1 00:00:00,820 --> 00:00:09,320 inconveniente en que grabe la clase, pues que me lo diga y dejemos de compartir la grabación, ¿de acuerdo? 2 00:00:09,619 --> 00:00:18,980 Bueno, esta clase es la repetición de la clase de lunes. La semana que viene, sí, bueno, 3 00:00:18,980 --> 00:00:33,049 entonces, a ver, la semana pasada me gustaría que quedara claro que es muy importante que se 4 00:00:33,049 --> 00:00:41,390 que sepáis el concepto de función, que sepáis calcular un dominio de funciones, que sepáis dibujar una recta y una parábola con todos sus elementos 5 00:00:41,390 --> 00:00:49,829 y lo que son las funciones definidas a trozos. No pondré unos trozos muy extraños, rectas, parábolas, que se siempre, 6 00:00:49,829 --> 00:01:10,930 o alguna cosa similar que podamos ver hoy y bueno, vamos al tema ya. Como función 7 00:01:10,930 --> 00:01:19,390 definida a trozos, en particular, os quiero explicar la función valor absoluto. Primero 8 00:01:19,390 --> 00:01:24,730 lo voy a hacer de una forma y luego de la forma que se supone que la barraca es lógica, 9 00:01:24,730 --> 00:01:27,269 pero quiero que 10 00:01:27,269 --> 00:01:32,459 veáis lo siguiente 11 00:01:32,459 --> 00:01:34,819 tenéis la función igual a valor absoluto 12 00:01:34,819 --> 00:01:35,579 de x más 2 13 00:01:35,579 --> 00:01:42,280 si yo tomo la función igual a valor 14 00:01:42,280 --> 00:01:43,219 absoluto de x 15 00:01:43,219 --> 00:01:48,909 yo sé que el valor 16 00:01:48,909 --> 00:01:49,989 absoluto de un número 17 00:01:49,989 --> 00:01:52,069 es el mismo número 18 00:01:52,069 --> 00:01:54,829 si x es 19 00:01:54,829 --> 00:01:56,209 mayor o igual que 0 20 00:01:56,209 --> 00:01:58,930 ¿qué ocurre si x 21 00:01:58,930 --> 00:01:59,989 es menor que 0? 22 00:01:59,989 --> 00:02:08,819 si x es menor que 0 23 00:02:08,819 --> 00:02:11,280 si x es menor que 0 24 00:02:11,280 --> 00:02:12,620 tengo que cambiar de signo 25 00:02:12,620 --> 00:02:14,659 si es menos 5, lo absoluto es 5 26 00:02:14,659 --> 00:02:16,599 ¿cómo se indica un cambio de signo? 27 00:02:16,699 --> 00:02:18,599 pues poniendo un menos delante 28 00:02:18,599 --> 00:02:21,219 analíticamente estamos decidiendo 29 00:02:21,219 --> 00:02:22,819 el cambio de signo 30 00:02:22,819 --> 00:02:24,280 para el valor de x 31 00:02:24,280 --> 00:02:26,659 ¿qué es lo que ocurre aquí? 32 00:02:28,520 --> 00:02:30,879 si tengo x más 2 33 00:02:30,879 --> 00:02:33,580 valor absoluto, por ejemplo 34 00:02:33,580 --> 00:02:35,199 si tomo el menos uno 35 00:02:35,199 --> 00:02:37,539 menos uno más dos es uno, el valor absoluto 36 00:02:37,539 --> 00:02:39,599 es uno, no hay que cambiar de signo 37 00:02:39,599 --> 00:02:41,319 ¿Cómo se suele hacer esto 38 00:02:41,319 --> 00:02:43,539 para definirlo como una función definida 39 00:02:43,539 --> 00:02:47,340 a trozos? Bueno, pues 40 00:02:47,340 --> 00:02:49,360 hacerlo así mismo. Yo tengo que 41 00:02:49,360 --> 00:02:50,379 ver donde la función 42 00:02:50,379 --> 00:02:51,919 vale cero 43 00:02:51,919 --> 00:02:55,039 ¿No? O sea, yo sé que cuando 44 00:02:55,039 --> 00:02:57,099 x más dos sea mayor o igual que cero 45 00:02:57,099 --> 00:02:59,139 la función no cambia de signo 46 00:02:59,139 --> 00:03:00,780 Entonces 47 00:03:00,780 --> 00:03:36,849 Entonces, como siempre, te subo la desigualdad, x igual a menos 2, dibujo una recta, señalo el menos 2, el menos 2, y aquí, por ejemplo, si tomo el menos 3, menos 3 más 2 es menos 1, que es menor que 0, y si tomo aquí por el 0, por ejemplo, el 0, 0 más 2 es 2, que es menor que 0. 48 00:03:37,509 --> 00:03:42,169 Conclusión. Aquí tengo que cambiar de signo y aquí no tengo que cambiar de signo. 49 00:03:49,000 --> 00:04:03,620 O sea, la función valor absoluto de x más 2 es, si x es menor que menos 2, va a ser de una forma y si x es mayor o igual que menos 2, va a ser de otra forma. 50 00:04:04,379 --> 00:04:07,719 ¿De qué forma va a ser si x es mayor o igual que menos 2? 51 00:04:07,719 --> 00:04:10,840 pues como lo que hay dentro del valor absoluto 52 00:04:10,840 --> 00:04:11,699 es positivo 53 00:04:11,699 --> 00:04:14,680 pues el valor absoluto de x más 2 54 00:04:14,680 --> 00:04:15,719 es x más 2 55 00:04:15,719 --> 00:04:18,519 en cambio, si x es menor 56 00:04:18,519 --> 00:04:19,439 que menos 2 57 00:04:19,439 --> 00:04:22,519 lo que hay dentro del valor absoluto 58 00:04:22,519 --> 00:04:24,360 es negativo, para que sea positivo 59 00:04:24,360 --> 00:04:25,680 tendría que cambiarlo de sí 60 00:04:25,680 --> 00:04:27,339 ¿Vale? 61 00:04:28,519 --> 00:04:29,980 Luego, en la práctica 62 00:04:29,980 --> 00:04:31,779 el otro día lo expliqué de otra forma 63 00:04:31,779 --> 00:04:33,160 que estaría bien que la vierais 64 00:04:33,160 --> 00:04:34,740 en la práctica 65 00:04:34,740 --> 00:04:43,540 o sea, esto sería expresar analíticamente 66 00:04:43,540 --> 00:04:45,759 en la práctica 67 00:04:45,759 --> 00:04:56,259 para hacer la gráfica 68 00:04:56,259 --> 00:04:58,079 insisto, el otro día lo hice de otra forma 69 00:04:58,079 --> 00:04:59,620 como función definida a trozos 70 00:04:59,620 --> 00:05:00,879 sale lo mismo 71 00:05:00,879 --> 00:05:02,399 en el tutorial 72 00:05:02,399 --> 00:05:06,040 pero vamos, para ganar un poquito de tiempo en la clase de hoy 73 00:05:06,040 --> 00:05:07,399 pues 74 00:05:07,399 --> 00:05:08,740 vamos a hacerla así 75 00:05:08,740 --> 00:05:11,019 si yo tengo la función 76 00:05:11,019 --> 00:05:13,480 igual a x más 2 sin valor 77 00:05:13,480 --> 00:05:15,420 absoluto, yo sé que es 78 00:05:15,420 --> 00:05:17,759 una recta, para dar una recta 79 00:05:17,759 --> 00:05:19,300 tengo que dar dos puntos 80 00:05:19,300 --> 00:05:21,139 por ejemplo, si x vale 0 81 00:05:21,139 --> 00:05:22,819 la y vale 82 00:05:22,819 --> 00:05:25,439 2 83 00:05:25,439 --> 00:05:27,800 y bueno 84 00:05:27,800 --> 00:05:29,620 esto creo que lo hice el otro día 85 00:05:29,620 --> 00:05:32,339 si la y vale 0, la x vale 2 86 00:05:32,339 --> 00:05:34,060 así nos dan los puntos con los x 87 00:05:34,060 --> 00:05:37,670 ¿no? entonces 88 00:05:37,670 --> 00:05:39,029 este es el punto 0, 2 89 00:05:39,029 --> 00:05:41,129 este es el punto 2, 0 90 00:05:41,129 --> 00:05:44,449 y esta es la recta igual a x más 2 91 00:05:44,449 --> 00:05:47,399 estos dos también 92 00:05:47,399 --> 00:05:50,939 porque es que si 93 00:05:50,939 --> 00:05:54,860 A ver, si x es igual a 0, la y vale 2. 