1
00:00:00,430 --> 00:00:12,310
Vamos con la segunda clase de geometría 3D y después de acabar el otro día explicando que tres vectores que eran linealmente independientes forman una base,

2
00:00:12,310 --> 00:00:22,070
no vamos a trabajar mucho en ese ámbito y vamos a pasar directamente a la base ortonormal, que es en la que se suele trabajar.

3
00:00:22,070 --> 00:00:39,390
Entonces vamos a definir tres vectores, entonces aquí escribimos vector, abro dos paréntesis porque el comando vector espera un punto y ese es el segundo paréntesis,

4
00:00:39,390 --> 00:00:59,549
1,00 y ya tengo el vector 1,00. Aquí ya lo tenemos, eso como sabéis de física, pues se suele definir como el vector i, así que le voy a renombrar y le voy a llamar i latina.

5
00:00:59,549 --> 00:01:03,090
por defecto ya sabéis que le llama u al vector

6
00:01:03,090 --> 00:01:06,590
además si queréis pues le vamos a dar propiedades

7
00:01:06,590 --> 00:01:08,890
y le vamos a poner rojo

8
00:01:08,890 --> 00:01:12,590
y bastante gordito

9
00:01:12,590 --> 00:01:16,709
para que tengamos ahí ya nuestro vector i

10
00:01:16,709 --> 00:01:20,349
como veis pues ahí está nuestro vector i

11
00:01:20,349 --> 00:01:27,489
ahora lo que vamos a hacer es que el nombre del vector i

12
00:01:27,489 --> 00:01:41,489
Pues como veis no tiene flechita, aquí vamos a saltar, no es ni de matemáticas ni de GeoGebra, pero tiene mucho que ver con las dos cosas, que es como escribir en el lenguaje de matemáticas látex, ¿de acuerdo?

13
00:01:41,489 --> 00:01:58,549
Entonces nos vamos a básico y ahí donde pone rótulo, vamos a hacer esto un poquito más grande, donde pone rótulo, vamos, por cierto, esto me lo ha sacado aquí como una ventana, se puede manejar desde aquí.

14
00:01:58,549 --> 00:02:01,549
Si yo lo pincho ahí me sale aquí en la derecha

15
00:02:01,549 --> 00:02:04,609
Y si quiero que no me ocupe sitio en la pantalla

16
00:02:04,609 --> 00:02:10,090
Pues simplemente al ponerme a la izquierda de la X

17
00:02:10,090 --> 00:02:12,990
Me lo muestra en una ventana separada

18
00:02:12,990 --> 00:02:17,469
Bueno, pues decíamos que en rótulo vamos a poner 2 dólares

19
00:02:17,469 --> 00:02:22,830
Eso quiere decir, yo por cierto en rótulo podría escribir lo que quisiera

20
00:02:22,830 --> 00:02:24,509
No influiría

21
00:02:24,509 --> 00:02:28,129
Pero si pongo 2 dólares, además de escribir lo que quiera

22
00:02:28,129 --> 00:02:31,030
lo va a considerar escrito en látex

23
00:02:31,030 --> 00:02:33,930
entonces si yo aquí pusiera el comando látex

24
00:02:33,930 --> 00:02:38,340
barra invertida, vec

25
00:02:38,340 --> 00:02:42,199
y pues lo que va a ocurrir

26
00:02:42,199 --> 00:02:44,819
cuando yo dé a enter

27
00:02:44,819 --> 00:02:47,719
es que me ha escrito

28
00:02:47,719 --> 00:02:49,460
no sé si lo veis ahí

29
00:02:49,460 --> 00:02:52,139
el vector i con

30
00:02:52,139 --> 00:02:55,080
lo voy a poner aquí debajo para que lo veáis mejor

31
00:02:55,080 --> 00:02:56,680
con una flecha encima

32
00:02:56,680 --> 00:03:02,599
Si yo lo que quiero es

33
00:03:02,599 --> 00:03:05,680
Que poder copiar y pegar esto

34
00:03:05,680 --> 00:03:07,360
Y no tener que escribirlo más veces

35
00:03:07,360 --> 00:03:09,979
Si yo en vez de i, que es un texto

36
00:03:09,979 --> 00:03:12,219
Pongo tanto por ciento n

37
00:03:12,219 --> 00:03:14,840
Estoy indicando la variable nombre

38
00:03:14,840 --> 00:03:17,259
¿Y cuánto vale la variable nombre?

