1
00:00:00,000 --> 00:00:03,439
Vamos a corregir todos los problemas del examen y además un par de problemas

2
00:00:03,439 --> 00:00:05,240
que hizo un compañero vuestro

3
00:00:05,240 --> 00:00:08,480
que no pudo realizar el examen el mismo día que vosotros.

4
00:00:10,500 --> 00:00:12,759
Bien, empezamos con la derivada de la función.

5
00:00:13,480 --> 00:00:17,100
Es de la forma f partido por g, por lo tanto f' de x

6
00:00:17,100 --> 00:00:23,320
será de la forma f' por g menos f por g' entre g².

7
00:00:24,239 --> 00:00:25,660
Pues nada, lo ponemos.

8
00:00:28,899 --> 00:00:30,780
Primero podemos empezar por g² que es más fácil.

9
00:00:30,780 --> 00:00:36,060
pondríamos logaritmo de x al cubo más 2

10
00:00:36,060 --> 00:00:37,140
todo y al cuadrado

11
00:00:37,140 --> 00:00:41,560
ponemos f' que sería menos seno de

12
00:00:41,560 --> 00:00:43,240
elevado a 2x más 1

13
00:00:43,240 --> 00:00:45,799
por la derivada de lo de dentro

14
00:00:45,799 --> 00:00:48,399
que es elevado a 2x más 1

15
00:00:48,399 --> 00:00:51,179
por 2 menos

16
00:00:51,179 --> 00:00:54,240
perdón, por g

17
00:00:54,240 --> 00:00:58,840
que sería logaritmo de periano de

18
00:00:58,840 --> 00:01:00,299
x al cubo más 2

19
00:01:00,299 --> 00:01:28,579
Ahora menos la f, que es el numerador, coseno de elevado a 2x más 1, por la derivada del denominador, la derivada de g, que como es de la forma logaritmo periano de f, su derivada es f' partido por f, que sería f' 3x cuadrado entre f x al cubo más 2.

20
00:01:28,579 --> 00:01:31,780
y esa sería la derivada

21
00:01:31,780 --> 00:01:33,799
no se puede simplificar mucho más

22
00:01:33,799 --> 00:01:36,959
si acaso se pueden cambiar los productos de orden y ya está

23
00:01:36,959 --> 00:01:40,540
de hecho en el enunciado del problema se decía que no hace falta simplificar

24
00:01:40,540 --> 00:01:42,480
se puede poner así por ejemplo

25
00:01:42,480 --> 00:01:45,099
pero bueno, no es necesario

26
00:01:45,099 --> 00:01:49,019
2 elevado a 2x más 1

27
00:01:49,019 --> 00:01:54,650
seno de 2x más 1, bueno con el menos

28
00:01:54,650 --> 00:01:58,870
por logaritmo de periano de x al cubo más 2

29
00:01:58,870 --> 00:02:03,430
menos 3x al cuadrado entre x al cubo más 2

30
00:02:03,430 --> 00:02:07,090
coseno de elevada a 2x más 1

31
00:02:07,090 --> 00:02:13,250
entre logaritmo de x al cubo más 2 al cuadrado

32
00:02:13,250 --> 00:02:15,650
El segundo problema es de límites

33
00:02:15,650 --> 00:02:17,849
Había dos en el examen pero vamos a corregir tres

34
00:02:17,849 --> 00:02:20,830
porque había un tercer límite que hizo un compañero vuestro

35
00:02:20,830 --> 00:02:22,569
en su examen que es interesante

36
00:02:22,569 --> 00:02:27,610
Bien, lo primero que hacemos es ver qué tipo de indeterminación es

37
00:02:27,610 --> 00:02:44,219
Tenemos que el límite, esto es una función de la forma f elevado a g, vamos a ver el límite cuando x tiende a infinito de f, tomando funciones equivalentes, es el límite cuando x tiende a infinito de x partido por x, que es 1.

38
00:02:45,460 --> 00:02:59,780
Por otra parte, el límite cuando x tiende a infinito de x cuadrado menos 5 partido por x más 1, es el límite cuando x tiende a infinito, tomando funciones equivalentes, de x cuadrado partido por x, que es infinito.

39
00:02:59,780 --> 00:03:04,120
Por lo tanto es 1 en terminación de la forma 1 elevado a infinito

40
00:03:04,120 --> 00:03:15,370
De forma que el límite va a ser e elevado a el límite cuando x tiende a infinito

41
00:03:15,370 --> 00:03:21,150
Y aquí la fórmula era f menos 1 por g

42
00:03:21,150 --> 00:03:32,370
Pues lo ponemos de x más 3 entre x más 5 menos 1 por x cuadrado menos 5 partido por x más 1

43
00:03:32,370 --> 00:03:35,150
Y podemos calcular aquí debajo este límite.

44
00:03:36,909 --> 00:03:48,930
Vamos a ponerlo aquí, el límite cuando x tiende a infinito de x más 3 partido por x más 5 menos 1 por x cuadrado menos 5 partido por x más 1.

45
00:03:49,490 --> 00:03:52,449
Lo primero que podemos hacer es calcular este valor.

46
00:03:52,449 --> 00:04:11,110
Bueno, vamos a hacerlo. x más 3 entre x más 5 menos 1, esto es igual a x más 3 menos x menos 5 entre x más 5, y eso es menos 2 entre x más 5.

47
00:04:12,449 --> 00:04:22,629
Por lo tanto, este límite es el límite cuando x tiende a infinito de menos 2 entre x más 5 por x cuadrado menos 5 entre x más 1.

48
00:04:24,730 --> 00:04:32,949
Tomando funciones equivalentes, se puede poner, por ejemplo aquí, funciones equivalentes.

49
00:04:34,490 --> 00:04:37,730
Eso es el límite cuando x tiende a infinito, b.

50
00:04:38,290 --> 00:04:40,949
Bueno, antes de nada, ¿por qué tomamos funciones equivalentes?

51
00:04:40,949 --> 00:04:46,470
Porque sólo tenemos productos. Es decir, estamos viendo esto, por esto, por esto y por esto.

52
00:04:47,250 --> 00:04:53,290
Entonces, las funciones equivalentes se pueden sustituir sólo cuando están multiplicando o dividiendo, y nada más que en esas circunstancias.

53
00:04:54,930 --> 00:05:00,329
Pues tendríamos menos 2 por x cuadrado entre x por x.

54
00:05:00,709 --> 00:05:07,310
Y ese es el límite cuando x tiende a infinito de menos 2x cuadrado entre x cuadrado, que es menos 2.

55
00:05:08,470 --> 00:05:10,910
Por lo tanto, esto es elevado a menos 2.

56
00:05:11,569 --> 00:05:12,269
Y ya está.

57
00:05:13,730 --> 00:05:22,750
Bueno, hay gente que directamente ha hecho este producto, ha multiplicado esto, que era menos 2x cuadrado más 10.

58
00:05:22,750 --> 00:05:43,629
Ha multiplicado esto, que era x cuadrado más 6x más 5, y ha calculado el límite cuando x tiende a infinito de menos 2x cuadrado más 10, perdón, entre x cuadrado más 6x más 5, y obviamente eso es menos 2.

59
00:05:43,629 --> 00:05:46,569
Bueno, pues obviamente este paso también está bien

60
00:05:46,569 --> 00:05:53,389
Bien, tenemos aquí un límite

61
00:05:53,389 --> 00:05:58,949
Esto, si lo calculamos, tendríamos menos infinito a la 5

62
00:05:58,949 --> 00:06:02,370
Por elevado a menos infinito, que es menos infinito por 0

63
00:06:02,370 --> 00:06:04,290
Y eso es una indeterminación

64
00:06:04,290 --> 00:06:11,220
Por lo tanto, hay que utilizar algún método alternativo

65
00:06:11,220 --> 00:06:12,779
Por ejemplo, repitarlo

66
00:06:12,779 --> 00:06:14,500
O ordenarse al infinito

67
00:06:14,500 --> 00:06:18,220
En este caso haciendo un cambio de variable porque tenemos un menos infinito y no un más infinito

