1 00:00:00,000 --> 00:00:09,360 En este vídeo vamos a estudiar el signo y el crecimiento de las razones trigonométricas 2 00:00:09,360 --> 00:00:16,120 de un ángulo cualquiera cuadrante a cuadrante de una forma muy detallada. 3 00:00:16,120 --> 00:00:21,760 Es importante recordar que dado el punto P, ese punto que decíamos en su momento que 4 00:00:21,760 --> 00:00:27,160 era la clave de la definición de razón trigonométrica de un ángulo cualquiera, ese punto en el 5 00:00:27,160 --> 00:00:33,840 cual el segundo lado del ángulo cortaba la circunferencia cronométrica, dado ese punto 6 00:00:33,840 --> 00:00:39,000 su segunda coordenada, la coordenada Y, es el seno del ángulo y la primera coordenada, 7 00:00:39,000 --> 00:00:45,560 la coordenada X, lo que hablaríamos de la anchura, pues es el coseno, de forma que la 8 00:00:45,560 --> 00:00:51,000 altura es el seno y la anchura es el coseno. 9 00:00:51,000 --> 00:00:55,640 También es importante recordar el modo de trazar la línea que nos daba la tangente 10 00:00:55,640 --> 00:00:56,640 del ángulo. 11 00:00:56,640 --> 00:01:02,240 Bien, teniendo todo esto claro, pues podremos seguir el vídeo de forma adecuada. 12 00:01:02,240 --> 00:01:09,520 Si no lo recordamos podemos volver atrás y repasar los vídeos anteriores. 13 00:01:09,520 --> 00:01:12,760 Esta es nuestra circunferencia cronométrica sobre la cual colocamos los ángulos más 14 00:01:12,760 --> 00:01:22,080 importantes y trazamos nuestro cuadro para trabajar cómodamente. 15 00:01:22,080 --> 00:01:28,640 Es un cuadro bastante claro en el cual vamos a poder aclararnos muy bien. 16 00:01:28,640 --> 00:01:36,440 Bien, empezamos el primer cuadrante y vamos a ver si no crecimiento, empezamos por el 17 00:01:36,440 --> 00:01:39,400 seno. 18 00:01:39,400 --> 00:01:47,720 Colocamos ese punto que iría asociado al ángulo de cero grados y cuyo seno es cero 19 00:01:47,720 --> 00:01:51,240 porque el seno de cero grados es cero. 20 00:01:51,240 --> 00:01:57,840 Ese punto iría asociado a otro ángulo y la altura, lo que decíamos el seno, sería 21 00:01:57,840 --> 00:02:03,160 el seno del ángulo que vendría con ese punto, que vendría asociado a ese punto, sería 22 00:02:03,160 --> 00:02:06,240 ese, cero treinta y tres. 23 00:02:06,240 --> 00:02:11,720 Ese sería cero cincuenta y seis, vemos que ha aumentado, cero ochenta y uno, aumenta 24 00:02:11,720 --> 00:02:21,200 a aumentar y ponemos como último punto este cuyo seno es uno, noventa grados, ese punto 25 00:02:21,200 --> 00:02:24,560 va asociado al ángulo de noventa grados, cuyo seno es uno. 26 00:02:24,560 --> 00:02:29,680 Si resumimos vemos que ha ocurrido, pues lo que ha ocurrido es que los valores del seno 27 00:02:29,680 --> 00:02:36,000 son positivos en el primer cuadrante y vemos que han ido en aumento, han ido creciendo. 28 00:02:36,000 --> 00:02:46,600 Por tanto, signo del seno en el primer cuadrante positivo y van creciendo, ¿bien? 29 00:02:46,600 --> 00:02:49,200 Vamos a por el coseno. 30 00:02:49,200 --> 00:02:54,600 El coseno, empezaríamos otra vez desde el punto asociado al ángulo de cero grados, 31 00:02:54,600 --> 00:02:59,920 el coseno de cero es uno. 32 00:02:59,920 --> 00:03:07,480 Vamos a ver cómo va variando para los otros puntos, para ese ángulo, el ángulo asociado 33 00:03:07,480 --> 00:03:13,120 a ese punto sería el coseno cero noventa y cinco, vemos que es positivo, vemos que 34 00:03:13,400 --> 00:03:17,560 sigue siendo positivo pero va bajando, va disminuyendo, sigue siendo positivo pero va 35 00:03:17,560 --> 00:03:22,760 disminuyendo hasta que llegamos a cero. 36 00:03:22,760 --> 00:03:27,160 Vemos como el coseno ha empezado en uno y ha ido disminuyendo hasta llegar a valer cero 37 00:03:27,160 --> 00:03:28,960 para noventa grados. 