1
00:00:01,899 --> 00:00:06,919
Comenzamos la segunda parte del tutorial que muestra cómo se combinan las distintas reglas de integración,

2
00:00:07,259 --> 00:00:11,859
producto, cociente, composición, a la hora de derivar.

3
00:00:13,900 --> 00:00:16,960
Distinguimos entre la parte 2A, que es esta, y la parte 2B,

4
00:00:17,719 --> 00:00:20,320
porque en la parte 2A lo hacemos de forma más rápida,

5
00:00:20,980 --> 00:00:23,239
mientras que la parte B será de forma mucho más gradual.

6
00:00:24,519 --> 00:00:25,339
Son alternativas.

7
00:00:27,100 --> 00:00:29,660
Veamos cómo se combinan distintas reglas de derivación.

8
00:00:29,660 --> 00:00:50,119
por ejemplo, composición y producto, de esta forma o de esta otra, o por ejemplo, pues producto y cociente.

9
00:01:07,590 --> 00:01:13,530
Comenzamos con la primera derivada, observamos que es de la forma e elevado a f, y aquí hacemos una pequeña pausa.

10
00:01:14,609 --> 00:01:24,250
¿Por qué decimos que es de la forma e elevado a f? Es decir, ¿por qué empezamos derivando la función e y no, por ejemplo, este producto?

11
00:01:24,250 --> 00:01:32,390
Y aquí utilizamos un truco, y es que la derivada emplea el orden opuesto al cálculo numérico.

12
00:01:32,590 --> 00:01:40,530
Es decir, supongamos que tenemos un valor para la x, x igual a 5, y que tuviéramos que calcular elevado a x cubo por seno de x en 5.

13
00:01:41,230 --> 00:01:42,310
¿Qué orden seguiríamos?

14
00:01:42,849 --> 00:01:51,310
Supongamos también que no tenemos calculadora y no podemos meter la fórmula directamente, sino que tenemos que buscar, por ejemplo, en tablas, lo que van a ser los cosenos y las exponenciales.

15
00:01:52,030 --> 00:01:52,790
¿Qué haríamos?

16
00:01:52,790 --> 00:02:09,509
Pues primero multiplicaríamos por el x al cubo. Después calcularíamos en la tabla el coseno de x y los multiplicaríamos. Por último, a ese valor que hemos obtenido, pues calcularíamos e elevado a ese valor en una tabla.

17
00:02:09,509 --> 00:02:25,909
¿No? Bien, pues la derivada sigue el orden opuesto. Primero empieza haciendo e elevado a lo que tenemos y después sigue derivando lo que tenemos en el exponente, los productos y cada función.

18
00:02:27,030 --> 00:02:35,729
Así pues, empezamos con e elevado a f. Esto después de todo se va a hacer de forma muy natural, igual que uno haría el cálculo numérico de forma muy natural.

19
00:02:35,729 --> 00:02:43,479
Bien, tenemos e elevado a f donde f es esta función

20
00:02:43,479 --> 00:02:47,379
La derivada de e elevado a f es e elevado a f por f'

21
00:02:47,639 --> 00:02:53,400
Que sería e elevado a x³ coseno de x

22
00:02:53,400 --> 00:02:57,539
Y ahora habría que poner el valor de f'

23
00:02:58,199 --> 00:03:07,449
Ahora bien, f' es la derivada de un producto de dos funciones

24
00:03:07,449 --> 00:03:09,389
f y g

25
00:03:09,389 --> 00:03:16,550
Por lo tanto, habría que poner aquí f' por g más f por g'.

26
00:03:16,550 --> 00:03:18,689
Y aquí un asunto importante.

27
00:03:19,930 --> 00:03:26,330
Cuando tenemos un producto de funciones, un producto, y luego haber una suma que está dentro de ese producto,

28
00:03:26,770 --> 00:03:29,509
es fundamental poner paréntesis.

29
00:03:30,250 --> 00:03:31,189
Si no, estará mal.

30
00:03:31,370 --> 00:03:36,889
El error más común cometido, según mi experiencia, es el no poner los paréntesis.

31
00:03:36,889 --> 00:03:56,569
Muy bien, pues vamos a ponerlo f', f minúscula es x cubo, pues sería 3x cuadrado por g coseno de x más fx al cubo g' menos seno de x.

32
00:03:56,810 --> 00:04:02,610
Bueno, naturalmente, el segundo paréntesis se pondría una vez que se acaba de derivar esto.

33
00:04:03,889 --> 00:04:05,229
Yo es que sabía lo que iba a ocupar.

34
00:04:05,229 --> 00:04:13,770
Bien, esto se puede simplificar un poco porque se puede sacar el signo de aquí y lo ponemos aquí

35
00:04:13,770 --> 00:04:30,259
Habitualmente, cuando uno tiene ya hábito de derivar, este menos lo pone de forma automática

36
00:04:30,259 --> 00:04:33,100
Quiere decir, no espera a hacer este producto

37
00:04:33,100 --> 00:04:37,399
Pero bueno, cuando uno empieza lo normal es hacer esto y luego simplificar

38
00:04:37,399 --> 00:04:44,500
La segunda derivada se descompone en la suma de dos funciones

39
00:04:44,500 --> 00:04:47,579
La segunda muy fácil, la primera un poco más difícil

40
00:04:47,579 --> 00:04:56,839
hacemos primero la primera y luego ya la segunda. A su vez, esta primera función es el producto de dos funciones f y g.

41
00:04:57,800 --> 00:05:06,379
Y aquí vamos a empezar. Una pequeña observación muy breve, es repetir lo de antes, que el orden que empleamos a la hora de derivar

42
00:05:06,379 --> 00:05:12,279
es el contrario que hacemos a la hora de calcular, si tengo dudas. ¿Por dónde yo empezaría a calcular?

43
00:05:12,279 --> 00:05:21,680
Pues yo empezaría a calcular la x7, después calcularía elevado a x más 4, después el logaritmo de ese valor y por último los multiplicaría.

44
00:05:22,259 --> 00:05:28,060
Bueno, pues entonces la derivada empieza con el producto, con lo último que haríamos a la hora de calcular.

45
00:05:29,180 --> 00:05:30,480
Borro lo que está en verde y sigo.

46
00:05:32,790 --> 00:05:38,790
Bien, nos oponemos, esto es f' por g más f por g'.

47
00:05:38,790 --> 00:05:57,920
g'. Bien, pues f es x7, f' es 7x6, g es el logaritmo neperiano de e elevado a x más 4, f es x7 y ahora nos toca calcular g'.

48
00:05:57,920 --> 00:06:11,860
Y ahora observamos que g es de la forma logaritmo neperiano de f, cuya derivada es f' partido por f. Pues lo ponemos.

49
00:06:11,860 --> 00:06:15,279
f' es elevado a x

50
00:06:15,279 --> 00:06:19,060
y f es elevado a x más 4

51
00:06:19,060 --> 00:06:24,339
y ya hemos determinado esta derivada

52
00:06:24,339 --> 00:06:25,379
la siguiente es muy fácil

53
00:06:25,379 --> 00:06:29,639
sería menos 2x y la porcentaje de 1 que desaparece

54
00:06:29,639 --> 00:06:32,620
y ya hemos terminado esta derivada

55
00:06:32,620 --> 00:06:33,540
vamos con la siguiente

56
00:06:33,540 --> 00:06:38,769
la tercera derivada es claramente un cociente de funciones

57
00:06:38,769 --> 00:06:39,410
f y g

58
00:06:39,410 --> 00:06:43,550
cuya derivada es una fracción

59
00:06:43,550 --> 00:06:56,129
que tiene en el numerador f' por g menos f por g', y en el denominador tiene g².

60
00:06:57,730 --> 00:07:02,829
Empezamos con el denominador que es más fácil, sería la función seno de x que es g,

61
00:07:03,990 --> 00:07:09,990
cuyo cuadrado sería seno al cuadrado, pero ya sabemos que en las funciones trigonométricas

62
00:07:09,990 --> 00:07:13,930
el cuadrado se pone sobre el seno, aunque eso no estaría malo con el puesto,

63
00:07:13,930 --> 00:07:23,569
Pero eso está mejor. Bien, ahora empezamos con el numerador y empezaríamos con la derivada del numerador que es esta.

64
00:07:26,430 --> 00:07:38,449
Tendríamos f' que sería una suma de dos funciones, esto y luego esto.

65
00:07:39,709 --> 00:07:46,250
Bien, empezamos con esta parte de aquí y ese f' es el producto de dos funciones f por g.

