1
00:00:01,899 --> 00:00:09,220
Hola, venga, en este vídeo vamos a ver los distintos tipos de matrices que vamos a encontrar, que vamos a estudiar en este curso.

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00:00:10,900 --> 00:00:19,780
Bueno, si os dais cuenta que hay un montón de nombres, pero vais a ver que la verdad que luego son bastante intuitivos entender cuál es cada tipo de matriz.

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00:00:20,780 --> 00:00:29,899
Venga, vamos a ir empezando definiendo los conceptos más sencillos que son el de matriz fila, matriz columna y matriz cuadrada.

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00:00:29,899 --> 00:00:36,679
Cuando hablamos de matriz fila es lógico pensar que va a ser una matriz que está compuesta por una única fila

5
00:00:36,679 --> 00:00:43,340
Tiene varios elementos dispuestos en varias columnas pero todos ellos en una única fila

6
00:00:43,340 --> 00:00:53,039
Por eso sus elementos, si veis en la nomenclatura general, son el a1-1, a1-2 y así hasta el último que será a1-n

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00:00:53,039 --> 00:01:00,039
¿Vale? Está formada por n columnas, pero solo una única fila, por eso el primer subíndice es siempre 1.

8
00:01:01,219 --> 00:01:04,159
Contrario a esta, pues encontraríamos la matriz columna, ¿vale?

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00:01:04,219 --> 00:01:10,019
Una matriz columna es una matriz que está formada por varios elementos dispuestos en varias filas,

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00:01:10,359 --> 00:01:13,019
pero todos ellos en una única columna, ¿vale?

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00:01:13,540 --> 00:01:19,319
Por eso hablaríamos del elemento B sub 1, 1, B sub 2, 1, segunda fila, primera columna,

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00:01:19,319 --> 00:01:26,579
de sub 3 1 tercera fila primera columna y así sucesivamente por último el concepto de matriz

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00:01:26,579 --> 00:01:32,140
cuadrada vale va a salir muchísimo a lo largo del curso vamos a trabajar sobre todo con matrices

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00:01:32,140 --> 00:01:40,579
cuadradas y muchas de las de los tipos que estaban en la primera diapositiva vale si veis tienen un

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00:01:40,579 --> 00:01:46,859
asterisco porque son matrices que sólo pueden ser cuadradas vale descripciones o características

16
00:01:46,859 --> 00:01:50,219
que tienen algunas matrices cuadradas, no otro tipo de matriz.

17
00:01:50,920 --> 00:01:59,140
Entonces, bueno, las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas y de columnas, ¿vale?

18
00:02:00,599 --> 00:02:04,379
Decimos que son de orden n o de dimensión n por n, ¿vale?

19
00:02:04,799 --> 00:02:07,599
Mismo número de filas y de columnas, ¿de acuerdo?

20
00:02:08,539 --> 00:02:11,680
Venga, si vais ahora con los ejemplos que lo vamos a entender mejor, pues bueno,

21
00:02:11,680 --> 00:02:16,680
por ejemplo, una matriz fila sería esta, tiene tres columnas pero solo una fila,

22
00:02:16,860 --> 00:02:27,580
Una matriz columna sería esta formada por cuatro elementos dispuestos en cuatro filas pero solo en una columna y aquí está lo más interesante pues dos ejemplos de matrices cuadradas.

23
00:02:27,780 --> 00:02:39,960
En este caso tenemos una matriz cuadrada de orden 2 o de dimensión 2x2 que significa que tenemos los elementos ordenados en dos filas y a su vez en dos columnas.

24
00:02:39,960 --> 00:02:48,719
Aquí tenemos otro ejemplo que sería una matriz cuadrada de orden 3 donde están sus elementos dispuestos en tres filas y en tres columnas.

25
00:02:50,389 --> 00:02:52,949
La siguiente matriz que vamos a ver es la matriz nula.

26
00:02:54,490 --> 00:03:01,870
Ya sabéis que nulo tiene que ver con el cero, entonces una matriz nula que denotamos por O mayúscula es una matriz donde todos sus elementos son cero.

27
00:03:02,310 --> 00:03:06,949
Como ejemplo tendríamos aquí la matriz nula de orden 2 y la matriz nula de orden 3.

28
00:03:06,949 --> 00:03:16,289
No tienen por qué ser matrices cuadradas, podrían tener distinto número de filas y de columnas, pero bueno, aquí el ejemplo es el que es.

