntos en los ejes 21 00:03:00,000 --> 00:03:14,000 coordenados. 7 medios, cero, pues 3 con 5 aproximadamente por aquí y cero. Y el otro 22 00:03:14,000 --> 00:03:25,000 punto 0-7 medios, pues menos 3 con 5. Siguiente paso. Hallamos las asíntotas. Asíntotas 23 00:03:25,000 --> 00:03:34,000 son las rectas que se aproximan a nuestra función. Mejor explicado es que la función 24 00:03:34,000 --> 00:03:42,000 se aproxima a la recta sin llegar a tocarla ni cortarla. Tenemos dos tipos, horizontal 25 00:03:42,000 --> 00:03:48,000 y vertical, para este tipo de función, dado que el grado del numerador es igual al grado 26 00:03:48,000 --> 00:03:58,000 del denominador. Vamos por la asíntota vertical, que sería la más fácil de hallar. Tienen 27 00:03:58,000 --> 00:04:03,000 una ecuación X igual a una constante. Para hallar la asíntota vertical, lo único que 28 00:04:03,000 --> 00:04:12,000 tenemos que hacer es igualar el denominador a cero. En este caso, igualamos X-2 a cero. 29 00:04:13,000 --> 00:04:21,000 ¿Qué nos sale? Pues mi asíntota vertical sería esa, X igual a 2. 30 00:04:23,000 --> 00:04:37,000 Luego la vamos a dibujar con una recta de líneas discontinuas. X igual a 2 sería esta. Es la 31 00:04:37,000 --> 00:04:53,000 asíntota vertical. Vamos con la horizontal. Para hallar la asíntota horizontal, dado que el grado 32 00:04:53,000 --> 00:04:59,000 del numerador es igual al grado del denominador, lo que tenemos que hacer es dividir el numerador 33 00:04:59,000 --> 00:05:13,000 entre el denominador, o sea, 7-2X entre X-2. Si queremos ponerlo en otro orden, sería esto, 34 00:05:13,000 --> 00:05:23,000 sería menos 2, dividimos menos 2X entre X, menos 2. Aquí quedaría menos 2 por menos 2, 4, y aquí 35 00:05:23,000 --> 00:05:47,000 tendríamos que poner un menos 4. Restamos, 7-4 es 3, menos 2X, vale, luego entonces, 7-2X dividido por X-2 es igual a menos 2 más el resto dividido por X-2. 36 00:05:47,000 --> 00:06:01,000 Por lo tanto, mi asíntota horizontal va a tener la ecuación X igual a este número que me ha salido aquí. 37 00:06:01,000 --> 00:06:08,000 Entonces mi asíntota horizontal tiene la ecuación igual a menos 2. 38 00:06:09,000 --> 00:06:15,000 Bueno, igualmente, la dibujamos mediante línea discontinua 39 00:06:19,000 --> 00:06:28,000 y esta sería la asíntota horizontal de ecuación Y igual a menos 2. Bueno, pues entonces sabemos 40 00:06:28,000 --> 00:06:36,000 ahora que nuestra curva va a tener que estar entre esas rectas que hemos dibujado sin llegar a cortarlas. 41 00:06:37,000 --> 00:06:43,000 Vamos ahora a estudiar la continuidad. Es un cociente de polinomios. Los polinomios son funciones continuas. 42 00:06:43,000 --> 00:06:52,000 Lo único que en este caso, al tener un polinomio en el denominador, pues deja de ser continua justamente en los valores que anulan el denominador. 43 00:06:52,000 --> 00:07:03,000 Entonces diríamos que sería una función continua, bueno, es discontinua, pero no es continua en X igual a 2, como queramos entenderlo. 44 00:07:04,000 --> 00:07:17,000 Es decir, continúa en todos los reales menos el 2, o bien en este caso podemos poner desde lo menos infinito hasta el 2 abierto, 2 más infinito, que es lo mismo que excluir el 2. 45 00:07:17,000 --> 00:07:32,000 Posteriormente, cuando la representemos, veremos que en X igual a 2 hay un punto de discontinuidad o hay una discontinuidad inevitable. 46 00:07:33,000 --> 00:07:35,000 De salto infinito. 