1
00:00:00,000 --> 00:00:04,440
Bueno, vamos a estudiar el ángulo entre recto y plano con un ejemplo de vuestro libro.

2
00:00:04,440 --> 00:00:07,860
Así que lo tenemos ahí.

3
00:00:09,500 --> 00:00:13,000
El ejercicio 2B, 1, 1, 1, 1.

4
00:00:15,960 --> 00:00:22,739
Voy a poner aquí R como corte de dos planos, 1, 1, 1, 1.

5
00:00:23,280 --> 00:00:29,429
Y el otro plano, menos 2, 1, menos 3.

6
00:00:29,429 --> 00:00:37,509
vale, y el plano pi

7
00:00:37,509 --> 00:00:40,990
que viene dado por

8
00:00:40,990 --> 00:00:43,210
1 menos 1, 5, 7

9
00:00:43,210 --> 00:00:45,429
1 menos 1

10
00:00:45,429 --> 00:00:47,969
5, 7

11
00:00:47,969 --> 00:00:49,890
muy bien

12
00:00:49,890 --> 00:00:53,369
vamos a meter eso

13
00:00:53,369 --> 00:00:54,170
en GeoGebra

14
00:00:54,170 --> 00:00:56,369
1, 1

15
00:00:56,369 --> 00:00:58,729
1, 1

16
00:00:58,729 --> 00:01:00,229
x

17
00:01:00,229 --> 00:01:02,950
más y, más z

18
00:01:02,950 --> 00:01:04,909
más 1 igual a 0

19
00:01:04,909 --> 00:01:07,730
y el

20
00:01:07,730 --> 00:01:10,469
ahí le tenemos el plano

21
00:01:10,469 --> 00:01:12,769
y

22
00:01:12,769 --> 00:01:15,310
menos 2, 1, menos 3, 0

23
00:01:15,310 --> 00:01:16,590
menos 2, 1

24
00:01:16,590 --> 00:01:18,269
menos 3, 0

25
00:01:18,269 --> 00:01:22,120
menos 2

26
00:01:22,120 --> 00:01:23,260
1

27
00:01:23,260 --> 00:01:26,780
menos 3, 0

28
00:01:26,780 --> 00:01:28,579
bueno

29
00:01:28,579 --> 00:01:30,319
pues ya tenemos los dos planos

30
00:01:30,319 --> 00:01:32,200
que no me interesan

31
00:01:32,200 --> 00:01:33,780
sino lo que me interesa es

32
00:01:33,780 --> 00:01:36,939
la recta que define

33
00:01:36,939 --> 00:01:38,599
así que

34
00:01:38,599 --> 00:01:44,870
hago la intersección

35
00:01:44,870 --> 00:01:46,950
y por favor oculto

36
00:01:46,950 --> 00:01:49,170
los dos planes, por cierto al hacerlo así

37
00:01:49,170 --> 00:01:50,969
ya se ve el vector

38
00:01:50,969 --> 00:01:53,090
director de la recta ¿no? en GeoGebra

39
00:01:53,090 --> 00:01:55,269
¿cuál es el vector director de la recta?

40
00:01:56,349 --> 00:01:57,269
menos 4

41
00:01:57,269 --> 00:01:59,049
1, 3, pero todos sabemos que

42
00:01:59,049 --> 00:02:01,010
en realidad lo que habría que

43
00:02:01,010 --> 00:02:02,849
hacer es aquí

44
00:02:02,849 --> 00:02:04,870
poner una fila

45
00:02:04,870 --> 00:02:05,709
IJK

46
00:02:05,709 --> 00:02:08,960
coma

47
00:02:08,960 --> 00:02:11,699
el vector 1

48
00:02:11,699 --> 00:02:15,550
coma

49
00:02:15,550 --> 00:02:17,569
el vector 2

50
00:02:17,569 --> 00:02:19,050
¿verdad?

