1
00:00:03,890 --> 00:00:07,049
Vamos a ver un ejercicio de cálculo de la recta tangente.

2
00:00:07,190 --> 00:00:10,689
Este es un tipo de ejercicio teórico importante del tema de derivadas.

3
00:00:11,250 --> 00:00:17,250
El ejercicio 10 nos dice, dada la curva de ecuación y igual a menos x cubo más 26x,

4
00:00:17,890 --> 00:00:23,750
calcula las rectas tangentes a la misma que sean paralelas a la recta de ecuación y igual a menos x.

5
00:00:24,210 --> 00:00:28,329
Todos estos ejercicios se hacen con la fórmula de la recta tangente.

6
00:00:28,329 --> 00:00:40,549
es y igual a f' en a por x menos a más f de x, a, ¿vale?

7
00:00:41,170 --> 00:00:47,090
A es el punto donde calculo la recta tangente,

8
00:00:49,740 --> 00:00:52,140
es base del punto de tangencia de la curva.

9
00:00:52,960 --> 00:00:54,899
En este caso la curva no la podemos dibujar,

10
00:00:55,039 --> 00:00:57,939
pero sí que podemos calcular la ecuación de su recta tangente

11
00:00:57,939 --> 00:01:01,560
simplemente conociendo esta ecuación, esta fórmula

12
00:01:01,560 --> 00:01:07,299
el punto va a ser a f de a porque es un punto de la gráfica de la función

13
00:01:07,299 --> 00:01:11,939
f de a si que lo podemos calcular sustituyendo la fórmula

14
00:01:11,939 --> 00:01:16,700
me diréis que cuando pone y estamos hablando de f de x

15
00:01:16,700 --> 00:01:19,620
es decir, es equivalente este enunciado a que me digan

16
00:01:19,620 --> 00:01:24,700
f de x igual a menos x cubo más 26x

17
00:01:24,700 --> 00:01:33,480
Con lo cual, si queréis sustituir A, que será el punto que nos están pidiendo, pues lo sustituiremos en esta fórmula.

18
00:01:33,640 --> 00:01:36,700
Aquí, sin embargo, no nos hablan de ningún punto A, ¿de acuerdo?

19
00:01:36,920 --> 00:01:40,700
Entonces, lo que sí que nos están diciendo es una pendiente determinada.

20
00:01:41,439 --> 00:01:44,140
Dicen que debe ser paralela a I igual a menos MX.

21
00:01:44,500 --> 00:01:52,239
La recta I igual a menos X, debemos de saber que la ecuación de una recta siempre es MX más B.

22
00:01:52,239 --> 00:01:57,700
y que m es el coeficiente de la x cuando la y está despejada.

23
00:01:59,000 --> 00:02:07,140
En este ejemplo, la m vale menos 1 porque es el número que está multiplicando a la x cuando la y está despejada.

24
00:02:07,140 --> 00:02:14,800
También debemos de saber que la pendiente es la derivada de la función en el punto A.

25
00:02:15,560 --> 00:02:17,319
Este es el concepto más importante.

26
00:02:17,319 --> 00:02:24,439
La derivada es la pendiente de la recta tangente en el punto de tangencia.

27
00:02:24,900 --> 00:02:30,400
Esta es la teoría más importante que tenemos que tener en cuenta en el tema.

28
00:02:30,919 --> 00:02:43,219
La derivada en el punto A, es decir, f' en A, es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A.

29
00:02:43,219 --> 00:02:47,080
en el punto A, f de A.

30
00:02:47,300 --> 00:02:53,219
Recordad también que se os olvida que la i de cualquier punto de la gráfica siempre es f de A,

31
00:02:53,300 --> 00:02:55,520
es decir, se calcula con la fórmula de la función.

32
00:02:56,319 --> 00:02:58,180
Vale, pues una vez que tenemos esto claro,

33
00:02:59,939 --> 00:03:04,300
pues simplemente tenemos que ver qué punto en nuestro ejercicio,

34
00:03:04,300 --> 00:03:06,560
qué punto A, porque no nos están dando el A,

35
00:03:07,060 --> 00:03:10,740
queremos saber qué punto tiene pendiente menos 1,

36
00:03:10,740 --> 00:03:14,620
Es la pendiente que nos están dando cuando nos piden que sea paralela a esta, ¿vale?

37
00:03:14,639 --> 00:03:19,560
Entonces, para eso siempre hay que hacer la derivada y ver en qué punto vale menos 1.

38
00:03:19,939 --> 00:03:34,800
Es decir, ¿en qué punto A vale f' de A menos 1?

39
00:03:36,039 --> 00:03:38,759
Esto es una ecuación, ¿vale?

40
00:03:39,139 --> 00:03:41,800
Entonces, para hacer esa ecuación tenemos que derivar la función.

41
00:03:41,800 --> 00:03:46,159
Nuestra función es menos x cubo más 26x.

