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00:00:00,000 --> 00:00:09,000
Buenas tardes, en este vídeo vamos a aprender cómo se maximiza una función objetivo sujeta a una serie de restricciones.

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00:00:09,000 --> 00:00:19,000
Es un problema típico de programación lineal en el que tenéis una función lineal 4x más 3y

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00:00:19,000 --> 00:00:24,000
y tenemos una serie de restricciones que nos da el enunciado x más y menor o igual que 80

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00:00:24,000 --> 00:00:31,000
30x más 20y menor o igual que 1800, x mayor o igual que 0 y mayor o igual que 0.

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00:00:31,000 --> 00:00:36,000
En primer lugar, lo que vamos a hacer es representar cada una de estas restricciones.

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00:00:36,000 --> 00:00:43,000
Igualamos la primera restricción, vamos a llamar a esta primera restricción un número 1,

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00:00:43,000 --> 00:00:50,000
a la segunda número 2, a la tercera número 3 y a la cuarta número 4.

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00:00:50,000 --> 00:00:55,000
Lo que vamos a hacer es representar x más y igual a 80.

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00:00:55,000 --> 00:00:57,000
Hacemos como siempre los puntos de corte.

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00:00:57,000 --> 00:01:01,000
Despejamos la y, y igual a 80 menos x.

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00:01:01,000 --> 00:01:04,000
Si la x vale 0, la y vale 80.

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00:01:04,000 --> 00:01:08,000
Si la y vale 0, la x igual a 80.

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00:01:08,000 --> 00:01:11,000
Así obtenemos los puntos de corte con los ejes.

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00:01:11,000 --> 00:01:16,000
El primer punto sería el punto 0,80, corte con el eje y.

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00:01:16,000 --> 00:01:21,000
Y el segundo punto sería el 80,0, que es el punto de corte con el eje y.

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00:01:21,000 --> 00:01:28,000
A continuación vamos a abordar la segunda restricción, 30x más 20y igual a 1800.

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00:01:28,000 --> 00:01:34,000
Y lo que hacemos es simplificamos por 10 y nos queda más fácil 3x más 2y igual a 180.

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00:01:34,000 --> 00:01:37,000
Y es más fácil trabajar con esta segunda que con la primera.

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00:01:37,000 --> 00:01:45,000
Despejamos la y, 2y igual a 180 menos 3x, y igual a 180 menos 3x partido por 2.

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00:01:45,000 --> 00:01:52,000
Si la x vale 0, nos quedaría 180 entre 2, que da 90.

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00:01:52,000 --> 00:01:56,000
Si la y vale 0, nos quedaría 180 menos 3x igual a 0.

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00:01:56,000 --> 00:02:00,000
Y la x sería 180 entre 3, que da 60.

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00:02:00,000 --> 00:02:05,000
Así obtenemos los puntos 0,90 y 60,0.

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00:02:05,000 --> 00:02:12,000
Estos puntos nos harán falta a continuación para representar ambas restricciones.

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00:02:13,000 --> 00:02:20,000
La primera restricción, que teníamos x más y menor o igual que 80, nos había dado los puntos 0,80 y 80,0.

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00:02:20,000 --> 00:02:28,000
La segunda restricción, 3x más 2y menor o igual que 180, nos había dado los puntos 0,90 y 60,0.

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00:02:28,000 --> 00:02:30,000
Vamos con la primera restricción.

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00:02:30,000 --> 00:02:35,000
Bueno, tenemos la tercera restricción, que es x mayor o igual que 0, y la cuarta que es y mayor o igual que 0.

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00:02:35,000 --> 00:02:50,000
La primera restricción, x más y menor o igual que 80, pasa por el punto 0,80, que está aquí, que después se convertirá en el vértice B más adelante,

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00:02:50,000 --> 00:02:58,000
y pasa también por el punto 80,0, este punto azul, que no es el vértice D, se verá más adelante.

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00:02:59,000 --> 00:03:05,000
Entonces trazamos esa recta, y a continuación tomamos un punto, en este caso el 0,0.

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00:03:05,000 --> 00:03:12,000
0 más 0 es menor o igual que 80, sí, pues entonces sería esta parte para acá.

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00:03:14,000 --> 00:03:27,000
A continuación cogemos la segunda restricción, que es 3x más 2y menor o igual que 180, sería 0,90, que está aquí arriba, este punto azul.

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00:03:28,000 --> 00:03:36,000
Y el punto 60,0. Pensad que cada una de estas líneas mide 20, ¿no? 20, 40, 60, ¿no?

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00:03:36,000 --> 00:03:44,000
Es esta línea que hemos representado aquí como 3x más 2y igual a 180.

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00:03:44,000 --> 00:03:50,000
Cogemos un punto, el punto 0,0, y sustituimos 3 por 0, 0, 2 más 0, 0.

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00:03:50,000 --> 00:03:54,000
0 es menor o igual que 180, sí, pues sería para acá.

