1
00:00:01,710 --> 00:00:06,089
Hoy vamos a ver en qué consiste el producto escalar de dos vectores.

2
00:00:06,410 --> 00:00:12,210
Ya sabíamos que estábamos estudiando el espacio vectorial de dimensión 2, los vectores en el plano.

3
00:00:13,070 --> 00:00:19,870
Sabíamos que esos vectores se podían escribir con respecto a distintas bases de dicho espacio vectorial,

4
00:00:21,109 --> 00:00:25,149
pues la canónica, que era la 1, 0, 0, 1, o cualquier otra base que nos inventemos.

5
00:00:25,530 --> 00:00:30,149
Ya sabemos que una base en un espacio vectorial de dimensión 2 está compuesta por dos vectores que no son proporcionales.

6
00:00:31,710 --> 00:00:38,829
sobre todo lo que habíamos estado viendo, y también recordamos que hay una serie de operaciones que se pueden realizar entre vectores,

7
00:00:38,829 --> 00:00:49,710
podemos sumar dos vectores, u más v, el resultado va a ser otro vector, podemos restar los vectores, u menos v, el resultado va a ser otro vector,

8
00:00:50,950 --> 00:00:56,850
o podemos multiplicar un vector por un escalar, por un número, y el resultado también sería otro vector.

9
00:00:56,850 --> 00:01:05,670
La operación que vamos a introducir ahora tiene como peculiaridad que el resultado ya no va a ser un vector

10
00:01:05,670 --> 00:01:10,530
Cuando yo hago la operación entre dos vectores no me encuentro otro elemento del espacio

11
00:01:10,530 --> 00:01:11,890
Me encuentro un número

12
00:01:11,890 --> 00:01:14,230
Esto es a lo que llamamos producto escalar

13
00:01:14,230 --> 00:01:24,959
El producto escalar lo vamos a escribir así con un punto un poco más gordo

14
00:01:24,959 --> 00:01:29,079
De u y v va a dar lugar a un número

15
00:01:29,079 --> 00:01:34,359
De ahí el nombre del producto, se llama producto escalar porque el resultado es número

16
00:01:34,359 --> 00:01:37,019
Escalar quiere decir número

17
00:01:37,019 --> 00:01:41,859
¿Cómo se define el producto escalar de dos vectores?

18
00:01:41,859 --> 00:01:53,239
El producto escalar de dos vectores se define como el módulo del primero por el módulo del segundo por el coseno del ángulo que forman, u y v

19
00:01:53,239 --> 00:02:00,079
luego efectivamente se trata de un número porque el módulo de u ya sabemos que es un número

20
00:02:00,079 --> 00:02:05,459
el módulo de v ya sabemos que es otro número y el coseno del ángulo que forman pues ya sabemos que es otro número

21
00:02:05,459 --> 00:02:14,479
luego imaginaos que me dicen que u es igual a 2,1 que v es igual a 0,3

22
00:02:14,479 --> 00:02:21,039
y me dicen que el coseno del ángulo que forman pues es el que sea, un número conocido

23
00:02:21,039 --> 00:02:26,400
No me voy a aventurar a poner 1 porque probablemente no se cumpla con las condiciones que estoy poniendo aquí

24
00:02:26,400 --> 00:02:28,240
Pero imaginad que es un número cualquiera

25
00:02:28,240 --> 00:02:36,319
Yo haría el módulo de u, que sería la raíz cuadrada de la suma de las coordenadas al cuadrado

26
00:02:36,319 --> 00:02:44,460
Yo haría el módulo de v y el coseno ya sería conocido

27
00:02:44,460 --> 00:02:49,919
Luego el producto escalar de los dos vectores va a ser raíz de 5 por 3

28
00:02:49,919 --> 00:02:51,780
Por lo que valga el coseno

29
00:02:51,780 --> 00:02:54,740
o sea, en definitiva haría esas cuentas un número