68
00:06:18,220 --> 00:06:20,660
Bien, pues nada, lo hacemos

69
00:06:20,660 --> 00:06:24,699
lo primero que hacemos es

70
00:06:24,699 --> 00:06:25,920
por ejemplo con l'Hôpital

71
00:06:25,920 --> 00:06:28,740
es pasar una función abajo

72
00:06:28,740 --> 00:06:29,399
quiero decir

73
00:06:29,399 --> 00:06:37,269
l'Hôpital es para

74
00:06:37,269 --> 00:06:39,250
la función 0 partido por 0 o infinito

75
00:06:39,250 --> 00:06:40,670
partido por infinito, con lo cual

76
00:06:40,670 --> 00:06:42,649
aquí no tenemos ninguna de las dos

77
00:06:42,649 --> 00:06:45,129
habría que tener o bien

78
00:06:45,129 --> 00:06:47,389
x a la 5 por elevado a

79
00:06:47,389 --> 00:06:49,269
menos x

80
00:06:49,269 --> 00:06:51,350
que esto va a

81
00:06:51,350 --> 00:06:53,430
funcionar, el otro cambio posible

82
00:06:53,430 --> 00:06:55,170
sería el elevado a x

83
00:06:55,170 --> 00:06:59,029
entre 1 partido por x a la 5, pero esto no va a funcionar porque si hacemos derivadas

84
00:06:59,029 --> 00:07:02,750
tendríamos elevado a x entre, hasta la primera derivada

85
00:07:02,750 --> 00:07:07,610
menos 5 por x a la 6 y esto se complicaría

86
00:07:07,610 --> 00:07:11,230
sucesivamente, esto no va a valer, con lo cual vamos a tener que hacer esto

87
00:07:11,230 --> 00:07:14,810
si hacemos lo vital, entonces sería el límite

88
00:07:14,810 --> 00:07:19,189
voy a hacerlo en dos pasos para que no haya dudas, x a la 5

89
00:07:19,189 --> 00:07:22,350
entre 1 partido por elevado a x y esto es el límite

90
00:07:22,350 --> 00:07:28,389
cuando x tiende a menos infinito de x a la 5 entre el elevado a menos x

91
00:07:28,389 --> 00:07:32,490
y ahora ya podemos aplicar la regla del hospital

92
00:07:32,490 --> 00:07:37,339
ahora tenemos arriba menos infinito y abajo

93
00:07:37,339 --> 00:07:43,759
el elevado a menos menos infinito que es menos infinito entre infinito

94
00:07:43,759 --> 00:07:44,779
se puede aplicar el hospital

95
00:07:44,779 --> 00:07:51,779
es el límite cuando x tiende a menos infinito de 5x cuadro derivada y aquí menos elevado a menos x

96
00:07:51,779 --> 00:07:54,399
estamos otra vez en lo mismo

97
00:07:54,399 --> 00:07:56,740
aplicamos otra vez la pital

98
00:07:56,740 --> 00:08:01,579
tenemos el límite cuando x tiende a menos infinito

99
00:08:01,579 --> 00:08:06,100
de 20x al cubo entre e elevado a menos x

100
00:08:06,100 --> 00:08:08,699
fijaos que aquí aparece un menos

101
00:08:08,699 --> 00:08:11,639
aquí es aparecido porque es el menos del exponente

102
00:08:11,639 --> 00:08:13,180
que vuelve a aparecer

103
00:08:13,180 --> 00:08:15,759
hacemos otra vez la pital

104
00:08:15,759 --> 00:08:19,889
límite cuando x tiende a menos infinito

105
00:08:19,889 --> 00:08:31,670
de 60e x cuadrado entre menos elevado a menos x. Hacemos otra vez lo vital. Límite cuando

106
00:08:31,670 --> 00:08:40,549
x tiende a menos infinito de 120x entre elevado a menos x igual a límite cuando x tiende

107
00:08:40,549 --> 00:08:48,889
a menos infinito de 120 entre menos elevado a menos x. Y aquí ya arriba tenemos un número

108
00:08:48,889 --> 00:09:03,470
y abajo tendríamos menos elevado a menos menos infinito y esto es infinito 120 entre infinito

109
00:09:03,470 --> 00:09:12,330
que es 0. Por lo tanto, bueno, perdón, menos infinito que es 0. El límite es 0. Eso con

110
00:09:12,330 --> 00:09:17,230
el pital. ¿Cuál es el segundo método? Pues el segundo método tendría un límite cuando

111
00:09:17,230 --> 00:09:18,610
x tiende a menos infinito

112
00:09:18,610 --> 00:09:21,509
de x a la 5 elevado a x

113
00:09:21,509 --> 00:09:23,970
el segundo es que hay que hacer un cambio de variable

114
00:09:23,970 --> 00:09:25,409
t igual

115
00:09:25,409 --> 00:09:27,649
a menos x

116
00:09:27,649 --> 00:09:29,409
por lo tanto x es menos t

117
00:09:29,409 --> 00:09:31,389
esto no es para ponerlo, esto es lo que entiende

118
00:09:31,389 --> 00:09:33,549
y si t

119
00:09:33,549 --> 00:09:36,009
si x

120
00:09:36,009 --> 00:09:39,970
tiende a menos infinito

121
00:09:39,970 --> 00:09:42,009
pues t tiende a infinito

122
00:09:42,009 --> 00:09:43,289
entonces sería el límite

123
00:09:43,289 --> 00:09:46,450
cuando t tiende a

124
00:09:46,450 --> 00:09:47,129
infinito

125
00:09:47,129 --> 00:09:50,590
de menos t, porque x es menos t

126
00:09:50,590 --> 00:09:58,860
elevado a 5 por elevado a menos x

127
00:09:58,860 --> 00:10:04,379
podemos pasar el menos x abajo, esto es el límite

128
00:10:04,379 --> 00:10:09,460
cuando t tiene infinito, de menos t a 5 y elevado a menos x

129
00:10:09,460 --> 00:10:12,320
es 1 partido por elevado a t

130
00:10:12,320 --> 00:10:22,649
me he fistado, esto es 1t, entonces este límite sería

131
00:10:22,649 --> 00:10:36,740
este límite, y ahora ya si que teníamos

132
00:10:36,740 --> 00:10:38,440
podemos aplicar órdenes

133
00:10:38,440 --> 00:10:40,519
porque en infinito sabemos que t a la 5

134
00:10:40,519 --> 00:10:42,639
es mucho más pequeño que elevado a t

135
00:10:42,639 --> 00:10:44,759
y por lo tanto este límite es t

136
00:10:44,759 --> 00:10:46,539
ya hemos terminado

137
00:10:46,539 --> 00:10:47,980
me han preguntado

138
00:10:47,980 --> 00:10:50,120
vale, observación

139
00:10:50,120 --> 00:10:54,679
si se puede hacer una cosa similar

140
00:10:54,679 --> 00:10:57,279
en menos infinito

141
00:10:57,279 --> 00:10:59,220
y la respuesta es que sí

142
00:10:59,220 --> 00:11:01,500
pero es desaconsejable porque se aprenden muchas reglas

143
00:11:01,500 --> 00:11:03,000
la regla del cambio de variable

144
00:11:03,000 --> 00:11:06,419
se puede aplicar en muchos contextos

145
00:11:06,419 --> 00:11:08,279
de hecho en la evau hay un ejercicio

146
00:11:08,279 --> 00:11:10,620
aunque para otra cosa diferente de cambio de variable

147
00:11:10,620 --> 00:11:12,580
bueno pues

148
00:11:12,580 --> 00:11:16,679
pongo aquí para que no lo hagan

149
00:11:16,679 --> 00:11:17,220
la gente

150
00:11:17,220 --> 00:11:20,779
desaconsejable

151
00:11:20,779 --> 00:11:23,960
sería pues ver

152
00:11:23,960 --> 00:11:25,340
porque habría que venderse más cosas

153
00:11:25,340 --> 00:11:28,039
que ocurre menos infinito

154
00:11:28,039 --> 00:11:28,840
con los

155
00:11:28,840 --> 00:11:33,200
con el orden de las funciones

156
00:11:33,200 --> 00:11:34,700
bueno pues eso podría ser el límite

157
00:11:34,700 --> 00:11:36,779
cuando x tiende a menos infinito

158
00:11:36,779 --> 00:11:37,899
pero

159
00:11:37,899 --> 00:11:40,419
como teníamos este producto

160
00:11:40,419 --> 00:11:42,500
tendría que haber una división de cosas

161
00:11:42,500 --> 00:11:44,279
entonces podemos poner de elevado a x

162
00:11:44,279 --> 00:11:47,179
entre 1 partido por x a la 5

163
00:11:47,179 --> 00:11:50,909
y es verdad que

164
00:11:50,909 --> 00:11:52,590
en menos infinito teníamos que

165
00:11:52,590 --> 00:11:54,950
elevado a x es mucho más pequeño

166
00:11:54,950 --> 00:11:56,830
ocurre al revés, fijaos que en infinito

167
00:11:56,830 --> 00:11:58,769
tenemos esto mayor que tal, pues aquí tenemos que

168
00:11:58,769 --> 00:12:01,669
esto es mucho más pequeño que 1 partido por x a la 5

