1
00:00:00,620 --> 00:00:03,720
Vamos a ver este ejercicio en el que me da una función definida a trozos.

2
00:00:04,379 --> 00:00:08,439
Tenemos una parte x con exponenciales, la otra con logaritmos, con una función racional.

3
00:00:08,960 --> 00:00:13,419
No asustarse, porque da lo mismo, son funciones igual de sencillas.

4
00:00:13,419 --> 00:00:19,079
Y lo que nos están pidiendo es que estudiemos la continuidad y derivabilidad de f en el punto x igual a 1.

5
00:00:19,940 --> 00:00:21,839
Y luego me piden calcular el límite.

6
00:00:22,559 --> 00:00:23,140
Pues ya está.

7
00:00:23,539 --> 00:00:26,960
Si me pidieran calcular la continuidad y derivabilidad en toda la función,

8
00:00:26,960 --> 00:00:34,780
tendríamos que empezar diciendo la parte de arriba, esta función es una función continua, etc., etc.,

9
00:00:34,780 --> 00:00:38,659
tendríamos que ir hablando de cada una de ellas, pero en este caso me están hablando solamente

10
00:00:38,659 --> 00:00:42,960
de que estudie la continuidad y derivabilidad en x igual a 1.

11
00:00:43,700 --> 00:00:48,640
Por lo tanto me tengo que centrar solamente en este valor, que obviamente es el punto donde,

12
00:00:49,979 --> 00:00:54,560
bueno, se ve un poquito mal, pero lo que quiero decir es que es justamente el punto donde se diferencia,

13
00:00:54,560 --> 00:00:56,939
donde salta la función, donde cambia de un trozo a otro.

14
00:00:56,960 --> 00:01:03,840
Entonces, ¿qué quiere? Lo primero, ¿qué significa que sea continua en x igual a 1?

15
00:01:04,420 --> 00:01:14,939
Bueno, pues esto lo que quiere decir es que el valor de la función f de 1 es igual al límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de f de x

16
00:01:14,939 --> 00:01:21,239
y que tiene que ser igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha de f de x.

17
00:01:22,659 --> 00:01:25,700
Vale, pues vamos a comprobar si esto se cumple o no.

18
00:01:26,959 --> 00:01:29,120
Vamos a comprobarlo aquí a la derecha.

19
00:01:30,500 --> 00:01:36,719
El valor f de 1 coincide con el límite por la derecha, porque lo tenemos aquí abajo al igual.

20
00:01:36,719 --> 00:01:51,420
Por lo tanto, esto es igual al límite cuando x tiende a 1 por la derecha de e más x logaritmo neperiano de x partido por x cuadrado más 1.

21
00:01:51,420 --> 00:01:59,780
Y esto es igual a e más logaritmo neperiano de 1 es 0, 0 por 1 es 0

22
00:01:59,780 --> 00:02:03,980
Y abajo me queda 1 más 1 es 2, es decir 0 partido por 2 es 0

23
00:02:03,980 --> 00:02:05,879
Luego todo esto vale e

24
00:02:05,879 --> 00:02:10,159
Ya os he dicho que no nos tenemos que asustar porque veamos exponenciales, logaritmos o demás

25
00:02:10,159 --> 00:02:16,319
Y tenemos que comprobar el valor del límite cuando x tiende a 1 por la izquierda

26
00:02:16,319 --> 00:02:18,240
Que es x por e elevado a x

27
00:02:19,180 --> 00:02:23,699
Sustituyo la x por 1 que obtengo 1 por e elevado a 1, es decir, ¿qué ocurre?

28
00:02:24,139 --> 00:02:25,979
Que obtenemos el mismo valor.

29
00:02:26,419 --> 00:02:34,360
Luego esto significa que sí es continua en x igual 1.

30
00:02:34,960 --> 00:02:38,960
Fijaos, si me hubiera salido que no es continua, lo tendría mucho más fácil

31
00:02:38,960 --> 00:02:41,599
porque si la función no es continua no puede ser derivable.

32
00:02:42,080 --> 00:02:45,240
Pero como ha salido que es continua tenemos que comprobar la derivabilidad.

33
00:02:45,819 --> 00:02:49,460
Para calcular la derivabilidad, pues necesito calcular la función derivada.