94 00:05:55,300 --> 00:06:07,670 Y si la y vale 0, si es igual a 0, entonces queda que 0 es igual a x más 2, con lo cual x es igual a menos 2. 95 00:06:08,449 --> 00:06:09,290 x menos 2. 96 00:06:10,110 --> 00:06:37,459 O sea que es el punto 0, 2 y el punto menos 2, 3. 97 00:06:37,459 --> 00:06:40,959 entonces esta es la recta 98 00:06:40,959 --> 00:06:42,160 igual a x más 2 99 00:06:42,160 --> 00:06:44,899 y de aquí saco 100 00:06:44,899 --> 00:06:46,360 que 101 00:06:46,360 --> 00:06:48,160 la función 102 00:06:48,160 --> 00:06:51,019 valor absoluto de x más 2 103 00:06:51,019 --> 00:06:52,680 consiste en 104 00:06:52,680 --> 00:06:54,860 tomar de nuevo los mismos ejes 105 00:06:54,860 --> 00:06:58,399 la parte 106 00:06:58,399 --> 00:06:59,339 positiva 107 00:06:59,339 --> 00:07:03,439 dejarla como está 108 00:07:03,439 --> 00:07:07,389 y la parte negativa 109 00:07:07,389 --> 00:07:10,050 se refleja, o sea este trozo 110 00:07:10,050 --> 00:07:11,949 de aquí lo subo porque quiero 111 00:07:11,949 --> 00:07:26,959 que sea posible. ¿De acuerdo? Pues puse, si no me equivoco, otro ejemplo. Pues, por 112 00:07:26,959 --> 00:07:40,050 ejemplo, si tenéis una parábola de este tipo, que es una función f de x, pues el 113 00:07:40,050 --> 00:08:02,500 valor absoluto de esa función sería coger los mismos cuernos 114 00:08:02,879 --> 00:08:05,160 que están hacia arriba, por encima del eje, 115 00:08:05,720 --> 00:08:09,459 y esta parte de aquí, para que sea positiva, se le da la vuelta. 116 00:08:11,290 --> 00:08:14,910 Esta será la función igual a valor absoluto de f de x. 117 00:08:16,269 --> 00:08:17,069 Bueno, esto es todo. 118 00:08:17,230 --> 00:08:20,149 Lo que quería comentaros en cuanto a valor absoluto, muy brevemente, 119 00:08:20,889 --> 00:08:25,810 que veáis que hay que calcular los puntos de corte con el eje de las y 120 00:08:25,810 --> 00:08:30,209 y es para saber dónde se dobla la función, 121 00:08:30,209 --> 00:08:33,250 donde las partes que están abajo 122 00:08:33,250 --> 00:08:35,429 tendrían que ser muy reflejadas 123 00:08:35,429 --> 00:08:37,730 en el 124 00:08:37,730 --> 00:08:38,730 semiplano superior 125 00:08:38,730 --> 00:08:41,470 bueno, como veis 126 00:08:41,470 --> 00:08:43,009 tenéis ejercicios propuestos 127 00:08:43,009 --> 00:08:45,509 que son de 128 00:08:45,509 --> 00:08:46,570 funciones a trozos 129 00:08:46,570 --> 00:08:49,990 y de valor absoluto 130 00:08:49,990 --> 00:08:51,470 bueno, seguimos con un 131 00:08:51,470 --> 00:08:52,950 concepto que 132 00:08:52,950 --> 00:08:55,049 os suele costar 133 00:08:55,049 --> 00:08:56,129 al principio 134 00:08:56,129 --> 00:08:58,809 yo intento que lo mecanicéis 135 00:08:58,809 --> 00:08:59,809 creo que es lo más 136 00:08:59,809 --> 00:09:02,809 dos o tres ejemplos 137 00:09:02,809 --> 00:09:06,429 para que veáis cómo funciona 138 00:09:06,429 --> 00:09:08,990 qué es la composición de funciones. 139 00:09:10,190 --> 00:09:12,789 ¿En qué consiste la composición de funciones? 140 00:09:13,409 --> 00:09:15,809 Bueno, primera cosa, se escribe con un redondito. 141 00:09:15,809 --> 00:09:19,210 Esto se llama, se escribe G compuesto con F de X. 142 00:09:20,190 --> 00:09:22,750 Y consiste en a la X 143 00:09:22,750 --> 00:09:26,690 aplicarle la función F 144 00:09:26,690 --> 00:09:35,049 y al resultado, no a la misma x, sino al resultado de esa operación, aplicarle la función g. 145 00:09:37,750 --> 00:09:39,250 Vamos a verlo con un ejemplo. 146 00:09:45,090 --> 00:09:54,769 Entonces, lo que tenéis que tener claro es que f compuesto con g, f compuesto con g de x, 147 00:09:55,529 --> 00:09:59,509 ya veréis cuando hablemos de derivadas hablaré de lo de dentro o lo de fuera. 148 00:09:59,509 --> 00:10:12,370 Yo aquí calculo primero la g de x de la función de la derecha y al resultado le aplico la f. 149 00:10:13,049 --> 00:10:26,179 Si en cambio tenéis g compuesto con f de x, primero hacéis la f de x, esto es lo que llamo lo de dentro, y a esto de dentro le aplico la f. 150 00:10:26,179 --> 00:10:32,720 Vamos a ver la diferencia en este caso con esta función y con esta función. 151 00:10:34,139 --> 00:10:47,950 A ver, si yo quiero calcular la composición de f con g, como os he dicho, esto es f aplicado a g de x. 152 00:10:51,690 --> 00:10:58,179 ¿Qué es g de x? Pues g de x es 1 menos x cuadrado. 153 00:10:58,179 --> 00:11:03,659 Y ahora viene la parte que os cuesta más comprender. 154 00:11:06,049 --> 00:11:10,070 Esto, a esto le tengo que aplicar f. 155 00:11:10,070 --> 00:11:21,769 La función f es 2 menos 7 por x, pero es que aquí dentro de la f no tengo x, sino que tengo 1 menos x cuadrado. 156 00:11:25,740 --> 00:11:30,980 Entonces, este es el paso más complicado. ¿En qué consiste calcular la imagen de una función? 157 00:11:31,639 --> 00:11:37,580 En sustituir en la fórmula lo que tenéis dentro de la función. 158 00:11:38,179 --> 00:11:40,820 Pues aquí no tengo x, sino 1 menos x cuadrado. 159 00:11:40,820 --> 00:11:47,059 Y una vez hecho esto, mucho cuidado, esto no se resta porque por jerarquía de operación tenemos que hacer producto. 160 00:11:48,080 --> 00:11:52,840 2 menos 7 y menos 7 por menos x cuadrados más 7x cuadrados. 161 00:11:54,379 --> 00:11:57,820 Bueno, aquí operáis y queda 7x cuadrados menos 5. 162 00:12:01,929 --> 00:12:08,289 Para que veáis, por ejemplo, para que veáis un ejemplo, me voy a inventar un valor. 