169
00:12:01,669 --> 00:12:03,690
y puesto que esto es mucho más pequeño

170
00:12:03,690 --> 00:12:04,909
el límite es 0

171
00:12:04,909 --> 00:12:06,710
también vale

172
00:12:06,710 --> 00:12:08,629
pero hay que estudiarse

173
00:12:08,629 --> 00:12:10,690
y ver como son en menos infinito

174
00:12:10,690 --> 00:12:12,029
pues es las funciones

175
00:12:12,029 --> 00:12:14,529
y tenemos pues que

176
00:12:14,529 --> 00:12:16,350
habría que pensar pues que

177
00:12:16,350 --> 00:12:17,470
todos los polinomios de

178
00:12:17,470 --> 00:12:20,090
x elevado a

179
00:12:20,090 --> 00:12:22,129
alfa o a

180
00:12:22,129 --> 00:12:23,330
con a

181
00:12:23,330 --> 00:12:26,769
con a negativo

182
00:12:26,769 --> 00:12:28,049
pues todos tienden a cero

183
00:12:28,049 --> 00:12:30,429
en menos infinito y que la

184
00:12:30,429 --> 00:12:32,809
es pequeña que todos ellos, habría que ponerse muchas más

185
00:12:32,809 --> 00:12:34,450
fórmulas diferentes

186
00:12:34,450 --> 00:12:36,029
para ese tipo de

187
00:12:36,029 --> 00:12:38,210
de límites, es mejor

188
00:12:38,210 --> 00:12:40,350
tenerlas todas en más infinito

189
00:12:40,350 --> 00:12:43,450
y hacer un cambio variable

190
00:12:43,450 --> 00:12:44,950
yo lo desaconsejo

191
00:12:44,950 --> 00:12:47,769
pero ya que me han preguntado lo pongo

192
00:12:47,769 --> 00:12:54,539
por último un límite

193
00:12:54,539 --> 00:12:59,860
de la forma infinito menos infinito

194
00:12:59,860 --> 00:13:01,679
porque eso tiene infinito y esto infinito

195
00:13:01,679 --> 00:13:08,100
en este caso lo más razonable es multiplicar por el conjugado

196
00:13:08,100 --> 00:13:10,500
esto es el límite

197
00:13:10,500 --> 00:13:30,100
cuando x tiende a infinito de raíz de x al cuadrado más 3x menos x por raíz cuadrada de x al cuadrado más 3x más x entre raíz cuadrada de x al cuadrado más 3x más x.

198
00:13:30,100 --> 00:13:58,919
Y eso es el límite cuando x tiende a infinito. De arriba ponemos x cuadrado más 3x menos x al cuadrado. Y abajo podemos sustituirlo por x cuadrado raíz cuadrada más x, ya que esto es equivalente a x cuadrado y tenemos una suma de modo que nos hace 0.

199
00:13:58,919 --> 00:14:17,830
Y esto es el límite cuando x tiende a infinito, bueno, esto y esto se va, de 3x entre x más x, que es el límite cuando x tiende a infinito, de 3x entre 2x, que es 3 medios.

200
00:14:18,490 --> 00:14:19,690
Y ya hemos terminado.

201
00:14:20,789 --> 00:14:27,269
El siguiente problema es fácil. Nos piden calcular la recta tangente a esta función paralela a esta recta.

202
00:14:27,269 --> 00:14:35,690
Para ello hay que calcular en qué punto de esta función su pendiente es la misma que la de esta recta.

203
00:14:36,009 --> 00:14:38,649
Lo primero que hacemos es calcular la pendiente de recta.

204
00:14:39,269 --> 00:14:40,409
Para ello despejamos la Y.

205
00:14:41,470 --> 00:14:48,029
Tenemos 4X menos 2Y es igual a 3, por lo tanto 4X menos 3 es igual a 2Y.

206
00:14:49,129 --> 00:14:56,049
Y tenemos que Y es igual a 4X menos 3 partido por 2, que es 2X menos 3 medios.

207
00:14:56,049 --> 00:15:02,409
De modo que la pendiente de dicha recta que queremos representar con la letra m sería 2.

208
00:15:03,950 --> 00:15:10,570
Ahora calculemos la pendiente en todos los puntos de la función, por lo que en lo mismo calculemos la derivada.

209
00:15:11,190 --> 00:15:13,990
f de x es x cuadrado menos 3x más 1.

210
00:15:15,129 --> 00:15:20,870
Su pendiente en cada punto es f' de x, que es 2x menos 3.

211
00:15:20,870 --> 00:15:26,490
Y esto, pues, pedimos encontrar cuál es el punto en que vale 2

212
00:15:26,490 --> 00:15:34,570
Y esto ocurre si sólo si, pues, 2x es igual a 2 más 3 que es 5

213
00:15:34,570 --> 00:15:39,389
Es decir, si x es igual a 5 medios

214
00:15:39,389 --> 00:15:41,870
De modo que ahí tenemos el punto

215
00:15:41,870 --> 00:15:54,190
Y ahora, pues para que pueda haber esta pendiente, nos hace falta calcular por una parte f de 5 medios y f' de 5 medios.

216
00:15:55,110 --> 00:16:00,070
f' de 5 medios ya lo sabemos, es 2, porque esto ocurre si solo así ocurre esto.

217
00:16:01,269 --> 00:16:13,490
En cuanto a f de 5 medios, sustituir sería 5 medios al cuadrado menos 3 veces 5 medios más 1,

218
00:16:13,490 --> 00:16:29,129
Esto es 25 cuartos menos 15 medios más 1, esto es 25 menos 30 más 4 partido por 4 y esto es menos 1 cuarto.

219
00:16:29,129 --> 00:16:51,210
Y ya es aplicada la fórmula. La recta tangente en un punto x0 de f de x es igual a f de x0 más f' de x0 por x menos x0.

220
00:16:51,210 --> 00:17:15,130
Y la recta tangente en x igual a 5 medios de f de x sería y igual a f de x0, f de 5 medios, que es menos 1 cuarto más n' que es 2, por x menos 5 medios.

221
00:17:15,710 --> 00:17:22,029
Esto es igual a menos 1 cuarto más 2x menos 5, esto es igual a 2x.

222
00:17:22,029 --> 00:17:37,480
Ahora calculamos menos 5 menos 1 cuarto, lo hacemos aparte, esto es menos 20 menos 1 partido por 4 que es menos 21 cuartos.

223
00:17:39,640 --> 00:17:47,740
Por lo tanto la solución es igual a 2x menos 21 cuartos.

224
00:17:50,440 --> 00:17:55,960
El siguiente problema no es del examen, pero sí del examen que realizó el compañero aquel día, por eso lo tenemos con 3 prima.

225
00:17:55,960 --> 00:18:02,990
Nos piden calcular la recta tangente de mínima pendiente de esta función

226
00:18:02,990 --> 00:18:08,309
Para ello, en primer lugar, tenemos que calcular la pendiente en cada punto, que es la derivada

227
00:18:08,309 --> 00:18:22,690
Y después, por todos estos puntos, hay que calcular el que tenga pendiente mínima

228
00:18:22,690 --> 00:18:27,089
Para ello hay que hacer la derivada de la derivada, que es la derivada segunda

229
00:18:27,089 --> 00:18:30,089
Que es 6x menos 6

230
00:18:30,089 --> 00:18:33,470
Igualamos a 0 para encontrar los mínimos

231
00:18:33,470 --> 00:18:39,210
Esto ocurre si solo si 6x es igual a 6, si solo si x es igual a 1.

232
00:18:40,829 --> 00:18:42,349
Falta comprobar que es un mínimo.

233
00:18:42,809 --> 00:18:44,190
Lo podemos hacer de dos formas.

234
00:18:44,609 --> 00:18:59,170
La más sencilla es calcular directamente f'' de x, que es 6, porque esto es f' de x derivada segunda,

235
00:18:59,170 --> 00:19:07,390
que como es mayor que cero, tendríamos que 1 es un mínimo de f' de x.

236
00:19:08,049 --> 00:19:10,269
Bueno, esto no es fácil de escribirlo, lo escribo yo para explicar.

237
00:19:13,769 --> 00:19:17,490
Eso es lo más sencillo. También se podría hacer, pues, viendo los signos de derivada segunda.

238
00:19:17,829 --> 00:19:33,119
Haciendo la tabla, de menos infinito a 1, el 1, y de 1 a infinito, f'', y f'.

239
00:19:33,119 --> 00:19:36,930
f'. Como esto es una recta,

240
00:19:37,769 --> 00:19:40,269
esto es la recta 6x-6, que tiene esta forma,

241
00:19:42,109 --> 00:19:43,809
aquí es positiva, aquí es negativa,

242
00:19:43,970 --> 00:19:47,069
perdón, al revés.