34
00:02:49,900 --> 00:02:54,520
Como es una función definida a trozos, voy a calcular la derivada de cada uno de los trozos.

35
00:02:55,020 --> 00:02:58,560
La derivada del numerador es un producto, por lo tanto, derivada de x, que es 1,

36
00:02:59,099 --> 00:03:05,620
por la segunda sin derivar, por elevado a x, más x por la derivada de elevado a x, que es ella misma.

37
00:03:06,240 --> 00:03:09,180
Y esto sería cuando la x sea estrictamente menor que 1.

38
00:03:09,819 --> 00:03:14,939
Para el segundo trozo, la segunda función, la derivada de una constante como ese es 0,

39
00:03:15,240 --> 00:03:19,300
Daros cuenta que es el número e, no es elevado a algo, ¿vale?

40
00:03:19,580 --> 00:03:24,680
Por tanto, ese sería 0 y el otro trocito de función es un cociente.

41
00:03:25,199 --> 00:03:32,039
Luego tenemos que hacer la derivada del cociente, que sería la derivada del numerador, que es un producto, ¿vale?

42
00:03:32,039 --> 00:03:45,379
Luego primero tenemos aquí la derivada del numerador que es derivada de x que es 1 por el logaritmo sin derivar más x por la derivada del logaritmo neperiano que es 1 partido por x.

43
00:03:45,819 --> 00:03:50,419
Esto es la derivada del numerador, luego esto hay que multiplicarlo por el denominador.

44
00:03:51,879 --> 00:03:59,120
Menos el numerador sin derivar, x logaritmo neperiano de x, por la derivada del denominador que es 2x.

45
00:03:59,120 --> 00:04:06,939
y todo ello dividido por el denominador al cuadrado, por x al cuadrado más 1.

46
00:04:08,159 --> 00:04:12,659
Vamos a intentar ponerlo un poquito mejor.

47
00:04:13,719 --> 00:04:16,899
Esto sería logaritmo, voy a multiplicar por el x al cuadrado,

48
00:04:18,120 --> 00:04:22,100
sí, lo voy a multiplicar para que nos quede, la verdad es que no haría falta en un principio,

49
00:04:23,240 --> 00:04:26,279
porque lo que yo quiero estudiar son los límites,

50
00:04:26,279 --> 00:04:28,459
entonces simplemente lo podríamos ir sustituyendo,

51
00:04:28,459 --> 00:04:48,639
Pero bueno, para que nos quede mejor, lo opero y me quedaría logaritmo neperiano de x más 1, o 1 más logaritmo neperiano de x, este más 1 no está dentro del logaritmo, ¿vale? Esto multiplicado por x cuadrado más 1 menos 2x cuadrado logaritmo neperiano de x.

52
00:04:48,639 --> 00:04:50,899
se me ha ido arriba

53
00:04:50,899 --> 00:04:54,160
logaritmo neperiano de x

54
00:04:54,160 --> 00:04:59,319
lo siento pero me resulta un poco complicado

55
00:04:59,319 --> 00:05:00,740
y se me va todo hacia arriba, vale

56
00:05:00,740 --> 00:05:02,560
no lo consigo hacer recto, aquí se me ha olvidado

57
00:05:02,560 --> 00:05:04,560
hemos dicho por esto al cuadrado

58
00:05:04,560 --> 00:05:05,879
y no sé cuándo se me ha borrado

59
00:05:05,879 --> 00:05:08,040
o a lo mejor es que no lo he terminado de poner

60
00:05:08,040 --> 00:05:10,879
partido por x cuadrado más 1

61
00:05:10,879 --> 00:05:12,079
al cuadrado

62
00:05:12,079 --> 00:05:14,319
ojo, no puedo eliminar

63
00:05:14,319 --> 00:05:16,800
uno del denominador con el de arriba

64
00:05:16,800 --> 00:05:18,660
porque no está en el segundo sumando

65
00:05:18,660 --> 00:05:20,819
lo que sí que puedo hacer es multiplicar

66
00:05:20,819 --> 00:05:28,639
el logaritmo de x más 1 por el x cuadrado más 1 porque lo podría simplificar con el otro valor, ¿vale?

