1 00:00:00,500 --> 00:00:12,560 Vale, pues vamos con el ejercicio 4, como os he dicho con el 3, aunque os lo he puesto como un único ejercicio de calcular puntos de inflexión con cavidad y convexidad, normalmente esto te lo ponen solamente en un apartado, ¿vale? 2 00:00:12,560 --> 00:00:26,940 O sea, lo suyo sería, por ejemplo, apartado A, la monotonía y máximos y mínimos, apartado B, curvatura y puntos de inflexión, pero voy a ser buena para este último examen y por lo tanto os lo estoy poniendo, os lo voy a poner así, ¿vale? 3 00:00:26,940 --> 00:00:33,399 para facilitaros, pero que tengáis en cuenta que lo normal es que sean apartados, no un ejercicio 4 00:00:33,399 --> 00:00:41,200 completo. Bien, vamos a empezar. Igual que hemos hecho antes en el de monotonía, yo puedo empezar 5 00:00:41,200 --> 00:00:45,500 calculando los puntos de inflexión y a partir de ellos mirar cómo va a ser concavidad y convexidad 6 00:00:45,500 --> 00:00:52,079 o a partir de la concavidad y convexidad calcular después los puntos de inflexión. En este caso es 7 00:00:52,079 --> 00:00:54,320 Es una función polinómica, por lo tanto son las mejores. 8 00:00:54,479 --> 00:00:59,359 Ya sabemos que es continua, o sea que su dominio es R y es continua en todo R. 9 00:00:59,859 --> 00:01:00,479 Fabuloso, ¿verdad? 10 00:01:00,899 --> 00:01:01,960 Venga, pues vamos a empezar. 11 00:01:02,359 --> 00:01:04,299 Los puntos de inflexión, ¿qué tienen que ocurrir? 12 00:01:04,379 --> 00:01:06,739 Tienen que ser los puntos en los que la derivada segunda es 0. 13 00:01:07,319 --> 00:01:08,180 Pues empezamos. 14 00:01:09,060 --> 00:01:10,200 f' de x. 15 00:01:11,480 --> 00:01:15,480 Ya sé que hay una fracción y que diríais, Dios mío, pero está puesto a la aposta. 16 00:01:15,480 --> 00:01:22,359 El 4 por 1 cuarto es 1 y me quedaría x cubo menos 3x cuadrado. 17 00:01:22,719 --> 00:01:30,560 ¿Cuánto es la derivada segunda? Pues 3x cuadrado menos 6x. 18 00:01:31,060 --> 00:01:38,659 Y ahora lo que queremos es que la derivada segunda sea 0 para calcular los posibles puntos de inflexión. 19 00:01:38,659 --> 00:01:45,000 Resuelvo y me queda 3x cuadrado menos 6x igual 0 20 00:01:45,000 --> 00:01:51,099 De aquí sacamos factor común a la x y me queda x por, también podríamos sacar al 3, ¿vale? 21 00:01:51,879 --> 00:01:55,480 3x menos 6 igual 0 22 00:01:55,480 --> 00:01:58,159 Y de aquí obtenemos dos posibles soluciones 23 00:01:58,159 --> 00:02:03,959 x igual 0 y 3x menos 6 igual 0 24 00:02:03,959 --> 00:02:10,740 de donde x es 6 entre 3, x es 2. 25 00:02:11,680 --> 00:02:15,580 Pues estos tenemos nuestros dos posibles puntos de inflexión. 26 00:02:16,539 --> 00:02:20,719 Para calcular si son puntos de inflexión o no, podríamos calcular la derivada tercera. 27 00:02:21,219 --> 00:02:24,199 En este caso, como es una función polinómica sencillita, no tarda nada. 28 00:02:25,340 --> 00:02:29,780 La derivada tercera de x, que sería 6x menos 6, 29 00:02:29,780 --> 00:02:37,000 y para que sea un punto de inflexión lo que tiene que ocurrir es que la derivada tercera en ese valor sea distinto de cero. 30 00:02:37,500 --> 00:02:46,159 Por lo tanto, si yo calculo f tercera de cero, esto es menos seis, distinto de cero, 31 00:02:46,840 --> 00:02:51,020 lo que significa que x igual cero es un punto de inflexión 32 00:02:51,020 --> 00:03:02,840 Y si yo calculo f tercera en 2, esto es 2 por 6, 12 menos 6, 6, también distinto de 0. 33 00:03:03,379 --> 00:03:07,259 Luego x igual 2 es un punto de inflexión. 34 00:03:08,460 --> 00:03:11,460 Normalmente se dan los puntos completos, ¿vale? Con las dos coordenadas. 35 00:03:11,979 --> 00:03:17,159 Sustituimos arriba y en el x igual 0, si sustituyo, es menos 2. 36 00:03:17,159 --> 00:03:27,979 Y cuando la x vale 2, sería 2 a la cuarta es 16, 16 entre 4 es 4, 4 menos 8 es menos 4, menos 4 menos 2 es menos 6. 37 00:03:28,599 --> 00:03:32,819 Por lo tanto esto sería 2 menos 6. Espero no haberme equivocado. 