163 00:12:08,289 --> 00:12:26,009 Por ejemplo, el 1. F compuesto con G de 1 es F de G de 1. Pues esto sería F de G de 1 es 1 menos 1 al cuadrado. 164 00:12:28,139 --> 00:12:39,470 Y 1 menos 1 al cuadrado es 0. Sustituís en la fórmula y queda 2 menos 7 por 0. 165 00:12:39,470 --> 00:12:42,210 es que veáis que esto y esto 166 00:12:42,210 --> 00:12:44,309 es lo que estoy sustituyendo 167 00:12:44,309 --> 00:12:45,529 en la fórmula cada vez 168 00:12:45,529 --> 00:12:49,909 y 2 menos 7 por 0 es 2 169 00:12:49,909 --> 00:12:52,250 ¿sí? ¿qué ventaja 170 00:12:52,250 --> 00:12:53,529 tiene lo que he hecho yo antes? 171 00:12:54,490 --> 00:12:56,370 pues que esta fórmula vale para cualquier 172 00:12:56,370 --> 00:12:58,409 número, pero si sustituís aquí 173 00:12:58,409 --> 00:13:00,289 en 1, en esta fórmula os queda 7 174 00:13:00,289 --> 00:13:02,350 por 1, que es 7 menos 5 es 2 175 00:13:02,350 --> 00:13:04,110 ¿no? esto 176 00:13:04,110 --> 00:13:06,450 esta función os da 177 00:13:06,450 --> 00:13:08,169 lo que hace la f y la g 178 00:13:08,169 --> 00:13:09,590 para cualquier número 179 00:13:09,590 --> 00:13:13,139 siempre que esté en el domingo 180 00:13:13,139 --> 00:13:16,960 y bueno, por otra parte 181 00:13:16,960 --> 00:13:19,419 la composición de g con f 182 00:13:19,419 --> 00:13:21,200 ya veréis que no tiene 183 00:13:21,200 --> 00:13:24,440 nada que ver con 184 00:13:24,440 --> 00:13:26,860 la composición de f con g 185 00:13:26,860 --> 00:13:28,659 aquí la función 186 00:13:28,659 --> 00:13:30,620 que queda adentro, que se come 187 00:13:30,620 --> 00:13:32,539 la g, es la f 188 00:13:32,539 --> 00:13:35,000 f de x 189 00:13:35,000 --> 00:13:36,580 es 2 menos 7 de x 190 00:13:36,580 --> 00:13:42,299 y ahora, ¿qué es g? 191 00:13:43,740 --> 00:13:45,460 1 menos x cuadrado 192 00:13:45,460 --> 00:13:47,360 entonces 193 00:13:47,360 --> 00:13:51,639 Entonces, voy a señalar que no hay x sino 7 menos 2x. 194 00:13:52,580 --> 00:13:58,460 La función g es 1 menos x al cuadrado. 195 00:13:59,019 --> 00:14:04,039 ¿Qué es lo que ocurre? Que ahora no tengo x sino 2 menos 7 por x. 196 00:14:07,389 --> 00:14:12,110 Y aquí me queda 1 menos, esto lo desarrollo, el cuadrado del primero, 197 00:14:12,110 --> 00:14:20,820 más el cuadrado del segundo, menos el doble del primero por el segundo, 198 00:14:23,860 --> 00:14:39,879 Y me sale, pues, menos 49x cuadrado más 28, aquí es otra parte, más 28x, más 3. 199 00:14:40,700 --> 00:14:43,799 Como veis, esta función y esta, pues, se parecen un poco, ¿no? 200 00:14:44,360 --> 00:14:52,779 Voy a repasar un momentín, 2x, 4, 29, 28. 201 00:14:52,779 --> 00:15:01,139 para que lo entendáis 202 00:15:01,139 --> 00:15:03,019 mejor y para introducir 203 00:15:03,019 --> 00:15:05,379 el siguiente término 204 00:15:05,379 --> 00:15:06,700 que si no me equivoco son 205 00:15:06,700 --> 00:15:09,039 porque fue parte de un problema 206 00:15:09,039 --> 00:15:09,740 de examen 207 00:15:09,740 --> 00:15:19,679 vamos a hacer la composición de estas dos funciones 208 00:15:19,679 --> 00:15:24,250 en principio son más 209 00:15:24,250 --> 00:15:26,250 complicadas pero luego veréis que 210 00:15:26,250 --> 00:15:36,059 al simplificar las cosas quedan muy 211 00:15:36,059 --> 00:15:36,539 distintas 212 00:15:36,539 --> 00:15:40,320 aquí tengo que hacer f compuesto con g 213 00:15:40,320 --> 00:15:41,899 y g compuesto con f 214 00:15:41,899 --> 00:15:42,600 como antes 215 00:15:43,460 --> 00:15:56,799 Como os digo, f es la función que se queda adentro y que es g, x cuadrado menos 2 partido por 3. 216 00:16:01,950 --> 00:16:09,669 Ahora, aplico f. f es la raíz de 3 por x más 2. 217 00:16:10,330 --> 00:16:16,809 Pero yo no tengo x, sino que tengo x cuadrado menos 2 partido por 3. 218 00:16:16,809 --> 00:16:22,419 entonces, perdonad, no es que me tiemble la mano 219 00:16:22,419 --> 00:16:25,340 es que me tiembla la tabla 220 00:16:25,340 --> 00:16:27,879 a ver, entonces 221 00:16:27,879 --> 00:16:30,500 si yo tengo un 3 multiplicando y un 3 dividiendo 222 00:16:30,500 --> 00:16:33,340 yo sé que esto me queda 223 00:16:33,340 --> 00:16:36,940 lo puedo simplificar y me queda x cuadrado menos 2 224 00:16:36,940 --> 00:16:39,620 más 2, si yo tengo 225 00:16:39,620 --> 00:16:42,320 un 2 restando y un sumando 226 00:16:42,320 --> 00:16:46,059 se tacha y me queda la raíz de x cuadrado 227 00:16:46,059 --> 00:17:11,880 Y si yo tengo una raíz y un cuadrado, pues fijaos que os queda X. Os recuerdo que es algo que, aunque un número tenga dos raíces positivas, una positiva y otra negativa, cuando aparece en una expresión así, se supone que estoy tomando la raíz por segundo. 228 00:17:11,880 --> 00:17:27,079 Bueno, ahora, si quiero calcular g compuesto con f de x, voy a hacer g de f de x. 229 00:17:28,000 --> 00:17:34,240 Como veis, la composición de funciones no es conmutación, aunque a veces sí puede ser. 230 00:17:34,799 --> 00:17:38,079 f de x es la raíz de 3x. 231 00:17:38,079 --> 00:17:59,210 Entonces, ¿qué es G? Coger X, elevarlo al cuadrado. En este caso, coger la raíz de 3X más 2, elevarlo al cuadrado y restarle 2 y dividir entre 3. 232 00:17:59,210 --> 00:18:02,170 ¿Qué es lo que ocurre? 233 00:18:02,569 --> 00:18:04,970 Que una raíz en cuadrado se cancela 234 00:18:04,970 --> 00:18:17,890 el 2 y el menos 2 se cancelan 235 00:18:17,890 --> 00:18:23,690 y 3x partido por 3 es x 236 00:18:23,690 --> 00:18:27,089 Bueno, pues esto que sepáis 237 00:18:27,089 --> 00:18:30,769 que es lo que se llama la función inversa 238 00:18:30,769 --> 00:18:32,890 ¿Qué es lo que hace la función inversa? 239 00:18:32,890 --> 00:18:37,109 Yo cojo x, calculo g de x 240 00:18:37,109 --> 00:18:59,309 Y me sale otro valor. Y al hacer f de ese otro valor vuelvo a recuperar la x. Lo que hace la f lo deshace la g. Y lo que hace la g lo deshace la f. Se dice que la inversa de f es g y también que la inversa de g es n. 241 00:18:59,309 --> 00:19:11,279 Aquí, como veis, el proyecto de la composición de funciones es conmutativa, que es una cosa que nos genera. 