29
00:03:18,110 --> 00:03:31,830
Para poder estudiar las siguientes matrices, la matriz diagonal, escalar, identidad y la matriz triangular, necesitamos explicar antes qué es la diagonal principal de una matriz cuadrada.

30
00:03:31,830 --> 00:03:34,469
mirad, cuando hablamos de matrices cuadradas

31
00:03:34,469 --> 00:03:37,129
que tenemos el mismo número de filas y de columnas

32
00:03:37,129 --> 00:03:41,569
bueno, pues como tenemos los elementos dispuestos en un cuadrado

33
00:03:41,569 --> 00:03:44,409
podemos trazar las diagonales del cuadrado, ¿vale?

34
00:03:45,210 --> 00:03:46,990
el cuadrado tendría dos diagonales

35
00:03:46,990 --> 00:03:49,830
la que va desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha

36
00:03:49,830 --> 00:03:51,490
y la contraria, ¿vale?

37
00:03:52,050 --> 00:03:55,949
pues a esa diagonal que va desde el primer elemento que está arriba a la izquierda

38
00:03:55,949 --> 00:03:57,710
he dicho derecha pero quería decir izquierda

39
00:03:57,710 --> 00:04:08,669
Si sigo trazando todos sus elementos hasta el último que está abajo a la derecha, a esa diagonal que se formaba por esos elementos se le llama diagonal principal.

40
00:04:09,750 --> 00:04:16,829
Daos cuenta que en la diagonal principal los elementos ocupan una posición donde coincide la fila y la columna.

41
00:04:17,250 --> 00:04:23,490
El primer elemento está en la primera fila, primera columna, pero el segundo está en la segunda fila y la segunda columna.

42
00:04:23,490 --> 00:04:41,350
Yo creo que lo vais a ver mejor aquí, en el ejemplo de esta matriz de orden 4, donde veis que para trazar la diagonal principal he cogido el primer elemento y he ido hasta el último y este está en la posición 1, 1, fila 1, columna 1, fila 2, columna 2, fila 2, columna 3 y fila 2, columna 4.

43
00:04:41,810 --> 00:04:43,529
Eso es la diagonal principal.

44
00:04:43,529 --> 00:04:54,170
La otra diagonal, la que trazaríamos desde el elemento que está más arriba a la derecha hasta el que está más abajo a la izquierda, se llama diagonal secundaria, ¿vale?

45
00:04:54,470 --> 00:05:06,009
Está formada por el elemento que está en la primera fila y en la última columna y los siguientes elementos están situados de tal manera que la fila se incrementa pero la columna se disminuye, ¿vale?

46
00:05:06,009 --> 00:05:11,970
este sería el elemento 1, 4, este el 2, 3, aumento fila pero disminuido columna

47
00:05:11,970 --> 00:05:18,689
este es el elemento que está en la fila 3, columna 2 y por último el elemento que está en la fila 4, columna 1

48
00:05:18,689 --> 00:05:24,329
El concepto de traza es un concepto que este año no creo que lleguemos a ver

49
00:05:24,329 --> 00:05:30,550
pero bueno, para que sepáis que existe, se le llama traza de una matriz a la suma de los elementos de la diagonal principal

50
00:05:30,550 --> 00:05:36,329
Una vez que tenemos controlado qué es la diagonal principal de una matriz cuadrada

51
00:05:36,329 --> 00:05:42,209
vamos a estudiar qué es una matriz diagonal y unos tipos especiales de matrices diagonales

52
00:05:42,209 --> 00:05:49,790
Bueno, si la matriz se llama diagonal cabe esperar que la diagonal principal va a tener bastante importancia en este tipo de matriz

53
00:05:49,790 --> 00:05:58,509
En una matriz diagonal todos los elementos que no son los elementos que forman parte de la diagonal principal son cero

54
00:05:58,509 --> 00:06:00,189
Así de sencillo

55
00:06:01,069 --> 00:06:05,949
Tienen esta forma, es decir, los elementos que están en la diagonal principal tendrán cierto valor,

56
00:06:06,230 --> 00:06:11,970
pero todos los elementos que estén fuera de la diagonal principal, mirad en el ejemplo, valen 0.

57
00:06:12,410 --> 00:06:12,750
¿De acuerdo?