66
00:07:46,250 --> 00:07:48,209
por lo tanto

67
00:07:48,209 --> 00:07:50,370
su derivada sería

68
00:07:50,370 --> 00:07:51,850
f' por g

69
00:07:51,850 --> 00:07:54,089
más f por g'

70
00:07:54,389 --> 00:07:56,069
ahora bien

71
00:07:56,069 --> 00:07:58,350
ya sea por esta más que hay aquí

72
00:07:58,350 --> 00:08:00,829
o por esta derivada que está después

73
00:08:00,829 --> 00:08:02,970
toda esta f' tiene que estar

74
00:08:02,970 --> 00:08:03,709
entre paréntesis

75
00:08:03,709 --> 00:08:05,730
porque luego se va a multiplicar por g

76
00:08:05,730 --> 00:08:09,269
el error más típico que hay en derivadas

77
00:08:09,269 --> 00:08:11,750
es olvidarse de paréntesis

78
00:08:11,750 --> 00:08:15,300
bien, sigamos

79
00:08:15,300 --> 00:08:21,399
f' es x7, luego f' es 7x6

80
00:08:21,399 --> 00:08:24,639
g es el logaritmo de p1 de x

81
00:08:24,639 --> 00:08:30,639
f es x7 y g' es la derivada del logaritmo que es 1 partido por x

82
00:08:30,639 --> 00:08:32,779
cerramos el paréntesis, perdón

83
00:08:32,779 --> 00:08:35,659
seguimos que falta la segunda parte del numerador

84
00:08:35,659 --> 00:08:42,850
la derivada de menos x es menos 1 y el 3 desaparece al derivar

85
00:08:42,850 --> 00:08:44,850
ahora cerramos el paréntesis

86
00:08:44,850 --> 00:08:48,649
y hemos terminado esta parte

87
00:08:48,649 --> 00:08:50,509
ahora lo que multiplicar por g

88
00:08:50,509 --> 00:08:53,779
ahora hay que restar

89
00:08:53,779 --> 00:08:55,019
f

90
00:08:55,019 --> 00:08:59,080
abrimos paréntesis porque tenemos una suma que luego se va a multiplicar

91
00:08:59,080 --> 00:09:01,320
x7 logaritmo de pleno de x

92
00:09:01,320 --> 00:09:02,500
menos x más 3

93
00:09:02,500 --> 00:09:04,220
cerramos paréntesis

94
00:09:04,220 --> 00:09:05,980
y derivamos g

95
00:09:05,980 --> 00:09:08,639
que es la derivada del seno que es el coseno de x

96
00:09:08,639 --> 00:09:12,539
y ya hemos terminado esta parte

97
00:09:12,539 --> 00:09:13,679
solo faltaría

98
00:09:13,679 --> 00:09:16,379
simplificar un poco

99
00:09:16,379 --> 00:09:18,500
realmente

100
00:09:18,500 --> 00:09:23,120
los paréntesis en parte se podrían dejar, la única parte que sería un poco más simplificable

101
00:09:23,120 --> 00:09:32,389
sería este producto, que sería x elevado a 6. De modo que la derivada sería, voy a

102
00:09:32,389 --> 00:09:39,210
poner solamente eso, así que lo pongo de golpe, y esta sería la simplificación. Y

103
00:09:39,210 --> 00:09:57,700
ya hemos terminado estas tres derivadas. Ahora os opongo cuatro ejercicios que contengan

104
00:09:57,700 --> 00:09:59,960
dos reglas de derivación diferentes

105
00:09:59,960 --> 00:10:03,009
para la grabación

106
00:10:03,009 --> 00:10:04,909
realizad estos cuatro ejercicios

107
00:10:04,909 --> 00:10:07,470
y cuando acabéis pues

108
00:10:07,470 --> 00:10:09,570
retoméis la grabación

109
00:10:09,570 --> 00:10:11,230
y miráis la corrección

110
00:10:11,230 --> 00:10:14,950
corregimos, hago un zoom

111
00:10:14,950 --> 00:10:16,950
menos de antes y cambio la disposición

112
00:10:16,950 --> 00:10:18,870
de estos ejercicios para poder

113
00:10:18,870 --> 00:10:19,649
corregirlos

114
00:10:19,649 --> 00:10:23,129
calculamos esas derivadas

115
00:10:23,129 --> 00:10:32,139
empezamos con esta

116
00:10:32,139 --> 00:10:35,820
es el coseno de una

117
00:10:35,820 --> 00:10:37,980
función cuya derivada

118
00:10:37,980 --> 00:10:49,600
es menos seno de f por f'. Pues lo ponemos. Menos seno de f, que es seno de adentro, x5

119
00:10:49,600 --> 00:10:57,480
elevado a x menos 3x más 9. Ahora por la derivada de lo de adentro. Y ya me olvido del anterior

120
00:10:57,480 --> 00:11:03,659
del coseno de lo que sea. Y ahora nos focalizamos en esta función. Es la resta de dos funciones,

121
00:11:03,659 --> 00:11:12,159
bueno, la suma de dos funciones, y empieza con el producto de dos funciones f y g.

122
00:11:14,960 --> 00:11:23,960
Así que ponemos un paréntesis y tendríamos f' por g más f por g'.

123
00:11:23,960 --> 00:11:31,620
f' sería la derivada de x5, que es 5x4, por g, que es elevado a x,

124
00:11:31,620 --> 00:11:38,220
más f, que es x5, por g', que es la derivada de elevado a x, que es elevado a x.

125
00:11:38,879 --> 00:11:43,279
Después la segunda parte de la función, cuya derivada es menos 3.

126
00:11:44,100 --> 00:11:49,539
Y cerramos la paréntesis, que hemos utilizado tanto por esta parte de la suma

127
00:11:49,539 --> 00:11:51,580
como por el producto que requiere un paréntesis.

128
00:11:53,519 --> 00:11:56,879
Vamos con la siguiente, que va a ser esta.

129
00:11:56,879 --> 00:12:10,279
La derivada es la de la suma de dos funciones, la primera de la forma, elevado a f, donde la f es el exponente.

130
00:12:11,399 --> 00:12:22,200
Y la derivada de esto es elevado a f por f', es decir, elevado a x cuadrado entre 3x más 2.

131
00:12:22,200 --> 00:12:36,070
f' es de la forma f partido por g, cuya derivada es una fracción

132
00:12:36,070 --> 00:12:43,990
donde el numerador es f' por g menos f por g' y cuyo denominador es g cuadrado

133
00:12:43,990 --> 00:12:47,289
podemos empezar por el denominador, que es más sencillo

134
00:12:47,289 --> 00:12:50,429
3x más 2, todo ello al cuadrado

135
00:12:51,190 --> 00:12:56,690
ahora empezamos con el f' que es 2x por g, que es 3x más 2

136
00:12:56,690 --> 00:13:07,129
menos f, que sería x cuadrado, por g prima, que es 3.

137
00:13:08,529 --> 00:13:15,230
Ahora seguimos con la segunda parte, que sería menos la derivada de coseno, que es menos el seno de x,

138
00:13:15,649 --> 00:13:17,090
y el 7 que desaparece.

139
00:13:18,090 --> 00:13:20,590
Eso se puede simplificar de dos formas.

140
00:13:21,549 --> 00:13:26,429
Una sería simplificando esto, y la otra es quitando este signo.

141
00:13:26,690 --> 00:13:42,330
Lo primero es fácil, esto es 6x cuadrado más 4x menos 3x al cuadrado y esto es 3x al cuadrado más 4x.

142
00:13:42,330 --> 00:14:07,830
Podemos ponerlo incluso delante de elevado a f, que es un poco más elegante, 3x cuadrado más 4x entre 3x más 2 todo y al cuadrado, por e elevado a x al cuadrado entre 3x más 2 más seno de x.

143
00:14:08,750 --> 00:14:11,049
Y ya hemos terminado esta derivada.

144
00:14:11,049 --> 00:17:02,990
Corrijamos la tercera derivada, es una resta de dos funciones

145
00:17:02,990 --> 00:17:07,869
La primera es un producto de la forma f por g

146
00:17:07,869 --> 00:17:14,730
Cuyo derivada es f' por g más f por g'

147
00:17:14,730 --> 00:17:22,089
Pues empecemos, f' es la derivada del coseno que es menos seno de x

148
00:17:22,089 --> 00:17:27,069
por g que es elevado a x cubo más 2x

149
00:17:27,069 --> 00:17:29,390
más f que es el coseno de x

150
00:17:29,390 --> 00:17:31,009
y ahora hay que calcular g'

151
00:17:31,250 --> 00:17:35,910
y observamos que g' es de la forma

152
00:17:35,910 --> 00:17:37,029
e elevado a una función

153
00:17:37,029 --> 00:17:39,869
esta función

154
00:17:39,869 --> 00:17:44,359
y la derivada es

155
00:17:44,359 --> 00:17:46,660
elevado a f por g'

156
00:17:46,660 --> 00:17:48,839
que sería

157
00:17:48,839 --> 00:17:54,700
e elevado a x al cubo más 2x

158
00:17:54,700 --> 00:17:59,000
por f' que como es una suma habrá que poner un paréntesis

159
00:17:59,000 --> 00:18:05,579
que sería 3x cuadrado más 2

160
00:18:05,579 --> 00:18:06,799
cerramos paréntesis

161
00:18:06,799 --> 00:18:10,920
y terminamos lo que nos quedaba que es esta parte de aquí

162
00:18:10,920 --> 00:18:13,660
menos 5

163
00:18:13,660 --> 00:18:15,420
y ya hemos terminado

164
00:18:15,420 --> 00:18:21,140
la siguiente derivada es un cociente de dos funciones

165
00:18:21,140 --> 00:18:23,299
f y g

166
00:18:23,299 --> 00:18:26,279
cuya derivada es de la forma

167
00:18:26,279 --> 00:18:29,599
f' por g

168
00:18:29,599 --> 00:18:36,599
menos f por g' entre g cuadrado.