242 00:19:13,200 --> 00:19:33,930 Este es el siguiente concepto que he introducido para que entendáis lo que es una función inversa. 243 00:19:34,130 --> 00:19:44,250 Se dice que la función inversa de f es f elevado a menos uno cuando al componer las dos y aplicárselo a cualquier número se vuelve a un número inicial. 244 00:19:45,309 --> 00:19:53,640 Vamos a ver cuál es el método para calcular inversas. Os voy a dar directamente el método. 245 00:19:54,220 --> 00:20:00,980 Todo esto que estoy dando, el año pasado fue un ejercicio de examen de preguntar una forma a la otra. 246 00:20:05,859 --> 00:20:17,680 Primero voy a hacer el ejercicio 27, que es el más sencillo, que es calcular la inversa de f es 7x más 5. 247 00:20:17,680 --> 00:20:20,720 la función se llama f 248 00:20:20,720 --> 00:20:23,480 pero sabéis que la f es el valor de la y 249 00:20:23,480 --> 00:20:27,660 entonces, ¿cómo se calcula la y? 250 00:20:28,200 --> 00:20:29,380 pues primero 251 00:20:29,380 --> 00:20:34,420 se intercambia 252 00:20:34,420 --> 00:20:38,180 cambia la x 253 00:20:38,180 --> 00:20:40,880 por la y 254 00:20:40,880 --> 00:20:45,609 y la y por la x 255 00:20:45,609 --> 00:20:49,589 Entonces, si yo tengo en esta expresión 256 00:20:49,589 --> 00:20:52,250 igual a 7x más 5 257 00:20:52,250 --> 00:20:54,490 y cambio la x por la y 258 00:20:54,490 --> 00:20:59,789 me queda que x es igual a 7y más 5 259 00:20:59,789 --> 00:21:02,789 Y a la segunda parte 260 00:21:02,789 --> 00:21:04,589 se despeja la y 261 00:21:04,589 --> 00:21:15,440 ¿Cómo se despeja la y? 262 00:21:15,900 --> 00:21:17,519 Pues, como siempre 263 00:21:17,519 --> 00:21:22,799 7y lo dejo aquí porque está positivo 264 00:21:22,799 --> 00:21:24,799 aquí tengo la x 265 00:21:24,799 --> 00:21:27,259 lo que está sumando pasa restando 266 00:21:27,259 --> 00:21:30,799 y lo que está multiplicando 267 00:21:30,799 --> 00:21:31,759 pasa a dividir 268 00:21:31,759 --> 00:21:36,900 bueno, pues esta es la inversión 269 00:21:36,900 --> 00:21:41,549 f-1 de x 270 00:21:41,549 --> 00:21:44,250 es x-5 271 00:21:44,250 --> 00:21:45,109 partido por c 272 00:21:45,109 --> 00:21:46,769 y ya está 273 00:21:46,769 --> 00:21:51,400 aparentemente es sencillo 274 00:21:51,400 --> 00:21:52,940 pero practicando algunos 275 00:21:52,940 --> 00:21:54,559 practicando los del examen pasado 276 00:21:54,559 --> 00:21:57,160 de la 277 00:21:57,160 --> 00:21:58,619 grabación pasada 278 00:21:58,619 --> 00:22:00,839 porque esto 279 00:22:00,839 --> 00:22:07,660 no es demasiado difícil 280 00:22:07,660 --> 00:22:09,259 pero requiere 281 00:22:09,259 --> 00:22:10,960 su tiempo para entenderlo. 282 00:22:11,380 --> 00:22:12,960 A ver, ¿cómo comprobo yo esto? 283 00:22:13,220 --> 00:22:26,890 Perdón, es f-1. Ahora, 284 00:22:27,130 --> 00:22:29,130 si queréis comprobar que el resultado 285 00:22:29,130 --> 00:22:31,210 está bien, pues sabéis que tenéis 286 00:22:31,210 --> 00:22:33,210 que hacer f compuesto 287 00:22:33,210 --> 00:22:34,250 con f-1 288 00:22:34,250 --> 00:22:37,069 aplicado a x. Podéis 289 00:22:37,069 --> 00:22:39,190 hacer f con f-1 o f-1 290 00:22:39,190 --> 00:22:40,289 con f, como queráis. 291 00:22:41,150 --> 00:22:43,150 Si ocurre una cosa, ocurre 292 00:22:43,150 --> 00:22:56,130 la otra. Bueno, sabéis que f-1 de x es x-5 partido por 7. Y hacer f consiste en, esta 293 00:22:56,130 --> 00:23:08,460 es la fórmula de f, 7 multiplicarlo por lo que hay dentro del paréntesis y sumarle 294 00:23:08,460 --> 00:23:10,559 5, ¿no? Más 5. 295 00:23:11,119 --> 00:23:12,400 Entonces, como hacíamos 296 00:23:12,400 --> 00:23:14,400 antes, un 7 multiplicando y un 6 297 00:23:14,400 --> 00:23:16,180 dividiendo, se van 298 00:23:16,180 --> 00:23:18,420 un menos 5 y un más 299 00:23:18,420 --> 00:23:19,299 5 se van 300 00:23:19,299 --> 00:23:22,059 y total 301 00:23:22,059 --> 00:23:24,140 me queda que esto es x. 302 00:23:25,440 --> 00:23:26,160 Como probado. 303 00:23:26,960 --> 00:23:27,140 ¿Vale? 304 00:23:28,380 --> 00:23:30,000 Bueno, el siguiente 305 00:23:30,000 --> 00:23:32,119 es el que ya es más 306 00:23:32,119 --> 00:23:34,039 parecido al que os puse en el examen 307 00:23:34,039 --> 00:23:36,200 del año pasado, que es el ejercicio 308 00:23:36,200 --> 00:23:39,799 30. Este 309 00:23:39,799 --> 00:23:41,740 tipo de ejercicios a mí me gusta. 310 00:23:42,279 --> 00:23:43,839 Normalmente, este 311 00:23:43,839 --> 00:23:45,619 es demasiado evidente, pero 312 00:23:45,619 --> 00:23:47,740 este sabemos 313 00:23:47,740 --> 00:23:49,339 practicar la primera rotación. 314 00:23:51,200 --> 00:23:51,839 A ver, si 315 00:23:51,839 --> 00:23:52,940 tengo que y, 316 00:23:53,720 --> 00:23:56,119 primer paso, tengo y igual a 317 00:23:56,119 --> 00:23:57,799 4x menos 318 00:23:57,799 --> 00:23:59,920 3 partido por 319 00:23:59,920 --> 00:24:01,299 7x más 5. 320 00:24:02,220 --> 00:24:03,700 Entonces estoy diciendo que 321 00:24:03,700 --> 00:24:04,779 cambio la x por 322 00:24:04,779 --> 00:24:07,640 x igual a 323 00:24:07,640 --> 00:24:13,859 4y menos 3 partido por 7y más 5. 324 00:24:14,900 --> 00:24:18,380 Entonces, primera cosa, quito denominadores. 325 00:24:25,819 --> 00:24:27,900 Lo que está dividiendo pasa a multiplicar. 326 00:24:35,200 --> 00:24:37,140 Ahora quito paréntesis. 327 00:24:41,980 --> 00:24:44,259 x por 7y es 7xy. 328 00:24:45,559 --> 00:24:52,380 x por 5 más 5x igual a 4y menos 3. 329 00:24:52,380 --> 00:24:54,859 Y ahora ya, despejo. 330 00:24:55,660 --> 00:25:04,599 Bueno, primero lo que se llama trasponer términos. 