51
00:02:20,810 --> 00:02:21,969
bueno

52
00:02:21,969 --> 00:02:26,080
aquí en

53
00:02:26,080 --> 00:02:30,819
en la vista algebraica

54
00:02:30,819 --> 00:02:32,379
no funciona

55
00:02:32,379 --> 00:02:34,060
le voy a dar control c

56
00:02:34,060 --> 00:02:36,139
y lo voy a hacer que es donde funciona

57
00:02:36,139 --> 00:02:37,120
en la vista cas

58
00:02:37,120 --> 00:02:38,479
si me había olvidado

59
00:02:38,479 --> 00:02:41,919
le damos control v ahí

60
00:02:41,919 --> 00:02:43,879
perdón y en la vista K como veis

61
00:02:43,879 --> 00:02:44,539
si que lo hace

62
00:02:44,539 --> 00:02:48,800
y ahora pues que tendría que hacer

63
00:02:48,800 --> 00:02:51,919
el determinante de esa matriz

64
00:02:51,919 --> 00:02:52,199
¿no?

65
00:02:55,530 --> 00:02:56,550
¿y que me sale?

66
00:02:57,430 --> 00:02:59,610
pues lo mismo que le había salido a GeoGebra

67
00:02:59,610 --> 00:03:01,110
¿no? menos 4, 1

68
00:03:01,110 --> 00:03:02,289
3

69
00:03:02,289 --> 00:03:05,550
si queréis no pasa nada

70
00:03:05,550 --> 00:03:06,129
lo hacemos

71
00:03:06,129 --> 00:03:11,210
aquí

72
00:03:11,210 --> 00:03:13,009
también para que lo veáis

73
00:03:13,009 --> 00:03:14,650
sería IJK

74
00:03:14,650 --> 00:03:19,000
1, 1, 1

75
00:03:19,000 --> 00:03:21,340
y menos 2

76
00:03:21,340 --> 00:03:23,219
1 menos 3

77
00:03:23,219 --> 00:03:24,500
por adjuntos

78
00:03:24,500 --> 00:03:27,099
¿cuánto vale lo que multiplica la i?

79
00:03:27,199 --> 00:03:28,180
menos 3 menos 1

80
00:03:28,180 --> 00:03:30,460
menos 4

81
00:03:30,460 --> 00:03:33,360
la j, menos 3 más 2 menos 1

82
00:03:33,360 --> 00:03:34,400
cambiado de signo

83
00:03:34,400 --> 00:03:37,319
1 y 1 más 2

84
00:03:37,319 --> 00:03:38,580
3

85
00:03:38,580 --> 00:03:40,800
así que menos 4, 1, 3

86
00:03:40,800 --> 00:03:44,240
es el vector director de la recta r

87
00:03:44,240 --> 00:03:46,120
menos 4, 1, 3

88
00:03:46,120 --> 00:03:47,860
es el vector director de la recta r

89
00:03:47,860 --> 00:03:48,560
pregunto

90
00:03:48,560 --> 00:03:50,479
¿por qué ahora no lo he hecho

91
00:03:50,479 --> 00:03:52,460
por ejemplo llamando a x lambda

92
00:03:52,460 --> 00:03:52,960
y

93
00:03:52,960 --> 00:03:55,280
como otros días?

94
00:03:57,340 --> 00:03:58,259
muy bien

95
00:03:58,259 --> 00:04:00,039
aquí como hay x y z

96
00:04:00,039 --> 00:04:01,680
en los dos planos

97
00:04:01,680 --> 00:04:03,740
pues sería más complicado

98
00:04:03,740 --> 00:04:06,340
teniendo en cuenta además

99
00:04:06,340 --> 00:04:07,900
que solo nos interesa

100
00:04:07,900 --> 00:04:10,460
el vector

101
00:04:10,460 --> 00:04:13,419
vale

102
00:04:13,419 --> 00:04:15,919
para que veáis el ejercicio me voy a ir otra vez

103
00:04:15,919 --> 00:04:16,579
a GeoGebra

104
00:04:16,579 --> 00:04:19,740
y voy a pintar el plano

105
00:04:19,740 --> 00:04:45,629
El plano era 1 menos 1, 5, 7. 1 menos 1, 5, 7. 1 menos 1, 5, 7. Si me equivoco en algo, me lo decís. Ahí está el plano. ¿Me veis? Muy bien.

