1
00:00:14,830 --> 00:00:22,690
Bueno, vamos a corregir el junio de 2021 de Madrid, la opción B, el ejercicio 2.

2
00:00:23,350 --> 00:00:29,390
Este ejercicio sí que era más complicado que el de la opción A, muchísimo más,

3
00:00:30,109 --> 00:00:34,909
y dado que se podían elegir 4 de 8, me gustaría saber qué porcentaje de alumnos ha elegido este ejercicio,

4
00:00:35,369 --> 00:00:38,570
aunque tampoco es tan difícil. Se trata de una función a trozos,

5
00:00:39,250 --> 00:00:43,850
una rama a la izquierda de 0 es el seno, a la derecha de 0 es x por y a la x,

6
00:00:43,850 --> 00:00:49,429
y bueno, pues hay que estudiar la continuidad y la derivabilidad

7
00:00:49,429 --> 00:00:51,390
intervalos de crecimiento y decrecimiento

8
00:00:51,390 --> 00:00:55,469
un teorema, en este caso de los valores intermedios

9
00:00:55,469 --> 00:00:58,549
o también en algunos libros le llaman de Darboux

10
00:00:58,549 --> 00:01:02,070
y una integral definida

11
00:01:02,070 --> 00:01:05,129
entonces vamos a empezar viendo en GeoGebra

12
00:01:05,129 --> 00:01:08,209
la función, como podéis ver aquí

13
00:01:08,209 --> 00:01:10,469
a la izquierda de 0 tengo el seno

14
00:01:10,469 --> 00:01:12,629
a la derecha del 0, x por y a la x

15
00:01:12,629 --> 00:01:18,430
y no cuesta nada ver que efectivamente es continua.

16
00:01:19,469 --> 00:01:24,590
Si yo hago el límite por la izquierda y el límite por la derecha

17
00:01:24,590 --> 00:01:27,290
y el valor de la función, pues da cero.

18
00:01:27,489 --> 00:01:28,689
Así que es continua.

19
00:01:29,349 --> 00:01:31,549
También podemos ver que es derivable.

20
00:01:32,189 --> 00:01:32,569
¿Por qué?

21
00:01:32,569 --> 00:01:38,670
Porque la función roja es la derivada y como vemos es continua.

22
00:01:38,670 --> 00:02:06,569
Entonces, si la derivada es continua, es que la función es derivable. También lo podemos ver aquí en el punto A. Si nosotros vemos cómo se va acercando la derivada a 1, cuando nosotros pasamos al positivo sigue siendo 1, o sea que es continua y derivable.

23
00:02:06,569 --> 00:02:12,750
también lo podemos ver en las cuentas, si hacemos el límite por la izquierda y por la derecha, pues da 1, ¿de acuerdo?

24
00:02:12,990 --> 00:02:16,349
Ahí lo tenemos, así que la función es continua y derivable.

25
00:02:17,069 --> 00:02:25,889
Vamos a verlo, a hacerlo con las cuentas, ya que GeoGebra no nos van a dejar usarlo en la EBAO.

26
00:02:25,889 --> 00:02:36,110
Bien, lo primero, dado que lo repito una vez más, que nos piden es el apartado A, continuidad en x igual a 0,

27
00:02:36,569 --> 00:02:47,969
Pues lo que hay que hacer es, primero, ¿existe el límite cuando x tiende a 0 de f de x?

28
00:02:48,370 --> 00:02:59,370
Para eso, dado que es una función a trozos, necesitamos hacer el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda del seno de x, como todos sabemos, pues es 0.

29
00:02:59,370 --> 00:03:04,669
el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de x por e a la x

30
00:03:04,669 --> 00:03:08,349
pues es 0 por 1, se acercaría a 0 por 1, 0

31
00:03:08,349 --> 00:03:12,189
así que existe el límite y es 0

32
00:03:12,189 --> 00:03:15,289
además tenemos que ver si existe f de 0

33
00:03:15,289 --> 00:03:19,229
que claro que existe porque el igual está en la rama de abajo