47 00:07:37,000 --> 00:07:49,000 Otro aspecto que nos va a ayudar bastante a representar la función es el signo de la función, es decir, los valores de Y que están por encima del eje de las X o por debajo del eje de las X. 48 00:07:49,000 --> 00:07:54,000 Bueno, pues entonces lo que tenemos que hacer es estudiar el signo de este cociente. 49 00:07:55,000 --> 00:08:01,000 Recordemos que el signo cambia justamente en aquellos valores que anulan el numerador y el denominador. 50 00:08:01,000 --> 00:08:17,000 Tenemos que estudiar en toda la recta real ese signo de ese cociente y luego entre los intervalos que se correspondan con las raíces del numerador y del denominador. 51 00:08:17,000 --> 00:08:26,000 Recordemos que el numerador se anulaba en X igual a 7 medios y el denominador en X igual a 2. 52 00:08:26,000 --> 00:08:30,000 Bueno, pues hacemos nuestra tabla para estudiar el signo. 53 00:08:30,000 --> 00:08:42,000 Bueno, ya la tenemos hecha, entonces podemos dar valores que estén en cada uno de estos intervalos, por ejemplo, aquí estaría el 2, aquí el 3, aquí el 5. 54 00:08:42,000 --> 00:08:53,000 ¿Cómo queda esto? Pues positivo. Aquí quedaría también positivo y a la derecha de 7 medios negativo. 55 00:08:53,000 --> 00:09:03,000 Este va a quedar negativo, positivo y positivo, cociente más entre menos menos, más y menos. 56 00:09:04,000 --> 00:09:28,000 A la izquierda del 0 va a estar por debajo del eje de las X, es decir, hasta que lleguemos al 2, la función queda por debajo, es negativa. 57 00:09:28,000 --> 00:09:43,000 En este pequeño tramo va a ser positiva y luego de aquí en adelante vuelve a quedar por debajo del eje X, con lo cual ya podemos intentar representarla. 58 00:09:44,000 --> 00:09:53,000 Bueno, en este tramo, voy a volverla a dibujar, aquí está por debajo del eje X y además tiene que estar entre las asíntotas. 59 00:09:53,000 --> 00:09:58,000 Está por debajo y entre las asíntotas y tiene que pasar por este punto. 60 00:09:58,000 --> 00:10:01,000 Bueno, voy a intentar hacerla un poquillo mejor. 61 00:10:03,000 --> 00:10:11,000 Entonces aquí se aproxima, se aproxima, pero no llega a tocar, tiene que pasar por ese punto, luego lo vemos un poquillo mejor. 62 00:10:11,000 --> 00:10:22,000 Y ahora aquí, en este pequeño tramo, hemos visto que está por encima, tiene que estar entre las asíntotas, luego estaría por aquí, más o menos. 63 00:10:22,000 --> 00:10:25,000 A ver, un momento que me quede un poquito mejor. 64 00:10:26,000 --> 00:10:29,000 Dibujamos, dibujamos, no hay forma. 65 00:10:31,000 --> 00:10:34,000 Bueno, pues he conseguido dibujarla un poquito mejor. 66 00:10:34,000 --> 00:10:37,000 Y bueno, pues esta sería la función. 67 00:10:37,000 --> 00:10:49,000 Ahora vamos a ver el resto de cosas que nos quedan por estudiar, que a menos que la tengamos dibujada es bastante complicado poderlo estudiar. 68 00:10:50,000 --> 00:10:54,000 Bueno, entre ellos estaba el recorrido que había quedado pendiente. 69 00:10:54,000 --> 00:10:58,000 Entonces el recorrido es el conjunto de valores de Y que toma la función. 70 00:10:58,000 --> 00:11:07,000 Vemos que toma todos los valores hasta que llegamos justo aquí a esta asíntota, que es el menos dos. 71 00:11:07,000 --> 00:11:14,000 El menos dos no lo toma, entonces yo tengo que excluir ese punto del recorrido. 