39
00:03:18,259 --> 00:03:21,979
Lo bueno que tiene es que si yo copio y pego este trozo

40
00:03:21,979 --> 00:03:26,259
En cualquier otro objeto de GeoGebra

41
00:03:26,259 --> 00:03:31,300
me va a poner lo que ponga en nombre con una flechita encima

42
00:03:31,300 --> 00:03:34,479
entonces así trabajo menos

43
00:03:34,479 --> 00:03:38,479
además vamos a ver un comando de latex

44
00:03:38,479 --> 00:03:43,400
que sirve para hacerlo más grande

45
00:03:43,400 --> 00:03:47,719
large hace más grande lo que viene detrás

46
00:03:47,719 --> 00:03:51,400
si fuera en minúsculas es un tamaño

47
00:03:51,400 --> 00:03:53,879
con la L mayúscula es otro tamaño

48
00:03:53,879 --> 00:04:03,879
Las cinco letras en mayúscula es otro tamaño y luego vendría HUGE y luego HUGE todo con mayúscula.

49
00:04:04,599 --> 00:04:06,860
Todo eso son tamaños diferentes de látex.

50
00:04:08,020 --> 00:04:16,939
Cuando ahora cierro, pues veis que la I no solamente tiene la flechita encima, sino es bastante más grande que antes.

51
00:04:16,939 --> 00:04:26,120
¿Vale? Vamos, si lo hago demasiado pequeño, ahora lo quiero.

52
00:04:27,019 --> 00:04:48,720
Bueno, por cierto, como veis nos ha puesto los decimales, ya que estamos, vamos a ir a la vista gráfica y tanto en el eje Y como en el eje X, perdón, en el eje Y y en el eje Z vamos a hacer que solo nos muestre unidades y no decimales.

53
00:04:49,199 --> 00:04:52,800
Así, aunque ahora me acerque más, no salen ya los decimales.

54
00:04:52,800 --> 00:05:19,800
Bueno, pues ahí tengo el vector i, voy a escribir el vector j, entonces me pongo en entrada, doy en este caso bajar porque entrada está arriba, si tuvierais entrada abajo daríais subir y voy a hacer dos cosas, primero ya voy a definir el nombre delante, j igual y luego en el vector voy a poner 0,10, como veis ya se ha dibujado y ya tengo el vector j.

55
00:05:19,800 --> 00:05:22,699
si pincho aquí

56
00:05:22,699 --> 00:05:25,680
y en copiar estilo visual

57
00:05:25,680 --> 00:05:27,139
¿de quién?

58
00:05:27,459 --> 00:05:27,839
de I

59
00:05:27,839 --> 00:05:28,920
¿a quién?

60
00:05:29,240 --> 00:05:29,660
a J

61
00:05:29,660 --> 00:05:31,819
pues ya me ha puesto J también

62
00:05:31,819 --> 00:05:33,360
en rojo

63
00:05:33,360 --> 00:05:34,980
recordad que dando a la tecla escape

64
00:05:34,980 --> 00:05:37,120
va a saltar el cursor ahí

65
00:05:37,120 --> 00:05:38,040
elige y mueve

66
00:05:38,040 --> 00:05:39,259
para que podamos ver

67
00:05:39,259 --> 00:05:40,199
pues ya tenemos J

68
00:05:40,199 --> 00:05:42,579
pero no se ve la J con vector

69
00:05:42,579 --> 00:05:43,459
está ahí la J

70
00:05:43,459 --> 00:05:46,899
no sé si la voy a poder coger

71
00:05:46,899 --> 00:05:59,480
ahora no me deja hacer clic y arrastrar, ahí está, ¿veis? yo ya tengo la J ahí, pero la J no tiene vector, ¿qué haremos?