67
00:05:29,879 --> 00:05:36,379
Pero también lo puedo dejar así, sin operar, y así esto sería cuando la x es mayor que 1.

68
00:05:36,920 --> 00:05:40,740
Y ahora, ¿qué significa? Porque si no vamos a hacer mucho cálculo.

69
00:05:41,100 --> 00:05:48,000
¿Qué significa que la función sea derivable en x igual a 1?

70
00:05:48,000 --> 00:05:56,860
Pues esto lo que quiere decir es que la derivada en 1 por la izquierda tiene que ser igual a la derivada en 1 por la derecha.

71
00:05:57,860 --> 00:05:59,319
Voy a subir un poquito.

72
00:06:01,300 --> 00:06:02,860
Vamos a ir calculando estos valores.

73
00:06:06,519 --> 00:06:16,399
F' de 1 por la izquierda es el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de la derivada por la izquierda,

74
00:06:16,399 --> 00:06:20,660
es decir, de elevado a x más x por elevado a x.

75
00:06:21,139 --> 00:06:26,339
Y esto sería e más e, es decir, 2e.

76
00:06:27,800 --> 00:06:31,300
Y ahora calculamos la derivada de 1 por la derecha,

77
00:06:32,019 --> 00:06:36,420
que es el límite cuando x tiende a 1 por la derecha

78
00:06:36,420 --> 00:06:38,939
de todo lo que acababa de calcular arriba.

79
00:06:38,939 --> 00:06:49,100
Logaritmo neperiano de x más 1 por x cuadrado más 1 menos 2

80
00:06:49,100 --> 00:06:58,519
x cuadrado logaritmo neperiano de x partido de x cuadrado más 1 al cuadrado

81
00:06:58,519 --> 00:07:01,800
Ojo, si al hacer este límite tuviéramos una determinación

82
00:07:01,800 --> 00:07:05,220
sí que tendríamos que operarlo para que nos resultara más sencillo

83
00:07:05,220 --> 00:07:10,779
Pero en este caso, si sustituyo la x por 1, me queda logaritmo de 1, que es 0, ¿vale?

84
00:07:11,079 --> 00:07:20,259
0 más 1 es 1, 1 más 1 es 2, me queda 2, menos logaritmo de 1 vuelve a ser 0, luego me queda 2 menos 0,

85
00:07:20,879 --> 00:07:24,740
y abajo que me queda 1 más 1 es 2, al cuadrado es 4.

86
00:07:25,699 --> 00:07:27,759
Es decir, si no me he equivocado, me queda un medio.

87
00:07:28,120 --> 00:07:32,720
Pero ¿qué ocurre? Que estos valores, dos valores que he calculado son distintos,

88
00:07:32,720 --> 00:07:44,329
lo que significa es que f de x no es derivable en x igual a 1, ¿vale?

89
00:07:44,569 --> 00:07:46,649
Es continua, pero no es derivable.

90
00:07:47,250 --> 00:07:52,250
Vamos a calcular ahora el apartado b, para ello voy a borrar primero la pizarra.

91
00:07:52,949 --> 00:07:57,850
Vale, ya he borrado y ahora lo que me están pidiendo es calcular el límite

92
00:07:57,850 --> 00:08:02,089
cuando x tiende a más infinito, es decir, para los mayores que 1

93
00:08:02,089 --> 00:08:18,649
Tengo que coger la función de abajo, luego tengo que calcular el límite cuando x tiende a más infinito de e más x logaritmo neperiano de x partido de x cuadrado más 1.

94
00:08:19,550 --> 00:08:31,389
Si yo sustituyo, esto sería, esto es el número e, es un número fijo, pero arriba me quedaría logaritmo de infinito es infinito, infinito por infinito es infinito y abajo infinito.