34
00:03:19,229 --> 00:03:21,370
sustituyendo por 0 de 0

35
00:03:21,370 --> 00:03:24,610
y la tercera condición que se debe cumplir

36
00:03:24,610 --> 00:03:28,030
es que el límite cuando x tiende a 0 de f de x

37
00:03:28,030 --> 00:03:30,210
tiene que valer lo mismo que f de 0

38
00:03:30,210 --> 00:03:33,090
como 0 es igual a 0 pues se cumple

39
00:03:33,090 --> 00:03:36,449
y ya tendríamos demostrada que es continua

40
00:03:36,449 --> 00:03:39,389
en x igual a 0

41
00:03:39,389 --> 00:03:43,680
para ver la derivabilidad

42
00:03:43,680 --> 00:03:46,360
pues aquí vamos a hacerlo de dos maneras

43
00:03:46,360 --> 00:03:48,419
una manera es decir

44
00:03:48,419 --> 00:03:51,860
la función derivada de x es

45
00:03:51,860 --> 00:03:54,699
por un lado el seno es el coseno

46
00:03:54,699 --> 00:03:57,759
si x es menor que 0

47
00:03:57,759 --> 00:04:14,800
Y por otro lado es la derivada de un producto, derivada del primero por el segundo sin derivar, más, lo voy a poner aquí abajo en moradito, la derivada del primero por el segundo sin derivar, más el primero por la derivada del segundo.

48
00:04:14,800 --> 00:04:26,040
Si nosotros sacamos factor común, por ponerlo ya más limpio, pues tenemos x más 1 por elevado a x, si x es mayor que 0.

49
00:04:26,519 --> 00:04:36,139
Recordaros que se pierde el igual cuando hacemos la derivada porque no sabemos si va a ser continua la derivada.

50
00:04:36,139 --> 00:04:39,100
Entonces, ahí no podemos poner el igual.

51
00:04:39,480 --> 00:04:42,579
Si hacemos el límite y se cumple, entonces podríamos añadirlo.

52
00:04:42,579 --> 00:04:49,500
Es decir, si yo hiciera aquí el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda del coseno de x, pues esto es 1,

53
00:04:50,300 --> 00:04:59,279
y el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de x más 1 por e a la x, pues es 1 por 1, 1.

54
00:04:59,759 --> 00:05:05,000
Entonces, como existe, sí que podríamos volver a poner, ¿dónde estaba el igual?

55
00:05:05,000 --> 00:05:09,379
Arriba, abajo, abajo, pues podríamos volver a poner el igual.

56
00:05:09,379 --> 00:05:37,740
Cuidado con esto. En la corrección de la universidad les gusta jugar con la definición de derivada correcta f de x sub 0 es el límite cuando x tiende a x sub 0 de f de x menos f de x sub 0 partido por x menos x sub 0.

57
00:05:37,740 --> 00:05:40,220
Esa es la definición de derivada de una función en un punto.

58
00:05:40,920 --> 00:05:50,019
Entonces nosotros podríamos hacer la derivada en 0 por la izquierda como el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda

59
00:05:50,019 --> 00:05:58,160
de seno de x menos seno de 0, seno de 0 es 0, partido por x menos 0.

60
00:05:59,000 --> 00:06:02,779
Entonces el límite de seno de x partido por x es 1.

61
00:06:02,779 --> 00:06:20,439
Y si hacemos el límite cuando x tiende a 0 por la derecha, pues sería el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de x por e a la x menos, cuando yo sustituyo por 0, pues esto da 0, partido por x menos 0 otra vez.

62
00:06:21,000 --> 00:06:28,170
Podríamos simplificar la x y en realidad esto queda así y vuelve a dar 1.

63
00:06:28,170 --> 00:06:45,990
O sea que me da igual hacerlo con la definición de límite, aunque parece que esto les gusta más, que hacer la función derivada, que a fin de cuentas hemos hecho eso, y luego hacer el límite cuando tiende a cero, por la izquierda y por la derecha.

64
00:06:47,050 --> 00:06:57,610
Podéis elegir hacerlo de una manera u otra. En cualquier caso, es derivable, vamos a ponerlo a la misma altura, es derivable en x igual a cero.

65
00:06:58,170 --> 00:07:19,750
Y ya tenemos el apartado A. Vamos con el apartado B, ya lo habíamos visto en GeoGebra, el A, que estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f restringido a menos pi medios y demuestra que existe un punto x sub cero entre cero y uno, intervalo cerrado, de manera que f de x sub cero sea 2.