243
00:19:48,569 --> 00:19:51,009
Negativo, positivo, aquí es cero,

244
00:19:52,390 --> 00:19:53,970
aquí es decreciente,

245
00:19:54,829 --> 00:20:00,220
creciente, por lo tanto aquí es un mínimo.

246
00:20:01,480 --> 00:20:03,940
También se puede calcular esto viendo un punto

247
00:20:03,940 --> 00:20:06,920
de aquí, viendo el valor de la derivada. Si cogemos, por ejemplo,

248
00:20:07,279 --> 00:20:11,640
El punto 0, pues aquí la derivada vale menos 6, negativa.

249
00:20:12,319 --> 00:20:28,319
Si aquí cogemos el punto 2, pues tenemos 12 menos 6, que es 6, y es positiva, y ya está hecho.

250
00:20:28,319 --> 00:20:33,380
Bueno, pues entonces ya tenemos que el 1 es un mínimo de f'.

251
00:20:33,380 --> 00:20:37,480
Bueno, una vez que hemos hecho eso, ya es calcular la pendiente.

252
00:20:39,559 --> 00:20:45,779
Recta tangente, cogemos un punto general de f de x en x0.

253
00:20:48,190 --> 00:20:56,569
Y la recta tangente de f de x en x igual a 1.

254
00:20:57,170 --> 00:21:11,240
Bueno, antes de nada hay que calcular el valor de f' de 1 y f' de 1.

255
00:21:11,440 --> 00:21:15,180
f' de 1, perdón, me he fiscado, y de f de 1.

256
00:21:16,240 --> 00:21:23,630
f' de 1 es 3 por 1 menos 6, que es menos 3.

257
00:21:23,849 --> 00:21:29,410
f de 1 es 1 menos 3 más 4, que es 4 menos 5 menos 3, 2.

258
00:21:31,579 --> 00:21:44,420
Y ya lo que tenemos es, pues, a ver, la recta general es y es igual a f de x0 más f' de x0 por x menos x0.

259
00:21:44,420 --> 00:21:55,940
Y esto es y es igual a 1, que es f de 1, que es 2, más f' que sería menos 3 por x menos 1.

260
00:21:55,940 --> 00:22:17,700
y esto es 2 menos 3x más 3 y esto es menos 3x más 5, con lo cual la solución sería igual a menos 3x más 5.

261
00:22:20,339 --> 00:22:26,259
Por último, si alguien tiene dudas del significado de esto, pues a ver si cogemos la representación de esta función,

262
00:22:26,259 --> 00:22:36,660
tiene esta forma. La derivada aquí va decreciendo hasta un punto que es mínima. Esa es la recta

263
00:22:36,660 --> 00:22:44,839
que es en el punto 1 y esta es la recta pendiente que es igual a menos 3x más 5. Luego ya vuelve

264
00:22:44,839 --> 00:22:51,720
a crecer la pendiente hasta el infinito, aquí venía de menos infinito, y la recta que hemos

265
00:22:51,720 --> 00:23:01,589
calculado exista. Bien, en este problema tenemos que estudiar los intervalos de crecimiento y los

266
00:23:01,589 --> 00:23:08,230
extremos relativos, es decir, máximos y mínimos relativos, en el intervalo de menos 5 infinito.

267
00:23:08,470 --> 00:23:14,950
Aquí lo fundamental es saber que el menos 5 es un extremo y que habrá que tenerlo en cuenta.

268
00:23:15,930 --> 00:23:23,109
Tenemos que calcular en cuenta, como extremos relativos, los bordes de los intervalos, los

269
00:23:23,109 --> 00:23:28,210
puntos si la función es a trozos en que se junta, que aquí no es el caso, y los ceros

270
00:23:28,210 --> 00:23:36,130
de la derivada. Pues nada, empezamos. Calculando los ceros de la derivada. Si f de x es x elevado

271
00:23:36,130 --> 00:23:45,190
a x menos 3, f' de x sería 1 por elevado a x más x elevado a x, esto es, sacando el

272
00:23:45,190 --> 00:23:52,609
factor común, x más 1 por elevado a x. Y eso es igual a 0 si y solo si x más 1 es

273
00:23:52,609 --> 00:24:01,980
igual a cero, ya que esto siempre es distinto de cero. Y esto es igual a cero si solo x es igual a menos uno.

274
00:24:03,910 --> 00:24:15,390
Por lo tanto, los puntos que vamos a estudiar serán el menos uno. Entonces, estudiamos como posibles extremos

275
00:24:15,390 --> 00:24:23,549
relativos menos uno y menos cinco. Esto no hay que escribirlo en el examen, no hace falta, se sobreentiende.

276
00:24:23,549 --> 00:24:27,069
lo escribo yo para que quede constancia de eso

277
00:24:27,069 --> 00:24:31,450
porque el fallo más común ha sido no contar el menos 5

278
00:24:31,450 --> 00:24:34,049
como extremo relativo

279
00:24:34,049 --> 00:24:35,950
y por tanto tampoco absoluto

280
00:24:35,950 --> 00:24:39,089
bueno, no era absoluto tampoco como solución

281
00:24:39,089 --> 00:24:41,049
pero como candidato absoluto quería decir

282
00:24:41,049 --> 00:24:43,210
bueno, pues hacemos la tabla

283
00:24:43,210 --> 00:24:46,390
tenemos una tabla donde tengamos desde menos 5

284
00:24:46,390 --> 00:24:50,250
de menos 5 hasta menos 1

285
00:24:50,250 --> 00:24:52,650
el menos 1

286
00:24:52,650 --> 00:24:55,809
y de menos 1 a infinito

287
00:24:55,809 --> 00:25:01,799
cogemos los valores de f' y los de f

288
00:25:01,799 --> 00:25:09,720
aquí vale 0, aquí no nos importa lo que valga

289
00:25:09,720 --> 00:25:12,869
y ahora calculamos los valores

290
00:25:12,869 --> 00:25:16,809
como esto es positivo

291
00:25:16,809 --> 00:25:19,049
van a ser los valores de la recta x más 1

292
00:25:19,049 --> 00:25:20,930
y la recta x más 1 tiene esta forma

293
00:25:20,930 --> 00:25:22,589
va a ser aquí positivo y negativo

294
00:25:22,589 --> 00:25:25,069
pero si no, cogemos un punto de aquí

295
00:25:25,069 --> 00:25:26,670
por ejemplo el menos 2

296
00:25:26,670 --> 00:25:38,369
Y calculamos, pues, f' de menos 2, que sería menos 0,135.

297
00:25:39,150 --> 00:25:42,130
Como eso es negativo, pues, efectivamente son menos.

298
00:25:43,809 --> 00:25:59,000
Podemos calcular un punto que está aquí, el más inferior de 0, y f de 0, perdón, f' de 0 es, pues, 1, que es positivo, con lo cual esto es positivo.

299
00:26:00,000 --> 00:26:15,069
y ya está bueno pues ahora ponemos los datos de jefe esto es decreciente esto es creciente bueno

300
00:26:16,329 --> 00:26:24,609
aquí tenemos que cero es un vídeo porque tiene esta forma con lo cual es un mínimo y aquí es

301
00:26:24,609 --> 00:26:28,809
un máximo relativo porque a partir del solo de 13 estamos en un borde de función va a ser así

302
00:26:28,809 --> 00:26:31,769
con lo cual es un máximo

303
00:26:31,769 --> 00:26:34,069
y ahora nos queda poner la información

304
00:26:34,069 --> 00:26:40,980
menos 5 es un máximo relativo

305
00:26:40,980 --> 00:26:45,819
y menos 1 es un mínimo

306
00:26:45,819 --> 00:26:47,279
bueno, 8 son el mínimo relativo

307
00:26:47,279 --> 00:26:48,720
luego que hay el único máximo relativo

308
00:26:48,720 --> 00:26:51,579
y luego

309
00:26:51,579 --> 00:26:55,920
f es decreciente

310
00:26:55,920 --> 00:26:59,319
en menos 5 menos 1

311
00:26:59,319 --> 00:27:06,140
y es creciente en menos 1 infinito

312
00:27:06,140 --> 00:27:10,480
y ya estaría estudiado el crecimiento y los extremos relativos

313
00:27:10,480 --> 00:27:13,460
veamos ahora los máximos y mínimos absolutos

314
00:27:13,460 --> 00:27:17,279
para hacer esto lo único que hay que hacer es comparar

315
00:27:17,279 --> 00:27:22,049
esas funciones con el resto de extremos que hay