169
00:18:37,059 --> 00:18:44,650
Podemos empezar por g cuadrado, que es más sencillo, ya que no hay ninguna derivada.

170
00:18:45,609 --> 00:18:49,029
Sería coseno de x más 2, todo ello al cuadrado.

171
00:18:49,849 --> 00:18:51,349
Y ahora empezamos con f'.

172
00:18:51,349 --> 00:18:59,690
f' es este numerador que empieza con un producto de la forma f por g.

173
00:18:59,690 --> 00:19:03,930
así que va a haber que poner un paréntesis

174
00:19:03,930 --> 00:19:05,809
porque hay una resta aquí

175
00:19:05,809 --> 00:19:07,349
también por el producto que viene ahora

176
00:19:07,349 --> 00:19:09,089
que es de la forma

177
00:19:09,089 --> 00:19:10,990
f' por g

178
00:19:10,990 --> 00:19:13,269
más f por g'

179
00:19:13,549 --> 00:19:15,430
pues lo ponemos

180
00:19:15,430 --> 00:19:17,869
f' 5x4

181
00:19:17,869 --> 00:19:19,690
por g

182
00:19:19,690 --> 00:19:21,910
logaritmo de p1 de x

183
00:19:21,910 --> 00:19:22,450
más

184
00:19:22,450 --> 00:19:25,769
f x5

185
00:19:25,769 --> 00:19:28,269
por g' 1 partido por x

186
00:19:28,269 --> 00:19:32,619
y ahora

187
00:19:32,619 --> 00:19:34,640
Acabamos la derivada del numerador

188
00:19:34,640 --> 00:19:37,279
Que sería derivar el menos 3x que es menos 3

189
00:19:37,279 --> 00:19:38,779
Cerramos paréntesis

190
00:19:38,779 --> 00:19:43,460
Ponemos g que es el coseno de x más 2

191
00:19:43,460 --> 00:19:45,180
Ahora restamos f

192
00:19:45,180 --> 00:19:49,240
Que sería entre paréntesis porque hay una resta

193
00:19:49,240 --> 00:19:51,119
Y luego hay que multiplicar

194
00:19:51,119 --> 00:19:55,059
x5 logaritmo de piano de x menos 3x

195
00:19:55,059 --> 00:19:56,160
Cerramos paréntesis

196
00:19:56,160 --> 00:20:00,099
Y derivamos la g que es el denominador

197
00:20:00,099 --> 00:20:04,440
y ponemos un paréntesis porque coseno tiene un signo menos

198
00:20:04,440 --> 00:20:08,859
y sería menos la derivada de coseno que es seno de x

199
00:20:08,859 --> 00:20:11,400
y cerramos paréntesis y ya está

200
00:20:11,400 --> 00:20:14,319
bueno, esto ya no lo voy a simplificarlo, es bastante complicado

201
00:20:14,319 --> 00:20:17,200
la simplificación que se podría hacer, de hecho únicamente

202
00:20:17,200 --> 00:20:21,099
sería poner aquí x4 por ese producto

203
00:20:21,099 --> 00:20:23,619
x5 por 1 partido por x es x4

204
00:20:23,619 --> 00:20:28,460
pero lo demás, bueno, también se podría quitar este signo con este menos

205
00:20:28,460 --> 00:20:29,619
bueno, voy a ponerlo

206
00:20:29,619 --> 00:20:35,000
Pongo el igual y ahora pongo la que sería la simplificación.

207
00:20:36,740 --> 00:20:37,740
Y así quedaría.

208
00:20:41,569 --> 00:20:49,250
Dentro de la regla de la cadena o derivada de la composición hay una que habéis visto un poco más, que es la derivada de una potencia.

209
00:20:50,690 --> 00:20:51,930
Pero se hace igual que las demás.

210
00:20:51,930 --> 00:20:57,829
En este caso la derivada sería 4f³ por f'.

211
00:20:57,829 --> 00:20:58,650
Pues lo hacemos.

212
00:20:58,650 --> 00:21:09,390
así pues ponemos 4f al cubo, 4 por x7, el logaritmo de piano de x, más 5, todo ello al cubo

213
00:21:09,390 --> 00:21:11,589
y ahora ponemos la derivada de lo de dentro

214
00:21:11,589 --> 00:21:15,130
pero al ver lo de dentro observamos que hay un producto

215
00:21:15,130 --> 00:21:24,799
que es de la forma f por g y cuya derivada es f' por g más f por g'

216
00:21:24,799 --> 00:21:27,640
pues nada, lo hacemos

217
00:21:27,640 --> 00:21:33,960
Ahora bien, ponemos un paréntesis porque hay una suma tras un producto

218
00:21:33,960 --> 00:21:46,700
f' es 7x6, logaritmo de piano de x, más f, que es x7 por g', que es 1 partido por x

219
00:21:46,700 --> 00:21:55,609
Y luego ya, pues, lo que queda derivada, que es esto, que como es una constante, desaparece

220
00:21:55,609 --> 00:21:58,569
Cerramos, paréntesis, y ya está

221
00:21:58,569 --> 00:22:06,289
Como mucho se puede simplificar, y lo único que se puede simplificar realmente es esto, que es x a la 6.

222
00:22:09,779 --> 00:22:10,480
Quedaría así.

223
00:22:15,490 --> 00:22:21,390
Bien, pues como ejercicio podéis hacer la siguiente derivada.

224
00:22:24,119 --> 00:22:31,410
Elevado a x, coseno de x menos x al cuadrado.

225
00:22:33,539 --> 00:22:37,740
Todo ello elevado a 8.

226
00:22:37,740 --> 00:22:40,339
y ahora pues la derivada de esto

227
00:22:40,339 --> 00:22:43,440
para ir a la grabación lo hacéis y corregimos

228
00:22:43,440 --> 00:22:45,920
corregimos

229
00:22:45,920 --> 00:22:49,519
tenemos una función de la forma f elevado a 8

230
00:22:49,519 --> 00:22:53,519
cuya derivada es 8f7 por f'

231
00:22:53,779 --> 00:22:55,380
pues lo ponemos

232
00:22:55,380 --> 00:22:59,000
f es todo esto que está aquí

233
00:22:59,000 --> 00:23:04,119
sería 8 por e elevado a x

234
00:23:04,119 --> 00:23:06,299
coseno de x menos x cuadrado

235
00:23:06,299 --> 00:23:07,319
todo ello elevado a 7

236
00:23:08,119 --> 00:23:20,200
Ahora ponemos f' pero f' tiene un producto f por g cuya derivada es f' por g más f por g'.

237
00:23:20,200 --> 00:23:23,799
Lo ponemos, no sin antes poner el paréntesis.

238
00:23:25,259 --> 00:23:36,279
f' es elevado a x, g es coseno de x más f es elevado a x y g' es la derivada de coseno que es menos seno de x.

239
00:23:36,279 --> 00:23:41,849
por último pues ponemos este menos x cuadrado, su derivada

240
00:23:41,849 --> 00:23:44,670
que sería menos 2x

241
00:23:44,670 --> 00:23:48,980
y cerramos este paréntesis

242
00:23:48,980 --> 00:23:51,420
ya está casi simplificado

243
00:23:51,420 --> 00:23:57,000
lo único que se podría simplificar en todo caso sería quitar este menos y ponerlo aquí

244
00:23:57,000 --> 00:23:59,220
quedando así

245
00:23:59,220 --> 00:24:05,490
un paso más en la derivación

246
00:24:05,490 --> 00:24:07,470
podría ser cuando tenemos un producto

247
00:24:07,470 --> 00:24:09,849
pero no ya de una función que se compone sino de dos

248
00:24:09,849 --> 00:24:13,470
o por ejemplo un cociente pero no de un producto sino de dos productos

249
00:24:13,470 --> 00:24:17,009
y sería exactamente igual que antes

250
00:24:17,009 --> 00:24:18,829
vamos a hacerlo

251
00:24:18,829 --> 00:24:22,250
tenemos aquí el producto de dos funciones f y g

252
00:24:22,250 --> 00:24:28,589
cuya derivada es de la forma f' por g más f por g'

253
00:24:28,829 --> 00:24:33,589
ahora se va a complicar no solamente la f' sino también la g'

254
00:24:33,589 --> 00:24:35,569
pero es igual

255
00:24:35,569 --> 00:24:46,970
Empezamos por f', es el coseno de una función y su derivada es menos seno de f por f'.