72
00:05:59,480 --> 00:06:10,660
bueno, pues nos vamos a la I, botón derecho propiedades, seleccionamos el rótulo, damos control C, vamos a la J, vamos a rótulo,

73
00:06:10,660 --> 00:06:22,779
Damos control V, enter y resulta que ahora veremos que la J ya está en grande y con el vector encima.

74
00:06:23,019 --> 00:06:26,139
¿Veis la J? Muy bien, pues ya tengo IJ.

75
00:06:26,959 --> 00:06:29,500
Ahora repetir K va a ser muy rápido.

76
00:06:31,199 --> 00:06:38,029
Me pongo ahí delante, escribo K,1 y ya tengo el vector K.

77
00:06:38,029 --> 00:06:40,269
selecciono

78
00:06:40,269 --> 00:06:42,610
de J a K

79
00:06:42,610 --> 00:06:46,370
y en propiedades

80
00:06:46,370 --> 00:06:48,649
selecciono

81
00:06:48,649 --> 00:06:51,269
bueno, ahora fijaros que no necesitaría

82
00:06:51,269 --> 00:06:52,930
hacer control C porque no he hecho nada

83
00:06:52,930 --> 00:06:55,029
antes, así que cuando de control V

84
00:06:55,029 --> 00:06:56,550
ya me lo pega también

85
00:06:56,550 --> 00:06:58,990
así que ya tengo también

86
00:06:58,990 --> 00:06:59,829
mi vector K

87
00:06:59,829 --> 00:07:01,970
doy el IJ y mueve

88
00:07:01,970 --> 00:07:05,290
movemos un poco K para que la letra

89
00:07:05,290 --> 00:07:06,990
se vea bien ahí

90
00:07:06,990 --> 00:07:11,310
y ya tengo mi base ortonormal I, J, K.

91
00:07:12,490 --> 00:07:15,730
¿Por qué se llama base ortonormal?

92
00:07:16,310 --> 00:07:20,350
Porque los vectores son perpendiculares 2 a 2,

93
00:07:20,470 --> 00:07:24,069
no hace falta que utilice la herramienta ángulo para que lo veáis,

94
00:07:24,569 --> 00:07:30,250
I, J son perpendiculares, si alguno no lo ve, lo puedo ver aquí,

95
00:07:30,250 --> 00:07:40,449
I y J son perpendiculares, I y K son perpendiculares, J y K son perpendiculares.

96
00:07:41,250 --> 00:07:49,269
Y además, el módulo es 1.

97
00:07:50,430 --> 00:07:58,089
Así que, para mover la vista gráfica, esto rota en 3D, pero esto me permite moverme en el plano y centrarlo ahí.

98
00:07:58,490 --> 00:07:59,129
¿Vale?

99
00:08:00,250 --> 00:08:03,850
Bueno, más cosas de GeoGebra que vais aprendiendo.

100
00:08:04,449 --> 00:08:06,290
Así que forman 90 grados.

101
00:08:06,449 --> 00:08:08,569
Y la otra característica es que su módulo es 1.

102
00:08:09,089 --> 00:08:15,389
Como veis llegan hasta el punto 1, lo cual quiere decir que son normales.

103
00:08:15,689 --> 00:08:18,670
Y por tanto la base es ortonormal.

104
00:08:19,189 --> 00:08:21,089
La base es ortonormal.