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00:03:55,000 --> 00:04:02,000
La tercera restricción es x mayor o igual que 0, x mayor o igual que 0 sería para acá, todo esto.

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00:04:03,000 --> 00:04:07,000
Y mayor o igual que 0 sería para acá, todo esto.

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00:04:07,000 --> 00:04:18,000
Finalmente nos sale el recinto delimitado por estos cuatro vértices, el A, el B, C y D.

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00:04:18,000 --> 00:04:25,000
Algunos de estos vértices son fáciles de calcular, por ejemplo, se ve claramente que el vértice A es el 0,0.

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00:04:25,000 --> 00:04:30,000
El vértice B se ve que es el 0,80.

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00:04:31,000 --> 00:04:39,000
El D también es fácil de calcular porque coincide con uno de los puntos que ya hemos tomado, que es el D, 60,0.

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00:04:39,000 --> 00:04:46,000
Y nos falta por calcular el vértice C, que es la intersección de las dos restricciones 1 y 2, ¿no?

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00:04:46,000 --> 00:04:52,000
Restricción 1 y restricción 2, ¿no? Pues eso es lo que vamos a hacer en la siguiente pantalla, ¿no?

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00:04:53,000 --> 00:04:58,000
¿Cómo calculamos C? Igualamos las dos restricciones, formamos un sistema.

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00:04:58,000 --> 00:05:03,000
En este caso es muy fácil despejar y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda.

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00:05:03,000 --> 00:05:06,000
Dejamos aquí que es 80 menos x y sustituimos en la segunda.

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00:05:06,000 --> 00:05:10,000
3x más 2 por 80 menos x, igual 180.

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00:05:10,000 --> 00:05:16,000
3x más 160 menos 2x igual 180.

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00:05:16,000 --> 00:05:19,000
Agrupamos las x, 3x menos 2x, x.

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00:05:19,000 --> 00:05:21,000
180 menos 160, 20.

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00:05:21,000 --> 00:05:27,000
Así tenemos, una vez que tenemos el 20, vamos aquí y ponemos igual 80 menos 20, 60.

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00:05:27,000 --> 00:05:29,000
Que esto es lo que hacemos aquí.

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00:05:29,000 --> 00:05:32,000
Ya tenemos el vértice C, 20, 60.

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00:05:32,000 --> 00:05:34,000
Un resumen de los vértices es lo siguiente.

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00:05:34,000 --> 00:05:43,000
Los vértices son a00, el 00, el b es el 080, el c es el 20, 60 y el d es el 60, 0.

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00:05:43,000 --> 00:05:48,000
Al ser un recinto acotado va a tener máximo y mínimo.

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00:05:48,000 --> 00:05:51,000
Además, este se va a alcanzar en uno de los cuatro vértices.

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00:05:51,000 --> 00:05:55,000
Por ello, lo que vamos a hacer es sustituir cada uno de estos cuatro vértices en la función objetivo.

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00:05:55,000 --> 00:05:58,000
Y eso lo vamos a ver en la pantalla siguiente.

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00:05:58,000 --> 00:06:01,000
La función objetivo es 4x más 3y.

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00:06:01,000 --> 00:06:03,000
Cogemos el primer vértice, que es el 00.

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00:06:03,000 --> 00:06:08,000
Sustituimos la x por 0 y la y por 0 y quedaría 4x0 más 3x0, 0.

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00:06:08,000 --> 00:06:11,000
El segundo vértice es el 080.

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00:06:11,000 --> 00:06:14,000
Cogemos y sustituimos la x por 0 y la y por 80.

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00:06:14,000 --> 00:06:17,000
4x0, 0, más 3x80, 240.

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00:06:17,000 --> 00:06:20,000
El tercer vértice es el 20, 60.

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00:06:20,000 --> 00:06:22,000
Sería 4x20 más 3x60.

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00:06:22,000 --> 00:06:25,000
4x20, 80. 3x60, 180.

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00:06:25,000 --> 00:06:27,000
En total, 260.

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00:06:27,000 --> 00:06:29,000
El último vértice es 60, 0.

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00:06:29,000 --> 00:06:32,000
Sustituimos la x por 60 y la y por 0.

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00:06:32,000 --> 00:06:37,000
4x60 más 3x0 sería 240 más 0, 240.

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00:06:37,000 --> 00:06:42,000
Si observamos los resultados, 0, 240, 260, 240,

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00:06:42,000 --> 00:06:47,000
podemos observar que el máximo se alcanza en 20, 60,

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00:06:47,000 --> 00:06:50,000
ya que vale 260 la función objetivo.

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00:06:50,000 --> 00:06:54,000
Y el mínimo se alcanza en 00, ya que la función vale 0.

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00:06:54,000 --> 00:06:58,000
Espero que os haya gustado el vídeo y, sobre todo, que sea útil.