106
00:04:45,629 --> 00:05:10,649
Y veis todos el ángulo que forma. Aquí también se corre el riesgo de decir, pero el ángulo, ¿cómo le pongo? Porque, claro, si vosotros cogéis un boli y le pincháis en un papel con cualquier inclinación, uno podría decir, pero claro, según cómo haga el arco para llegar al plano, parece que hay infinitos.

107
00:05:10,649 --> 00:05:14,709
No, tiene que ser en perpendicular

108
00:05:14,709 --> 00:05:17,069
Como si fuera lo que veremos después

109
00:05:17,069 --> 00:05:19,290
La proyección de la recta sobre el plano

110
00:05:19,290 --> 00:05:23,610
Por lo tanto, es único

111
00:05:23,610 --> 00:05:26,149
De hecho, como decíamos antes

112
00:05:26,149 --> 00:05:27,850
Voy a decirle a GeoGebra que me lo haga

113
00:05:27,850 --> 00:05:31,470
Si pincho en la recta y luego en el plano

114
00:05:31,470 --> 00:05:36,160
Pues me dice que el ángulo me tiene que dar

115
00:05:36,160 --> 00:05:39,560
22,17

116
00:05:39,560 --> 00:05:42,339
Bueno, ¿cómo lo veríamos en GeoGebra?

117
00:05:42,339 --> 00:05:57,660
Por lo que le vamos a decir a GeoGebra, para pintarlo, para que lo entendáis, pero no lo vamos a hacer en papel porque no sería necesario, es que me haga el punto de corte entre la recta y el plano, ¿vale? Punto de corte entre la recta y el plano.

118
00:05:57,660 --> 00:06:00,259
De hecho es donde ha pintado alfa

119
00:06:00,259 --> 00:06:02,240
¿Veis el punto A?

120
00:06:05,120 --> 00:06:06,720
Ahí es donde se cortan

121
00:06:06,720 --> 00:06:07,720
La recta y el plano

122
00:06:07,720 --> 00:06:09,980
Entonces lo que voy a pintar ahí es

123
00:06:09,980 --> 00:06:11,220
Primero

124
00:06:11,220 --> 00:06:13,699
El vector

125
00:06:13,699 --> 00:06:16,500
Director de la recta

126
00:06:16,500 --> 00:06:18,079
Vector

127
00:06:18,079 --> 00:06:23,920
Que salga de A

128
00:06:23,920 --> 00:06:27,079
¿Y qué vector es?

129
00:06:27,079 --> 00:06:28,720
El vector director de la recta

130
00:06:28,720 --> 00:06:29,540
Lo tenemos ahí

131
00:06:29,540 --> 00:06:31,300
No lo hemos hecho

132
00:06:31,300 --> 00:06:34,459
Si, podríamos poner

133
00:06:34,459 --> 00:06:36,699
Menos 4, 1, 3, pero voy a ser más elegante

134
00:06:36,699 --> 00:06:37,740
Y voy a poner vec 1

135
00:06:37,740 --> 00:06:40,139
Vectorial vec 2

136
00:06:40,139 --> 00:06:42,779
Pero vamos, podríamos haberlo calculado

137
00:06:42,779 --> 00:06:50,819
Antes, pero por no

138
00:06:50,819 --> 00:06:52,639
Escribir los valores, que entonces quede

139
00:06:52,639 --> 00:06:53,540
Estático, vale

140
00:06:53,540 --> 00:06:56,579
Curro, bueno

141
00:06:56,579 --> 00:06:57,220
Ahí está

142
00:06:57,220 --> 00:07:00,959
Y ahí, ahora sí que lo tiene que haber pintado

143
00:07:00,959 --> 00:07:03,139
¿Por qué no lo ha pintado?

144
00:07:07,930 --> 00:07:09,750
No veo el menos 4, 1, 3

145
00:07:09,750 --> 00:07:12,230
ah sí, claro, está sobre la recta

146
00:07:12,230 --> 00:07:14,009
y no se ve, le voy a poner

147
00:07:14,009 --> 00:07:14,810
en rojito

148
00:07:14,810 --> 00:07:19,939
le voy a poner en rojito y más gordo

149
00:07:19,939 --> 00:07:21,779
porque si no yo mismo

150
00:07:21,779 --> 00:07:22,420
no lo veía

151
00:07:22,420 --> 00:07:25,839
ahora sí que

152
00:07:25,839 --> 00:07:26,959
se ve el vector, ¿verdad?