42
00:03:46,319 --> 00:03:48,939
Como es un polinomio deberíamos saber derivarla.

43
00:03:50,479 --> 00:03:53,199
Es una de las funciones más fáciles de derivar.

44
00:03:53,460 --> 00:03:58,919
Os recuerdo que es cuando hay una potencia el número este pasa adelante multiplicando

45
00:03:58,919 --> 00:04:04,840
y la x queda elevada a un numerito menos que sería 3 menos 1 que sería 2.

46
00:04:05,599 --> 00:04:08,740
Y luego la derivada de 26 por x es 26.

47
00:04:09,020 --> 00:04:10,020
Esto hay que saber derivar.

48
00:04:10,879 --> 00:04:15,400
Sabemos que esa derivada tiene que valer menos 1 y tenemos que sacar el valor de la x.

49
00:04:15,860 --> 00:04:19,000
Esto se convierte en una ecuación que tenemos que resolver.

50
00:04:19,720 --> 00:04:26,040
El valor de x para que menos 3x cuadrado más 26 sea igual a menos 1.

51
00:04:26,839 --> 00:04:28,660
Bueno, pues resolvemos la ecuación.

52
00:04:28,779 --> 00:04:32,860
Menos 3x cuadrado más 26 igual a menos 1.

53
00:04:34,519 --> 00:04:36,600
El 1 lo vamos a pasar sumando.

54
00:04:36,600 --> 00:04:43,040
nos queda menos 3x cuadrado más 27 igual a 0

55
00:04:43,040 --> 00:04:47,279
es una ecuación de segundo grado incompleta

56
00:04:47,279 --> 00:04:51,100
podemos pasar menos 27 al otro lado

57
00:04:51,100 --> 00:04:54,560
lo dividiríamos por menos 3 y nos da 9

58
00:04:54,560 --> 00:04:57,899
de aquí vamos a sacar los dos valores de la x

59
00:04:57,899 --> 00:05:01,279
que son más menos la raíz cuadrada de 9

60
00:05:01,279 --> 00:05:02,620
es decir, más menos 3

61
00:05:02,620 --> 00:05:08,180
¿Vale? Cuando el ejercicio nos ha hablado de rectas tangentes y plurales

62
00:05:08,180 --> 00:05:11,240
Porque en realidad nos está dando la pista que nos van a dar dos rectas

63
00:05:11,240 --> 00:05:13,279
Entonces, hay dos valores de la A

64
00:05:13,279 --> 00:05:16,699
El primer valor de la A es menos 3

65
00:05:16,699 --> 00:05:19,540
El segundo valor de la A sería 3

66
00:05:19,540 --> 00:05:23,939
Entonces hay que, por cada valor, hay dos rectas tangentes

67
00:05:23,939 --> 00:05:26,680
Hay una recta tangente para menos 3 y otra para 3

68
00:05:26,680 --> 00:05:30,040
Entonces vamos a hacerlas las dos

69
00:05:30,040 --> 00:05:38,319
Vamos a hacerlas con la fórmula de la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto A

70
00:05:38,319 --> 00:05:41,860
Solo que primero la A va a valer menos 3 y luego la A va a valer 3

71
00:05:41,860 --> 00:05:48,060
Entonces, 1, cuando la A vale menos 3, ¿cuánto vale f de A?

72
00:05:49,459 --> 00:05:55,060
Pues tenemos que sustituir en la fórmula de la función, que es menos x cubo más 26x

73
00:05:55,060 --> 00:06:00,160
16x, pues tenemos que sustituir f de menos 3, porque es el punto donde la estamos calculando.

74
00:06:02,639 --> 00:06:09,839
Sería menos 3 elevado, perdón, menos menos 3, que hay un menos delante, ¿vale?

75
00:06:09,899 --> 00:06:14,000
Fijaros, menos menos 3 elevado al cubo.

76
00:06:15,000 --> 00:06:17,319
Y luego más 26 por menos 3.

77
00:06:21,399 --> 00:06:22,819
Teníamos que hacer esa operación.

78
00:06:22,819 --> 00:06:27,000
dais cuenta que menos 3 al cubo nos va a dar negativo

79
00:06:27,000 --> 00:06:31,019
nos va a dar menos 27 pero con este menos se convierte en un más 27

80
00:06:31,019 --> 00:06:35,199
y luego 26 por menos 3 nos va a salir negativo

81
00:06:35,199 --> 00:06:37,860
3 por 6 es 18, 3 por 2 es 6 más 7

82
00:06:37,860 --> 00:06:42,399
el resultado sería 27 menos 78

83
00:06:42,399 --> 00:06:45,120
¿vale? restamos esos dos números

84
00:06:45,120 --> 00:06:48,060
y nos queda 51

85
00:06:48,060 --> 00:06:50,319
negativo porque 78 es menos

86
00:06:50,319 --> 00:06:53,740
una vez hecho esto

87
00:06:53,740 --> 00:06:55,500
¿qué tendríamos que hacer?

