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00:00:00,000 --> 00:00:04,599
En este vídeo vamos a obtener un resultado que nos va a ser de gran utilidad

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00:00:04,599 --> 00:00:09,359
cuando queramos saber la expresión matemática de la energía potencial

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00:00:09,359 --> 00:00:14,199
gravitatoria de una masa puntual en cualquier punto a una distancia r

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00:00:14,199 --> 00:00:21,699
minúscula. Vamos con ello. Fijaos, nosotros lo que queremos es esto, la integral de

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00:00:21,699 --> 00:00:29,379
la función menos 1 entre r al cuadrado diferencial de r. Y tú podrás decir, ya

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00:00:29,379 --> 00:00:39,140
pero es que yo todavía no sé integrar. Te voy a contar una cosita. Si tú tienes una función f de x, puedes hacer una cosa con ella que es derivarla,

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00:00:39,700 --> 00:00:56,100
es decir, ir hacia la f' de x, que no es más que derivar f respecto de x. Si ahora coges esta función f' y decides integrarla,

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00:00:56,979 --> 00:00:57,759
¿sabes dónde vas a ir?

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00:00:58,179 --> 00:01:00,880
Vas a volver a la función f de x.

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00:01:01,039 --> 00:01:05,159
De modo que, aunque no sepas integrar una función,

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00:01:06,079 --> 00:01:10,079
si tú sabes una cuya derivada sea justamente esa,

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00:01:10,540 --> 00:01:11,299
ya tienes la integral.

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00:01:11,939 --> 00:01:15,700
Así que vamos a buscar qué función tiene como derivada

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00:01:15,700 --> 00:01:19,239
este menos 1 entre r al cuadrado.

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00:01:19,980 --> 00:01:20,400
Veamos.

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00:01:21,040 --> 00:01:22,760
Esto tiene pinta de función polinómica.

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00:01:22,760 --> 00:01:41,079
Y vosotros recordáis que estas derivadas para las funciones polinómicas de la forma x a la n tienen la siguiente pinta, si tú coges y lo derivas respecto de x vas a obtener el exponente multiplicando a la x a la n menos 1.

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00:01:41,079 --> 00:01:47,799
por tanto si comparamos bueno pues cambiando la x por una r y viendo aquí cuál es la n que

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00:01:47,799 --> 00:01:56,859
tendríamos nosotros fijaos en que lo que queremos es algo de la pinta menos 1 por 1 entre r al

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00:01:56,859 --> 00:02:06,579
cuadrado claro eso se puede escribir como menos 1 por r a la menos 2 y si nos ponemos exquisitos

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00:02:06,579 --> 00:02:11,780
fijaos en que esto es menos 1 por r a la menos 1 menos 1.

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00:02:12,319 --> 00:02:16,900
Entonces diréis, ah, pues esto tiene pinta de algo que estoy viendo ahora,

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00:02:17,439 --> 00:02:22,539
porque fijaos en que la derivada que tiene la forma n a la x, x a la n menos 1,

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00:02:23,240 --> 00:02:30,340
donde esto sería nuestra n y por tanto esto sería nuestra n y esto sería el menos 1,

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00:02:30,340 --> 00:02:37,860
donde esto jugaría el papel de la x, puede hacerme identificar cuál es la función de la que yo justamente vengo.

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00:02:38,360 --> 00:02:43,919
La función de la que yo justamente vengo es la función 1 entre r.

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00:02:44,139 --> 00:03:00,060
Fijaos, si yo derivo 1 entre r respecto de r, que sería lo mismo que derivar r a la menos 1 respecto de r,

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00:03:00,340 --> 00:03:25,740
Tengo menos 1 por r a la menos 1 menos 1 es decir menos 1 entre r al cuadrado acabo de obtener la función que tiene como derivada lo que yo estoy integrando y viceversa lo que yo estoy integrando va a tener como primitiva esta función 1 entre r.

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00:03:25,740 --> 00:03:43,560
Es decir, que volviendo aquí tenemos que la integral de menos 1 entre r al cuadrado es 1 entre r y ahora viene una cosa crucial y es que cuando integráis aquí aparece una constante.

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00:03:43,560 --> 00:03:53,699
¿Por qué? Porque, fijaos, si yo derivo esto, acabo de ver que obtengo justamente lo que estoy integrando.

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00:03:54,919 --> 00:04:05,120
Pero si yo derivo todo esto, fijaos, por un lado con esto obtengo lo de aquí, pero ¿cuál es la derivada de una constante?

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00:04:05,120 --> 00:04:17,139
La derivada de una constante, la derivada de algo que no cambia es 0. Es decir, que la derivada de todo esto en realidad también es esta función de aquí.

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00:04:17,759 --> 00:04:26,319
Por tanto, cuando yo integro no puedo saber si la función es simplemente 1 entre r o 1 entre r más una constante.

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00:04:26,319 --> 00:04:31,680
y esta constante es una constante que hay que fijar con las condiciones del problema

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00:04:31,680 --> 00:04:35,060
y es una constante que va a determinar, por ejemplo,

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00:04:35,459 --> 00:04:41,779
dónde está el cero de energía potencial, por qué es negativa, etc.

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00:04:42,480 --> 00:04:44,519
Quedaos con el resultado que nos interesa,

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00:04:45,079 --> 00:04:48,819
que es que la integral de menos 1 entre r al cuadrado diferencial de r

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00:04:48,819 --> 00:04:52,439
es 1 entre r más una constante.

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00:04:52,899 --> 00:04:53,699
Hasta la siguiente.