256
00:24:46,970 --> 00:25:02,240
Pues lo ponemos, f minúscula es lo que hay dentro, menos seno de lo que hay dentro, x al cubo menos 3x por f',

257
00:25:02,240 --> 00:25:10,200
que lo ponemos como un paréntesis porque es una resta ligada a un producto, 3x cuadrado menos 3.

258
00:25:10,200 --> 00:25:12,140
cerramos paréntesis

259
00:25:12,140 --> 00:25:13,819
ahora multiplicamos por g

260
00:25:13,819 --> 00:25:17,259
que es el logaritmo de elevado a x menos 5

261
00:25:17,259 --> 00:25:19,420
más f

262
00:25:19,420 --> 00:25:21,180
que lo dejamos igual

263
00:25:21,180 --> 00:25:22,720
coseno de x al cubo

264
00:25:22,720 --> 00:25:24,160
menos 3x

265
00:25:24,160 --> 00:25:26,640
y ahora miramos g'

266
00:25:26,880 --> 00:25:28,180
y vemos que g'

267
00:25:28,420 --> 00:25:33,430
es de la forma logaritmo de prima de f

268
00:25:33,430 --> 00:25:36,569
ojo, podríamos poner logaritmo de prima de g

269
00:25:36,569 --> 00:25:37,769
pero como ya hemos utilizado la f

270
00:25:37,769 --> 00:25:39,049
y ya no vamos a utilizarla

271
00:25:39,049 --> 00:25:41,470
no pasa nada porque para nuestro interior

272
00:25:41,470 --> 00:26:01,000
Pongamos una f. Pues lo ponemos. Tenemos la derivada de esto. Es f' partido por f. Vamos a ponerlo. f' es elevado a x y f es elevado a x menos 5.

273
00:26:01,000 --> 00:26:22,390
Bueno, vayamos con la siguiente derivada. Es un cociente de dos funciones, f y g, cuya derivada es de la forma f' por g menos f por g', poniendo g cuadrado en el denominador.

274
00:26:22,390 --> 00:26:29,849
Bueno, pues lo hacemos. Ponemos una operación grande y ahora se complican tanto la g como la g.

275
00:26:30,130 --> 00:26:41,640
Podemos empezar por el denominador, que es más sencillo, x elevado a 6, logaritmo de b a 1 de x, todo ello al cuadrado.

276
00:26:42,380 --> 00:26:53,769
Y ahora empezamos con f'. f' es la derivada de todo esto y la primera parte de esa derivada es un producto de dos funciones f' y g'.

277
00:26:53,769 --> 00:27:17,670
Pues, diríamos que estas funciones serían f' por g más f por g', cuya derivada sería f' es 5x4, g es el coseno de x, más f es x5, y g' es menos el seno de x.

278
00:27:18,130 --> 00:27:20,970
Entre paréntesis, porque si no, se tiene otra cosa.

279
00:27:20,970 --> 00:27:25,789
Ahora la derivada de 1, pues es 0, se desvanece

280
00:27:25,789 --> 00:27:28,210
Como tenemos una suma y luego hay que multiplicar

281
00:27:28,210 --> 00:27:30,390
Ponemos un paréntesis

282
00:27:30,390 --> 00:27:33,809
Más vale poner paréntesis de más que de menos

283
00:27:33,809 --> 00:27:36,109
Ahora multiplicamos por g

284
00:27:36,109 --> 00:27:38,789
x6 logaritmo de p no de x

285
00:27:38,789 --> 00:27:42,089
Aquí no se va a poner paréntesis porque es un producto ligado a otro producto

286
00:27:42,089 --> 00:27:47,269
Menos f x5 coseno de x menos 1

287
00:27:47,269 --> 00:27:49,369
Entre paréntesis porque luego hay que multiplicar

288
00:27:49,369 --> 00:28:05,950
Y ahora ponemos g', que nuevamente es un producto de dos funciones. Voy a poner otra vez la misma notación, f' y g', porque ya las he utilizado antes, pero ya no tengo que volver a utilizarlas aquí.

289
00:28:06,670 --> 00:28:13,630
Así que ponemos f' por g más f por g' y ahora son funciones nuevas.

290
00:28:15,680 --> 00:28:31,200
f' es la derivada de x6, que es 6x5, por g, que es el logaritmo de piano de x, más f, que es x6, por la derivada del logaritmo, que es 1 partido por x.

291
00:28:31,640 --> 00:28:35,240
Y ahora ponemos paréntesis y ya está.

292
00:28:35,240 --> 00:28:38,500
pocas significaciones se pueden hacer aquí

293
00:28:38,500 --> 00:28:43,599
una sería poner aquí x5 y la otra sería pasar este menos aquí

294
00:28:43,599 --> 00:28:48,059
no voy a hacerlas, a partir de ahora ya me centro en las técnicas de derivación

295
00:28:48,059 --> 00:28:53,980
os propongo tres ejercicios de derivadas de ese tipo

296
00:28:53,980 --> 00:29:00,990
podéis parar la grabación y después realizar las derivadas

297
00:29:00,990 --> 00:29:04,269
y luego reanudar la grabación para ver la corrección

298
00:29:04,269 --> 00:29:10,559
bueno, corregimos, antes de nada voy a hacer un poco de zoom

299
00:29:10,559 --> 00:29:19,039
para que quepa todo mejor. Corregimos la primera derivada, es de la forma f por g

300
00:29:19,039 --> 00:29:35,349
y su derivada es f' por g más f por g'. Empezamos con g' mayúscula y observamos que f es de la forma

301
00:29:35,349 --> 00:29:44,039
otra función elevado a 7 y de hecho 4 veces otra función elevado a 7, cuya derivada sería

302
00:29:44,039 --> 00:29:50,019
7 por 4, 28, por esa función elevado a 6, por la derivada de esa función.

303
00:29:51,119 --> 00:29:51,880
Pues lo ponemos.

304
00:29:52,799 --> 00:29:59,099
Sería 28, abrimos paréntesis para poner esa función, elevado a x más x cuadrado,

305
00:29:59,960 --> 00:30:05,240
todo ello elevado a 6, y abrimos un paréntesis porque la derivada es una suma,

306
00:30:06,359 --> 00:30:11,680
que sería elevado a x más la derivada de x cuadrado, que es 2x.

307
00:30:11,680 --> 00:30:27,859
ahora multiplicamos por g y ahora sumamos f y nos falta por calcular g'

308
00:30:27,859 --> 00:30:37,700
y aquí observamos que g es una función de la forma la raíz cuadrada de f

309
00:30:37,700 --> 00:30:44,420
cuya derivada es 1 partido por 2 raíz de f por f'

310
00:30:44,420 --> 00:30:50,680
por lo que es lo mismo f' entre 2 raíz de f

311
00:30:50,680 --> 00:30:54,440
podemos poner esto último, aunque el otro también estaría bien

312
00:30:54,440 --> 00:30:58,059
f' entre 2 raíz de f

313
00:30:58,059 --> 00:31:04,819
esto es f' que es la derivada de x al cuadrado

314
00:31:04,819 --> 00:31:09,539
2x entre 2 veces la raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado

315
00:31:09,539 --> 00:31:14,339
Muy bien, realicemos la segunda derivada

316
00:31:14,339 --> 00:31:17,400
es una fracción de la forma f partido por g

317
00:31:17,400 --> 00:31:24,690
cuya derivada es otra fracción de la forma

318
00:31:24,690 --> 00:31:32,369
f' por g menos f por g' y con un denominador que es g cuadrado.

319
00:31:33,569 --> 00:31:35,430
Podemos empezar a poner el denominador.

320
00:31:36,710 --> 00:31:41,029
Raíz cuadrada de x, logaritmo de piano de x, menos x, todo y al cuadrado.

321
00:31:42,289 --> 00:31:46,589
Y ahora podemos poner f'.

322
00:31:46,589 --> 00:31:55,009
f es todo esto, pero f, perdón, f mayúscula.