316
00:27:22,049 --> 00:27:24,529
que solo nos quedaría el infinito

317
00:27:24,529 --> 00:27:27,130
a ver, tenemos, bueno

318
00:27:27,130 --> 00:27:30,950
a ver, tenemos espectacular

319
00:27:30,950 --> 00:27:35,529
f de menos 1, f de menos 5

320
00:27:35,529 --> 00:27:40,690
y el límite cuando x tiende a infinito de f de x

321
00:27:40,690 --> 00:27:44,130
f de menos 1 lo calculamos

322
00:27:44,130 --> 00:27:50,109
y sería menos 3,368

323
00:27:50,109 --> 00:27:52,750
f de menos 5 lo calculamos

324
00:27:52,750 --> 00:27:54,390
bueno, aquí he redondeado hacia arriba

325
00:27:54,390 --> 00:27:59,549
porque lo que tenía la calculadora es menos 3,3678

326
00:27:59,549 --> 00:28:02,670
como esto es mayor que 5, lo he redondeado a 8

327
00:28:02,670 --> 00:28:04,730
f de menos 5 es

328
00:28:04,730 --> 00:28:08,029
menos 3, 0, 3, 3, 7

329
00:28:08,029 --> 00:28:10,089
que también he redondeado hacia arriba

330
00:28:10,089 --> 00:28:12,809
a ver, menos 1 era

331
00:28:12,809 --> 00:28:14,829
y el límite cuando tiende a infinito

332
00:28:14,829 --> 00:28:16,930
pues es el límite cuando x tiende a

333
00:28:16,930 --> 00:28:18,890
infinito de elevado a x

334
00:28:18,890 --> 00:28:19,690
menos 3

335
00:28:19,690 --> 00:28:22,529
esto es infinito por elevado a infinito

336
00:28:22,529 --> 00:28:23,869
que es infinito menos 3

337
00:28:23,869 --> 00:28:26,390
infinito menos 3 que es infinito

338
00:28:26,390 --> 00:28:30,309
entonces, pues nada

339
00:28:30,309 --> 00:28:40,390
Como hay un límite que es el más infinito, no hay máximos absolutos.

340
00:28:41,230 --> 00:28:44,549
Si esto fuera menos infinito, lo que ocurriría es que no habría mínimos absolutos.

341
00:28:45,430 --> 00:28:51,390
Y ahora, como ya hemos quitado este borde, se va a más infinito, con lo cual lo que hace es que este no es máximo absoluto.

342
00:28:53,069 --> 00:28:56,089
Pero el menos uno no compite con nadie.

343
00:28:56,089 --> 00:29:04,430
Entonces, menos uno es el mínimo absoluto.

344
00:29:07,569 --> 00:29:21,380
el mínimo absoluto y ya habíamos terminado al final si cogéis lo aunque bueno que hemos

345
00:29:21,380 --> 00:29:29,680
utilizado que cogemos la función y la representamos de acuerdo pues vale en menos 5 sería un máximo

346
00:29:29,680 --> 00:29:35,740
relativo en menos unos en un mínimo relativo y luego pues el infinito sería así de acuerdo

347
00:29:35,740 --> 00:29:38,019
entonces

348
00:29:38,019 --> 00:29:42,259
pero si calculáis los valores aquí

349
00:29:42,259 --> 00:29:43,819
de todos los extremos

350
00:29:43,819 --> 00:29:47,680
y los límites cuando tenemos extremos abiertos

351
00:29:47,680 --> 00:29:50,900
el valor más pequeño de todos

352
00:29:50,900 --> 00:29:51,900
va a ser siempre

353
00:29:51,900 --> 00:29:56,720
el mínimo absoluto

354
00:29:56,720 --> 00:29:58,240
y el valor más grande de todos

355
00:29:58,240 --> 00:30:00,000
si existe

356
00:30:00,000 --> 00:30:03,680
va a ser el mínimo absoluto

357
00:30:03,680 --> 00:30:05,160
o el ínfimo o el supremo

358
00:30:05,160 --> 00:30:05,859
quiero decir que

359
00:30:05,859 --> 00:30:11,700
Si se alcanza en alguno de los puntos, que es lo que quería decir, va a ser el mínimo absoluto.

360
00:30:11,859 --> 00:30:16,220
Y si no se alcanza en ningún punto, pues es que no va a haber extremo absoluto.

361
00:30:17,640 --> 00:30:24,059
Repito, cuando me coja esos valores, el más pequeño de todos, si se alcanza en un punto, va a ser el mínimo absoluto.

362
00:30:25,579 --> 00:30:27,339
Siempre y cuando no haya menos infinitos, etc.

363
00:30:27,859 --> 00:30:33,059
Y el más grande de todos, siempre y cuando no haya más infinitos, va a ser el máximo absoluto.

364
00:30:33,059 --> 00:30:45,460
Ello es debido al teorema de Bayes, que decía que cuando la función está definida en un intervalo cerrado, habría siempre un máximo y un mínimo absoluto.

365
00:30:45,460 --> 00:31:00,089
Lo que pasa es que, aunque aquí no hay intervalos cerrados porque eso es más infinito, pero hablamos de casos en que los valores que se alcanzan en estos sitios.

366
00:31:00,089 --> 00:31:07,130
Entonces, bordando en esos sitios sí que habría máximos y mínimos absolutos.

367
00:31:07,130 --> 00:31:33,309
Antes de nada, podemos aprovechar todo lo que hemos hecho antes, en particular el cálculo de antes tenemos los siguientes cálculos, pues que f' de x es igual a 1 por e elevado a x más x por e elevado a x, que es x más 1 elevado a x, y esto era igual a 0, si solo si, x era menos 1, y tenemos calculado que el límite cuando x tiende a infinito de f de x es igual a infinito.

368
00:31:33,309 --> 00:31:35,349
Esto lo tenemos de antes

369
00:31:35,349 --> 00:31:39,170
Bueno, pues aunque lo tengamos de antes

370
00:31:39,170 --> 00:31:41,150
Podemos citarlo y escribirlo

371
00:31:41,150 --> 00:31:43,509
Pero hay que escribirlo porque son argumentos que utilizamos

372
00:31:43,509 --> 00:31:45,609
Bueno, empezamos

373
00:31:45,609 --> 00:31:49,529
Hay que demostrar que esto es un único punto x0

374
00:31:49,529 --> 00:31:50,670
Donde f se anula

375
00:31:50,670 --> 00:31:53,089
Bueno, pues empezamos demostrando que existe

376
00:31:53,089 --> 00:31:55,309
Un punto donde se anula, el teorema de Bolzano

377
00:31:55,309 --> 00:31:58,609
Y luego veremos que solo como mucho existe uno

378
00:31:58,609 --> 00:32:00,430
Entonces primero hay que ver como poco existe uno

379
00:32:00,430 --> 00:32:01,710
Y luego como mucho existe uno

380
00:32:01,710 --> 00:32:03,109
A ver, empezamos

381
00:32:03,109 --> 00:32:04,769
con Bolzano

382
00:32:04,769 --> 00:32:06,410
f de

383
00:32:06,410 --> 00:32:09,269
perdón, iba a poner x0

384
00:32:09,269 --> 00:32:12,029
empezamos con el extremo de aquí

385
00:32:12,029 --> 00:32:13,890
f de 0 sería

386
00:32:13,890 --> 00:32:15,630
0 por elevado a 0 menos 3

387
00:32:15,630 --> 00:32:17,410
que es menos 3 menor que 0

388
00:32:17,410 --> 00:32:19,170
y ahora hay que coger

389
00:32:19,170 --> 00:32:22,069
o bien el límite cuando x tiende a infinito

390
00:32:22,069 --> 00:32:22,829
de

391
00:32:22,829 --> 00:32:26,029
x elevado a x menos 3

392
00:32:26,029 --> 00:32:28,089
que nos da infinito

393
00:32:28,089 --> 00:32:29,390
lo hemos calculado otra vez

394
00:32:29,390 --> 00:32:31,849
o decir directamente que era infinito, lo habíamos calculado antes

395
00:32:31,849 --> 00:32:35,109
Pero bueno, infinito por infinito menos 3, que es infinito.

396
00:32:37,359 --> 00:32:56,059
Entonces, por estas cosas, escribimos directamente, por el teorema de Bolzano, existe C, por ejemplo, perteneciente a 0 infinito.

397
00:32:56,059 --> 00:33:08,180
Bueno, aquí no incluimos el 0, obviamente, porque el 0 no vale 0, tal que F de C vale 0.

