1 00:00:00,000 --> 00:00:04,599 Hola a todos, bienvenidos a esta clase en la que hablaremos del triángulo de Pascal, 2 00:00:04,780 --> 00:00:09,939 que como podéis ver es un triángulo numérico, un triángulo formado por estos números, números naturales. 3 00:00:10,500 --> 00:00:14,179 Bueno, esto realmente solo es una parte del triángulo de Pascal, porque el triángulo de Pascal es infinito, 4 00:00:14,259 --> 00:00:16,980 tiene infinitas filas, yo aquí solo os he puesto las siete primeras, ¿de acuerdo? 5 00:00:17,760 --> 00:00:23,879 Pero bueno, si os fijáis un poco atentamente, creo que podéis averiguar cuál podría ser la fila siguiente, 6 00:00:24,399 --> 00:00:27,640 qué sistema he seguido yo para rellenar este triángulo. 7 00:00:27,640 --> 00:00:29,780 Sería un buen momento para pausar el vídeo y pensarlo. 8 00:00:30,960 --> 00:00:35,640 Bueno, los más curiosos ya habrán descubierto que este 2, por ejemplo, viene de sumar 1 más 1, 9 00:00:35,759 --> 00:00:38,640 este 4 es 3 más 1, este 15 es 5 más 10... 10 00:00:39,420 --> 00:00:42,460 Es decir, cada elemento se halla sumando los dos que tiene arriba. 11 00:00:42,560 --> 00:00:46,700 De esa manera, la siguiente fila sería 1, 7, 21, 35, etcétera, etcétera. 12 00:00:46,780 --> 00:00:50,320 Bien, todos estos números que tenemos aquí son números combinatorios que ya hemos estudiado. 13 00:00:50,960 --> 00:00:54,539 ¿De acuerdo? Por ejemplo, este número, este 3, ¿de dónde surge? 14 00:00:54,539 --> 00:00:58,039 En los triángulos de Pascal todo se empieza a contar a partir de 0 15 00:00:58,039 --> 00:01:00,560 Así que esta sería fila 0, 1, 2, 3 16 00:01:00,560 --> 00:01:01,399 Fila 3 17 00:01:01,399 --> 00:01:05,359 Y dentro de esa fila hay elemento 0, 1, 2 18 00:01:05,359 --> 00:01:09,739 Así que este sería el elemento 3 sobre 1 19 00:01:09,739 --> 00:01:12,359 3 sobre 1 que como sabemos es 20 00:01:12,359 --> 00:01:17,920 3 factorial partido de 1 factorial, 2 factorial 21 00:01:17,920 --> 00:01:19,400 Cuyo resultado efectivamente es 3 22 00:01:19,400 --> 00:01:23,840 Es decir, ¿cuántos grupos de un elemento se puede hacer en un total de 3 elementos? 23 00:01:23,840 --> 00:01:26,420 combinaciones, ya lo vimos en combinatoria 24 00:01:26,420 --> 00:01:29,420 de ese modo, cualquier otro elemento del triángulo de Pascal 25 00:01:29,420 --> 00:01:32,159 por ejemplo este, que sería el elemento 2 26 00:01:32,159 --> 00:01:33,780 recordad que empezamos a contar desde cero 27 00:01:33,780 --> 00:01:36,420 el elemento 2 de la fila 6 28 00:01:36,420 --> 00:01:41,680 es el número de parejas que se puede formar 29 00:01:41,680 --> 00:01:43,379 con 6 elementos diferentes 30 00:01:43,379 --> 00:01:45,939 se pueden formar 6 sobre 2 31 00:01:45,939 --> 00:01:48,739 15 parejas diferentes 32 00:01:48,739 --> 00:01:51,879 bueno, aparte de esta explicación evidente en la combinatoria 33 00:01:51,879 --> 00:01:57,340 El triángulo de Piscual tiene muchísimas propiedades, podéis echar un vistazo a los números que lo forman y encontrar cientos de ellas 34 00:01:57,340 --> 00:02:00,280 La primera diagonal, como podéis ver, está formada exclusivamente por unos 35 00:02:00,280 --> 00:02:03,980 Pero en la segunda diagonal