323
00:31:55,009 --> 00:32:01,750
Y f mayúscula es la suma de una derivada ligeramente más complicada y otra pues muy sencilla

324
00:32:01,750 --> 00:32:05,950
Empezamos por la ligeramente más complicada que es un producto de f por g

325
00:32:05,950 --> 00:32:11,630
Cuya derivada es f' por g más f por g'

326
00:32:13,980 --> 00:32:18,359
f es 4x7, f' sería 7 por 4, 28x6

327
00:32:18,359 --> 00:32:24,420
g es el coseno de x más f ahora es 4x7

328
00:32:24,420 --> 00:32:28,579
y g' es la derivada del coseno que es el menos seno de x

329
00:32:28,579 --> 00:32:33,240
eso entre paréntesis porque si no estaría restando

330
00:32:33,240 --> 00:32:36,079
seguimos con lo que queda de la función

331
00:32:36,079 --> 00:32:40,559
35x cuadrado, su derivada es 35 por 270

332
00:32:40,559 --> 00:32:43,839
menos 70x y 2 que desaparece

333
00:32:43,839 --> 00:32:49,180
y ahora ponemos un paréntesis alrededor de g'

334
00:32:49,180 --> 00:32:51,319
porque luego se va a multiplicar por g

335
00:32:51,319 --> 00:32:54,279
g ahora es el denominador

336
00:32:54,279 --> 00:32:58,000
raíz de x, logaritmo de piano de x, menos x

337
00:32:58,000 --> 00:33:02,299
ponemos un paréntesis porque está multiplicando por g'

338
00:33:02,539 --> 00:33:04,319
y una r está dentro

339
00:33:04,319 --> 00:33:07,420
ahora estamos f, que es todo el numerador

340
00:33:07,420 --> 00:33:13,279
4x7 coseno de x menos 35x cuadrado menos 2

341
00:33:13,279 --> 00:33:17,319
y ahora multiplicamos por la derivada de g

342
00:33:17,319 --> 00:33:18,740
¿qué es esto?

343
00:33:18,740 --> 00:33:27,960
g es una resta de dos funciones, una un poco más complicada y de la forma f partido por g

344
00:33:27,960 --> 00:33:37,160
y una muy sencilla, empezamos por la que es un poquito más complicada y cuya derivada es f' por g más f por g'

345
00:33:37,160 --> 00:33:43,269
f' es la derivada de la raíz cuadrada de x, 1 partido de 2 raíz de x

346
00:33:43,269 --> 00:33:49,230
g es el logaritmo de piano de x más f es raíz de x

347
00:33:49,230 --> 00:33:54,289
y g' es la derivada del logaritmo que es 1 partido por x

348
00:33:54,289 --> 00:33:59,140
después restamos lo que queda

349
00:33:59,140 --> 00:34:01,700
la derivada de x que es 1

350
00:34:01,700 --> 00:34:04,380
y ponemos paréntesis porque está multiplicando

351
00:34:04,380 --> 00:34:07,299
ampliamos la fracción y ya hemos terminado

352
00:34:07,299 --> 00:34:09,639
aquí se podría simplificar en varios puntos

353
00:34:09,639 --> 00:34:11,760
como este signo pasar aquí

354
00:34:11,760 --> 00:34:14,800
unir esto en la fracción, realizar

355
00:34:14,800 --> 00:34:18,099
bueno, eso ya está bien porque está racionalizado

356
00:34:18,099 --> 00:34:19,840
raíz de x partido por x

357
00:34:19,840 --> 00:34:23,199
y poco más se puede hacer, no vamos a hacerlo

358
00:34:23,199 --> 00:34:27,079
porque estamos ahora mismo practicando la derivación

359
00:34:27,079 --> 00:34:28,119
no la simplificación

360
00:34:28,119 --> 00:34:31,360
sigamos, nos queda la última

361
00:34:31,360 --> 00:34:35,159
es un cociente de la forma f partido por g

362
00:34:35,159 --> 00:34:40,750
y su derivada es una fracción

363
00:34:40,750 --> 00:34:44,309
donde el numerador es f' por g

364
00:34:44,309 --> 00:34:46,650
menos f por g'

365
00:34:46,650 --> 00:34:49,650
y el denominador es g cuadrado

366
00:34:50,210 --> 00:34:52,630
podemos empezar por el denominador

367
00:34:52,630 --> 00:34:55,750
x5 tangente de x

368
00:34:55,750 --> 00:34:56,710
menos 3

369
00:34:56,710 --> 00:34:58,090
todo ello al cuadrado

370
00:34:58,090 --> 00:35:01,230
y ahora ponemos el numerador

371
00:35:01,230 --> 00:35:03,730
empezamos por la derivada de f mayúscula

372
00:35:03,730 --> 00:35:06,190
y vemos que es

373
00:35:06,190 --> 00:35:10,239
el coseno de la función

374
00:35:10,239 --> 00:35:17,590
cuya derivada es

375
00:35:17,590 --> 00:35:19,449
menos seno

376
00:35:19,449 --> 00:35:21,349
de f por f'

377
00:35:21,610 --> 00:35:23,170
pues lo ponemos

378
00:35:23,170 --> 00:35:27,110
menos seno de f

379
00:35:27,110 --> 00:35:28,250
que es elevado a x

380
00:35:28,250 --> 00:35:29,389
más 3x

381
00:35:29,389 --> 00:35:35,130
por la derivada que sería como un paréntesis elevado a x más 3

382
00:35:35,130 --> 00:35:39,269
ahora multiplicamos por g que es el denominador

383
00:35:39,269 --> 00:35:46,150
lo ponemos al cuadrado x5 tangente de x menos 3

384
00:35:46,150 --> 00:35:52,679
ahora restamos f coseno de elevado a x más 3x

385
00:35:52,679 --> 00:35:54,760
y lo multiplicamos por g'

386
00:35:54,760 --> 00:36:18,760
Y aquí observamos que g' es de la forma, la resta de las funciones, una es una constante, se va a desaparecer, y luego un producto que es de la forma f por g y cuya derivada es f' por g más f por g'.

387
00:36:18,760 --> 00:36:26,579
Derivamos f', x5, su derivada es 5x4

388
00:36:26,579 --> 00:36:31,619
Ahora g es la tangente de x

389
00:36:31,619 --> 00:36:36,989
Ahora usamos f, que sería x5

390
00:36:36,989 --> 00:36:40,150
Y ponemos la derivada de la tangente de x

391
00:36:40,150 --> 00:36:45,050
Bueno, yo voy a poner, por ejemplo, 1 más tangente cuadrado de x

392
00:36:45,050 --> 00:36:47,510
Aunque, bueno, si hubiéramos puesto, por ejemplo

393
00:36:47,510 --> 00:36:51,670
1 partido por coseno cuadrado de x

394
00:36:51,670 --> 00:36:53,250
también estaría bien

395
00:36:53,250 --> 00:36:57,000
y luego pues la derivada de 3

396
00:36:57,000 --> 00:36:58,760
se va, es 0

397
00:36:58,760 --> 00:37:00,179
con lo cual desaparece

398
00:37:00,179 --> 00:37:02,760
y no hemos acabado porque falta poner aquí

399
00:37:02,760 --> 00:37:04,360
un paréntesis, porque si no

400
00:37:04,360 --> 00:37:06,219
solo estaría multiplicando

401
00:37:06,219 --> 00:37:08,280
esto a esto

402
00:37:08,280 --> 00:37:10,760
y ya hemos terminado

403
00:37:10,760 --> 00:37:12,500
estos ejemplos, podemos observar

404
00:37:12,500 --> 00:37:14,059
bueno, aquí si hemos juntado

405
00:37:14,059 --> 00:37:16,099
aquí hemos enseñado como se hacen los productos

406
00:37:16,099 --> 00:37:18,719
aquí hemos hecho una pequeña variante, hemos puesto aquí una composición

407
00:37:18,719 --> 00:37:21,019
pero se hace igual

408
00:37:21,019 --> 00:37:24,119
vamos a combinar ahora

409
00:37:24,119 --> 00:37:44,590
varias veces la regla de la cadena. Por ejemplo, si tenemos elevado al coseno de x cuadrado menos el logaritmo de periano de x derivada.

410
00:37:44,590 --> 00:37:58,940
O por ejemplo, el seno de e elevado a x menos el logaritmo de Periano de x al cubo más 3, derivada.

411
00:37:59,659 --> 00:38:11,809
O por ejemplo, pues e elevado a x menos el coseno de x al cubo, todo ello elevado a 4, derivada.

412
00:38:13,289 --> 00:38:15,449
Bien, pues ya hemos con cada una de ellas.

413
00:38:15,449 --> 00:38:33,699
Esta es una función de la forma elevado a f, cuyo derivada es elevado a f por f', es decir, elevado al coseno de x cuadrado menos el logaritmo de periodo de x.