72 00:11:14,000 --> 00:11:17,000 Luego vuelve a tomar todos los valores de Y. 73 00:11:17,000 --> 00:11:22,000 Entonces podemos ponerlo como que va desde el menos infinito hasta el menos dos. 74 00:11:22,000 --> 00:11:25,000 Unión menos dos más infinito. 75 00:11:25,000 --> 00:11:28,000 Son intervalos en el eje Y. 76 00:11:28,000 --> 00:11:31,000 O reales menos el menos dos. 77 00:11:35,000 --> 00:11:37,000 Bueno, el crecimiento y decrecimiento. 78 00:11:37,000 --> 00:11:42,000 Si nos fijamos en la gráfica, la función es decreciente. 79 00:11:43,000 --> 00:11:45,000 Es decreciente siempre. 80 00:11:46,000 --> 00:11:53,000 O sea, a medida que aumenta el valor de X, el valor de Y va siendo más pequeño. 81 00:11:53,000 --> 00:11:59,000 O sea, el decreciente podemos poner desde menos infinito hasta el menos dos. 82 00:11:59,000 --> 00:12:05,000 Unión menos dos más infinito, porque el menos dos no pertenece al dominio. 83 00:12:05,000 --> 00:12:14,000 Hay otra forma de verlo, es observando la función, pero tenemos que fijarnos en ella ya puesta de esta forma que tenemos aquí. 84 00:12:15,000 --> 00:12:25,000 Entonces aquí nos aparece la función, que es la básica, que es del tipo K dividido por X menos A. 85 00:12:25,000 --> 00:12:28,000 Y esta función es siempre decreciente. 86 00:12:28,000 --> 00:12:38,000 Entonces si nos fijamos en este término que nos aparece ahí, si aparece con positivo, con signo positivo, es que va a ser siempre decreciente. 87 00:12:39,000 --> 00:12:52,000 Si fuese, por ejemplo, del tipo esta, tiene un menos delante de la expresión racional, con lo cual esta sería creciente. 88 00:12:52,000 --> 00:12:55,000 En nuestro caso es decreciente. 89 00:12:55,000 --> 00:13:07,000 Por tanto, máximos y mínimos no hay, porque este tipo de funciones son siempre crecientes o son siempre decrecientes, pero hay que ponerlo. 90 00:13:07,000 --> 00:13:22,000 Recordemos también que cuando hemos hablado de los puntos de discontinuidad, aquí en X igual a dos era discontinua y vemos perfectamente con la gráfica que es una discontinuidad inevitable de salto infinito. 91 00:13:24,000 --> 00:13:27,000 Vamos ahora con las simetrías. 92 00:13:27,000 --> 00:13:34,000 Para ello lo que tenemos que hallar es F de menos X y ver si es igual a F de X o igual a F de X cambiado y sí. 93 00:13:35,000 --> 00:13:38,000 Entonces hallamos F de menos X. 94 00:13:38,000 --> 00:13:41,000 ¿Dónde pone X? Nosotros ponemos menos X. 95 00:13:45,000 --> 00:13:47,000 Vamos a ponerlo bien. 96 00:13:47,000 --> 00:13:55,000 Menos 2 por menos X y menos X menos 2. 97 00:13:55,000 --> 00:14:09,000 Esto queda 7 más 2X dividido por menos X menos 2, que no es igual a F de X y tampoco es igual a F de X cambiado y sí. 98 00:14:09,000 --> 00:14:12,000 No hay simetrías. 99 00:14:13,000 --> 00:14:15,000 Depende de la función. 100 00:14:20,000 --> 00:14:30,000 En cuanto a la periodicidad, no es una función periódica, es decir, la gráfica no se repite cada cierto tiempo. 101 00:14:30,000 --> 00:14:34,000 Se ve perfectamente. Hay que ponerlo. Yo no lo he puesto, pero habría que ponerlo. 102 00:14:34,000 --> 00:14:40,000 Si queremos representarla mejor, lo que tenemos que hacer es una tabla de valores. 103 00:14:40,000 --> 00:14:46,000 Es decir, vamos dando valores a X y hallamos los valores de Y para poderla representar mejor, 104 00:14:46,000 --> 00:14:52,000 sobre todo si no sabemos muy bien cómo va entre las asíntotas. 105 00:14:53,000 --> 00:14:55,000 Y esto sería todo.