95
00:08:31,389 --> 00:08:35,330
luego esto tiene una determinación del tipo infinito partido por infinito

96
00:08:35,330 --> 00:08:39,769
entonces lo que voy a hacer aquí es aplicar la regla de L'Hôpital

97
00:08:39,769 --> 00:08:47,129
también podría haber puesto que el límite de una suma es la suma de los límites

98
00:08:47,129 --> 00:08:49,549
y esto me hubiera quedado que es directamente E

99
00:08:49,549 --> 00:08:55,190
pero vamos a aplicarlo directamente así y vamos a aplicar a ver cuánto sería

100
00:08:55,190 --> 00:08:59,330
si yo aplico L'Hôpital me queda que la derivada de E es 0

101
00:08:59,330 --> 00:09:05,830
y me quedaría simplemente, bueno, límite cuando x tiende a más infinito de,

102
00:09:06,769 --> 00:09:12,090
ah, bueno, no, no lo podemos hacer así porque tendríamos que,

103
00:09:13,450 --> 00:09:17,990
tendríamos que, para operar la regla del hospital, primero tendríamos que hacer la suma,

104
00:09:18,049 --> 00:09:21,669
no me daba cuenta, que es derivada del numerador y del denominador,

105
00:09:21,669 --> 00:09:24,730
entonces lo que voy a hacer es pensar que el límite de una suma,

106
00:09:25,110 --> 00:09:26,750
lo que os he dicho es la suma de los límites,

107
00:09:26,750 --> 00:09:36,549
Entonces el límite del primero, es decir, a ver, perdona, que es que no me he dado cuenta, voy a quitar esto último y vuelvo al principio, ¿vale?

108
00:09:39,710 --> 00:09:51,110
Porque está sumando, es decir, si yo calculo este límite, esto sería e más infinito partido por infinito, ¿vale?

109
00:09:51,110 --> 00:09:58,029
Esto sería e más infinito partido por infinito, porque el límite de una suma es la suma de los límites.

110
00:09:58,029 --> 00:10:12,570
Entonces lo que voy a poner es que esto es igual a e, que ya está calculado la primera, más el límite cuando x tiende a infinito de x logaritmo neperiano de x partido de x cuadrado más 1.

111
00:10:12,889 --> 00:10:16,929
Ahora sí, ¿vale? Porque si no tendríamos que haber operado para poder hacer l'Hôpital.

112
00:10:17,330 --> 00:10:23,210
Y ahora, para este segundo límite, porque el otro ya lo tengo, aplico aquí la regla de l'Hôpital.

113
00:10:23,210 --> 00:10:33,820
Aplico el hospital y me quedaría L que tengo más el límite cuando x tiende a infinito de

114
00:10:33,820 --> 00:10:41,299
Derivada del numerador es un producto derivada de x que es 1 por el logaritmo neperiano de x

115
00:10:41,299 --> 00:10:47,980
Más la derivada, o sea el primero sin derivar que es x por la derivada del logaritmo que es 1 partido por x

116
00:10:47,980 --> 00:10:52,980
Y en el denominador me queda la derivada de x cuadrado más 1 que es 2x

117
00:10:52,980 --> 00:10:58,860
Vamos a simplificar un poquito

118
00:10:58,860 --> 00:11:05,460
Me queda que esto es igual a e más el límite cuando x tiende a infinito de

119
00:11:05,460 --> 00:11:08,840
Arriba me queda logaritmo neperiano de x

120
00:11:08,840 --> 00:11:11,120
x por 1 partido por x es 1

121
00:11:11,120 --> 00:11:14,799
Por lo tanto me queda logaritmo neperiano de x más 1

122
00:11:14,799 --> 00:11:17,059
Y abajo me queda 2x

123
00:11:17,059 --> 00:11:21,399
Pero si yo ahora sustituyo, arriba me sigue quedando infinito

124
00:11:21,399 --> 00:11:30,019
y abajo también, luego me siga quedando un infinito partido por infinito, pues no pasa nada, volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital, ¿vale?

125
00:11:30,039 --> 00:11:40,779
Es lo que os dije, que muchas veces hay que aplicarla más de una vez, y esto será e más el límite cuando x tiende a infinito de derivada del numerador,

126
00:11:40,779 --> 00:12:10,059
El logaritmo, la derivada del logaritmo neperiano es 1 partido por x, derivada de 1 es 0 y la derivada de 2x es 2, luego esto es e más el límite cuando x tiende a infinito de, hacemos los extremos entre medios y esto es 1 partido de 2x, si yo sustituyo la x por infinito que tengo 1 partido por infinito que es 0, luego esto sería e más 0, ¿vale?

127
00:12:10,059 --> 00:12:16,279
Pongo el 0 para que veáis que es el límite de la derecha y esto sería y ya estaría calculado el límite.