414
00:38:34,519 --> 00:38:48,159
Ahora bien, f es esta función y f es de la forma coseno de otra función f minúscula, con lo cual al poner f', tendremos que poner menos seno de f por f',

415
00:38:48,159 --> 00:38:51,460
que sería, abriendo paréntesis

416
00:38:51,460 --> 00:38:53,260
menos seno de

417
00:38:53,260 --> 00:38:55,340
x cuadrado

418
00:38:55,340 --> 00:38:56,579
logaritmo del primero de x

419
00:38:56,579 --> 00:38:59,800
perdón, menos logaritmo del primero de x

420
00:38:59,800 --> 00:39:01,539
por la derivada

421
00:39:01,539 --> 00:39:03,099
de lo de dentro, que sería

422
00:39:03,099 --> 00:39:04,519
el f'

423
00:39:04,780 --> 00:39:07,699
2x menos 1 partido por x

424
00:39:07,699 --> 00:39:09,579
y ya hemos terminado

425
00:39:09,579 --> 00:39:11,719
en la siguiente

426
00:39:11,719 --> 00:39:13,079
pues se generó la función

427
00:39:13,079 --> 00:39:15,400
de la forma seno de f

428
00:39:15,400 --> 00:39:17,739
cuya derivada es

429
00:39:17,739 --> 00:39:28,840
coseno de f por f', donde esta es la función f. Lo ponemos, esto es el coseno de elevado

430
00:39:28,840 --> 00:39:36,460
a x menos logaritmo neperiano de x al cubo más 3, cerramos los paréntesis. Ahora, a

431
00:39:36,460 --> 00:39:43,599
la hora de poner la f', sería esta función más larga, empezamos derivándola, la derivada

432
00:39:43,599 --> 00:40:06,599
de elevado a x es elevado a x, menos, y ahora tenemos el logaritmo neperiano de una función cuya derivada es f' partido por f, es decir, 3x entre x al cubo más 3.

433
00:40:06,599 --> 00:40:19,889
Aquí tenemos una función de la forma f elevada a 4, cuya derivada sería 4f al cubo.

434
00:40:20,190 --> 00:40:39,480
Pues lo ponemos. Tenemos 4 veces elevado a x menos coseno de x al cubo, todo ello elevado al cubo.

435
00:40:39,480 --> 00:41:05,199
Ahora ponemos la f' empezamos con la derivada por aquí elevado a x menos y ahora tenemos el coseno de una función cuya derivada es el seno de f menos seno de f por f' sería menos el seno de x al cubo por 3x cuadrado.

436
00:41:05,199 --> 00:41:10,400
Cerramos paréntesis, que hemos cerrado este paréntesis, pues cerramos más paréntesis.

437
00:41:12,760 --> 00:41:21,159
Hay alguna cosa que nos podríamos haber ahorrado como este signo menos doble con más práctica, pero podemos hacerlo así ahora.

438
00:41:22,619 --> 00:41:25,980
Bien, vamos a hacer unos ejemplos después.

439
00:41:26,980 --> 00:41:29,960
Os pongo como ejercicio las siguientes derivadas.

440
00:41:29,960 --> 00:41:45,849
el seno de x al cubo menos el coseno de x al cuadrado derivada.

441
00:41:46,989 --> 00:42:00,170
Otra sería el seno al cuadrado de x al cubo menos elevado a x cuadrado.

442
00:42:05,179 --> 00:42:08,380
Bueno, esa es un poco complicada además, vamos a quitar esto por ahora.

443
00:42:11,230 --> 00:42:13,969
Y ahora sí que ponemos un último, un poco más complicado, incluyendo eso.

444
00:42:13,969 --> 00:42:40,730
Por ejemplo, pues elevado a x más el coseno de elevado a x al cubo, todo ello elevado a 5, derivada.

445
00:42:40,909 --> 00:42:42,230
Esta es más complicada que las demás.

446
00:42:43,789 --> 00:42:47,960
Pues paráis la grabación y lo realizáis.

447
00:42:48,579 --> 00:42:49,480
Y luego corregimos.

448
00:42:50,480 --> 00:42:59,400
Corregimos, tenemos aquí el seno de una función cuya derivada es el coseno de f por f'.

449
00:42:59,400 --> 00:43:01,639
¿Dónde f es todo esto?

450
00:43:02,980 --> 00:43:15,239
Pues lo ponemos. Esto es el coseno de x al cubo menos el coseno de x al cuadrado por la derivada de f.

451
00:43:15,239 --> 00:43:19,750
Ahora bien, empezamos a derivar f

452
00:43:19,750 --> 00:43:25,210
f sería todo esto, empieza con la derivada de x al cubo

453
00:43:25,210 --> 00:43:30,449
que es, ahora paréntesis, porque hay una resta 3x cuadrado menos

454
00:43:30,449 --> 00:43:34,929
y ahora tenemos el coseno de la función

455
00:43:34,929 --> 00:43:43,829
coseno de f cuya derivada es

456
00:43:43,829 --> 00:43:47,809
el seno de f por f'

457
00:43:47,809 --> 00:43:54,940
que sería, perdón, menos el seno de f

458
00:43:54,940 --> 00:44:08,280
quiere poner menos el seno de x cuadrado por la derivada que es 2x. Aquí lo natural habría sido

459
00:44:08,280 --> 00:44:17,019
ya cuando vamos a poner el menos seno de f y a poner menos por menos más y ahorrarse pues un signo, ¿no?

460
00:44:18,800 --> 00:44:29,019
Sigamos. Aquí tenemos una función de la forma seno de f pero está al cuadrado. Entonces la última

461
00:44:29,019 --> 00:44:36,119
función realmente es el cuadrado. Con lo cual, lo que tenemos es una función al cuadrado

462
00:44:36,119 --> 00:44:52,880
cuya derivada es 2f por f'. Lo suponemos. Sería dos veces el seno de x³ menos e elevado

463
00:44:52,880 --> 00:45:06,960
a x. ¿Y cuál es f'? Pues la derivada de este seno quitando el cuadrado. Tenemos seno

464
00:45:06,960 --> 00:45:17,210
de una función cuya derivada es coseno de f por f'. Pues pongamos ese coseno, que sería

465
00:45:17,210 --> 00:45:26,710
al coseno de x al cubo menos elevado a x, y luego la derivada de lo de dentro es 3x

466
00:45:26,710 --> 00:45:35,829
cuadrado menos elevado a x. Y ya hemos terminado. Vayamos con lo más compleja. Primero tenemos

467
00:45:35,829 --> 00:45:46,530
una función elevada a 5, cuya derivada es 5f elevado a 4, por f' pues lo ponemos.

468
00:45:46,530 --> 00:46:08,420
Tenemos, pues, 5 por e elevado a x más el coseno de e elevado a x al cubo, todo ello elevado a 4

469
00:46:08,420 --> 00:46:17,139
Ahora ponemos esta derivada, que sería e elevado a x más

470
00:46:17,139 --> 00:46:39,059
Y ahora de derivar esta parte de la función, vemos que de la forma coseno de f, cuya derivada es menos seno de f por f', con lo cual ponemos menos el seno de elevado a x al cubo, y ahora hay que poner f'.

471
00:46:39,059 --> 00:47:00,119
Pero observamos que f es de la forma elevado a una función, vamos a poner otra vez la mayúscula, por ejemplo, cuya derivada es elevado a f por f', con lo cual tenemos que poner elevado a f, que es elevado a x al cubo, por f', que es 3x al cuadrado.

472
00:47:00,420 --> 00:47:15,349
Y ahora ya cerramos los dos paréntesis, este y el otro. Y ya hemos terminado.

473
00:47:15,349 --> 00:47:29,800
Pero otra combinación de las reglas de derivación es el producto de tres funciones. Por ejemplo, x elevado a 5, elevado a x, seno de x, derivada.

474
00:47:31,260 --> 00:47:40,639
Hay dos formas de hacer esto. Una de ellas sería considerar esto como producto de dos funciones, por ejemplo, f y g,

475
00:47:40,639 --> 00:47:44,980
donde f a su vez es un producto de dos funciones

476
00:47:44,980 --> 00:47:47,579
f y g

477
00:47:47,579 --> 00:47:49,840
y aplicar así las reglas de derivación

478
00:47:49,840 --> 00:47:53,489
en primer lugar ponemos

479
00:47:53,489 --> 00:47:54,489
f'

480
00:47:54,789 --> 00:47:56,789
por g

481
00:47:56,789 --> 00:47:59,170
más f por g'

482
00:47:59,409 --> 00:48:01,650
y a su vez

483
00:48:01,650 --> 00:48:05,110
cuando vayamos a derivar f'

484
00:48:05,329 --> 00:48:06,570
vamos a ver un producto

485
00:48:06,570 --> 00:48:08,409
que habrá que derivar

486
00:48:08,409 --> 00:48:11,530
poniendo f' por g

487
00:48:11,530 --> 00:48:17,409
más f por g', pues hacemos eso

488
00:48:17,409 --> 00:48:21,170
cogemos f', que sería 5x4

489
00:48:21,170 --> 00:48:25,190
por g, que es e elevado a x

490
00:48:25,190 --> 00:48:31,960
más f, x5, por g', que es

491
00:48:31,960 --> 00:48:35,800
e elevado a x, y ponemos un paréntesis, porque se sumando

492
00:48:35,800 --> 00:48:40,099
y vamos a multiplicarlo ahora mismo, por g, que es seno de x

493
00:48:40,099 --> 00:48:42,679
ponemos la suma, ahora f

494
00:48:42,679 --> 00:48:47,139
mayúscula que es x5 elevado a x

495
00:48:47,139 --> 00:48:51,380
y ahora g' que es la derivada del seno que es el coseno de x

496
00:48:51,380 --> 00:48:55,059
y ahí se hace sin ninguna dificultad

497
00:48:55,059 --> 00:48:57,519
luego se puede quitar el paréntesis, etc.