66
00:07:19,750 --> 00:07:34,279
Primero vamos a hacer con la derivada porque el intervalo es menos pi, hemos dicho que era menos pi2.

67
00:07:34,279 --> 00:07:43,829
En el intervalo menos pi2 pues tenemos que tener en cuenta las dos funciones.

68
00:07:44,529 --> 00:07:52,430
Si nosotros para hallar crecimiento y decrecimiento igualamos la primera derivada a cero, pues coseno de x igual a cero,

69
00:07:52,430 --> 00:07:55,009
entre menos pi medios

70
00:07:55,009 --> 00:07:56,569
entre menos pi y 2

71
00:07:56,569 --> 00:07:58,829
solo tiene una solución que sería

72
00:07:58,829 --> 00:08:01,689
menos pi medios

73
00:08:01,689 --> 00:08:02,310
¿de acuerdo?

74
00:08:02,410 --> 00:08:03,730
el coseno de menos 90

75
00:08:03,730 --> 00:08:06,850
pues es 0

76
00:08:06,850 --> 00:08:11,370
y entre 0 y 2

77
00:08:11,370 --> 00:08:14,850
tendríamos que igualar

78
00:08:14,850 --> 00:08:15,750
la derivada

79
00:08:15,750 --> 00:08:21,089
x más 1 por la x a 0

80
00:08:21,089 --> 00:08:34,120
y esto, la única solución sería menos uno, que no vale, porque estaríamos entre cero y dos.

81
00:08:34,679 --> 00:08:37,860
Arriba estaríamos entre menos pi cero y abajo entre cero y dos.

82
00:08:37,860 --> 00:08:45,940
¿Qué quiere decir esto? Bueno, pues que cuando nosotros dividimos nuestro eje,

83
00:08:46,200 --> 00:08:52,879
el único sitio que tenemos entre menos pi y dos, solo tenemos menos pi medios,

84
00:08:52,879 --> 00:09:13,080
Y entonces, pues si nosotros cogiéramos uno de los valores, por ejemplo, menos 3 pi cuartos y sustituimos en la derivada el coseno, fijaros que estamos haciendo una circunferencia goniométrica,

85
00:09:13,080 --> 00:09:15,720
nos estamos moviendo para acá

86
00:09:15,720 --> 00:09:18,379
lógicamente el coseno

87
00:09:18,379 --> 00:09:20,519
que en cero

88
00:09:20,519 --> 00:09:21,080
vale uno

89
00:09:21,080 --> 00:09:24,179
pues cuando nos vamos moviendo

90
00:09:24,179 --> 00:09:26,200
hacia la izquierda menos pi medios vale cero

91
00:09:26,200 --> 00:09:29,659
y aquí vale

92
00:09:29,659 --> 00:09:30,379
negativo

93
00:09:30,379 --> 00:09:34,059
y en todo el resto

94
00:09:34,059 --> 00:09:35,679
podemos poner el cero

95
00:09:35,679 --> 00:09:36,960
que es donde cambia también

96
00:09:36,960 --> 00:09:39,399
pero es positivo

97
00:09:39,399 --> 00:09:41,179
¿qué quiere decir todo esto?

98
00:09:41,559 --> 00:09:43,200
que la función crece

99
00:09:43,200 --> 00:09:50,639
cuando x pertenece de menos pi medios hasta 2

100
00:09:50,639 --> 00:10:01,639
y decrece cuando x pertenece de menos pi hasta menos pi medios.

101
00:10:02,120 --> 00:10:02,940
¿De acuerdo?

102
00:10:02,940 --> 00:10:06,320
Si nosotros queremos verlo esto con GeoGebra,

103
00:10:08,580 --> 00:10:14,519
segundito, pues aquí tenemos la función representada entre menos pi y 2.