38 00:03:33,520 --> 00:03:40,599 Y ahora para mirar la concavidad y convexidad, pues vamos a hacer lo mismo que he hecho al estudiar la monotonía. 39 00:03:40,599 --> 00:03:45,000 voy a poner aquí mi tablita, o sea mi recta real 40 00:03:45,000 --> 00:03:47,960 empezando aquí por ejemplo en menos infinito 41 00:03:47,960 --> 00:03:50,219 y aquí pongo los puntos que hemos encontrado 42 00:03:50,219 --> 00:03:52,500 como es continua y su dominio es R 43 00:03:52,500 --> 00:03:54,280 no tengo que poner ningún punto entre medias 44 00:03:54,280 --> 00:03:58,780 si fuera una función racional y tuviéramos un punto 45 00:03:58,780 --> 00:04:00,680 que no pertenece al dominio lo tendríamos que poner 46 00:04:00,680 --> 00:04:03,780 y ahora, ¿qué es lo que estudiamos aquí? 47 00:04:03,780 --> 00:04:07,719 el signo de la segunda derivada 48 00:04:07,719 --> 00:04:13,120 ¿Vale? Vamos a ver cómo es la segunda derivada 49 00:04:13,120 --> 00:04:16,800 Y dependiendo de cómo sea la segunda derivada, así será la función 50 00:04:16,800 --> 00:04:21,660 Cogemos un punto intermedio, por ejemplo, menos 1, 1 y 3 51 00:04:21,660 --> 00:04:24,259 Sustituimos en la segunda derivada 52 00:04:24,259 --> 00:04:27,699 La segunda derivada la tenemos aquí arriba 53 00:04:28,180 --> 00:04:31,120 Entonces en el menos 1, esto sería menos 1 al cuadrado 54 00:04:31,120 --> 00:04:36,220 Es 1, 3 por 1, 3, 3 más 6, 9 55 00:04:36,220 --> 00:04:37,379 Luego esto es positivo 56 00:04:37,379 --> 00:04:40,019 Si es positiva es carita sonriente 57 00:04:40,019 --> 00:04:41,000 ¿Vale? 58 00:04:41,319 --> 00:04:42,019 En el 1 59 00:04:42,019 --> 00:04:45,199 En el 1 sería 3 menos 6 menos 3 60 00:04:45,199 --> 00:04:47,779 Por lo tanto carita triste 61 00:04:47,779 --> 00:04:48,800 Es negativo 62 00:04:48,800 --> 00:04:50,480 Y en el 3 63 00:04:50,480 --> 00:04:52,680 Bueno ya sabemos que es un punto de inflexión 64 00:04:52,680 --> 00:04:55,160 Ya sabíamos que son puntos de inflexión el 0 y el 2 65 00:04:55,160 --> 00:04:58,120 Por lo tanto en el momento que sé que aquí es sonriente 66 00:04:58,120 --> 00:04:59,879 Va a ser sonriente triste sonriente 67 00:04:59,879 --> 00:05:01,019 Pero vamos a comprobarlo 68 00:05:01,019 --> 00:05:02,600 Por si me he equivocado 69 00:05:02,600 --> 00:05:03,279 En el 3 70 00:05:03,279 --> 00:05:05,639 3 al cuadrado es 9 por 3 es 27 71 00:05:05,639 --> 00:05:07,180 27 menos 18 72 00:05:07,180 --> 00:05:16,480 también es positivo. Fijaos que estoy diciendo lo de sonriente y triste, porque depende de 73 00:05:16,480 --> 00:05:20,959 cómo llamemos cada uno, cóncavo o convexo. Ya sabéis que para mí esto es cóncavo, 74 00:05:21,759 --> 00:05:28,139 esto es convexo y esto es cóncavo. Pero lo importante es que el dibujo sea correcto. 75 00:05:28,699 --> 00:05:32,879 Entonces ya hemos visto y ya hemos contestado los puntos de inflexión, pues ahora simplemente 76 00:05:32,879 --> 00:05:35,500 intervalos de concavidad 77 00:05:35,500 --> 00:05:39,240 y siempre ponemos el dibujo 78 00:05:39,240 --> 00:05:40,579 para quedar claro 79 00:05:40,579 --> 00:05:42,220 para dejar claro como lo llamáis 80 00:05:42,220 --> 00:05:43,800 a mi me da igual como lo llaméis 81 00:05:43,800 --> 00:05:44,899 pero ser coherentes 82 00:05:44,899 --> 00:05:45,839 ¿vale? con el dibujo 83 00:05:45,839 --> 00:05:47,500 en este caso esto sería 84 00:05:47,500 --> 00:05:49,100 de menos infinito a cero 85 00:05:49,100 --> 00:05:50,759 unión 86 00:05:50,759 --> 00:05:51,779 dos infinito 87 00:05:51,779 --> 00:05:56,519 y los intervalos de convexidad 88 00:05:56,519 --> 00:06:00,610 que es el triste 89 00:06:00,610 --> 00:06:03,990 que sería de cero a dos 90 00:06:04,649 --> 00:06:07,410 ¿Veis por qué digo que esto normalmente es un apartado y no un ejercicio? 91 00:06:07,769 --> 00:06:10,089 Porque no se tarda nada en hacer y son muy sencillos.