498
00:48:58,199 --> 00:49:03,059
que quedaría 5x4 elevado a x seno de x

499
00:49:03,059 --> 00:49:06,679
más x5 elevado a x seno de x

500
00:49:06,679 --> 00:49:09,579
más x5 elevado a x coseno de x

501
00:49:09,579 --> 00:49:18,500
La otra forma sería utilizar una regla de derivación, lo que pasa es que ya es algo más de memoria que hay que utilizar

502
00:49:18,500 --> 00:49:32,039
Y es que si tenemos tres funciones, pues tenemos f'gh más fg'h más fgh', siempre hay una que está derivando

503
00:49:32,039 --> 00:49:50,059
Incluso con 4 sale lo mismo, FGHI' sería FGHI con la prima aquí, más FG'HI, más FGH'I, más FGHI'.

504
00:49:50,059 --> 00:49:59,590
Entonces de esta forma pues obtendríamos exactamente esto último.

505
00:49:59,590 --> 00:50:14,849
F'GH pues F' por G por H más G' que es esta por H más F por G por H' y así lo tendríamos

506
00:50:15,250 --> 00:50:32,440
porque es que de hecho esto no es más que hacer F' por G más F por G' por H más FG H'

507
00:50:32,440 --> 00:50:43,280
prima. Entonces estamos convirtiendo esto en f y esto en g, haciéndolo de antes. Bueno,

508
00:50:43,280 --> 00:50:49,059
pues hacemos otro ejemplo. Bueno, hacéis vosotros otro ejemplo, bien utilizando esto

509
00:50:49,059 --> 00:50:58,860
o bien utilizando esto de aquí y corregimos. El ejemplo que os propongo sería logaritmo

510
00:50:58,860 --> 00:51:12,820
de periódico de x por el seno de x, 5 por ejemplo, por elevado a x, derivada.

511
00:51:17,019 --> 00:51:24,219
Bueno, corrijo, voy a utilizar ahora esta fórmula, 5 logaritmo de x, pues sería 5 por

512
00:51:24,219 --> 00:51:39,760
1 partido por x, cogeríamos fgh y f' por g por h más f por g por y por h más f por g h'.

513
00:51:39,760 --> 00:51:50,699
Pues nada, sería esto. Ahora cogeríamos la g, que es seno de x, y la h elevado a x más la f,

514
00:51:50,699 --> 00:51:53,760
que es 5 logaritmo de pi a no de x

515
00:51:53,760 --> 00:51:57,039
por la derivada de g que es el coseno de x

516
00:51:57,039 --> 00:52:00,820
por h que es elevado a x más

517
00:52:00,820 --> 00:52:03,699
la f que es 5 logaritmo de pi a no de x

518
00:52:03,699 --> 00:52:06,320
por el seno de x

519
00:52:06,320 --> 00:52:09,820
por h' que es la derivada de elevado a x que es elevado a x

520
00:52:09,820 --> 00:52:10,460
y ya está

521
00:52:10,460 --> 00:52:13,539
bueno, pasemos a otra cosa

522
00:52:13,539 --> 00:52:15,780
hay un caso particular de derivada

523
00:52:15,780 --> 00:52:18,519
que tiene un método distinto que es la de f elevado a g

524
00:52:18,940 --> 00:52:27,159
Una opción es, sin aprenderse ya fórmulas nuevas, hacer lo siguiente.

525
00:52:27,579 --> 00:52:35,719
Si yo tengo la función, por ejemplo, coseno de x, todo ello elevado a x al cuadrado más 3,

526
00:52:38,239 --> 00:52:47,820
entonces, y calculo su derivada, entonces el coseno de x es lo mismo que e elevado al logaritmo de periódico del coseno de x.

527
00:52:48,780 --> 00:52:51,599
Y todo ello lo elevamos a x al cuadrado más 3.

528
00:52:51,599 --> 00:53:08,519
Esto es igual a e elevado al logaritmo del coseno de x por x cuadrado más 3

529
00:53:08,519 --> 00:53:13,139
Derivada

530
00:53:13,139 --> 00:53:17,000
Y ahora aquí ya podemos utilizar las reglas de la derivación que conocemos

531
00:53:17,000 --> 00:53:19,179
Esto es de la forma e elevado a f

532
00:53:19,179 --> 00:53:23,019
Cuyo derivada es e elevado a f por f'

533
00:53:24,260 --> 00:53:34,519
Entonces serían e elevado al logaritmo del coseno de x por x cuadrado más 3

534
00:53:34,519 --> 00:53:51,579
A la hora de hacer la f' observamos que eso es un producto de funciones f y g cuya derivada es f' por g más f por c'

535
00:53:51,579 --> 00:54:03,860
A su vez f' es de la forma logaritmo de una función cuya derivada es f' partido por f

536
00:54:03,860 --> 00:54:14,639
Pues lo ponemos. Ponemos f' que sería menos seno de x entre f que es coseno de x.

537
00:54:15,000 --> 00:54:26,110
Ahora multiplicamos por g y sumamos f multiplicando por g'.

538
00:54:26,110 --> 00:54:35,219
Por último ponemos los paréntesis y ya está.

539
00:54:35,219 --> 00:54:38,619
Ahora bien, hay otra forma de resolver esto

540
00:54:38,619 --> 00:54:44,000
Y es saber que esta función requiere

541
00:54:44,000 --> 00:54:46,980
Tiene un método propio

542
00:54:46,980 --> 00:54:50,099
Que es saber que es de la forma

543
00:54:50,099 --> 00:54:57,969
Que esta derivada es

544
00:54:57,969 --> 00:55:02,849
g por f elevado a g menos uno

545
00:55:02,849 --> 00:55:06,050
Por f prima más

546
00:55:06,050 --> 00:55:08,969
El logaritmo negativo de perinodo f

547
00:55:08,969 --> 00:55:11,550
Por f elevado a g

548
00:55:11,550 --> 00:55:14,530
por G'.

549
00:55:14,530 --> 00:55:19,329
Ahora bien, esta fórmula

550
00:55:19,329 --> 00:55:20,849
no pido que os la aprendáis

551
00:55:20,849 --> 00:55:23,010
ni siquiera de pedir los ejercicios

552
00:55:23,010 --> 00:55:25,409
yo nunca he hecho un ejercicio

553
00:55:25,409 --> 00:55:26,050
con la fórmula

554
00:55:26,050 --> 00:55:28,989
nunca

555
00:55:28,989 --> 00:55:30,750
o sea que ni siquiera en los problemas

556
00:55:30,750 --> 00:55:32,730
menos en la teoría

557
00:55:32,730 --> 00:55:35,090
y de hecho este truco

558
00:55:35,090 --> 00:55:36,070
es perfectamente válido

559
00:55:36,070 --> 00:55:38,949
y pues nada, aparece en otro tipo

560
00:55:38,949 --> 00:55:41,269
de ejercicios de la materia

561
00:55:41,269 --> 00:55:42,949
el truco de convertir esto

562
00:55:42,949 --> 00:55:46,889
en esto, por ejemplo, en los límites del hospital

563
00:55:46,889 --> 00:55:52,690
Bueno, calculemos la derivada de esta función

564
00:55:52,690 --> 00:55:57,469
teniendo en cuenta que esta es la función f y esta es la función g

565
00:55:57,469 --> 00:56:02,230
Empezamos con la primera parte de la derivada

566
00:56:02,230 --> 00:56:06,730
Sería g, que es x cuadrado más 3

567
00:56:06,730 --> 00:56:09,710
por f, coseno de x

568
00:56:09,710 --> 00:56:11,630
elevado a g menos 1

569
00:56:11,630 --> 00:56:15,210
Bueno, pues, si g es x cuadrado más 3

570
00:56:15,210 --> 00:56:44,590
Entonces g menos 1 es x cuadrado más 2 por f' que es menos seno de x más, ahora vamos con la segunda parte de la función, logaritmo neperiano de f, pues el logaritmo neperiano del coseno de x por f elevado a g, pues el coseno de x elevado a x cuadrado más 3 por g' pues por 2x.