153
00:07:28,740 --> 00:07:29,759
¿lo veis o no?

154
00:07:30,899 --> 00:07:31,620
y ahora

155
00:07:31,620 --> 00:07:33,500
también voy a pintar el vector

156
00:07:33,500 --> 00:07:35,399
perpendicular al plano

157
00:07:35,399 --> 00:07:36,319
que es V3

158
00:07:36,319 --> 00:07:38,819
así que vuelvo a escribir

159
00:07:38,819 --> 00:07:39,939
vector

160
00:07:39,939 --> 00:07:44,839
abro paréntesis

161
00:07:44,839 --> 00:07:47,339
A, A y en el segundo A

162
00:07:47,339 --> 00:07:48,699
más B3

163
00:07:48,699 --> 00:07:51,100
¿lo veis ahí?

164
00:07:53,980 --> 00:07:56,560
¿veis los dos

165
00:07:56,560 --> 00:07:57,000
vectores?

166
00:07:58,300 --> 00:08:00,220
si yo hago con GeoGebra

167
00:08:00,220 --> 00:08:01,939
el ángulo

168
00:08:01,939 --> 00:08:07,220
¿qué me da?

169
00:08:09,759 --> 00:08:10,920
¿qué me da?

170
00:08:12,540 --> 00:08:13,259
67

171
00:08:13,259 --> 00:08:14,040
¿lo veis?

172
00:08:17,189 --> 00:08:17,910
67

173
00:08:17,910 --> 00:08:21,089
pero el que nosotros queremos no es ese

174
00:08:21,089 --> 00:08:23,680
es

175
00:08:23,680 --> 00:08:27,079
22 con 17

176
00:08:27,079 --> 00:08:28,600
porque

177
00:08:28,600 --> 00:08:30,519
el vector negro que he pintado

178
00:08:30,519 --> 00:08:32,179
¿cómo es con respecto al plano?

179
00:08:35,259 --> 00:08:35,779
perpendicular

180
00:08:35,779 --> 00:08:37,360
¿lo veis?

181
00:08:39,019 --> 00:08:40,799
ahí si pongo la recta ahí

182
00:08:40,799 --> 00:08:43,000
o sea el plano como que parezca una recta

183
00:08:43,000 --> 00:08:43,940
pues se ve mejor

184
00:08:43,940 --> 00:08:46,820
¿lo entendéis todos o no?

185
00:08:47,620 --> 00:08:48,759
entonces ¿cómo se hace

186
00:08:48,759 --> 00:08:49,500
esto en papel?

187
00:08:51,960 --> 00:08:53,960
pues nosotros lo que cogeríamos sería

188
00:08:53,960 --> 00:08:55,240
este es el vector

189
00:08:55,240 --> 00:09:04,080
Vector U, vamos a llamarle director de la recta, el vector V normal al plano sería 1 menos 1, 5.

190
00:09:06,179 --> 00:09:22,259
Si hago U por V, tengo módulo de U por módulo de V por coseno del ángulo que forman, igual a 1V1 más U2V2 más U3V3.

191
00:09:22,259 --> 00:09:33,299
Bien, módulo de U, 16 y 1, 17 y 9, raíz de 26.

192
00:09:33,539 --> 00:09:41,220
Módulo de V, 1 más 1 más 25, raíz de 27.

193
00:09:42,320 --> 00:09:52,090
Producto escalar, menos 4 menos 1 más 15, que es 10.

194
00:09:52,090 --> 00:10:00,710
O sea, que el coseno de alfa es 10 partido por raíz de 26 por raíz de 27.

195
00:10:07,720 --> 00:10:10,419
Y ahora habría que hacer dos pasos.

196
00:10:11,539 --> 00:10:13,919
Ahora habría que hacer dos pasos, no uno.

197
00:10:15,539 --> 00:10:16,299
Primer paso.