398
00:33:09,019 --> 00:33:11,519
ya está, es lo que se llama existencia

399
00:33:11,519 --> 00:33:14,599
existe un punto por lo menos

400
00:33:14,599 --> 00:33:16,700
pequeños cambios que se podrían hacer

401
00:33:16,700 --> 00:33:18,599
bueno, pues en vez de hacer esto

402
00:33:18,599 --> 00:33:20,539
podríamos haber hecho, coger un punto

403
00:33:20,539 --> 00:33:21,660
grande, pues yo que sé

404
00:33:21,660 --> 00:33:23,319
por ejemplo 10

405
00:33:23,319 --> 00:33:25,460
entonces podríamos haber hecho

406
00:33:25,460 --> 00:33:28,500
a ver, otra opción

407
00:33:28,500 --> 00:33:30,799
pues poníamos que f de 0

408
00:33:30,799 --> 00:33:32,420
era menos 3

409
00:33:32,420 --> 00:33:34,400
f de 10

410
00:33:34,400 --> 00:33:36,240
que vale

411
00:33:36,240 --> 00:33:41,339
220.000

412
00:33:41,339 --> 00:33:48,559
261,658

413
00:33:48,559 --> 00:33:50,700
obviamente eso es mayor que 0

414
00:33:50,700 --> 00:33:52,819
entonces podríamos poner

415
00:33:52,819 --> 00:33:57,000
por el teorema de Bolzano

416
00:33:57,000 --> 00:34:02,519
existe c perteneciente a 0,10

417
00:34:02,519 --> 00:34:07,420
tal que f de c es igual a 0

418
00:34:07,420 --> 00:34:08,719
y si existe un punto entre 0 y 10

419
00:34:08,719 --> 00:34:11,260
pues ese punto también está entre 0 e infinito

420
00:34:11,260 --> 00:34:13,679
bueno, pues la existencia ya está

421
00:34:13,679 --> 00:34:14,860
vamos a ver ahora la unicidad

422
00:34:14,860 --> 00:34:17,519
a ver, teníamos que

423
00:34:17,519 --> 00:34:19,059
f' de x

424
00:34:19,059 --> 00:34:21,659
lo puedo volver a escribir, lo pongo directamente

425
00:34:21,659 --> 00:34:23,239
es igual a 0

426
00:34:23,239 --> 00:34:24,880
si y solo si

427
00:34:24,880 --> 00:34:27,440
x es igual a menos 1

428
00:34:27,440 --> 00:34:29,159
luego

429
00:34:29,159 --> 00:34:31,900
f' de x

430
00:34:31,900 --> 00:34:33,960
no se

431
00:34:33,960 --> 00:34:34,659
anula

432
00:34:34,659 --> 00:34:38,139
en 0 infinito

433
00:34:38,139 --> 00:34:39,420
por lo tanto

434
00:34:39,420 --> 00:34:45,099
por lo tanto

435
00:34:45,099 --> 00:34:49,800
por el teorema

436
00:34:49,800 --> 00:34:51,980
de Rolle

437
00:34:51,980 --> 00:34:53,880
como mucho

438
00:34:53,880 --> 00:34:58,960
existe

439
00:34:58,960 --> 00:35:00,920
un

440
00:35:00,920 --> 00:35:03,400
c perteneciente a

441
00:35:03,400 --> 00:35:05,579
0 infinito

442
00:35:05,579 --> 00:35:08,849
incluso puedo caer en cerrado

443
00:35:08,849 --> 00:35:09,409
no pasa nada

444
00:35:09,409 --> 00:35:12,929
tal que f de c

445
00:35:12,929 --> 00:35:14,690
es igual a 0

446
00:35:14,690 --> 00:35:16,409
y ya está

447
00:35:16,409 --> 00:35:18,530
entonces si hay 1

448
00:35:18,530 --> 00:35:20,550
y como mucho hay 1 quiere decir que hay 721

449
00:35:20,550 --> 00:35:21,909
y ya hemos terminado

450
00:35:21,909 --> 00:35:26,920
este problema no estaba en el examen

451
00:35:26,920 --> 00:35:28,940
es calcular las sinotas de esta función

452
00:35:28,940 --> 00:35:30,800
sino en el del compañero

453
00:35:30,800 --> 00:35:32,920
que lo hizo un día distinto

454
00:35:32,920 --> 00:35:34,280
a ver, tenemos

455
00:35:34,280 --> 00:35:36,500
que calcular en primer lugar

456
00:35:36,500 --> 00:35:38,679
por ejemplo

457
00:35:38,679 --> 00:35:42,760
las asintotas verticales

458
00:35:42,760 --> 00:35:46,230
hay que buscar

459
00:35:46,230 --> 00:35:48,210
los puntos en los que se anula

460
00:35:48,210 --> 00:35:49,789
el denominador

461
00:35:49,789 --> 00:35:52,269
bueno, si tuviéramos una tangente

462
00:35:52,269 --> 00:35:53,750
pues también valdría la tangente

463
00:35:53,750 --> 00:35:55,829
pero como no es el caso, solo hay que mirar eso

464
00:35:55,829 --> 00:36:00,590
entonces tenemos que e elevado a x menos 1 es igual a 0

465
00:36:00,590 --> 00:36:03,230
si y solo si, e elevado a x es igual a 1

466
00:36:03,230 --> 00:36:06,230
y eso ocurre si y solo si x es igual a 0

467
00:36:06,230 --> 00:36:07,750
se puede ver de dos formas

468
00:36:07,750 --> 00:36:13,420
bien, tomando el logaritmo de 1 que es 0

469
00:36:13,420 --> 00:36:15,739
también se puede hacer haciendo

470
00:36:15,739 --> 00:36:17,340
a ver, e elevado a x es igual a 1

471
00:36:17,340 --> 00:36:20,659
logaritmo de e elevado a x es igual a logaritmo de primero de 1

472
00:36:20,659 --> 00:36:34,050
por lo tanto x es igual a 0, ya está

473
00:36:34,050 --> 00:36:39,619
por último, también se puede hacer viendo directamente

474
00:36:39,619 --> 00:36:50,420
que elevado a cero es uno, porque la función elevado a x tiene inversa y para cada número

475
00:36:50,420 --> 00:36:56,829
solo hay un elevado a x positivo que valga eso, que es lo que quiere decir que la función

476
00:36:56,829 --> 00:37:02,090
elevado a x es inyectiva, cosa que no hemos demostrado, que no hemos definido, pero bueno,

477
00:37:02,130 --> 00:37:07,250
da igual. Viendo esto ya se ve automáticamente que x tiene que ser cero, porque solo hay

478
00:37:07,250 --> 00:37:11,250
la solución. La ecuación elevado a x igual a a tiene siempre

479
00:37:11,250 --> 00:37:16,119
como mucho una solución. Una si es positivo, cero si es

480
00:37:16,119 --> 00:37:20,460
y ninguna si es negativo o cero. Bien, pues ya está.

481
00:37:20,699 --> 00:37:24,599
Entonces pondríamos que f tiene

482
00:37:24,599 --> 00:37:28,039
una asíntota

483
00:37:28,039 --> 00:37:32,639
vertical que es

484
00:37:32,639 --> 00:37:36,039
x igual a cero. Segundo,

485
00:37:36,039 --> 00:37:44,239
Asíntotas horizontales y oblicuas

486
00:37:44,239 --> 00:37:46,699
Y aquí hay que ver los límites en el infinito

487
00:37:46,699 --> 00:37:51,460
Hombre, aquí es muy claro que el límite va a ser

488
00:37:51,460 --> 00:37:53,360
Bueno, empezamos con el infinito

489
00:37:53,360 --> 00:37:56,559
Límite cuando x tiende a infinito

490
00:37:56,559 --> 00:37:59,400
Voy a hacerlo como si no tuviera ni idea

491
00:37:59,400 --> 00:38:01,659
Evidentemente aquí parece que va a haber una asíntota oblicua

492
00:38:01,659 --> 00:38:03,860
Porque hay una x, pero como si no tuvieramos ni idea

493
00:38:03,860 --> 00:38:07,579
Límite de f de x, a ver cuánto es

494
00:38:07,579 --> 00:38:23,239
Entonces, límite cuando x tiende a infinito de x elevado a x entre elevado a x menos 1, esto es el límite cuando x tiende a infinito, tomando funciones equivalentes, x elevado a x entre elevado a x, que es el límite cuando x tiende a infinito de x, que es infinito.