88
00:06:55,779 --> 00:06:57,300
pues ya sabemos f de a

89
00:06:57,300 --> 00:06:58,600
ya sabemos a

90
00:06:58,600 --> 00:07:00,319
entonces ¿qué nos falta en la fórmula?

91
00:07:00,480 --> 00:07:01,180
sabemos la a

92
00:07:01,180 --> 00:07:02,560
sabemos la f de a

93
00:07:02,560 --> 00:07:03,980
y nos faltaría f' de a

94
00:07:03,980 --> 00:07:05,980
pero f' de a sabemos que va a dar menos 1

95
00:07:05,980 --> 00:07:08,420
¿vale? porque ya lo habíamos sacado ahí a propósito

96
00:07:08,420 --> 00:07:10,040
entonces de todas maneras

97
00:07:10,040 --> 00:07:11,579
si no pues cogeríais la derivada

98
00:07:11,579 --> 00:07:12,339
que es esta

99
00:07:12,339 --> 00:07:14,220
sustituiríais el menos 1

100
00:07:14,220 --> 00:07:16,259
y debería de darnos

101
00:07:16,259 --> 00:07:17,120
¿vale? lo comprobamos

102
00:07:17,120 --> 00:07:19,000
menos 1 al cuadrado de 1 por menos 3

103
00:07:19,000 --> 00:07:23,500
perdón, menos 1, menos 3

104
00:07:23,500 --> 00:07:27,480
al cuadrado de 9 por menos 3 es menos 27, menos 27 más 26

105
00:07:27,480 --> 00:07:30,839
menos 1, ¿vale? simplemente estamos comprobando que está bien hecha la ecuación

106
00:07:30,839 --> 00:07:35,060
entonces en este caso no hay que calcular directamente, sabemos que

107
00:07:35,060 --> 00:07:38,860
f de menos 3 vale menos 1, por tanto la primera

108
00:07:38,860 --> 00:07:43,199
recta tangente sería y igual

109
00:07:43,199 --> 00:07:47,019
f' de a que es menos 1 por

110
00:07:47,019 --> 00:07:50,959
x menos a, como a vale menos 3, pues x más 3

111
00:07:50,959 --> 00:07:55,560
más f de a, como f de a

112
00:07:55,560 --> 00:07:57,620
lo hemos calculado, da menos 51

113
00:07:57,620 --> 00:08:01,839
si queréis ponerla más arregladita

114
00:08:01,839 --> 00:08:07,180
la solución sería menos x, menos 3

115
00:08:07,180 --> 00:08:09,459
y menos 51, pues menos 51

116
00:08:09,459 --> 00:08:14,779
como veis es una recta que va a ser paralela a la que nos pedían

117
00:08:14,779 --> 00:08:16,060
que era igual a menos x

118
00:08:16,060 --> 00:08:18,160
esto sería el número 1

119
00:08:18,160 --> 00:08:20,079
pero luego habría que hacer el número 2

120
00:08:20,079 --> 00:08:21,600
pero sería exactamente igual

121
00:08:21,600 --> 00:08:24,639
el número 2 sería la recta tangente en a igual a 3

122
00:08:24,639 --> 00:08:25,860
y se haría de la misma manera

123
00:08:25,860 --> 00:08:29,379
la a en este caso vale 3

124
00:08:29,379 --> 00:08:32,580
la f' de a

125
00:08:32,580 --> 00:08:36,899
o sea f' de 3 sigue valiendo menos 1

126
00:08:36,899 --> 00:08:38,080
por lo que hemos dicho antes

127
00:08:38,080 --> 00:08:39,320
sigue siendo una solución

128
00:08:39,320 --> 00:08:43,519
y nos faltaría nada más calcular la f de 3

129
00:08:43,519 --> 00:08:46,019
que es irnos a la función y sustituir

130
00:08:46,019 --> 00:08:51,399
menos 3 elevado al cubo más 26 por 3

131
00:08:51,399 --> 00:08:56,559
esto nos va a dar 27 con un menos delante

132
00:08:56,559 --> 00:09:01,299
que es menos 27 más 78

133
00:09:01,299 --> 00:09:07,419
si hacemos la resta pues nos va a dar 51

134
00:09:07,419 --> 00:09:10,120
¿cuál es esta recta?

135
00:09:10,120 --> 00:09:18,259
Pues sería y igual a menos 1 por x menos 3, que es la a, ¿vale?

136
00:09:18,320 --> 00:09:21,360
Menos 1 es la f prima, más 51.

137
00:09:22,600 --> 00:09:32,240
Por lo tanto, si la queremos despejar bien, nos quedaría igual a menos x, más 3, más 51, más 54.

138
00:09:34,100 --> 00:09:36,519
¿Vale? Como veis es una recta paralela a la anterior.