198
00:10:16,980 --> 00:10:22,480
Ese resultado tiene que estar entre 0 y 90.

199
00:10:22,480 --> 00:10:29,580
Si no, hago el suplementario.

200
00:10:35,179 --> 00:10:36,059
¿Entendido?

201
00:10:37,399 --> 00:10:41,460
Si no está entre 0 y 90, hago el suplementario.

202
00:10:42,220 --> 00:10:47,700
¿Cuánto vale el arco coseno de 10 partido raíz de 26, raíz de 27?

203
00:10:50,830 --> 00:10:52,309
0,38.

204
00:10:52,570 --> 00:10:53,509
El coseno, ¿no?

205
00:10:54,330 --> 00:10:54,850
Vale.

206
00:10:56,090 --> 00:10:58,570
¿Cómo es positivo, va a estar entre 0 y 90?

207
00:10:59,409 --> 00:10:59,929
Sí.

208
00:11:00,769 --> 00:11:04,250
Si fuera negativo, pues me tengo que quedar con el positivo.

209
00:11:04,750 --> 00:11:06,570
O hacer el suplementario.

210
00:11:06,570 --> 00:11:08,710
Segundo paso

211
00:11:08,710 --> 00:11:11,830
Segundo paso

212
00:11:11,830 --> 00:11:14,830
Hago el complementario

213
00:11:14,830 --> 00:11:19,419
Sí o sí

214
00:11:19,419 --> 00:11:21,360
En este caso

215
00:11:21,360 --> 00:11:23,720
Hacer el arco coseno

216
00:11:23,720 --> 00:11:24,759
De 0,38

217
00:11:24,759 --> 00:11:29,710
El que hemos puesto antes, ¿no?

218
00:11:29,789 --> 00:11:31,730
67,83

219
00:11:31,730 --> 00:11:34,230
Bueno

220
00:11:34,230 --> 00:11:36,309
Creo que ahora pone

221
00:11:36,309 --> 00:11:38,090
Dos decimales, tampoco harían falta

222
00:11:38,090 --> 00:11:40,769
Dos decimales, bueno, 67,83

223
00:11:40,769 --> 00:11:42,149
Está entre 0 y 90

224
00:11:42,149 --> 00:11:44,149
Sí

225
00:11:44,149 --> 00:11:46,070
Así que ahora

226
00:11:46,070 --> 00:11:48,629
El primer paso no tengo que hacer nada

227
00:11:48,629 --> 00:11:50,669
Segundo paso hago el complementario

228
00:11:50,669 --> 00:11:52,190
¿Cuánto vale?

229
00:11:53,990 --> 00:11:55,690
22 con 17

230
00:11:55,690 --> 00:11:56,990
Y este

231
00:11:56,990 --> 00:12:00,529
Después de los dos pasos

232
00:12:00,529 --> 00:12:06,909
Es el ángulo

233
00:12:06,909 --> 00:12:18,600
Que forman recta y plana

234
00:12:18,600 --> 00:12:19,360
¿Entendido?

235
00:12:21,100 --> 00:12:22,519
Que aquí hay dos pasos

236
00:12:22,519 --> 00:12:25,000
El primer paso

237
00:12:25,000 --> 00:12:25,659
¿A qué se debe?

238
00:12:25,720 --> 00:12:28,299
a que nos piden siempre el ángulo menor

239
00:12:28,299 --> 00:12:28,980
y habría

240
00:12:28,980 --> 00:12:32,259
dos, como en los ejercicios de ayer

241
00:12:32,259 --> 00:12:35,679
y el

242
00:12:35,679 --> 00:12:37,779
segundo paso se debe

243
00:12:37,779 --> 00:12:39,700
al dibujo que tenemos aquí

244
00:12:39,700 --> 00:12:41,519
yo estoy hallando

245
00:12:41,519 --> 00:12:44,629
con el vector

246
00:12:44,629 --> 00:12:46,769
normal al plano, el negro

247
00:12:46,769 --> 00:12:49,090
normal al plano, entonces claro

248
00:12:49,090 --> 00:12:50,970
no es el que yo quiero

249
00:12:50,970 --> 00:12:52,990
calcular, sino su complementario

250
00:12:52,990 --> 00:12:56,389
porque el negro y el plano

251
00:12:56,389 --> 00:12:57,210
¿qué ángulo forma?