105
00:08:22,529 --> 00:08:27,050
Si a la base ortonormal la unimos el punto 0, 0, 0,

106
00:08:27,050 --> 00:08:33,409
resulta que nosotros lo que formamos es lo que se viene a llamar el espacio Euclidio

107
00:08:33,409 --> 00:08:38,389
si yo os lo muestro pues aquí en la Wikipedia

108
00:08:38,389 --> 00:08:48,409
tenemos el espacio Euclidio que os va a permitir ver o leer si queréis en qué consiste

109
00:08:48,409 --> 00:08:55,330
ya hablamos de que los elementos de Euclides era el libro más importante de la antigüedad

110
00:08:55,330 --> 00:09:01,929
y el más editado de las matemáticas y de la historia, excluyendo los libros religiosos,

111
00:09:02,490 --> 00:09:04,889
y aquí explica cómo trabajar.

112
00:09:05,450 --> 00:09:09,490
El espacio euclidio, que es lo que nosotros trabajamos y nos parece tan bien,

113
00:09:10,490 --> 00:09:13,950
en realidad no corresponde con el espacio real.

114
00:09:16,049 --> 00:09:23,450
Loacheski ya demostró, utilizando el fallo del quinto postulado de Euclides,

115
00:09:23,450 --> 00:09:31,950
Que podía haber geometrías no euclídeas y Einstein lo utilizó para explicar las cosas que pasan en nuestro universo.

116
00:09:32,649 --> 00:09:36,690
Así que que sepáis que nosotros no vivimos en un espacio euclídeo.

117
00:09:37,149 --> 00:09:39,190
Pero vamos, para el caso, patatas.

118
00:09:40,590 --> 00:09:44,669
Porque nosotros vamos a trabajar en un espacio euclídeo para esta asignatura.

119
00:09:46,070 --> 00:09:47,990
Y bueno, pues tenemos I, J y K.

120
00:09:47,990 --> 00:09:58,710
Yo ahora puedo escribir en la entrada, por ejemplo, 2i más 3j, esto me lo estoy inventando, más k.

121
00:09:59,669 --> 00:10:05,529
Y lo que hago cuando escribo 2i más 3j más k, evidentemente, es pintar un vector.

122
00:10:06,350 --> 00:10:10,210
El vector 2, 3, 1, como veis ahí en la vista algebraica.

123
00:10:10,210 --> 00:10:15,850
porque para llegar desde el origen al extremo, el origen es el 0, 0, 0

124
00:10:15,850 --> 00:10:24,610
pues hay que componer dos veces el vector i, tres veces el vector j y una vez el vector k

125
00:10:24,610 --> 00:10:30,330
esto lo veremos después en otra simulación como se monta

126
00:10:30,330 --> 00:10:34,490
y resulta que tengo el vector 2, 3, 1

127
00:10:34,490 --> 00:10:37,070
pero el vector 2, 3, 1 termina en un punto

128
00:10:37,070 --> 00:10:46,330
Ese punto que le podéis hacer poniendo p, o sea, bajamos, nos ponemos delante y ponemos p igual

129
00:10:46,330 --> 00:10:53,250
Esto es una nomenclatura que GeoGebra entiende, pero matemáticamente estaría mal

130
00:10:53,250 --> 00:10:56,909
Quede claro, si esto alguien me lo pone en el examen es un cero

131
00:10:56,909 --> 00:11:01,190
¿Por qué? Porque p es un punto y sale de sumar vectores

132
00:11:01,190 --> 00:11:02,789
En realidad esto sería op

133
00:11:02,789 --> 00:11:27,450
pero bueno, GeoGebra me pinta el punto, habéis visto en cuanto lo he puesto, me lo ha puesto ahí y ahí está el punto P, 2, 3, 1, para que veáis, 2, 3, 1 vector, 2, 3, 1 punto, pero en realidad 2, 3, 1 no son coordenadas, son las coordenadas del vector OP, 2, 3, 1 es el vector de posición del punto P,

134
00:11:27,450 --> 00:11:41,090
Entonces nos entendemos cuando decimos que P tiene de coordenadas 2, 3, 1, pero en realidad estamos hablando del vector de posición formado por la base ortonormal, la combinación lineal de la base ortonormal.