331 00:25:08,279 --> 00:25:20,339 Trasponer términos consiste en todo lo que tenga ahí lo dejo en un miembro y todo lo que no tenga ahí lo dejo en el otro. 332 00:25:23,440 --> 00:25:25,420 Saco factor común ahí. 333 00:25:25,420 --> 00:25:39,450 Y por último, despejo. 334 00:25:39,789 --> 00:25:43,109 lo que está multiplicando 335 00:25:43,109 --> 00:25:44,150 pasar el vídeo 336 00:25:44,150 --> 00:25:53,470 repasar estos pasos 337 00:25:53,470 --> 00:25:55,410 hacerlo con los del examen 338 00:25:55,410 --> 00:25:57,410 porque vamos 339 00:25:57,410 --> 00:25:58,769 a mi me gusta poner algo 340 00:25:58,769 --> 00:26:01,710 similar a lo que haya puesto en clase 341 00:26:01,710 --> 00:26:04,009 ahora, ¿cuál sería la solución? 342 00:26:06,450 --> 00:26:07,569 pues que la inversa 343 00:26:07,569 --> 00:26:09,109 de la función que se llama g 344 00:26:09,109 --> 00:26:11,569 o sea g-1 de x 345 00:26:11,569 --> 00:26:13,009 es 346 00:26:13,009 --> 00:26:15,450 menos 3 347 00:26:15,450 --> 00:26:16,670 menos 5x 348 00:26:16,670 --> 00:26:19,390 partido por 7x 349 00:26:19,390 --> 00:26:21,069 menos 4. Esto 350 00:26:21,069 --> 00:26:21,990 se me da igual 351 00:26:21,990 --> 00:26:24,890 y esto no está 352 00:26:24,890 --> 00:26:27,089 porque es 7x menos 4. 353 00:26:31,380 --> 00:26:32,880 Bueno, pues hoy ya hemos 354 00:26:32,880 --> 00:26:33,319 visto 355 00:26:33,319 --> 00:26:36,619 valor absoluto, cómo se representa, 356 00:26:36,900 --> 00:26:38,059 la expresión analítica, 357 00:26:38,740 --> 00:26:40,440 lo que es la composición de funciones 358 00:26:40,440 --> 00:26:42,519 y lo que es calcular 359 00:26:42,519 --> 00:26:44,500 la inversa de una función, que es 360 00:26:44,500 --> 00:26:46,480 la función que deshace lo que hace una 361 00:26:46,480 --> 00:27:10,940 Bueno, nos queda, por último, la exponencial, el logaritmo y luego la parte de simetrías, pues ya os dije que la miréis, pero no la pregunto ni en primer instante. 362 00:27:10,940 --> 00:27:40,279 Bueno, la función exponencial. Primero, ¿por qué se llama exponencial? 363 00:27:45,140 --> 00:27:50,359 Porque la x está en el exponente. 364 00:27:50,940 --> 00:28:03,700 Parece una tontería, pero, por ejemplo, si tengo x elevado a 3, no es exponencial. 365 00:28:03,700 --> 00:28:09,390 se llama potencia 366 00:28:09,390 --> 00:28:11,509 es potencia 367 00:28:11,509 --> 00:28:13,170 y si tenéis varias potencias 368 00:28:13,170 --> 00:28:14,769 sabéis que sale una función 369 00:28:14,769 --> 00:28:15,670 entonces 370 00:28:15,670 --> 00:28:23,299 la fórmula es siempre 371 00:28:23,299 --> 00:28:24,960 un número elevado a x 372 00:28:24,960 --> 00:28:27,359 aquí la x podría poner 373 00:28:27,359 --> 00:28:29,559 x más 5, se podría complicar la cosa 374 00:28:29,559 --> 00:28:31,500 pero las funciones que vamos a ver 375 00:28:31,500 --> 00:28:33,559 son las básicas que tenéis 376 00:28:33,559 --> 00:28:34,279 una base 377 00:28:34,279 --> 00:28:36,940 que siempre es mayor que 0 378 00:28:36,940 --> 00:28:38,140 y distinta de 1 379 00:28:38,140 --> 00:28:41,259 y el exponente es la x 380 00:28:42,180 --> 00:28:47,619 Bueno, la base es mayor que cero porque si cogéis una base negativa 381 00:28:47,619 --> 00:28:53,299 y, por ejemplo, hacéis a elevado a un medio, os sale la raíz de a, que no es un número real. 382 00:28:54,019 --> 00:28:59,240 Con números negativos la función exponencial sería una función que funciona muy mal. 383 00:28:59,440 --> 00:29:02,119 Funciona para muchos números, pero para muchos otros no. 384 00:29:03,279 --> 00:29:05,500 ¿Y por qué a es distinto de 1? 385 00:29:05,859 --> 00:29:10,799 Porque si a vale 1, 1 elevado a x siempre vale 1. 386 00:29:11,259 --> 00:29:13,980 Lo cual queda una función que es constante. 387 00:29:15,259 --> 00:29:15,400 ¿Sí? 388 00:29:15,740 --> 00:29:23,289 Bueno, ya os voy diciendo que el dominio de esta función son todos los números reales. 389 00:29:23,569 --> 00:29:23,710 ¿Sí? 390 00:29:24,309 --> 00:29:29,190 Y antes de hacer todo esto, vamos a hacer esto. 391 00:29:30,450 --> 00:29:32,869 La gráfica da igual a 2 elevado a x. 392 00:29:41,250 --> 00:29:46,849 Entonces, por ejemplo, doy el 0, el 1, el 2, el menos 1 y el menos 12. 393 00:29:46,849 --> 00:29:50,990 Bueno, sabéis que cualquier número elevado a cero 394 00:29:50,990 --> 00:29:52,569 distinto de cero, vale 395 00:29:52,569 --> 00:29:57,049 Sabéis que 2 elevado a 1 es 2 396 00:29:57,049 --> 00:29:59,750 2 elevado a 2 es 4 397 00:29:59,750 --> 00:30:02,789 Por si no lo recordáis 398 00:30:02,789 --> 00:30:05,529 2 elevado a menos 1 es 1 medio 399 00:30:05,529 --> 00:30:06,609 que es 0,5 400 00:30:06,609 --> 00:30:11,289 y 2 elevado a menos 2 es 1 cuarto 401 00:30:11,289 --> 00:30:15,289 que aproximadamente es de 0,25 402 00:30:17,559 --> 00:30:26,900 Entonces, siempre que no tenéis una función, si queréis haceros una idea de cómo es, pues siempre podéis dar valores y a ver qué es lo que nos queda. 403 00:30:36,329 --> 00:30:50,740 Entonces, si la x vale 0, la y vale. Si la x vale 1, la y vale 2. Si la x vale 2, la y vale. 404 00:30:50,740 --> 00:30:57,839 aunque no esté, si la x vale 3 405 00:30:57,839 --> 00:30:59,920 la y vale 8 406 00:30:59,920 --> 00:31:03,680 como veis empieza a subir de forma que se llama 407 00:31:03,680 --> 00:31:06,599 exponencial, o sea esto prácticamente 408 00:31:06,599 --> 00:31:09,339 se pone vertical en muy poquito tiempo 409 00:31:09,339 --> 00:31:15,930 y ahora, si la x vale menos 1 410 00:31:15,930 --> 00:31:19,390 la y vale 0.5, si la x vale 411 00:31:19,390 --> 00:31:21,910 menos 2, la y vale 0.25 412 00:31:21,910 --> 00:31:25,589 y así sucesivamente 413 00:31:25,589 --> 00:31:31,109 bueno, entonces nos queda una gráfica 414 00:31:31,109 --> 00:31:32,329 que es de este tipo 415 00:31:32,329 --> 00:31:39,779 y diríamos más o menos que tiene una forma de tobogán 416 00:31:39,779 --> 00:31:41,400 no es una expresión técnica 417 00:31:41,400 --> 00:31:50,819 para que quede claro 418 00:31:50,819 --> 00:31:53,759 voy a hacer otra gráfica 419 00:31:53,759 --> 00:31:56,460 como pone que A es mayor que 0 420 00:31:56,460 --> 00:31:59,420 o sea positivo y distinto de 1 421 00:31:59,420 --> 00:32:02,099 voy a tomar un número mayor que 1 422 00:32:02,099 --> 00:32:14,359 que en este caso es el 2, y por ejemplo voy a tomar un número menor que 1, pues que será 0,5, 0,5 elevado a x. 423 00:32:15,740 --> 00:32:20,339 Voy a hacer una tabla de valores. Voy a ver si me sale exactamente lo mismo. 