104
00:10:14,519 --> 00:10:17,200
se ve ahí entre menos pi y 2

105
00:10:17,200 --> 00:10:20,539
si igualamos a 0

106
00:10:20,539 --> 00:10:22,279
pues vemos este resultado

107
00:10:22,279 --> 00:10:23,500
en este caso K1

108
00:10:23,500 --> 00:10:25,519
lo haríamos que valiera menos 1

109
00:10:25,519 --> 00:10:26,980
para que nos dé menos pi medios

110
00:10:26,980 --> 00:10:30,480
y esta menos 1

111
00:10:30,480 --> 00:10:32,759
que no tiene solución

112
00:10:32,759 --> 00:10:34,799
así que tenemos que

113
00:10:34,799 --> 00:10:37,019
entre menos pi y menos pi medios

114
00:10:37,019 --> 00:10:39,720
decrece como se ve en la gráfica

115
00:10:39,720 --> 00:10:41,720
y de pi medios hasta 2 crece

116
00:10:41,720 --> 00:10:42,960
¿vale?

117
00:10:42,960 --> 00:10:47,620
O sea, que lo tenemos bien.

118
00:10:48,399 --> 00:10:53,759
Vamos a seguir, porque ahora viene el teorema de los valores intermedios.

119
00:10:54,139 --> 00:11:00,960
Para eso os voy a enseñar el teorema de los valores intermedios aquí en la Wikipedia.

120
00:11:01,919 --> 00:11:04,960
Y lo veis aquí, donde mejor se ve es aquí.

121
00:11:05,679 --> 00:11:07,720
¿Qué quiere decir el teorema de los valores intermedios?

122
00:11:07,720 --> 00:11:09,639
es que si yo cojo un intervalo a b

123
00:11:09,639 --> 00:11:15,320
que a su imagen es f de a y b su imagen es f de b

124
00:11:15,320 --> 00:11:17,759
podría ser al revés

125
00:11:17,759 --> 00:11:19,559
pero bueno, eso es lo de menos

126
00:11:19,559 --> 00:11:24,240
cualquier valor c

127
00:11:24,240 --> 00:11:27,159
toma todos los valores

128
00:11:27,159 --> 00:11:29,019
entre f de c

129
00:11:29,019 --> 00:11:32,379
toma todos los valores obligatoriamente entre f de a y f de b

130
00:11:32,379 --> 00:11:34,840
se puede salir por arriba, se puede salir por abajo

131
00:11:34,840 --> 00:11:37,720
es decir, como esta, por ejemplo, toma este valor

132
00:11:37,720 --> 00:11:39,419
que no está entre f de a y f de b

133
00:11:39,419 --> 00:11:41,879
pero como veis toma todos los valores

134
00:11:41,879 --> 00:11:44,480
si fuéramos haciendo líneas horizontales

135
00:11:44,480 --> 00:11:46,340
una vez llegado aquí

136
00:11:46,340 --> 00:11:49,139
todos los valores entre f de a y f de b

137
00:11:49,139 --> 00:11:51,860
se toman en el intervalo entre a y b

138
00:11:51,860 --> 00:11:52,860
sus imágenes

139
00:11:52,860 --> 00:11:56,559
así que es así

140
00:11:56,559 --> 00:12:00,159
es más, si queréis para entenderlo

141
00:12:00,159 --> 00:12:01,679
antes de hacerlo

142
00:12:01,679 --> 00:12:03,120
si nos vamos a GeoGebra

143
00:12:03,120 --> 00:12:07,600
yo hago la recta igual a 2

144
00:12:07,600 --> 00:12:11,620
y vemos que efectivamente la función tiene un valor en el que es 2.

145
00:12:12,340 --> 00:12:18,039
Geogebra nos le halla, en este caso es 0.85, cosa que nosotros no podemos hallar algebraicamente.

146
00:12:18,399 --> 00:12:25,799
No podemos hallar algebraicamente porque tendríamos que resolver la ecuación x por e a la x igual a 2

147
00:12:25,799 --> 00:12:29,080
y esa ecuación no la sabemos resolver algebraicamente.

148
00:12:29,720 --> 00:12:32,019
Podríamos hacerlo con métodos numéricos, pero no es el caso.

149
00:12:32,019 --> 00:12:54,600
Porque no nos interesa el 0,85, solo nos interesa demostrar que existe un valor, ¿de acuerdo? Y aquí lo vemos claramente que lo que quiere decir el teorema de los valores intermedios es que cualquier valor entre 0 y 1 toma valores entre 0 y f de 1, que es e.