135
00:11:41,090 --> 00:12:02,889
Pero vamos, esto simplemente para que lo entendáis. Si ahora yo defino, por ejemplo, voy a hacer el punto Q que sea 3, 1, 3, entonces ponemos 3i más j más 3k,

136
00:12:02,889 --> 00:12:06,210
poner, pues tengo otro vector

137
00:12:06,210 --> 00:12:09,529
y si ahí pongo

138
00:12:09,529 --> 00:12:11,909
el punto Q

139
00:12:11,909 --> 00:12:14,490
al extremo de ese vector

140
00:12:14,490 --> 00:12:18,149
pues ya tengo los puntos P y Q

141
00:12:18,149 --> 00:12:20,850
¿Veis? ¿Dónde está P? ¿Dónde está Q?

142
00:12:21,610 --> 00:12:22,730
Engaña un poco, ¿verdad?

143
00:12:22,830 --> 00:12:25,809
Cuando me pongo en la casita

144
00:12:25,809 --> 00:12:29,610
engaña un poco dónde está P y dónde está Q

145
00:12:29,610 --> 00:12:30,929
así se ve bien

146
00:12:30,929 --> 00:12:47,649
Si ahora nosotros cogemos la herramienta vector y unimos, os dije que se puede hacer aquí, pero casi mejor hacerlo en la vista algebraica, el vector pq, pues tenemos este vector, el vector que va desde p hasta q.

147
00:12:47,649 --> 00:12:59,370
Y ahora es relativamente sencillo ver que, por lo que dimos el otro día de la suma, OP más PQ da OQ.

148
00:13:00,690 --> 00:13:02,269
Vamos a verlo aquí.

149
00:13:04,690 --> 00:13:10,889
OP más PQ da el vector OQ.

150
00:13:10,889 --> 00:13:25,169
de tal manera que el vector PQ sería OQ menos OP, en otras palabras, las coordenadas del vector PQ,

151
00:13:25,669 --> 00:13:32,990
que aquí además va a ser el vector libre que corresponde al vector fijo PQ, es lo que llamamos W,

152
00:13:32,990 --> 00:13:50,690
ahí en GeoGebra, como veis aquí, W es 1, menos 2, 2, y el vector OP es 2, 3, 1, y el OQ es 3, 1, 3.

153
00:13:51,389 --> 00:14:00,029
En nuestro caso que estábamos haciendo, pues sería 3, 1, 3, menos 2, 3, 1,

154
00:14:00,029 --> 00:14:03,429
si restamos las coordenadas

155
00:14:03,429 --> 00:14:06,330
1 menos 2

156
00:14:06,330 --> 00:14:10,720
porque evidentemente la suma de vectores

157
00:14:10,720 --> 00:14:14,139
que no lo hemos puesto una vez que ya tenemos coordenadas

158
00:14:14,139 --> 00:14:18,179
es simplemente sumar las coordenadas

159
00:14:18,179 --> 00:14:21,259
y multiplicar un número por un vector

160
00:14:21,259 --> 00:14:25,139
es multiplicar cada una de las coordenadas por el número

161
00:14:25,139 --> 00:14:27,340
eso que os quede claro

162
00:14:27,340 --> 00:14:29,059
lo vuelvo a poner aquí

163
00:14:29,059 --> 00:14:31,179
si yo sumo los vectores a más b

164
00:14:31,179 --> 00:14:53,899
Pues simplemente hay que sumar a1, a2, a3 más b1, b2, b3, simplemente hay que sumar las coordenadas, a1 más b1, más a2, perdón, coma, a2 más b2, coma, a3 más b3.