30
00:02:54,740 --> 00:02:58,780
Cosas importantes del producto escalar

31
00:02:58,780 --> 00:03:03,060
El producto escalar lo que me va a permitir detectar es si dos vectores son perpendiculares

32
00:03:03,060 --> 00:03:09,280
Si u y v son perpendiculares, el ángulo que forman va a ser de 90 grados

33
00:03:09,280 --> 00:03:11,659
y el coste de 90 ya sabemos que es 0

34
00:03:11,659 --> 00:03:16,419
Luego, u y v, o u va a ser perpendicular a v

35
00:03:16,419 --> 00:03:22,120
si y solo si, su producto escalar es 0

36
00:03:22,120 --> 00:03:29,020
Es decir, si son perpendiculares se verifica que su producto escalar es cero y si su producto escalar es cero es que son perpendiculares, ¿vale?

37
00:03:29,139 --> 00:03:37,530
O sea que esto es un resultado bastante importante que vamos a utilizar más cosas del producto escalar.

38
00:03:38,389 --> 00:03:48,680
Bueno, pues puede ocurrir que en vez de ser perpendiculares los dos vectores formen un ángulo agudo, ¿vale?

39
00:03:48,680 --> 00:04:02,400
En este caso, si el ángulo es agudo, acordaos de la circunferencia goniométrica, si el ángulo es agudo de los dos vectores, el coseno, acordaos que el coseno siempre era el valor de la coordenada x, en este caso es positivo.

40
00:04:02,400 --> 00:04:06,639
lo u por v va a ser mayor que 0

41
00:04:06,639 --> 00:04:09,219
pero si yo me encuentro con dos vectores

42
00:04:09,219 --> 00:04:11,419
que forman un ángulo mayor de 90 grados

43
00:04:11,419 --> 00:04:13,460
este sería alfa

44
00:04:13,460 --> 00:04:20,740
el coseno ya sería negativo

45
00:04:20,740 --> 00:04:23,800
acordaos que el coseno siempre era la coordenada x

46
00:04:23,800 --> 00:04:26,779
luego el producto escalar de u por v

47
00:04:26,779 --> 00:04:29,180
en el caso de que formen un ángulo obtuso

48
00:04:29,180 --> 00:04:30,660
va a ser menor que 0

49
00:04:30,660 --> 00:04:32,839
eso también me da información

50
00:04:32,839 --> 00:04:56,120
Bueno, en cuanto a las propiedades del producto escalar, se verifica la propiedad conmutativa, u por v es lo mismo que v por u, se verifica también la propiedad asociativa, si yo tengo lambda, un número cualquiera que multiplica un producto escalar, esto es lo mismo que multiplicar lambda por uno de los vectores y luego hacer el producto escalar, me da igual multiplicar lambda por uno que por otro,

51
00:04:56,120 --> 00:05:10,680
Es decir, si yo tengo 3 por u por v, me da lo mismo hacer 3 por u, que ya lo sé hacer, y luego hacer el producto escalar por v, que hacer u por 3 por v.

52
00:05:10,680 --> 00:05:19,560
Análogamente, si yo tuviera, pues no sé, 2u por v, esto sería lo mismo que 2u por v

53
00:05:19,560 --> 00:05:28,860
O si yo me encontrara con menos u por 5v, pues esto va a ser lo mismo que menos 5uv

54
00:05:28,860 --> 00:05:31,300
u por v, ¿vale? Producto escalar

55
00:05:31,300 --> 00:05:36,459
Y, por supuesto, se verifica también la propiedad distributiva del producto respecto de la suma

56
00:05:36,459 --> 00:05:46,959
Si yo tengo un producto escalar V más W, esto es lo mismo que hacer un producto escalar V más un producto escalar W.

57
00:05:48,360 --> 00:05:50,500
Y esto va a permitir hacer los ejercicios de hoy.

58
00:05:50,860 --> 00:05:53,779
Espero que os haya quedado claro más o menos, ¿vale?