150
00:12:54,600 --> 00:13:06,480
Eso lo tenemos aquí, entre 0 y e. Como 2 está entre 0 y e, existe un número que está entre 0 y 1 cuya imagen es 2.

151
00:13:07,360 --> 00:13:16,000
¿Entendido? Si me dijeran 3, ya no podría afirmarlo. A lo mejor porque hiciera la función así, tocara el 3 y luego volviera para abajo.

152
00:13:16,700 --> 00:13:22,279
Pero todos los números entre 0 y e son imagen de un determinado valor entre 0 y 1.

153
00:13:22,279 --> 00:13:44,419
Y ese es el teorema de los valores intermedios. Si nosotros volvemos a nuestra surface, pues eso tendríamos que decir, enumerar el teorema de los valores intermedios, se me ha olvidado decir una cosa importantísima, que ahora la voy a decir, claro, al enumerarlo.

154
00:13:44,419 --> 00:13:52,470
la función f de x tiene que ser

155
00:13:52,470 --> 00:14:03,379
continua en el intervalo

156
00:14:03,379 --> 00:14:07,399
a, b, entonces si la función es continua en el intervalo a, b, en nuestro caso

157
00:14:07,399 --> 00:14:10,919
el intervalo es 0, 1

158
00:14:10,919 --> 00:14:15,600
¿la función es continua en el intervalo 0, 1? Sí, lo hemos demostrado en la otra parte

159
00:14:15,600 --> 00:14:19,840
entonces, si f de 0

160
00:14:19,840 --> 00:14:23,480
menor que 2, menor que

161
00:14:23,480 --> 00:14:51,190
f de 1, cosa que es verdad, porque f de 0 es 0 y f de 1 es el número e, que es 2,7182, entonces existe un c perteneciente al intervalo 0,1 tal que f de c es igual, ¿vale?

162
00:14:51,190 --> 00:14:53,029
teorema de los valores intermedios

163
00:14:53,029 --> 00:14:53,750
o de Darbu

164
00:14:53,750 --> 00:14:55,490
y este es el apartado B

165
00:14:55,490 --> 00:14:57,929
ya lo tendríamos terminado

166
00:14:57,929 --> 00:15:01,450
y ahora viene el apartado C

167
00:15:01,450 --> 00:15:02,909
que dice calcula la integral

168
00:15:02,909 --> 00:15:05,149
entre menos pi medios y 1 de f de x

169
00:15:05,149 --> 00:15:06,350
bueno

170
00:15:06,350 --> 00:15:09,330
pues el apartado C

171
00:15:09,330 --> 00:15:11,470
lo que haríamos

172
00:15:11,470 --> 00:15:13,350
sería lo que nos pide

173
00:15:13,350 --> 00:15:16,090
una integral definida entre menos pi medios y 1

174
00:15:16,090 --> 00:15:18,129
de f de x

175
00:15:18,129 --> 00:15:19,429
diferencial de x

176
00:15:19,429 --> 00:15:26,330
Esta integral no la podemos hacer directamente porque tiene dos ramas y con cero en medio.

177
00:15:26,529 --> 00:15:34,629
Entonces hay que hacer la integral de menos pi medios hasta cero de la rama de la izquierda, que era seno de x, ¿verdad?

178
00:15:36,549 --> 00:15:44,009
Más la integral entre cero y uno de x por e a la x diferencial de x.

179
00:15:45,090 --> 00:15:49,250
Bueno, nosotros esto lo hacemos, la primera integral es inmediata.

180
00:15:49,429 --> 00:15:57,690
Primero es menos coseno de x, ¿verdad? Y la segunda integral pues hay que hacerla por partes.