252
00:12:57,210 --> 00:13:01,389
90 por definición

253
00:13:01,389 --> 00:13:03,990
¿lo habéis entendido?

254
00:13:05,769 --> 00:13:07,629
en el libro

255
00:13:07,629 --> 00:13:10,330
pues claro, lo que haces es poneros una fórmula

256
00:13:10,330 --> 00:13:14,730
con coseno de 90 menos alfa

257
00:13:14,730 --> 00:13:19,690
pero entonces ya no tengo el producto escalar

258
00:13:19,690 --> 00:13:21,870
o sea, me estaría aprendiendo una fórmula más

259
00:13:21,870 --> 00:13:24,190
lo que yo tengo que aprender es

260
00:13:24,190 --> 00:13:30,100
el dibujo y entender por qué

261
00:13:30,100 --> 00:13:31,899
hago los dos pasos

262
00:13:31,899 --> 00:13:35,080
¿Alguna pregunta?

263
00:13:40,720 --> 00:13:41,159
¿A la una?

264
00:13:46,970 --> 00:13:48,409
Bueno, perdona.

265
00:13:49,990 --> 00:13:53,610
He llamado en el papel lo contrario que GeoGebra.

266
00:13:55,549 --> 00:13:58,289
Os puedo liar con eso.

267
00:14:00,889 --> 00:14:01,610
Perdona.

268
00:14:02,029 --> 00:14:02,610
Espera, espera.

269
00:14:03,250 --> 00:14:04,169
Si es más fácil

270
00:14:04,169 --> 00:14:07,870
renombrar

271
00:14:07,870 --> 00:14:24,200
un segundito.

272
00:14:25,039 --> 00:14:26,419
Efectivamente, claro.

273
00:14:26,539 --> 00:14:29,279
Estoy utilizando diferente en un sitio que en otro.

274
00:14:29,820 --> 00:14:33,519
Ahora, ahora ya sí que está como en los apuntes.

275
00:14:33,799 --> 00:14:39,779
Alfa es entre el vector y el vector de la recta.

276
00:14:39,879 --> 00:14:40,820
Cuidado, cuidado.

277
00:14:41,779 --> 00:14:44,840
Porque no es entre el vector y la recta.

278
00:14:45,240 --> 00:14:48,840
Por eso, alfa es el ángulo entre los dos vectores.

279
00:14:49,740 --> 00:14:54,120
Si diera mayor que 90, Ernesto, tengo que hacer el suplementario.

280
00:14:54,120 --> 00:14:56,899
El suplementario sería el ángulo

281
00:14:56,899 --> 00:14:59,240
Entre el vector normal al plano y la recta

282
00:14:59,240 --> 00:15:03,500
Y después tengo que hacer el complementario

283
00:15:03,500 --> 00:15:05,639
Para tener el ángulo

284
00:15:05,639 --> 00:15:07,220
Entre la recta y el plano

285
00:15:07,220 --> 00:15:09,379
Por eso hay dos

286
00:15:09,379 --> 00:15:11,899
Dos pasos

287
00:15:11,899 --> 00:15:13,620
¿Entendido o no?

288
00:15:16,990 --> 00:15:18,149
Yo el producto escalar

289
00:15:18,149 --> 00:15:18,809
¿Con qué le hago?

290
00:15:19,750 --> 00:15:21,330
Con dos vectores por definición

291
00:15:21,330 --> 00:15:23,909
Yo no voy a poner una fórmula

292
00:15:23,909 --> 00:15:24,610
Para cada cosa

293
00:15:24,610 --> 00:15:26,330
Yo hago el producto escalar con dos vectores

294
00:15:26,330 --> 00:15:27,870
Entiendo cómo están los dos vectores

295
00:15:27,870 --> 00:15:29,389
Y después hago lo que tenga que hacer

296
00:15:29,389 --> 00:15:32,899
¿Vale?

297
00:15:35,460 --> 00:15:36,200
Muy bien