571
00:56:44,590 --> 00:56:51,090
Y ya hemos terminado. Bueno, es un poco más elegante esta función que esta, todo hay que decirlo.

572
00:56:54,269 --> 00:57:10,110
Una observación es que si cogemos la derivada de arriba, y es la suma de dos funciones, a la primera función se le llama parte potencial y a la segunda parte exponencial.

573
00:57:10,110 --> 00:57:14,170
Este nombre viene de la siguiente observación

574
00:57:14,170 --> 00:57:24,349
Si cogemos la función potencial f elevado a n y derivamos nos queda n por f elevado a n-1 por f'

575
00:57:24,349 --> 00:57:31,429
Y podemos observar que es la misma función que esta pero cambiando la n por la g

576
00:57:31,429 --> 00:57:50,989
Por otra parte, si cogemos la función exponencial a elevado a g, cogemos la g porque es el exponente de la otra, y derivamos, pues tenemos el logaritmo de Periano de a por a elevado a g por g'.

577
00:57:51,869 --> 00:58:02,369
Y es fácil comprobar que tenemos la misma función, solo que cambiando la a por la f, y ahí el nombre. De hecho, ese es el truco para brandejes de fórmulas.

578
00:58:02,869 --> 00:58:12,829
Bueno, tiene su sentido, porque si consideráis que g es constante, entonces g' es igual a cero, esto desaparece y tenemos una potencial.

579
00:58:13,769 --> 00:58:18,849
Y si consideráis que f es constante, entonces f' es cero y tenemos una exponencial.

580
00:58:23,730 --> 00:58:32,309
Una observación rápida, hemos dicho que cuando cogemos en cálculo una función donde y puede tomar todos los valores reales, la x tiene que ser positiva.

581
00:58:32,309 --> 00:58:41,190
Bueno, pues eso quiere decir que estamos considerando esta función exponencial en los valores donde el coseno de x es positivo.

582
00:58:41,730 --> 00:58:47,250
De hecho, fijaos que cogemos el logaritmo del coseno, que también solo está definido si el coseno es positivo.

583
00:58:48,730 --> 00:59:00,590
Bien, sigamos. Ahora propongo un ejercicio. Vamos a hacer, por ejemplo, el ejercicio x al cubo más x, todo y elevado al seno de x.

584
00:59:00,590 --> 00:59:02,650
derivada

585
00:59:02,650 --> 00:59:04,750
paráis la grabación

586
00:59:04,750 --> 00:59:06,429
lo realizáis

587
00:59:06,429 --> 00:59:09,210
y ahora lo corregiremos

588
00:59:09,210 --> 00:59:11,309
borramos métodos

589
00:59:11,309 --> 00:59:14,389
bien, corregimos

590
00:59:14,389 --> 00:59:15,449
con el primer método

591
00:59:15,449 --> 00:59:18,010
pues observamos

592
00:59:18,010 --> 00:59:20,530
lo voy a hacer con todos los pasos

593
00:59:20,530 --> 00:59:22,789
pero lo suelo pasar directamente

594
00:59:22,789 --> 00:59:24,349
de aquí

595
00:59:24,349 --> 00:59:26,010
aquí

596
00:59:26,010 --> 00:59:29,639
que esto es

597
00:59:29,639 --> 00:59:31,440
elevado al

598
00:59:31,440 --> 00:59:35,199
logaritmo de periano de x cubo más x

599
00:59:35,199 --> 00:59:37,659
todo ello elevado al seno de x

600
00:59:37,659 --> 00:59:40,780
y esto es igual, que es a lo que uno tiene que acostumbrarse

601
00:59:40,780 --> 00:59:44,539
al logaritmo de periano de x cubo más x

602
00:59:44,539 --> 00:59:46,440
por el seno de x

603
00:59:46,440 --> 00:59:50,659
y ahora pues nada, habría que derivar

604
00:59:50,659 --> 00:59:52,599
y derivar

605
00:59:52,599 --> 00:59:53,840
entonces tenemos

606
00:59:53,840 --> 00:59:56,059
elevado a una función

607
00:59:56,059 --> 00:59:59,019
cuya derivada es elevado a f por f'

608
00:59:59,300 --> 01:00:00,980
que ponemos

609
01:00:00,980 --> 01:00:07,940
elevado al logaritmo de periano de x cubo más x por seno de x.

610
01:00:09,380 --> 01:00:22,699
Ahora, por f' pues f' sería un producto de dos funciones f y g.

611
01:00:23,139 --> 01:00:27,780
Por lo tanto, su derivada es f' por g más f por g'.

612
01:00:27,780 --> 01:00:35,119
A su vez, observamos que f, que es esta, es de la forma logaritmo de periano de una función

613
01:00:35,119 --> 01:00:38,199
cuya derivada es f' partido por f

614
01:00:38,199 --> 01:00:40,099
pues lo ponemos

615
01:00:40,099 --> 01:00:42,400
ponemos f'

616
01:00:42,719 --> 01:00:45,019
que es

617
01:00:45,019 --> 01:00:47,860
3x más 1

618
01:00:47,860 --> 01:00:51,590
partido por f

619
01:00:51,590 --> 01:00:54,130
que es x al cubo más x

620
01:00:54,130 --> 01:00:57,789
ponemos un paréntesis porque vamos a tener luego una suma

621
01:00:57,789 --> 01:00:59,349
multiplicamos por g

622
01:00:59,349 --> 01:01:01,150
que es el seno de x

623
01:01:01,150 --> 01:01:03,130
sumamos f

624
01:01:03,130 --> 01:01:06,110
que es el logaritmo de periano de x al cubo

625
01:01:06,110 --> 01:01:08,349
más x

626
01:01:08,349 --> 01:01:10,949
y multiplicamos por la derivada de g

627
01:01:10,949 --> 01:01:12,670
que es el coseno de x

628
01:01:12,670 --> 01:01:14,969
por último cerramos el paréntesis

629
01:01:14,969 --> 01:01:18,760
vamos con la segunda forma de hacerlo

630
01:01:18,760 --> 01:01:23,969
esta es la función f

631
01:01:23,969 --> 01:01:25,829
esta es la función g

632
01:01:25,829 --> 01:01:28,610
y empezamos a aplicar

633
01:01:28,610 --> 01:01:30,789
esta fórmula

634
01:01:30,789 --> 01:01:32,489
g pues sería

635
01:01:32,489 --> 01:01:36,579
el seno de x

636
01:01:36,579 --> 01:01:39,199
por f

637
01:01:39,199 --> 01:01:43,789
elevado a g menos 1

638
01:01:43,789 --> 01:01:47,690
pues al seno de x menos 1

639
01:01:47,690 --> 01:01:51,409
por la derivada de f, que sería

640
01:01:51,409 --> 01:01:56,570
3x cuadrado más 1. Ahora sumamos

641
01:01:56,570 --> 01:01:59,929
logaritmo de periano de f, pues el logaritmo de periano

642
01:01:59,929 --> 01:02:03,449
de x al cubo más x

643
01:02:03,449 --> 01:02:08,030
por f elevado a g, pues por x al cubo

644
01:02:08,030 --> 01:02:10,909
más x, todo y elevado al seno de x

645
01:02:10,909 --> 01:02:13,849
por la derivada de g

646
01:02:13,849 --> 01:02:15,809
pues por coseno de x

647
01:02:15,809 --> 01:02:19,929
y tenemos dos fórmulas en apariencia distintas

648
01:02:19,929 --> 01:02:21,989
pero si se calcula y se simplifica

649
01:02:21,989 --> 01:02:24,050
y se quitan estas cosas

650
01:02:24,050 --> 01:02:26,369
se puede ver que

651
01:02:26,369 --> 01:02:27,889
acaba siendo igual que

652
01:02:27,889 --> 01:02:29,670
esta de aquí abajo

653
01:02:29,670 --> 01:02:32,940
un último apunte

654
01:02:32,940 --> 01:02:34,519
con esas derivadas

655
01:02:34,519 --> 01:02:35,559
concluimos

656
01:02:35,559 --> 01:02:38,639
la combinación de derivadas con dos reglas

657
01:02:38,639 --> 01:02:40,400
y en algunos casos particulares

658
01:02:40,400 --> 01:02:42,280
de tres reglas

659
01:02:42,280 --> 01:02:48,719
como puede ser este. Faltaría hablar de la combinación de todo tipo de reglas y todo

660
01:02:48,719 --> 01:02:54,699
tipo de derivadas. Para ello está la continuación de este tutorial, que sería la parte 3.