495
00:38:23,239 --> 00:38:30,239
por lo tanto ya en infinito no hay ninguna acentueta horizontal como mucho oblicua

496
00:38:30,239 --> 00:38:31,480
vamos a ver las oblicuas

497
00:38:31,480 --> 00:38:39,179
entonces tenemos m que es el límite cuando x tiende a infinito de f de x partido por m por x

498
00:38:39,179 --> 00:38:43,960
que es el límite cuando x tiende a infinito de x elevado a x

499
00:38:43,960 --> 00:38:49,400
partido por x elevado a x menos 1

500
00:38:49,400 --> 00:38:56,159
esto es el límite cuando x tiende a infinito de x elevado a x entre x elevado a x menos x

501
00:38:56,159 --> 00:39:02,599
esto es el límite cuando x tiende a infinito de x elevado a x entre x elevado a x

502
00:39:02,599 --> 00:39:03,860
por funciones equivalentes

503
00:39:03,860 --> 00:39:09,000
porque esto es equivalente a x elevado a x

504
00:39:09,000 --> 00:39:14,099
y esto es el límite cuando x, o porque es mucho más grande

505
00:39:14,099 --> 00:39:20,300
porque x elevado a x es mucho más grande que x

506
00:39:20,300 --> 00:39:24,380
y eso es ya directamente 1

507
00:39:24,380 --> 00:39:39,559
ahora calculamos n que es el límite cuando x tiende a infinito de f de x menos m por x

508
00:39:39,559 --> 00:39:47,340
que es el límite cuando x tiende a infinito de x elevado a x entre elevado a x menos 1 menos x

509
00:39:47,340 --> 00:40:01,889
que es el límite cuando x tiende a infinito de x elevado a x menos x elevado a x más x

510
00:40:01,889 --> 00:40:04,829
entre elevado a x menos 1

511
00:40:04,829 --> 00:40:07,449
esto y esto se va

512
00:40:07,449 --> 00:40:09,909
y eso es el límite

513
00:40:09,909 --> 00:40:11,349
cuando x tiende a infinito

514
00:40:11,349 --> 00:40:14,449
de x entre elevado a x menos 1

515
00:40:14,449 --> 00:40:17,369
y ahora tenemos que esto es

516
00:40:17,369 --> 00:40:19,030
bueno, sería infinito en definito

517
00:40:19,030 --> 00:40:20,389
pero

518
00:40:20,389 --> 00:40:22,889
bueno, podemos quitar

519
00:40:22,889 --> 00:40:25,210
pero tenemos que elevado a x

520
00:40:25,210 --> 00:40:27,090
es mucho más grande que x

521
00:40:27,090 --> 00:40:28,730
por lo tanto

522
00:40:28,730 --> 00:40:29,989
esto es 0

523
00:40:29,989 --> 00:40:31,730
y ya está

524
00:40:31,730 --> 00:40:53,710
Entonces tendríamos que f tiene una asíntota oblicua en infinito que es y igual a x.

525
00:40:53,710 --> 00:40:57,849
Veamos ahora qué ocurre en menos infinito

526
00:40:57,849 --> 00:41:03,349
A ver, límite cuando x tiende a menos infinito de f de x

527
00:41:03,349 --> 00:41:11,550
A ver cuánto es, eso es el límite cuando x tiende a menos infinito de x elevado a e elevado a x entre elevado a x menos 1

528
00:41:11,550 --> 00:41:14,150
¿Y aquí qué tenemos?

529
00:41:18,730 --> 00:41:31,639
Pues tenemos, bueno, pues tendríamos aquí menos infinito por e elevado a menos infinito

530
00:41:31,639 --> 00:41:49,820
Entonces eso hay que calcular la parte. Vamos a hacerlo abajo, o por ejemplo aquí a la derecha, por falta de espacio, a ver límite cuando x tiende a menos infinito de x elevado a x.

531
00:41:50,699 --> 00:42:03,829
Hacemos un cambio de variable, por ejemplo, o hacemos el hospital. Vamos a dejar, por ejemplo, el hospital. Es el límite cuando x tiende a menos infinito de x entre elevado a menos x.

532
00:42:03,829 --> 00:42:05,889
como vamos a tener

533
00:42:05,889 --> 00:42:08,150
arriba tenemos infinito

534
00:42:08,150 --> 00:42:11,150
y abajo tenemos elevado a menos menos infinito

535
00:42:11,150 --> 00:42:11,690
que es

536
00:42:11,690 --> 00:42:15,230
elevado a infinito y esto es infinito entre infinito

537
00:42:15,230 --> 00:42:17,849
por lo tanto se puede aplicar lo pital

538
00:42:17,849 --> 00:42:19,030
esto por lo pital

539
00:42:19,030 --> 00:42:23,110
es el límite cuando x tiende a menos infinito

540
00:42:23,110 --> 00:42:25,250
de 1 entre menos

541
00:42:25,250 --> 00:42:26,309
elevado a menos infinito

542
00:42:26,309 --> 00:42:28,329
esto es 1 entre

543
00:42:28,329 --> 00:42:31,190
infinito que es 0

544
00:42:31,190 --> 00:42:34,889
por lo tanto ya sustituyendo esto es

545
00:42:34,889 --> 00:42:38,409
pero habría que calcular esto aparte

546
00:42:38,409 --> 00:42:42,000
esto es 0 entre

547
00:42:42,000 --> 00:42:44,219
elevado a menos infinito que es 0

548
00:42:44,219 --> 00:42:46,440
menos 1

549
00:42:46,440 --> 00:42:50,840
por lo tanto esto es 0 entre menos 1 que es 0

550
00:42:50,840 --> 00:42:52,559
por lo tanto

551
00:42:52,559 --> 00:42:56,079
f tiene una

552
00:42:56,079 --> 00:42:59,900
asíntota horizontal

553
00:42:59,900 --> 00:43:03,489
en menos infinito

554
00:43:03,489 --> 00:43:05,329
que es

555
00:43:05,329 --> 00:43:06,710
x, perdón

556
00:43:06,710 --> 00:43:09,070
que es

557
00:43:09,070 --> 00:43:10,090
y igual a 0

558
00:43:10,090 --> 00:43:12,829
y ya tendríamos resuelto este problema

559
00:43:12,829 --> 00:43:16,659
por último nos piden calcular

560
00:43:16,659 --> 00:43:18,780
la continuidad de variabilidad de esta función

561
00:43:18,780 --> 00:43:20,739
bueno, vamos a ver, en primer lugar

562
00:43:20,739 --> 00:43:22,800
no hemos podido

563
00:43:22,800 --> 00:43:24,480
nada de dominio

564
00:43:24,480 --> 00:43:26,280
ni nada de eso, aunque bueno, es fácil de calcular

565
00:43:26,280 --> 00:43:28,039
el único punto donde

566
00:43:28,039 --> 00:43:30,900
hay el problema para que la función no se define aquí

567
00:43:30,900 --> 00:43:32,860
sería donde eso es igual a 0

568
00:43:32,860 --> 00:43:34,760
y esto ocurre pues si solo si

569
00:43:34,760 --> 00:43:38,579
x más 1 es igual a 0, si solo si x es igual a menos 1

570
00:43:38,579 --> 00:43:44,480
y aquí no está. Por otra parte, el otro problema sería el logaritmo

571
00:43:44,480 --> 00:43:48,739
que no se define si es negativo, pero aquí tenemos

572
00:43:48,739 --> 00:43:51,699
que eso está definido para x mayor que 0 y en particular pues el logaritmo

573
00:43:51,699 --> 00:43:56,360
está definido en todos estos puntos. Bueno, borro esto

574
00:43:56,360 --> 00:44:01,119
Pues nada, empezamos por ejemplo con

575
00:44:01,119 --> 00:44:05,840
la función es continua en todos los puntos, salvo

576
00:44:05,840 --> 00:44:09,440
los bordes que están aquí, entonces hay que estudiar

577
00:44:09,440 --> 00:44:12,460
esos puntos, ¿no? Pues vamos a ver

578
00:44:12,460 --> 00:44:16,400
a ver, en menos 1 vamos a calcular el límite

579
00:44:16,400 --> 00:44:20,360
límite cuando x tiende a

580
00:44:20,360 --> 00:44:24,820
menos 1 por la izquierda de seno de x cuadrado

581
00:44:24,820 --> 00:44:28,360
menos 4x menos 5 entre x más 1

582
00:44:28,360 --> 00:44:32,119
cogemos la calculadora y esto menos 1 vale 0, tendríamos

583
00:44:32,119 --> 00:44:35,820
seno de 0 partido por 0 que es 0 partido por 0

584
00:44:35,820 --> 00:44:39,239
Por lo tanto, hay una indeterminación

585
00:44:39,239 --> 00:44:41,619
En este caso, claramente hay que utilizar l'Hôpital

586
00:44:41,619 --> 00:44:43,280
Hacemos l'Hôpital

587
00:44:43,280 --> 00:44:48,679
Y este es el límite cuando x tiende a menos 1 por la izquierda

588
00:44:48,679 --> 00:44:55,000
Pues tenemos el coseno de x al cuadrado menos 4x menos 5

