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00:00:02,540 --> 00:00:11,439
En el siguiente vídeo vamos a estudiar las propiedades del producto vectorial de dos

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00:00:11,439 --> 00:00:16,940
vectores en R3. En anteriores vídeos habíamos visto cómo este producto vectorial se calcula

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00:00:16,940 --> 00:00:22,039
mediante un determinante 3x3. Bueno, pues muchas de estas propiedades se deducen de

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00:00:22,039 --> 00:00:27,559
las propiedades de los determinantes. La primera, por ejemplo, la propiedad anticomutativa.

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00:00:28,160 --> 00:00:29,940
u por v es igual a menos v por u.

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00:00:30,899 --> 00:00:33,719
Esto es porque si cambiamos de orden dos filas en un determinante,

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00:00:34,179 --> 00:00:35,640
pues el determinante cambia de signo.

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00:00:36,539 --> 00:00:40,640
Se puede usar, por ejemplo, si conocemos un producto y queremos calcular el otro.

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00:00:41,399 --> 00:00:42,880
Bastará con cambiar un signo.

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00:00:43,619 --> 00:00:44,560
La segunda propiedad.

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00:00:45,759 --> 00:00:47,840
Al multiplicar una fila de un determinante por un número,

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00:00:47,840 --> 00:00:49,799
el determinante queda multiplicado por ese número.

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00:00:50,560 --> 00:00:51,060
Lo sabemos.

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00:00:51,939 --> 00:00:54,920
El producto vectorial, pues funcionará de una manera parecida.

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00:00:55,619 --> 00:01:00,500
Esto es muy útil para sacar factor común en el producto vectorial y trabajar con números más sencillos.

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00:01:01,640 --> 00:01:02,520
Ahí tenéis un ejemplo.

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00:01:03,920 --> 00:01:08,420
Una tercera propiedad dice que el producto vectorial es distributivo con la suma de vectores.

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00:01:08,819 --> 00:01:13,180
Esto es, podemos quitar paréntesis con toda la tranquilidad del mundo.

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00:01:13,180 --> 00:01:16,239
Pero, ¿qué vector es exactamente el producto vectorial de u por v?

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00:01:16,379 --> 00:01:19,079
Es decir, ¿cuál es su dirección, su sentido y su módulo?

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00:01:19,079 --> 00:01:25,780
Bueno, pues el vector u por v es perpendicular a u y a v por construcción. Lo hemos hecho así.

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00:01:26,700 --> 00:01:29,980
Su módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman.

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00:01:30,400 --> 00:01:37,159
Y esta propiedad es un poco difícil de demostrar, bastantes cuentas, pero es muy importante.

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00:01:37,799 --> 00:01:42,239
Os pongo un link en los comentarios con un vídeo de su demostración.

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00:01:43,120 --> 00:01:50,400
Esta propiedad implica, esta propiedad fundamental, que el producto vectorial u por v se anula precisamente si los vectores son proporcionales,

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00:01:50,480 --> 00:01:53,280
pues formarán un ángulo de 0 grados y el seno de 0 es 0.

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00:01:53,599 --> 00:01:59,060
Por ejemplo, el producto vectorial de 1, 1, 1 por 4, 4, 4, vale sin hacer cuentas 0.

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00:02:00,519 --> 00:02:04,280
Bueno, sabemos la dirección y el módulo de u por v, pero ¿cuál será su sentido?

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00:02:04,859 --> 00:02:11,080
Bueno, debemos usar para saber el sentido, cuál de los dos sentidos dentro de la misma dirección, la regla de la mano derecha.

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00:02:11,719 --> 00:02:15,699
Hacemos un movimiento con los dedos enroscando el vector u hacia el vector v.

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00:02:16,240 --> 00:02:21,240
El dedo gordo estará apuntando hacia el sentido de u por v.

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00:02:21,719 --> 00:02:23,699
El otro sentido será el opuesto.

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00:02:24,659 --> 00:02:31,319
Por último, vamos a explicar una interpretación geométrica del producto vectorial que nos suele venir preguntada en muchos problemas.

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00:02:31,580 --> 00:02:40,819
Si queremos calcular el área del paralogramo que determinan u y v, debemos considerar su altura, h, pues el área será base por altura.

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00:02:41,080 --> 00:02:49,120
La base coincide con el módulo de uno de los vectores del vector u y la altura por trigonometría con el módulo de v por el seno del ángulo que forman.

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00:02:49,560 --> 00:02:53,319
Esto es exactamente el módulo del producto vectorial de u por v.

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00:02:53,719 --> 00:03:01,819
En definitiva, el módulo del producto vectorial u por v coincide con el área del paralelogramo determinado por los vectores u y v.

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00:03:02,319 --> 00:03:05,740
Bueno, vamos a resolver ahora un ejercicio utilizando las propiedades del producto vectorial.

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00:03:05,740 --> 00:03:18,900
En este ejercicio nos piden calcular una serie de productos vectoriales y nos dan tres vectores. En este ejercicio se ve que vamos a tener que aplicar las propiedades del producto vectorial que hemos visto en el vídeo.

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00:03:18,900 --> 00:03:33,219
Primero de todo vamos a calcular u por v, que es lo que nos piden. Es decir, tenemos que calcular este producto, menos 1, 2 menos 1, multiplicado vectorialmente por el 0, 3 menos 1.