424 00:32:22,619 --> 00:32:27,380 Voy a coger el 0, el 1 y el 2, el menos 1 y el menos 2. 425 00:32:27,380 --> 00:32:30,519 voy a tomar una tabla de valores 426 00:32:30,519 --> 00:32:32,279 0,5 elevado a 0 427 00:32:32,279 --> 00:32:34,180 pues cualquier número elevado a 0 428 00:32:34,180 --> 00:32:36,299 sale 1, excepto el 0 429 00:32:36,299 --> 00:32:37,779 0 elevado a 0 es una 430 00:32:37,779 --> 00:32:40,700 interminación que aunque no lo veamos 431 00:32:40,700 --> 00:32:46,000 pues que sepáis 432 00:32:46,000 --> 00:32:48,259 que 0 elevado a 0 lo haces con la calculadora 433 00:32:48,259 --> 00:32:49,220 y sale a error 434 00:32:49,220 --> 00:32:52,200 si tomáis 0,5 elevado a 1 435 00:32:52,200 --> 00:32:54,480 pues evidentemente es 0,5 436 00:32:54,480 --> 00:32:57,980 si tomáis 0,5 elevado a 2 437 00:32:57,980 --> 00:33:01,000 es 0,25. 438 00:33:03,579 --> 00:33:07,579 Ahora esto, si queréis, bueno, así repasamos un poquito. 439 00:33:07,920 --> 00:33:09,400 0,5 elevado a menos 1. 440 00:33:10,480 --> 00:33:15,000 0,5 elevado a menos 1, sabéis que es 1,5 elevado a menos 1. 441 00:33:15,619 --> 00:33:18,700 Y elevado a menos 1 consiste en dar la vuelta a la fracción. 442 00:33:19,519 --> 00:33:20,500 O sea que esto es 2. 443 00:33:23,079 --> 00:33:27,140 Y bueno, si hacéis lo mismo con 0,5 elevado a menos 2, os salvo 4. 444 00:33:30,130 --> 00:33:32,470 Y sabéis que diréis, ¿qué cosa más extraña, no? 445 00:33:32,490 --> 00:33:48,829 Tomo valores más grandes y me salen más pequeños, tomo valores negativos y me salen más grandes. Pues sí, pues sí, porque yo, sincero, si multiplico una cosa por un número menor que 1, que está entre 0 y 1, me va saliendo más pequeño. 446 00:33:48,829 --> 00:33:57,849 0,5 por 0,5 es 0,25. Si lo multiplico otra vez por 0,5 sería 0,125, así sucesivamente. 447 00:33:59,150 --> 00:34:02,630 Y si lo hago al revés, pues en vez de crecer, pues no crecerá. 448 00:34:02,630 --> 00:34:25,639 Bueno, entonces tengo el punto 0, 1, el punto 1, 0, 5, el punto 2, 0, 25, el punto menos 1, 2 y el punto 2, 4. 449 00:34:25,639 --> 00:34:27,800 ¿Suelve un tema de simetría? 450 00:34:35,809 --> 00:34:44,170 Estas dos gráficas son simétricas entre sí, pero no son simétricas en una simetría. 451 00:34:49,690 --> 00:34:53,130 Entonces, como veis, la gráfica siempre es de tobogán. 452 00:34:53,429 --> 00:34:59,110 Da igual que sea roja, que sea azul, que sea la base mayor que uno o menor que uno. 453 00:34:59,110 --> 00:35:16,510 ¿Sí? Como veis, esto es fundamental. La exponencial, esto, cuando vimos ecuaciones exponenciales, creo que os lo comenté, siempre es positiva. 454 00:35:16,510 --> 00:35:23,860 cuando digo la función 455 00:35:23,860 --> 00:35:26,300 cuando digo la exponencial 456 00:35:26,300 --> 00:35:28,239 me refiero a la función exponencial 457 00:35:28,239 --> 00:35:30,360 x puede tomar cualquier 458 00:35:30,360 --> 00:35:32,320 valor, sea positivo o negativo 459 00:35:32,320 --> 00:35:34,239 también son todos los números reales 460 00:35:34,239 --> 00:35:36,599 pero f de x que es la y 461 00:35:36,599 --> 00:35:38,460 siempre os sale 462 00:35:38,460 --> 00:35:39,199 positivo 463 00:35:39,199 --> 00:35:42,159 de tal forma que si tenéis 464 00:35:42,159 --> 00:35:42,860 por ejemplo 465 00:35:42,860 --> 00:35:51,170 2 elevado a x 466 00:35:51,170 --> 00:35:52,889 es igual a menos 3 467 00:35:52,889 --> 00:35:55,349 esto no 468 00:35:55,349 --> 00:35:56,590 tiene solución 469 00:35:56,809 --> 00:36:07,719 Esta es una de las principales aplicaciones de la función exponencial, cuando la estudiáis, que la función exponencial siempre es posible. 470 00:36:08,840 --> 00:36:16,659 Ahora, aparte, esta función siempre pasa por este punto. 471 00:36:24,110 --> 00:36:30,429 Siempre pasa por el punto 0, 1. 472 00:36:30,570 --> 00:36:30,909 ¿Por qué? 473 00:36:30,909 --> 00:36:33,789 Porque a elevado a 0 siempre vale 1. 474 00:36:33,789 --> 00:36:36,829 sea cual sea la función 475 00:36:36,829 --> 00:36:39,110 y ahora el significado de A 476 00:36:39,110 --> 00:36:42,849 si A es mayor que 1 477 00:36:42,849 --> 00:36:44,869 entonces la función 478 00:36:44,869 --> 00:36:46,969 de este tipo es creciente 479 00:36:46,969 --> 00:36:49,389 y esto es un crecimiento exponencial 480 00:36:49,389 --> 00:36:53,030 F es creciente 481 00:36:53,030 --> 00:36:57,639 y si A 482 00:36:57,639 --> 00:37:00,599 está entre 0 y 1 483 00:37:00,599 --> 00:37:02,119 negativo 484 00:37:02,119 --> 00:37:03,599 ya hemos visto que no podía ser 485 00:37:03,599 --> 00:37:06,360 entonces la función es decreciente 486 00:37:07,079 --> 00:37:23,219 cortes con los ejes pues ya hemos visto que si x es igual a cero y vale una elevada a cero que 487 00:37:23,219 --> 00:37:29,179 es igual a uno con lo cual siempre hay un punto de corte que es aquel en el que la x vale cero 488 00:37:29,179 --> 00:37:38,880 y la vida de uno y si pongo igual a cero cero es igual a elevado a x y esto no tiene solución 489 00:37:38,880 --> 00:37:41,760 porque la función exponencial siempre es positiva. 490 00:37:50,849 --> 00:37:53,989 Entonces, solo hay un punto de corte y siempre es el mismo. 491 00:37:55,929 --> 00:38:07,550 Y luego, asíntota, este es el eje de las X, que sabéis que es la recta, igual a cero. 492 00:38:08,429 --> 00:38:17,800 Pues siempre voy a tener como asíntota el eje de las X, que su ecuación Y es igual a cero. 493 00:38:17,800 --> 00:38:30,440 Pero si la base es mayor que 1, es una asíntota horizontal por la izquierda. 