165
00:14:53,899 --> 00:14:57,559
tengo la pizarrilla aquí en mala manera

166
00:14:57,559 --> 00:14:59,379
y me quedamos mal escrito

167
00:14:59,379 --> 00:15:01,360
pero bueno, y lambda por a

168
00:15:01,360 --> 00:15:03,120
pues es

169
00:15:03,120 --> 00:15:04,460
lambda a1

170
00:15:04,460 --> 00:15:06,480
lambda a2

171
00:15:06,480 --> 00:15:10,039
y lambda a3, vale

172
00:15:10,039 --> 00:15:14,950
pues volvemos aquí

173
00:15:14,950 --> 00:15:16,649
y lo que se había dicho

174
00:15:16,649 --> 00:15:17,769
1 menos 2, 2

175
00:15:17,769 --> 00:15:20,129
ahí se ve w

176
00:15:20,129 --> 00:15:21,429
1 menos 2, 2

177
00:15:21,429 --> 00:15:24,809
w, 1 menos 2, 2

178
00:15:24,809 --> 00:15:28,000
muy bien

179
00:15:28,000 --> 00:15:36,639
así que ya sabemos por qué las coordenadas de un vector es extremo menos origen.

180
00:15:36,639 --> 00:15:41,639
Las coordenadas de un vector son extremo menos origen.

181
00:15:43,480 --> 00:15:49,220
Con esto también vamos a pasar a ver la longitud de un vector con coordenadas.

182
00:15:49,340 --> 00:15:53,159
¿Cómo se calcula la longitud de un vector con coordenadas?

183
00:15:53,159 --> 00:16:15,360
Pues si nos vamos aquí, tenéis esta presentación que está colgada y ese es el vector u, el vector u cuyo extremo es p, tiene de coordenadas por lo que se ve aquí parece 14, 13, 6, que eso es lo de menos.

184
00:16:15,360 --> 00:16:23,639
Pero forman un trihedral, un paralel epípedo, hemos formado con todas las caras, un paralel epípedo.

185
00:16:23,940 --> 00:16:41,179
Si nosotros queremos llegar desde O hasta P, como veis, he puesto las líneas azules, he puesto 14 veces I, 13 veces J y 6 veces K, tenemos el vector U1, U2, U3.

186
00:16:41,179 --> 00:16:45,139
vale, llego al punto P

187
00:16:45,139 --> 00:16:48,919
¿cómo calculo la longitud del vector U?

188
00:16:49,240 --> 00:16:51,159
pues por el teorema de Pitágoras

189
00:16:51,159 --> 00:16:54,539
nosotros vamos a hacer este triángulo de aquí abajo

190
00:16:54,539 --> 00:16:58,820
donde como esto forma 90 grados

191
00:16:58,820 --> 00:17:01,419
tengo de O hasta aquí es un cateto

192
00:17:01,419 --> 00:17:03,460
de aquí a aquí es otro cateto

193
00:17:03,460 --> 00:17:06,460
y la línea verde, no la roja

194
00:17:06,460 --> 00:17:09,000
la línea verde es la hipotenusa

195
00:17:09,000 --> 00:17:13,779
Lo que pasa es que no veo la verde, pero es la verde la hipotenusa.

196
00:17:13,940 --> 00:17:15,160
¿Cómo se calcularía eso?

197
00:17:16,079 --> 00:17:20,480
Bueno, pues si esto lo llamo 1 y esto lo llamo u2,

198
00:17:22,900 --> 00:17:33,400
la verde, que lo hemos llamado v, sería al cuadrado, u1 al cuadrado más u2 al cuadrado.

199
00:17:34,920 --> 00:17:40,200
Es decir, v sería la raíz cuadrada de 1 al cuadrado más u2 al cuadrado.