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00:03:33,219 --> 00:03:49,120
¿Cómo? Pues utilizando el determinante ijk, ponemos en la primera fila el u, en la tercera fila el v y ahora desarrollamos.

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00:03:49,120 --> 00:04:04,539
Podemos ponerlo directamente como vector desarrollando por primera fila ya. ¿Qué quedaría? Pues aquí quitamos esta columna y nos queda 2 menos 1, 3 menos 1.

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00:04:04,539 --> 00:04:27,720
La siguiente, quitamos esta columna de aquí, quitamos esta y tendríamos menos uno menos uno, cero menos uno, pero ojo, aquí hay que añadir un signo menos que no se nos olvide, porque el adjunto de este término, como ocupa el lugar fila uno, columna dos, uno más dos tres, impar, luego hay que poner ahí un signo menos.

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00:04:27,720 --> 00:04:41,980
Después, aquí quitamos esta columna y tendríamos menos 1, 2, 0, 3. Así de sencillo. Luego el producto vectorial quedaría 2 por menos 1, menos 2, menos menos 3, menos 2 más 3, 1.

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00:04:41,980 --> 00:04:59,920
Ahora, 1 menos 0, 1 cambiado de signo, menos 1. Menos 3 cambiado de signo, no, sin cambiar de signo, menos 3. Y este es u por v. Ahora hay una serie de cosas que podemos hacer aplicando las propiedades de las potencias.

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00:04:59,920 --> 00:05:18,899
Esta sería el apartado A. Para el apartado B, ¿cuánto valdrá v por u? Pues como v por u es por la propiedad antisimétrica, esto va a ser menos u por v. Es decir, va a ser menos 1, menos 1, menos 3, pues menos 1, 1, 3. Así de fácil.

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00:05:18,899 --> 00:05:30,459
Siguiente ejercicio, 2u por v, apartado c. 2u por v, pues el 2 lo podemos sacar fuera y hay que multiplicar u por v.

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00:05:31,399 --> 00:05:42,379
u por v lo conocemos y eso multiplicado, u por v es este vector, multiplicado por 2 y ya está.

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00:05:42,379 --> 00:05:54,870
Para el apartado D lo mismo. Para el apartado D, u por 2v, el 2 también lo podemos sacar fuera y va a valer exactamente lo mismo.

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00:05:56,370 --> 00:06:00,949
Da igual si multiplicamos por 2 el primer vector o el segundo, el resultado es lo mismo.

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00:06:01,689 --> 00:06:07,350
Para calcular el apartado E necesitamos calcular u por w porque no lo conocemos. Vamos con él.

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00:06:07,709 --> 00:06:15,430
Pero aquí hay que pararse y mirar. Fijaos que estos dos vectores son proporcionales. ¿Por qué?

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00:06:15,430 --> 00:06:41,259
Porque el W es igual a menos 4 veces el vector U, es decir, estamos calculando U por menos 4U. Y como este vector U por U es 0, ¿por qué? Porque forma en un ángulo de 0º, seno de 0, 0, recordad, vectores proporcionales, producto vectorial 0.

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00:06:41,259 --> 00:06:54,620
Directamente esto es 0 sin hacer una sola cuenta. Entonces, como el vector u por w es 0, pues probablemente u por v multiplicado por w, vamos a ver cuánto vale. Enseguida lo podemos ver.

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00:06:54,620 --> 00:07:14,639
Vamos con ello. U por v multiplicado por w. Si cambiamos de orden tendremos v por u multiplicado por w. Lo que hemos hecho es cambiar de orden, cambiar de signo.

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00:07:14,639 --> 00:07:37,029
Y ahora agrupamos porque podemos agrupar, cambiar los paréntesis de orden, es la propiedad que nos dice que podemos multiplicar de izquierda a derecha siempre pero en el orden en el que queramos y este producto vale por cero, con lo cual menos v por cero, cero.

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00:07:37,649 --> 00:07:45,089
Ya está, así de sencillo. ¿Qué nos falta por calcular? Los módulos, el módulo de u por v y el módulo de v por u. Vamos con ello.

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00:07:49,360 --> 00:08:04,420
Módulo de u por v. Pues va a ser la propiedad del módulo. Módulo de u por módulo de v por el seno del ángulo que forman u y v.

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00:08:05,920 --> 00:08:17,319
Entonces, esto se puede hacer así o se puede sacar directamente, como tenemos u por v, módulo de este vector. Más sencillo. No nos compliquemos la vida.

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00:08:17,319 --> 00:08:29,120
módulo de u por v, pues va a ser raíz cuadrada de 1 más 1 más 3 al cuadrado, 9. Es decir, raíz de 11 y ya está. Fácil.

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00:08:31,350 --> 00:08:39,990
Y por último, el apartado h nos pide calcular el módulo de v por u, pero tened en cuenta que v por u y u por v son el mismo vector cambiado de signo,

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00:08:39,990 --> 00:08:58,509
Así que este necesariamente tiene que coincidir con el módulo de v por u. Porque ya digo que se verifica que u por v es igual a menos v por u. Lo tenemos aquí. Luego sus módulos coinciden. Luego en el apartado h también valdría raíz de 11.

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00:08:59,110 --> 00:09:06,549
Y ya lo tenemos. Espero que os haya resultado sencillo. Así se aplican las propiedades del producto vectorial. Nos vemos en futuros vídeos. Un saludo.