181
00:15:57,690 --> 00:16:15,889
Si nosotros hacemos, voy a hacer aquí, la integral de x por e a la x diferencial de x, pues llamamos u a x diferencial de v a e a la x diferencial de x,

182
00:16:15,889 --> 00:16:17,750
u diferencial de u

183
00:16:17,750 --> 00:16:20,149
1 o diferencial de x

184
00:16:20,149 --> 00:16:21,629
y v

185
00:16:21,629 --> 00:16:24,450
pues sea la x diferencial de x

186
00:16:24,450 --> 00:16:25,950
no vamos a contar ahora el chiste

187
00:16:25,950 --> 00:16:27,629
de la exponencial

188
00:16:27,629 --> 00:16:30,210
entonces como yo tengo la integral

189
00:16:30,210 --> 00:16:31,529
de u diferencial de v

190
00:16:31,529 --> 00:16:32,850
eso es u por v

191
00:16:32,850 --> 00:16:37,929
menos la integral

192
00:16:37,929 --> 00:16:40,690
de v diferencial de u

193
00:16:40,690 --> 00:16:41,889
es decir

194
00:16:41,889 --> 00:16:45,710
e a la x

195
00:16:45,710 --> 00:16:47,730
aquí hay un pequeño error

196
00:16:47,730 --> 00:16:50,710
porque esto no es

197
00:16:50,710 --> 00:16:52,750
ahí ya no se pone, es v

198
00:16:52,750 --> 00:16:55,669
e a la x diferencial de x

199
00:16:55,669 --> 00:16:58,350
en otras palabras, la integral de esta es

200
00:16:58,350 --> 00:16:59,990
e a la x

201
00:16:59,990 --> 00:17:02,070
y si sacamos factor común

202
00:17:02,070 --> 00:17:02,809
más c

203
00:17:02,809 --> 00:17:06,029
tendríamos x menos 1

204
00:17:06,029 --> 00:17:07,910
por e a la x más c

205
00:17:07,910 --> 00:17:10,349
¿vale? esa es la integral

206
00:17:10,349 --> 00:17:12,170
entonces una vez que la he hecho por partes

207
00:17:12,170 --> 00:17:14,230
y para aprovechar que ya lo tenía aquí

208
00:17:14,230 --> 00:17:16,549
sería x menos 1

209
00:17:16,549 --> 00:17:26,049
por e a la x, y todo esto hay que evaluarlo, esta entre menos pi medios y 0, y esta entre 0 y 1.

210
00:17:26,950 --> 00:17:39,569
Vamos a evaluarlas, menos coseno de 0, bueno, el coseno de 0 es 1, así que tenemos menos 1 menos el coseno de menos pi medios, que es 0,

211
00:17:39,569 --> 00:17:55,329
más, primero con 1, 1 menos 1, 0, así que tenemos 0, menos, y ahora sustituimos por 0, y queda menos 1 por 1, menos 1.

212
00:17:56,589 --> 00:18:03,009
Esta es la regla de Barrow, y tenemos menos 1 más 1 igual 0.

213
00:18:03,410 --> 00:18:08,490
La integral definida da 0, ¿puede dar 0? Sí, porque no nos están pidiendo el área.

214
00:18:08,490 --> 00:18:11,210
si nos pidieran el área es cuando no podría dar 0

215
00:18:11,210 --> 00:18:13,730
si lo queremos ver en GeoGebra

216
00:18:13,730 --> 00:18:17,799
pues ahí lo tenemos

217
00:18:17,799 --> 00:18:19,960
el área sería lo morado

218
00:18:19,960 --> 00:18:23,059
pero es que como vale lo mismo el área que está por debajo del eje x

219
00:18:23,059 --> 00:18:25,599
que el área que está por encima del eje x

220
00:18:25,599 --> 00:18:27,420
como vamos a ver aquí

221
00:18:27,420 --> 00:18:29,019
pues da 0

222
00:18:29,019 --> 00:18:31,279
esta es la integral menos coseno por un lado

223
00:18:31,279 --> 00:18:33,380
y x menos 1 por e a la x por otro

224
00:18:33,380 --> 00:18:38,000
valoramos 1, 0 y menos 1

225
00:18:38,000 --> 00:18:41,119
y como veis pues

226
00:18:41,119 --> 00:18:42,599
da cero

227
00:18:42,599 --> 00:18:44,700
así que el resultado

228
00:18:44,700 --> 00:18:47,220
es cero

229
00:18:47,220 --> 00:18:48,900
mucho cuidado con esto

230
00:18:48,900 --> 00:18:51,059
no confundamos integral definida con área

231
00:18:51,059 --> 00:18:53,440
son conceptos

232
00:18:53,440 --> 00:18:54,400
diferentes

233
00:18:54,400 --> 00:18:56,380
y hemos terminado