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00:00:01,389 --> 00:00:07,009
12.3 Área y volumen de la pirámide, el cono y la esfera.

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00:00:09,099 --> 00:00:13,099
En este vídeo veremos el área y el volumen de una pirámide.

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00:00:15,800 --> 00:00:18,699
¿Recuerdas este dibujo que hicimos en el tema anterior?

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00:00:20,460 --> 00:00:22,699
Está pensado para este momento.

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00:00:24,379 --> 00:00:27,460
En él marcamos las tres zonas básicas de la pirámide.

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00:00:28,600 --> 00:00:31,079
Dos triángulos rectángulos y una base.

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00:00:31,079 --> 00:00:37,899
Como siempre el área es todo aquello que podemos tocar

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00:00:37,899 --> 00:00:47,399
Yo en la pirámide puedo tocar una sola base y un conjunto de triángulos laterales que se llama el área lateral

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00:00:47,399 --> 00:00:56,009
Si construimos un prisma y una pirámide de igual base e igual altura

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00:00:56,009 --> 00:01:02,729
Curiosamente en el prisma cabe tres veces el volumen de la pirámide

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00:01:02,729 --> 00:01:13,310
Por ese motivo, el volumen de la pirámide es un tercio del volumen del prisma, o sea, un tercio del área de la base por la altura.

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00:01:16,599 --> 00:01:28,420
Por ejemplo, aquí tenemos una pirámide muy interesante porque tiene como base un hexágono, que es la figura más completa que vimos en el tema anterior.

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00:01:28,739 --> 00:01:36,439
Como siempre, te recomiendo que dibujes un croquis de la pirámide y también un croquis de la base.

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00:01:36,819 --> 00:01:44,769
Comencemos con el área de la base. Al ser un hexágono está formado por

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00:01:44,769 --> 00:01:54,040
triángulos equiláteros, es decir, el lado y los radios son iguales. Para calcular

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00:01:54,040 --> 00:02:02,019
el área necesitamos la apotema. Como no la tengo la busco por pitágoras. En ese

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00:02:02,019 --> 00:02:09,020
triángulo la A y el 5 forman un ángulo recto y por lo tanto son los catetos.

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00:02:09,020 --> 00:02:13,599
El radio que mide 10 sería la hipotenusa.

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00:02:14,580 --> 00:02:18,979
Aplicamos pitágoras y dejamos la raíz cuadrada indicada.

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00:02:20,520 --> 00:02:24,020
La apotema es la raíz cuadrada de 75 centímetros.

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00:02:28,719 --> 00:02:32,979
Área de la base es perímetro por apotema partido por 2.

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00:02:34,460 --> 00:02:38,639
Contamos con 6 lados de 10 centímetros cada uno.

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00:02:39,460 --> 00:02:41,379
Y la apotema la acabo de encontrar.

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00:02:42,319 --> 00:02:47,080
6 por 10, 60, y 60 entre 2, 30.

25
00:02:48,300 --> 00:02:53,419
Con lo cual el área de la base es 30 raíz cuadrada de 75 centímetros cuadrados.

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00:02:55,860 --> 00:02:57,159
Vamos con el área lateral.

27
00:02:58,060 --> 00:02:59,659
Son 6 triángulos como este.

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00:03:01,479 --> 00:03:03,919
Tenemos la base, pero no tenemos la altura.

29
00:03:05,460 --> 00:03:09,180
Por lo tanto, como es habitual, aplicamos pitágoras.

30
00:03:11,360 --> 00:03:15,120
H y 5 son los catetos y el 25 la hipotenusa.

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00:03:15,840 --> 00:03:23,080
Al hacer los cálculos nos sale que la altura es igual a raíz cuadrada de 600 centímetros.

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00:03:24,379 --> 00:03:30,400
Por cierto, esta altura de un triángulo lateral es lo que se llama apotema de la pirámide.

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00:03:33,469 --> 00:03:37,530
Vamos con el área del triángulo. Es base por altura partido por 2.

34
00:03:39,860 --> 00:03:45,780
Su base es 10 y la altura la acabo de encontrar, que es de raíz cuadrada de 600.

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00:03:45,780 --> 00:03:53,680
Multiplicamos, 10 por la raíz, partido por 2, 10 entre 2, 5.

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00:03:55,520 --> 00:04:00,360
Luego el área de un solo triángulo es 5 raíz cuadrada de 600 centímetros cuadrados.

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00:04:03,939 --> 00:04:11,680
Área total es el área de la base más 6 veces el área de un triángulo, porque tenemos 6 triángulos.

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00:04:11,680 --> 00:04:21,100
Se puede dejar así, pero como tengo 30 en los dos sumandos, si alguien quiere, podría sacar factor común con ese 30.

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00:04:24,720 --> 00:04:26,259
Hay volumen siempre más fácil.

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00:04:28,259 --> 00:04:33,879
Te recuerdo que la altura de la pirámide es común al triángulo amarillo y al verde.

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00:04:35,800 --> 00:04:42,100
Puedo usar cualquiera de los dos para encontrar la altura. En este caso yo he elegido el amarillo.

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00:04:42,100 --> 00:04:50,060
Te recuerdo que en la diapositiva anterior vimos que el área de la base era 30 raíz cuadrada de 75.

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00:04:52,060 --> 00:04:58,839
Calculo la altura. Hace falta AL y la R.

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00:05:04,660 --> 00:05:11,319
AL es 25, que es la arista lateral, y el radio, que mide igual que el lado, es 10.

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00:05:12,019 --> 00:05:19,399
Apico pitágoras y me queda que la altura de la pirámide es la raíz cuadrada de 525, todo ello centímetros.

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00:05:19,399 --> 00:05:26,160
Una vez que tengo el área que hicimos hace unos minutos y la altura, calculo el volumen

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00:05:26,160 --> 00:05:29,339
Es un tercio del volumen del prisma

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00:05:29,339 --> 00:05:32,860
Área de la base por la altura partido por 3

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00:05:32,860 --> 00:05:37,120
30 entre 3 es 10 y lo dejamos indicado

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00:05:37,120 --> 00:05:43,860
10 raíz cuadrada de 75 por raíz cuadrada de 525, todo ello centímetros cúbicos