38 00:03:28,960 --> 00:03:34,920 Por tanto el signo del coseno en el primer cuadrante es positivo y el crecimiento en 39 00:03:34,920 --> 00:03:40,920 este caso es decreciente, ¿bien? 40 00:03:40,920 --> 00:03:46,680 Vamos ahora por la tangente, recordemos cómo se trazaba, para cero grados pues la tangente 41 00:03:46,680 --> 00:03:53,440 sería cero, los otros nos interesa partir de ahí, para este punto esa sería la línea 42 00:03:53,440 --> 00:04:00,640 trigonométrica que nos daba la tangente, tendría un valor de cero treinta y cinco, 43 00:04:00,640 --> 00:04:08,200 aumenta cero sesenta y siete, aumenta uno treinta y siete, vemos que cada vez es mayor, 44 00:04:08,200 --> 00:04:12,280 ya sabemos que para noventa grados, para pi medios radianes, no existe el valor de 45 00:04:12,280 --> 00:04:17,660 la tangente pero si nos vamos dando cuenta de que cada vez va siendo mayor y si forzamos 46 00:04:17,660 --> 00:04:22,920 un poquito la imaginación veremos que conforme más se aproximan los ángulos a noventa pues 47 00:04:22,920 --> 00:04:26,560 mayor va siendo la longitud de esa línea. 48 00:04:26,560 --> 00:04:31,420 Vemos además que los valores son positivos, luego entonces la tangente tiene un signo 49 00:04:31,420 --> 00:04:36,600 positivo y es creciente en este primer cuadrante, ¿bien? 50 00:04:36,600 --> 00:04:40,560 Pero la secante, la cosecante y la cotangente no vamos a trabajar con las líneas trigonométricas, 51 00:04:40,560 --> 00:04:48,560 esto excede un poco del nivel que nosotros pretendemos y además podemos obtener fácilmente 52 00:04:48,560 --> 00:04:54,040 tanto el signo como el crecimiento a partir de las razones seno, coseno y tangente. 53 00:04:54,040 --> 00:04:59,960 Si nos damos cuenta, claro, la secante es la inversa del coseno, por lo tanto tiene 54 00:04:59,960 --> 00:05:08,120 que tener el mismo signo, es decir, una razón y otra su signo no cambia, sigue siendo el 55 00:05:08,120 --> 00:05:13,720 mismo, por lo tanto la secante tiene el mismo signo que el coseno y sería más, sin embargo 56 00:05:13,720 --> 00:05:18,720 el crecimiento es justo el contrario, si unos números van siendo cada vez más pequeños 57 00:05:18,720 --> 00:05:26,440 los inversos de esos números van siendo cada vez mayores y al contrario, por tanto el crecimiento 58 00:05:26,440 --> 00:05:32,520 para la secante es creciente, ¿bien? Vamos ahora a la cosecante, la cosecante es la inversa 59 00:05:32,520 --> 00:05:39,920 del seno, por tanto tiene el mismo signo y con respecto al crecimiento es el contrario 60 00:05:39,920 --> 00:05:49,780 del seno, por tanto decreciente y la cotangente tiene el mismo signo que la tangente, positivo 61 00:05:49,780 --> 00:05:56,900 y crecimiento contrario, por tanto decreciente, ¿bien? Bien, hemos terminado por el primer 62 00:05:56,900 --> 00:06:02,900 cuadrante, vamos a por el segundo. Segundo cuadrante empezaríamos donde lo dejamos, 63 00:06:02,900 --> 00:06:12,060 ahí, 90 grados, el seno es, recordemos, 1, estamos ahí, vamos a ir colocando puntos 64 00:06:12,060 --> 00:06:16,520 asociados a ángulos del segundo cuadrante, vamos a ir viendo cómo va variando la altura 65 00:06:16,520 --> 00:06:23,880 de esos puntos, ¿bien? Este punto tendría la altura 0,81, estamos en la parte positiva 66 00:06:23,880 --> 00:06:32,820 del eje, por tanto vemos cómo los valores del seno van siendo cada vez más pequeños 67 00:06:32,820 --> 00:06:38,920 hasta llegar a 180 grados cuyo seno es 0, ¿bien? Vemos entonces que ha ocurrido, pues 68 00:06:38,920 --> 00:06:42,880 que ha empezado valiendo 1, va cada vez más pequeño, por lo tanto si bien los valores 69 00:06:42,880 --> 00:06:52,040 son positivos el crecimiento en este caso es decreciente, ¿vale? Para el coseno empezaríamos 70 00:06:52,040 --> 00:07:04,800 en 0, el coseno es 0 y vemos cómo ese valor es menos 0,59, si nos damos cuenta menos 0,59 71 00:07:04,800 --> 00:07:11,600 es un número más pequeño que 0, ¿bien? Este número es también más pequeño que 72 00:07:11,600 --> 00:07:17,720 el anterior, este número es más pequeño que el anterior y este número es menos 1 73 00:07:17,720 --> 00:07:22,720 también más pequeño que el anterior. Vemos entonces cómo hemos empezado con el coseno 74 00:07:22,720 --> 00:07:29,000 valiendo 0 y hemos terminado con el coseno valiendo menos 1, por tanto los valores del 75 00:07:29,000 --> 00:07:35,880 coseno son negativos, han sido todos negativos y han ido disminuyendo, ¿bien? Tenemos que 76 00:07:35,880 --> 00:07:41,760 tener en cuenta que alguien puede pensar, ¿si la longitud de los segmentos es cada 77 00:07:41,760 --> 00:07:47,040 vez mayor? Sí, pero los números son negativos puesto que estamos trabajando en la parte 78 00:07:47,040 --> 00:07:52,400 negativa del eje X y los números son cada vez más pequeños, ¿bien? Es decir, si empieza 79 00:07:52,400 --> 00:07:57,760 valiendo 0 y termina valiendo menos 1 esos números son cada vez más pequeños, si se 80 00:07:57,760 --> 00:08:02,360 deben 59 céntimos uno debe menos dinero que si debe un euro, es decir, estos valores son 81 00:08:02,360 --> 00:08:13,360 cada vez más pequeños, por tanto, signo negativo y decreciente, el coseno va decreciendo, 82 00:08:13,360 --> 00:08:23,960 ¿bien? La tangente para ese ángulo sería menos 1 37, es negativa, tenemos que tener 83 00:08:23,960 --> 00:08:29,920 en cuenta que está en la parte negativa del eje Y, es negativa, el siguiente número asociado 84 00:08:30,520 --> 00:08:36,880 al punto, sería la tangente asociada al siguiente, es menos 0 67, este número es mayor que el 85 00:08:36,880 --> 00:08:43,920 anterior y este número es también mayor que el anterior, ¿bien? Vemos entonces que los 86 00:08:43,920 --> 00:08:49,960 valores de la tangente han sido cada vez mayores, la longitud de los segmentos es más pequeña 87 00:08:49,960 --> 00:08:54,560 pero los números son cada vez mayores puesto que son números negativos, esto a veces lleva 88 00:08:54,560 --> 00:09:01,720 un poco a contradicción, pero si lo pensamos un poco vemos que es perfectamente correcto, 89 00:09:01,720 --> 00:09:10,080 por tanto, la tangente es negativa y sus valores son crecientes en este segundo cuadrante, 90 00:09:10,080 --> 00:09:15,400 y sacamos los otros como hemos dicho antes, el signo es igual y el crecimiento el contrario, 91 00:09:15,400 --> 00:09:22,020 por ser funciones inversas, de manera que, signo de la secante igual que el del coseno 92 00:09:22,020 --> 00:09:29,740 y crecimiento el contrario, la secante es creciente, la cosecante es positiva, igual 93 00:09:29,740 --> 00:09:37,860 que el seno y el crecimiento es creciente, y la cotangente, mismo signo de la tangente, 94 00:09:37,860 --> 00:09:53,180 signo contrario, decreciente. Pasamos al tercer cuadrante y comenzamos con el seno, el seno 95 00:09:53,180 --> 00:10:01,260 vale cero y este sería el seno de ciento ochenta, vamos colocando puntos, nos damos 96 00:10:01,260 --> 00:10:07,900 cuenta de que sería menos cero treinta y tres, este sería otro punto asociado a un 97 00:10:07,900 --> 00:10:16,060 ángulo del tercer cuadrante, menos cero cincuenta y seis, menos cero ochenta y uno, vemos que 98 00:10:16,060 --> 00:10:20,780 estos números son cada vez más pequeños, son números negativos, por tanto, son cada 99 00:10:20,780 --> 00:10:25,140 vez más pequeños, a pesar de que la longitud de los segmentos sea mayor, pero tenemos que 100 00:10:25,140 --> 00:10:34,460 fijarnos bien en eso, y llegamos a menos uno, nos damos cuenta entonces de que el seno ha 101 00:10:34,460 --> 00:10:39,700 empezado valiendo cero, termina valiendo menos uno, por tanto los valores cada vez han ido 102 00:10:39,700 --> 00:10:45,380 siendo más pequeños, son además negativos y cada vez más pequeños, por lo tanto es 103 00:10:45,380 --> 00:10:56,500 decreciente, el coseno empieza valiendo menos uno, después es menos cero noventa y cinco, 104 00:10:56,500 --> 00:11:02,380 este número es mayor que menos uno, este número es mayor que menos cero noventa y 105 00:11:02,380 --> 00:11:06,860 cinco, menos cero ochenta y tres es mayor, este número también es mayor y por último 106 00:11:06,860 --> 00:11:13,340 llegamos a cero, vemos entonces que los valores del coseno son negativos pero han ido siendo 107 00:11:13,340 --> 00:11:19,780 cada vez mayores y han pasado de menos uno hasta cero, vemos entonces que el seno es 108 00:11:19,780 --> 00:11:29,940 negativo y va creciendo, el coseno en el tercer cuadrante crece, con respecto a la tangente, 109 00:11:29,940 --> 00:11:36,340 la tangente en el tercer cuadrante vemos que es positiva y si vamos fijándole las líneas 110 00:11:36,340 --> 00:11:42,540 que nos va dando la tangente son positivas y los valores son cada vez mayores, por tanto 111 00:11:42,540 --> 00:11:49,060 la tangente es positiva y los valores son crecientes, siendo cada vez mayor creciente, 112 00:11:49,060 --> 00:11:57,900 la secante ya hemos dicho antes que hay que hacer mismo signo, crecimiento contrario que 113 00:11:57,900 --> 00:12:07,180 el coseno, cosecante, mismo signo que el seno, crecimiento contrario, cotangente, mismo signo 114 00:12:07,180 --> 00:12:16,220 que la tangente, crecimiento contrario. Bien, vamos a por el cuarto cuadrante, empezaríamos 115 00:12:16,220 --> 00:12:23,260 con el seno y partimos del seno de doscientos setenta grados, tres pi medio radianes que 116 00:12:23,260 --> 00:12:29,420 es menos uno, vamos viendo como va variando, el siguiente ángulo tendría de seno menos 117 00:12:29,420 --> 00:12:36,500 cero ochenta y uno, el siguiente menos cero cincuenta y seis, el siguiente menos cero 118 00:12:36,500 --> 00:12:44,380 treinta y tres, vemos que estos números son cada vez mayores, hasta llegar a trescientos 119 00:12:44,380 --> 00:12:47,940 sesenta grados, dos pi radianes, hemos dado ya una vuelta de la circunferencia y el seno 120 00:12:47,940 --> 00:12:53,900 ahora es cero, entonces hemos empezado en menos uno, hemos terminado en cero, hemos 121 00:12:53,900 --> 00:13:01,220 visto que los valores son negativos pero que cada vez son mayores, luego signo negativo 122 00:13:01,220 --> 00:13:09,220 creciente, vamos ahora por el coseno, empezamos con coseno cero para doscientos setenta grados 123 00:13:09,220 --> 00:13:21,460 y a partir de ahí cero cincuenta y nueve, un número mayor, positivo, mayor, mayor, mayor 124 00:13:21,460 --> 00:13:28,340 hasta llegar a valer uno, vemos entonces que el coseno ha ido aumentando, son números 125 00:13:28,340 --> 00:13:34,780 positivos, va aumentando desde cero hasta uno, por tanto signo positivo creciente, vamos 126 00:13:34,780 --> 00:13:44,260 por la tangente, la tangente empieza valiendo esa cantidad, menos uno treinta y siete, el 127 00:13:44,260 --> 00:13:51,900 siguiente valor es mayor, hemos dicho antes que aunque el segmento es más pequeño pero 128 00:13:51,900 --> 00:13:57,820 son números negativos y este número es mayor que el anterior, este número es mayor también 129 00:13:57,820 --> 00:14:03,180 que el anterior, vemos por tanto que el signo de la tangente en el cuarto cuadrante es negativo 130 00:14:03,180 --> 00:14:10,740 pero sus valores son crecientes, y completamos ya lo poquito que nos queda de la misma manera 131 00:14:10,740 --> 00:14:20,380 que hemos hecho hasta ahora, secante, mismo signo del coseno, crecimiento distinto, cosecante, 132 00:14:20,380 --> 00:14:29,300 mismo signo del seno, el crecimiento en este caso es decreciente y por último la cotangente, 133 00:14:29,300 --> 00:14:34,580 mismo signo de la tangente y en este caso es decreciente. Bien, este video es un poquito 134 00:14:34,580 --> 00:14:39,920 largo pero creo que merece la pena repasarlo y estudiarlo en detalle para llegar a entender 135 00:14:39,920 --> 00:14:43,000 todo esto de una manera adecuada.