58
00:06:14,050 --> 00:06:19,009
Si da la casualidad de que todos los elementos que están en la diagonal principal,

59
00:06:19,250 --> 00:06:22,769
bueno, estamos en una matriz diagonal y todos los elementos tienen el mismo valor,

60
00:06:22,910 --> 00:06:24,970
estaríamos hablando de una matriz escalar.

61
00:06:25,889 --> 00:06:29,910
Escalar en matemáticas es sinónimo de número real, de cualquier número, ¿vale?

62
00:06:29,910 --> 00:06:34,449
Los que estamos acostumbrados a trabajar en educación secundaria, ¿vale?

63
00:06:34,910 --> 00:06:40,470
Entonces, pues aquí, por ejemplo, un ejemplo de matriz escalar sería esta matriz cuadrada

64
00:06:40,470 --> 00:06:45,089
donde los elementos de la diagonal principal tienen un valor distinto de cero,

65
00:06:45,209 --> 00:06:48,610
los elementos fuera de la diagonal principal tienen un valor distinto de cero,

66
00:06:49,069 --> 00:06:52,029
pero es que además estos dos elementos tienen el mismo valor.

67
00:06:53,110 --> 00:06:57,269
Y vamos más allá, si es que nos encontramos con una matriz escalar

68
00:06:57,269 --> 00:07:00,410
donde todos los elementos de la diagonal principal valen lo mismo

69
00:07:00,410 --> 00:07:03,329
pero es que además este valor es exactamente 1

70
00:07:03,329 --> 00:07:06,310
estaremos hablando de la matriz identidad

71
00:07:06,310 --> 00:07:09,230
la matriz identidad es importantísima

72
00:07:09,230 --> 00:07:14,370
por ejemplo estaríamos hablando aquí de la matriz identidad de dimensión 3

73
00:07:14,370 --> 00:07:19,310
que es una matriz 3x3 donde los elementos de la diagonal principal valen 1

74
00:07:19,310 --> 00:07:28,990
y lo que voy a hacer aquí es cambiar y poner la nomenclatura que se suele usar

75
00:07:28,990 --> 00:07:36,889
en la que se escribe la I de matriz identidad y su BN hablando del orden de la matriz.

76
00:07:37,050 --> 00:07:44,750
En este caso, como es de dimensión 3, 3 por 3 es de orden 3, estaríamos hablando de la matriz I sub 3, ¿vale?

77
00:07:44,790 --> 00:07:45,790
Tiene el nombre propio.

78
00:07:48,139 --> 00:07:50,459
Vamos a estudiar ahora qué es una matriz triangular.

79
00:07:50,459 --> 00:07:59,459
Mirad, llamamos matriz triangular a otra matriz cuadrada en la que la diagonal principal tiene también bastante importancia.

80
00:07:59,459 --> 00:08:11,060
Daos cuenta lo que aquí pone, son matrices en las que todos los elementos que quedan por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos

81
00:08:11,060 --> 00:08:15,899
¿Vale? Son, como digo, matrices cuadradas como por ejemplo esta que tenemos aquí

82
00:08:15,899 --> 00:08:23,420
En la que si yo trazo la diagonal principal y me fijo en las dos partes que quedan, en las dos mitades que quedan

83
00:08:23,420 --> 00:08:36,019
Si me doy cuenta de que los elementos hacia arriba todos tienen valores distintos de 0, bueno, alguno podría ser 0, pero todos los valores que quedan por debajo son exactamente 0, ¿vale?

84
00:08:36,639 --> 00:08:46,580
Estaríamos hablando de una matriz triangular superior, le llamamos superior porque tiene valores por encima, ¿vale? Por debajo es nula, tiene valores nulos.

85
00:08:46,580 --> 00:08:53,039
mientras que si tenemos por ejemplo como esta matriz cuadrada de 4x4 de orden 4

86
00:08:53,039 --> 00:08:57,799
si me doy cuenta de que una vez que trazo la diagonal principal

87
00:08:57,799 --> 00:09:01,620
hacia arriba de la diagonal todos los elementos valen 0

88
00:09:01,620 --> 00:09:05,200
mientras que hacia abajo presentan otros valores

89
00:09:05,200 --> 00:09:08,860
estaría hablando de una matriz triangular inferior

90
00:09:08,860 --> 00:09:13,240
porque es por debajo donde los valores son valores, no son nulos

91
00:09:13,240 --> 00:09:15,340
los elementos no son nulos