vemos los números naturales, uno detrás de otro 36 00:02:03,980 --> 00:02:10,800 Esta fila, si os fijáis, son los llamados números triangulares, que se caracterizan porque forman triángulos 37 00:02:10,800 --> 00:02:13,879 Uno, si le sumo dos, tengo el tres, y tengo un triángulo 38 00:02:13,879 --> 00:02:15,560 Si le sumo tres, tengo el seis 39 00:02:15,560 --> 00:02:17,379 Si le sumo cuatro, tengo el diez 40 00:02:17,379 --> 00:02:21,599 Si le sumo cinco, tengo el quince, y así sucesivamente voy formando un triángulo cada vez más grande 41 00:02:21,599 --> 00:02:33,819 Bueno, hay muchísimas propiedades que no puedo ponerme a contar aquí, y aparte de esto, también se aplica a algunos experimentos que ya hemos visto, como los realizados con monedas, experimentos aleatorios. 42 00:02:34,580 --> 00:02:44,219 Fijaos qué pasa si yo lanzo una moneda al aire. En uno de los casos sale cara, en uno de los casos sale cruz, pero qué pasa si ampliamos un poco y tiramos dos monedas, segunda fila del triángulo de Pascal. 43 00:02:44,219 --> 00:02:52,840 Bueno, pues que en uno de los casos salen dos cruces, en uno de los casos dos caras y dos casos intermedios más probables en los que salen una cara y una cruz. 44 00:02:52,939 --> 00:02:54,979 Esto lo puedo aumentar todas las veces que quiera. 45 00:02:55,439 --> 00:03:06,599 Por ejemplo, fijaos que si yo lanzo tres monedas, fila tres, en uno de los casos, el más difícil, salen tres caras, en uno de los casos salen tres cruces y tres casos salen dos caras y una cruz, dos cruces y una cara. 46 00:03:06,719 --> 00:03:12,159 Así que vemos que este triángulo tiene que ver con la combinatoria, con la probabilidad y además tiene toda una serie de propiedades interesantes. 47 00:03:12,159 --> 00:03:26,340 Entonces, finalmente, no puedo dejar de hablar del binomio de Newton, porque ya hemos hablado de las igualdades notables, hemos hablado del cuadrado de una suma, del cubo de una suma, pero es que en el triángulo de Pascal están todas las igualdades notables. 48 00:03:26,340 --> 00:03:40,020 Si os fijáis, fila 2, ¿cuál es el cuadrado de una suma? Es el cuadrado del primero más el doble del cuadrado por el segundo más el cuadrado del segundo. Fijaos que estos coeficientes, 1, 2, 1, forman la fila 2 del triángulo de Pascal. 49 00:03:40,020 --> 00:03:54,360 Del mismo modo, el cubo de una suma es el cubo del primero más el triple del etcétera, etcétera, bueno, ya lo sabemos, ¿verdad? Y todos estos coeficientes también los puedo ver 1, 3, 3, 1 en el triángulo de Pascal. 50 00:03:54,360 --> 00:04:21,180 Es decir, que solamente se va a dar este triángulo sin necesidad de memorizar todas y cada una de las igualdades notables, nunca hemos dado la potencia cuarta de una suma, pero echando un vistazo al triángulo de Pascal ya vemos que se tratará del primer elemento, la verdadera cuarta, más cuatro veces el cubo del primero por el segundo, más seis veces el cuadrado, etcétera, etcétera, etcétera, y así la potencia quinta, la sexta y todas las que yo quiera. 51 00:04:21,180 --> 00:04:28,060 Como veis, un triángulo muy interesante con aplicaciones no solo en la combinatoria, sino también en la probabilidad y en el álgebra.