494 00:38:36,400 --> 00:38:41,119 Esto ya anticipando lo que va a ser el siguiente tema de límites. 495 00:38:41,820 --> 00:38:48,440 Y si A está entre 0 y 1, es una asíntota horizontal por la derecha. 496 00:38:48,440 --> 00:39:03,659 Por si alguien no sabe o no recuerda lo que es una asíntota, una asíntota es una recta a la cual la gráfica se aproxima todo lo que queramos sin llegar a tocarla nunca. 497 00:39:04,880 --> 00:39:20,320 Aquí, cuando tengo 2 elevado a menos 5, pues es 0,00 algo. Es un número muy cercano a cero, pero nunca llega a ser a cero, con lo cual nunca se toca la asíntota. 498 00:39:20,320 --> 00:39:38,570 Bueno, pues esto es lo que tengo que contaros de la función exponencial. 499 00:39:39,449 --> 00:39:45,769 Conviene, en un otro día también vimos la proporcionalidad inversa, vimos las parábolas y eso, 500 00:39:46,250 --> 00:39:53,610 conviene que os familiaricéis con cada tipo de función para que podáis pintarla prácticamente sin deciros nada. 501 00:39:53,610 --> 00:40:07,630 Si por ejemplo os dicen y igual a 3 elevado a x, bueno, pues yo sé que como la base es mayor que 1, la función es así. 502 00:40:07,630 --> 00:40:31,469 O sea, que sepáis intuitivamente que me ponen igual a un tercio elevado a x. Pues yo sé que como la base es menor que 1, la función va a ser igual. Esto lo podéis hacer de forma intuitiva, que sepáis cómo va a ser una gráfica de una función. 503 00:40:31,469 --> 00:40:43,579 Si tenéis una parábola igual a x cuadrado menos 3x más 4, pues sabéis que la función va a ser así. 504 00:40:44,059 --> 00:40:49,159 Aunque aquí deberíais calcular los cortes con los ejes y el vértice. 505 00:40:56,519 --> 00:41:08,460 Que os dan esta función igual a menos x cuadrado más 25. 506 00:41:08,460 --> 00:41:12,139 Entonces es una parábola que va boca abajo. 507 00:41:12,840 --> 00:41:15,619 Y luego habréis que calcular los cortes con los ejes y el vértice. 508 00:41:15,639 --> 00:41:32,159 Pero conocer las familias de funciones os permite ya saber cómo más o menos ver la función. Yo sé que esta función va a tener un mínimo y que no tiene un máximo, cosa que ya veréis que es importante. 509 00:41:32,159 --> 00:42:02,440 Bueno, por último, por hoy, la función logarítmica. Así, además, repasamos los logaritmos y os recuerdo un poco que la función logaritmo es la función inversa de la función exponencial. 510 00:42:02,440 --> 00:42:30,639 vamos a verlo 511 00:42:30,639 --> 00:42:33,139 si hasta la llamo f 512 00:42:33,139 --> 00:42:36,300 y hasta la llamo g 513 00:42:36,300 --> 00:42:40,710 f compuesto 514 00:42:40,710 --> 00:42:42,730 a ver mejor es poner g 515 00:42:42,730 --> 00:42:47,389 f compuesto 516 00:42:47,389 --> 00:42:48,150 con g 517 00:42:48,150 --> 00:42:50,449 de x 518 00:42:50,449 --> 00:42:53,230 es igual a f 519 00:42:53,230 --> 00:42:55,050 de g de x 520 00:42:55,050 --> 00:42:58,920 ¿no? 521 00:42:59,679 --> 00:43:01,980 g de x es a elevado a x 522 00:43:01,980 --> 00:43:08,710 y f es el logaritmo 523 00:43:08,710 --> 00:43:09,989 en base a 524 00:43:09,989 --> 00:43:11,570 de a elevado a x 525 00:43:11,570 --> 00:43:14,389 y esto si os acordáis 526 00:43:14,389 --> 00:43:16,989 el logaritmo 527 00:43:16,989 --> 00:43:18,969 es el exponente 528 00:43:18,969 --> 00:43:20,570 al que hay que elevar a 529 00:43:20,570 --> 00:43:23,090 al que hay que elevar a 530 00:43:23,090 --> 00:43:24,070 para que me dé esto 531 00:43:24,070 --> 00:43:26,050 pues esto obviamente es x 532 00:43:26,050 --> 00:43:27,429 ¿no? 533 00:43:27,829 --> 00:43:29,989 si no lo veis bien 534 00:43:29,989 --> 00:43:32,070 repasad los ejercicios de logaritmos 535 00:43:32,070 --> 00:43:33,469 porque esto es lo que está mostrando 536 00:43:34,449 --> 00:43:44,570 Entonces, yo tengo la función, por ejemplo, quiero dibujar la función igual a logaritmo en base 2 de x. 537 00:43:47,280 --> 00:44:01,559 Yo sé que si tengo la función igual a 2 elevado a x, pues su tabla de valores la calculo. 538 00:44:04,320 --> 00:44:06,980 0, 1, 2, menos 1, menos 2. 539 00:44:06,980 --> 00:44:15,599 Si la x es igual a cero, la y vale uno, esto era dos, esto era cuatro, esto cero cinco, un medio y esto cero veinticinco. 540 00:44:16,360 --> 00:44:29,400 Bueno, pues como la función inversa consiste en cambiar la x por la y, 541 00:44:29,400 --> 00:44:52,460 La gráfica, la tabla de la función logaritmo va a ser la siguiente, 1, 2, 4, 0, 5, 0, 25 y aquí la x es 0, 1, 2, menos 1 y menos 2. 542 00:44:56,659 --> 00:45:10,489 Entonces, para dibujar la gráfica de la tensión de ritmo, cojo el 1, 0, el 2, 1. 543 00:45:12,570 --> 00:45:18,289 Bueno, si queréis seguir, tendríamos el 4, ah, no, que lo tengo aquí, el 4, 2. 544 00:45:18,969 --> 00:45:28,780 Como veis, empieza a doblarse muy prontito y luego el 0, 5, menos 1 estaría por aquí. 545 00:45:28,780 --> 00:45:34,659 0,5 menos 1, el 0,25 menos 2 546 00:45:34,659 --> 00:45:37,880 y como veis os queda una función que es así. 547 00:45:40,989 --> 00:45:45,750 Esta es la función y igual a la gráfica de la función 548 00:45:45,750 --> 00:45:47,849 igual a la gráfica de la función de x. 549 00:45:48,550 --> 00:45:52,110 Voy a dibujar la exponencial a su lado 550 00:45:52,110 --> 00:45:56,909 para que veáis que, bueno, esta la he hecho antes, ¿no? 551 00:45:56,909 --> 00:46:01,829 Era por aquí, por aquí, creciendo cada vez muchísimo. 552 00:46:02,769 --> 00:46:09,949 Esta, esto, esto nunca va a parar de crecer, no va a tener límite, pero va a crecer despacísimo. 553 00:46:10,130 --> 00:46:13,050 Un crecimiento logarítmico es un crecimiento movimiento. 