589
00:44:55,000 --> 00:44:56,320
Por la derivada de adentro

590
00:44:56,320 --> 00:44:58,519
Que es 2x menos 4

591
00:44:58,519 --> 00:45:03,599
Entre la derivada de adentro

592
00:45:03,599 --> 00:45:17,269
que es 1. Sustituimos y tendríamos el coseno de 0, que es esto, por menos 2 menos 4, coseno

593
00:45:17,269 --> 00:45:24,010
de 0 es 1 por menos 6 entre 1, que esto es menos 6. Ahora, el límite cuando x tiende

594
00:45:24,010 --> 00:45:35,349
a 1 por la derecha, bueno, podemos ver antes, pero bueno, límite cuando x tiende a 1 por

595
00:45:35,349 --> 00:45:42,170
la derecha de f de x, perdón, de menos 1, de x cuadrado, esto es menos 1 al cuadrado,

596
00:45:42,269 --> 00:46:00,190
que es 1. Como no son iguales, entonces f no es continua en menos 1 y por tanto tampoco

597
00:46:00,190 --> 00:46:07,150
es derivable. Y con la derivada no hay que hacer nada más, no hay que calcular la derivada

598
00:46:07,150 --> 00:46:10,570
las funciones, ver cuál es el límite, no, solamente

599
00:46:10,570 --> 00:46:14,809
si no es continuo no es variable, ya está, miramos ahora que pasa

600
00:46:14,809 --> 00:46:21,030
en el 1, luego con otro color para que quede un poco más claro

601
00:46:21,030 --> 00:46:26,570
ahora, perdón, en 0, pues empezamos

602
00:46:26,570 --> 00:46:29,670
a ver el límite cuando x tiende a 0

603
00:46:29,670 --> 00:46:34,429
por la izquierda, df de x

604
00:46:34,429 --> 00:46:38,110
es el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de x cuadrado

605
00:46:38,110 --> 00:46:40,070
que es 0 al cuadrado que es 0

606
00:46:40,070 --> 00:46:43,329
límite cuando x tiende a 0 por la derecha

607
00:46:43,329 --> 00:46:46,929
tenemos de f de x es el límite

608
00:46:46,929 --> 00:46:49,070
cuando x tiende a 0 por la derecha

609
00:46:49,070 --> 00:46:51,750
de x logaritmo neperiano de x

610
00:46:51,750 --> 00:46:53,849
además en este caso el logaritmo neperiano de x

611
00:46:53,849 --> 00:46:55,250
solo está definido en 0 por la derecha

612
00:46:55,250 --> 00:47:00,550
aviso, si no nos acordamos del valor de un límite

613
00:47:00,550 --> 00:47:03,070
del logaritmo neperiano o lo que sea

614
00:47:03,070 --> 00:47:04,449
la función logaritmo neperiano

615
00:47:04,449 --> 00:47:06,610
es así

616
00:47:06,610 --> 00:47:22,969
¿Vale? Y en 0 el límite es menos infinito. Si cogemos la calculadora no va a existir en 0, pero si queremos calcular su límite nos cogemos un número muy grande, por ejemplo, muy cerca de 0, muy cercano a 0, por ejemplo, 0,0001.

617
00:47:22,969 --> 00:47:40,449
Cogemos la calculadora, calculamos dicho logaritmo neperiano y obtenemos que el logaritmo neperiano de 0,00001 vale menos 11,5129.

618
00:47:42,980 --> 00:47:47,000
Pues bueno, eso quiere decir que el límite, ya la intuición nos recuerda que es menos infinito.

619
00:47:47,719 --> 00:47:50,699
Algunos han puesto infinito, lo cual está mal, es menos infinito.

620
00:47:50,699 --> 00:47:54,679
entonces directamente, si no nos acordamos

621
00:47:54,679 --> 00:47:57,460
calculadora, igual que ocurre con las funciones trigonométricas

622
00:47:57,460 --> 00:47:59,039
no me acuerdo el límite de lo que sea

623
00:47:59,039 --> 00:47:59,860
pues lo calculas

624
00:47:59,860 --> 00:48:01,619
el límite de la gran gente

625
00:48:01,619 --> 00:48:03,940
tal, pues lo calculas

626
00:48:03,940 --> 00:48:05,840
y ya está, entonces ya sabes

627
00:48:05,840 --> 00:48:08,519
si hay un asíntota así, o lo que sea, etc

628
00:48:08,519 --> 00:48:11,179
lo hacéis para vosotros

629
00:48:11,179 --> 00:48:12,019
ya sabéis el valor

630
00:48:12,019 --> 00:48:13,900
y luego en el examen sólo ponéis

631
00:48:13,900 --> 00:48:16,860
ponéis aquí, si queréis

632
00:48:16,860 --> 00:48:18,780
que esto es 0 por

633
00:48:18,780 --> 00:48:20,719
menos infinito que es indeterminación

634
00:48:20,719 --> 00:48:21,300
ya está

635
00:48:23,230 --> 00:48:26,989
Bueno, como es una indeterminación, habrá que hacer algo, por ejemplo, el hospital.

636
00:48:27,429 --> 00:48:31,690
Entonces, habrá que poner 1 en el denominador.

637
00:48:32,630 --> 00:48:37,409
Lo más lógico es pasar el x, que es más sencillo de derivar, que el 1 partido por logaritmo de p1 de x.

638
00:48:39,349 --> 00:48:43,130
Esto es logaritmo de p1 de x, y aquí ponemos 1 partido por x.

639
00:48:43,349 --> 00:48:48,630
Y ahora aquí sí que tenemos, es por la derecha, arriba tenemos menos infinito y abajo infinito.

640
00:48:48,630 --> 00:49:01,010
Se puede aplicar lo pital. Y este es el límite, cuando x tiende a 0 por la derecha, tendríamos 1 partido por x entre menos 1 partido por x al cuadrado.

641
00:49:02,230 --> 00:49:10,469
Que si no nos acordamos, pues haremos, a ver, 1 partido por x es x a menos 1. Vamos a llamarle g.

642
00:49:11,750 --> 00:49:19,170
Pues g' de x, ¿cuánto sería? Pues menos 1 por x a la menos 2, y esto es menos 1 partido por x al cuadrado.

643
00:49:19,170 --> 00:49:40,039
Hacemos una esquina y ya está. Y esto es el límite cuando x tiende a 0 por la derecha, operamos esto, esto se opera con esto, esto con esto, menos x cuadrado partido por x, que es el límite cuando x tiende a 0 por la derecha, de menos x, que es 0.

644
00:49:40,039 --> 00:49:48,780
Entonces coincide, tenemos que f es continua en 0

645
00:49:48,780 --> 00:49:51,639
Para ver la derivabilidad derivamos

646
00:49:51,639 --> 00:49:59,099
A ver, el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de f' de x

647
00:49:59,099 --> 00:50:09,760
Es el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de esta función que es 2x es 2 por 0 que es 0

648
00:50:09,760 --> 00:50:40,099
El límite cuando x tiende a 0 por la derecha de f' de x es igual al límite cuando x tiende a 0 por la derecha de, ahora daríamos esta función, x derivada de x es 1 por logaritmo de p' de x menos x por la derivada de logaritmo que es 1 partido por x y esto es el límite cuando x tiende a 0 por la derecha del logaritmo de p' de x menos 1.

649
00:50:40,099 --> 00:50:42,800
y esto es menos infinito, menos 1

650
00:50:42,800 --> 00:50:45,099
que es menos infinito

651
00:50:45,099 --> 00:50:47,219
ya automáticamente no hay derivada

652
00:50:47,219 --> 00:50:48,380
o sea, bastaría este valor

653
00:50:48,380 --> 00:50:50,920
porque si no existe una derivada letal

654
00:50:50,920 --> 00:50:52,119
en un punto, ya no hay en total

655
00:50:52,119 --> 00:50:55,159
pero bueno, entonces tenemos

656
00:50:55,159 --> 00:50:57,300
que f no es

657
00:50:57,300 --> 00:50:58,199
derivable

658
00:50:58,199 --> 00:51:06,880
en

659
00:51:06,880 --> 00:51:10,440
0, como nos piden

660
00:51:10,440 --> 00:51:12,739
la continuidad derivable de f

661
00:51:12,739 --> 00:51:13,519
podemos poner

662
00:51:13,519 --> 00:51:15,699
f es continua

663
00:51:15,699 --> 00:51:21,570
en R menos el punto menos 1

664
00:51:21,570 --> 00:51:27,449
y F es derivable en R

665
00:51:27,449 --> 00:51:32,130
menos los puntos menos 1 y 0

666
00:51:32,130 --> 00:51:34,730
y ya tendríamos todo completo

667
00:51:34,730 --> 00:51:37,650
bueno, esto lo borramos, lo de arriba

668
00:51:37,650 --> 00:51:40,250
y así quedaría el problema resuelto