200
00:17:40,200 --> 00:17:45,539
vale, si nosotros ahora lo ponemos así

201
00:17:45,539 --> 00:17:51,740
a ver si soy capaz, bueno, más o menos

202
00:17:51,740 --> 00:17:55,759
me tiembla y no voy a ser capaz

203
00:17:55,759 --> 00:18:05,940
así que, nada, no soy capaz

204
00:18:05,940 --> 00:18:11,619
bueno, casi

205
00:18:11,619 --> 00:18:15,819
bien, en este triángulo tenemos la línea verde que es lo de antes

206
00:18:15,819 --> 00:18:19,140
en este triángulo tenemos la línea verde que es lo de antes

207
00:18:19,140 --> 00:18:20,380
es un cateto

208
00:18:20,380 --> 00:18:23,119
lo que antes era la hipotenusa ahora es un cateto

209
00:18:23,119 --> 00:18:40,119
U3 es el otro cateto y U es lo que queremos calcular, de tal manera que U cuadrado será V cuadrado más U3 al cuadrado, pero V cuadrado es 1 cuadrado más U2 cuadrado más U3 cuadrado.

210
00:18:41,480 --> 00:18:51,119
Resumiendo, el módulo de un vector es simplemente la suma de los cuadrados de sus coordenadas.

211
00:18:51,119 --> 00:19:00,980
coordenadas. Repito, la longitud de un vector, su módulo, es la raíz cuadrada de la suma de los

212
00:19:00,980 --> 00:19:11,880
cuadrados de las coordenadas. ¿De acuerdo? Así que, pues aquí lo tenéis, por si alguno lo quiere ver

213
00:19:11,880 --> 00:19:21,640
más se ve en esta construcción vale perfecto pues ya tenemos eso

214
00:19:26,200 --> 00:19:37,460
más cosas vamos a ver otra construcción que nos va a dar los vectores paralelos vamos a ver aquí

215
00:19:37,460 --> 00:19:59,250
y lo de los vectores paralelos. Si yo pinto, como tenéis aquí, cuatro vectores paralelos, que se puede ver si yo me pongo en un plano, en el otro plano o en el otro plano,

216
00:19:59,250 --> 00:20:04,490
se ve en todos los casos que son vectores paralelos, pues cuando son paralelos los vectores

217
00:20:04,490 --> 00:20:11,190
cuando se cumple que la proporción entre las coordenadas es la misma

218
00:20:11,190 --> 00:20:17,650
la razón entre las coordenadas es la misma, de acuerdo, entonces en ese caso

219
00:20:17,650 --> 00:20:27,190
pues los vectores son paralelos, como podéis ver aquí si yo antes dije

220
00:20:27,190 --> 00:20:39,329
el vector u, por ejemplo, 2, menos 4, 8, y tengo el vector v, menos 1, 2, menos 4,

221
00:20:39,789 --> 00:20:45,049
pues estos dos vectores son paralelos. ¿Por qué? Son vectores libres,

222
00:20:45,150 --> 00:20:47,589
les puedo pintar donde quiera, no os confundáis.

223
00:20:47,589 --> 00:21:01,990
2 menos 1 es igual que menos 4 partido por 2, que es igual que 8 partido de menos 4.

224
00:21:03,250 --> 00:21:09,589
Entonces, como se ve, los vectores son paralelos, porque las coordenadas son proporcionales,

225
00:21:10,690 --> 00:21:13,630
lo que indica que tienen la misma dirección.

226
00:21:14,269 --> 00:21:14,990
¿Vale?

227
00:21:17,589 --> 00:21:33,250
Muy bien, además pueden tener incluso el mismo módulo, es decir, que es que dos vectores libres iguales, o que son el mismo vector libre, valga la redundancia, lógicamente son paralelos.

228
00:21:34,069 --> 00:21:47,490
Y hasta aquí la clase de hoy, porque la próxima ya es más importante, trabajaremos sobre el producto escalar de dos vectores.

229
00:21:47,589 --> 00:21:48,589
Gracias.