554 00:46:13,969 --> 00:46:19,250 Pero si os fijáis aquí hay una simetría con respecto de esta recta, que es y igual a x, 555 00:46:20,150 --> 00:46:22,670 porque estoy cambiando la x por la y. 556 00:46:22,670 --> 00:46:27,539 esta es la función 557 00:46:27,539 --> 00:46:30,059 igual a 2 elevado a x 558 00:46:30,059 --> 00:46:30,539 ¿sí? 559 00:46:32,559 --> 00:46:33,179 y bueno 560 00:46:33,179 --> 00:46:36,280 entonces, esta función 561 00:46:36,280 --> 00:46:40,869 la función logaritmo 562 00:46:40,869 --> 00:46:46,159 bueno, voy a ponerla aquí 563 00:46:46,159 --> 00:46:48,480 el dominio 564 00:46:48,480 --> 00:46:49,840 su dominio 565 00:46:49,840 --> 00:46:59,289 su dominio 566 00:46:59,289 --> 00:47:04,110 son los números positivos 567 00:47:04,110 --> 00:47:06,090 el intervalo 0, 25 568 00:47:06,090 --> 00:47:08,429 nunca va a llegar aquí 569 00:47:08,429 --> 00:47:11,050 siempre pasa por el punto 570 00:47:11,050 --> 00:47:13,030 0, 1 571 00:47:13,030 --> 00:47:14,469 perdón, 1, 0 572 00:47:14,469 --> 00:47:16,809 porque el logaritmo de 1 573 00:47:16,809 --> 00:47:18,349 siempre es 0 en cualquier base 574 00:47:18,349 --> 00:47:22,889 y 575 00:47:22,889 --> 00:47:28,199 tiene como asíntota vertical 576 00:47:28,199 --> 00:47:35,739 por la izquierda 577 00:47:35,739 --> 00:47:37,320 por la derecha, perdón 578 00:47:37,320 --> 00:47:41,619 el eje 579 00:47:41,619 --> 00:47:42,940 OI 580 00:47:42,940 --> 00:47:45,539 que os recuerdo que la ecuación del eje OI 581 00:47:45,539 --> 00:47:47,079 es X igual a 0 582 00:47:47,079 --> 00:47:49,679 si yo me acerco por la derecha 583 00:47:49,679 --> 00:47:50,639 al 0 584 00:47:50,639 --> 00:47:54,300 la función va cayendo 585 00:47:54,300 --> 00:47:55,079 hasta el infinito. 586 00:47:55,519 --> 00:47:57,179 La función está vertical 587 00:47:57,179 --> 00:48:00,039 por la derecha 588 00:48:00,039 --> 00:48:21,769 de aquí. Bueno, esta 589 00:48:21,769 --> 00:48:23,469 función ya la hemos dibujado 590 00:48:23,469 --> 00:48:24,610 y esta 591 00:48:24,610 --> 00:48:28,230 está la propuesta pero la voy a hacer. 592 00:48:29,130 --> 00:48:33,099 Tengo que hacer 593 00:48:33,099 --> 00:48:35,099 la función inversa de esta función de aquí. 594 00:48:35,099 --> 00:48:37,099 Un medio o 0.5 le va a dar x. 595 00:48:45,159 --> 00:48:47,639 Lo parimos en base a x de 0.4. 596 00:48:48,719 --> 00:48:49,619 Entonces, yo 597 00:48:49,619 --> 00:48:57,000 recuerdo que para hacer la función exponencial, si hago la función exponencial igual a 0,5 598 00:48:57,000 --> 00:49:14,119 elevado a x, la tabla de valores que me salía era 0,1, 1, 0,5, 2, 0,25, menos 1, 2, esta 599 00:49:14,119 --> 00:49:57,639 la tengo ya de antes. Si hago la tabla, pues me sale 0, 1, que sería aquí, 1, 2, 4, y luego menos 1, perdón, aquí es 0, 1, 1, 0, 5, 2, 0, 25. 600 00:49:57,639 --> 00:49:59,440 ¿Os acordáis que daba así? 601 00:50:00,000 --> 00:50:04,099 Menos 1, 2 y menos 2, 4. 602 00:50:05,539 --> 00:50:08,599 Esta es la que yo sabía porque la base era menor que 1. 603 00:50:09,219 --> 00:50:12,679 Esta es la función igual a 0,5 elevado a x. 604 00:50:13,659 --> 00:50:28,400 Y ahora, si cambio la x por la y, me queda el 1, 0, el 0, 5, 1, el 0, 25, 2, el 2, menos 1 605 00:50:28,400 --> 00:50:31,380 y el 4 menos 2 606 00:50:31,380 --> 00:50:33,480 aquí me quedaría el 607 00:50:33,480 --> 00:50:35,800 punto 1, 0 608 00:50:35,800 --> 00:50:38,699 el 0, 5, 1 609 00:50:38,699 --> 00:50:43,690 que sería el 0, 5, 1 por aquí 610 00:50:43,690 --> 00:50:46,289 el 0, 25, 2 611 00:50:46,289 --> 00:50:48,929 si os fijáis queda así 612 00:50:48,929 --> 00:50:53,409 y ahora el 2 menos 1 613 00:50:53,409 --> 00:50:55,690 y el 4 menos 2 614 00:50:55,690 --> 00:51:02,519 esta es la gráfica de la función 615 00:51:02,519 --> 00:51:04,400 igual a logaritmo 616 00:51:04,400 --> 00:51:06,780 en base 0.5 de x 617 00:51:06,780 --> 00:51:10,679 bueno, para finalizar 618 00:51:10,679 --> 00:51:12,800 el otro día me dio un poquito más de tiempo 619 00:51:12,800 --> 00:51:19,599 creo, porque lo hice 620 00:51:19,599 --> 00:51:20,900 esto, lo hice 621 00:51:20,900 --> 00:51:22,280 más rápido 622 00:51:22,280 --> 00:51:25,579 para finalizar 623 00:51:25,579 --> 00:51:27,780 os diría que os metáis en el aula 624 00:51:27,780 --> 00:51:29,679 virtual, que veáis 625 00:51:29,679 --> 00:51:31,739 los ejercicios ya que podéis ir 626 00:51:31,739 --> 00:51:33,719 haciendo, no me va a dar tiempo a entrar 627 00:51:33,719 --> 00:51:35,579 y además si tardamos en entrar 628 00:51:35,579 --> 00:51:36,500 a la aula virtual 629 00:51:36,500 --> 00:51:41,079 que vayáis viendo los ejercicios 630 00:51:41,079 --> 00:51:43,500 que podéis ir haciendo ya de examen 631 00:51:43,500 --> 00:51:44,840 para la tercera evaluación 632 00:51:44,840 --> 00:51:47,679 y que repaséis todos los conceptos 633 00:51:47,679 --> 00:51:48,639 hemos trabajado 634 00:51:48,639 --> 00:51:50,679 en ecuaciones exponenciales 635 00:51:50,679 --> 00:51:52,980 hemos trabajado en ecuaciones 636 00:51:52,980 --> 00:51:55,619 repasando los conceptos 637 00:51:55,619 --> 00:51:56,800 de la primera evaluación 638 00:51:56,800 --> 00:51:58,780 para que 639 00:51:58,780 --> 00:52:01,019 os salga bien en la tercera 640 00:52:01,019 --> 00:52:02,380 y obviamente 641 00:52:02,380 --> 00:52:04,139 para que podáis repasar 642 00:52:04,139 --> 00:52:08,099 la primera evaluación 643 00:52:08,099 --> 00:52:08,719 quien es 644 00:52:08,719 --> 00:52:12,019 pues nada 645 00:52:12,019 --> 00:52:13,019 pues un gusto 646 00:52:13,019 --> 00:52:15,300 que estéis ahí, muchas gracias por 647 00:52:15,300 --> 00:52:16,980 vuestra asistencia 648 00:52:16,980 --> 00:52:19,159 y nada, nos vemos el lunes 649 00:52:19,159 --> 00:52:20,099 de la semana que viene 650 00:52:20,099 --> 00:52:23,199 el lunes por cierto es el próximo día que tengo 651 00:52:23,199 --> 00:52:25,300 tutoría individual para revisión de exámenes 652 00:52:26,079 --> 00:52:27,380 que todavía no se puede 653 00:52:27,380 --> 00:52:28,039 contestar 654 00:52:28,039 --> 00:52:31,079 hasta pronto