1
00:00:00,690 --> 00:00:08,890
Bien, vamos a ver. En este caso me piden probar, luego no hay nada que ver si se cumple o no se cumple,

2
00:00:09,050 --> 00:00:16,109
tenemos que comprobar que sí, que esta función alcanza este valor 4 en este intervalo.

3
00:00:16,289 --> 00:00:23,089
Entonces, a ver, primero entender bien el enunciado. Esto es una función que depende de una variable que es x.

4
00:00:23,089 --> 00:00:26,390
Su resultado, que sería esto, es un valor de la y.

5
00:00:26,390 --> 00:00:41,170
Lo que me están pidiendo es que comprende que para algún valor de x dentro de este intervalo, porque estos son valores de x, el resultado de este cálculo va a ser 4, porque esto es un valor de la y.

6
00:00:41,729 --> 00:00:43,229
Eso es lo que me están pidiendo.

7
00:00:44,750 --> 00:00:54,130
Entonces, en estas condiciones, con una función, un intervalo de valores de x y un valor de la y concreto, esto es una aplicación directísima del teorema de Dargoum.

8
00:00:54,130 --> 00:01:02,130
Se puede hacer con Bolzano, luego lo digo al final también, porque a fin de cuentas Darboux es una consecuencia del teorema de Bolzano.

9
00:01:02,969 --> 00:01:18,890
Entonces vamos a ver, recordando lo que dice el teorema de Darboux, el teorema de Darboux, es que si tuve una función continua, una función f de x, continua en un intervalo cerrado, llamémosle a b.

10
00:01:18,890 --> 00:01:37,969
Y de manera que f de a y f de b son diferentes, son valores distintos, ¿vale? Supongamos, por ejemplo, que f de a es más pequeño que f de b, ¿vale?

11
00:01:37,969 --> 00:01:55,650
Entonces, lo que me dice el teorema de Darboux es que para cualquier valor, bueno, hay un simbolito en mates, hay un simbolito que es este, significa para todo.

12
00:01:55,650 --> 00:02:24,270
Para todo vamos a llamarlo, por ejemplo, lambda. Este en el intervalo f de a, f de b, entre medias de esos valores de la y, para cualquier valor de estos, existe un valor g de los valores de x tal que nuestra función va a tomar ese valor.

13
00:02:24,270 --> 00:02:46,009
A ver, lo explico otra vez. Quiere decir que, por ser continua, ¿vale? Si la función toma valores distintos, ¿eh? Entonces, con los x, sustituyendo los x de este intervalo, mi función va a tomar, va a tomar todos los valores que hay en este intervalo de valores de la y.

14
00:02:46,009 --> 00:02:49,330
lo va a recorrer entero

15
00:02:49,330 --> 00:02:53,729
eso es lo que viene a decir

16
00:02:53,729 --> 00:02:57,189
entonces, gráficamente

17
00:02:57,189 --> 00:02:59,210
vamos a ver si podemos poner alguna gráfica

18
00:02:59,210 --> 00:03:02,229
y luego una función continua

19
00:03:02,229 --> 00:03:06,090
donde sea, pongamos que me centro en este intervalo

20
00:03:06,090 --> 00:03:08,729
desde a hasta b

21
00:03:08,729 --> 00:03:12,270
bueno, pues en este caso el valor de la función en a es este

22
00:03:12,270 --> 00:03:13,110
esto es f de a

23
00:03:13,110 --> 00:03:16,770
y este valorcito de aquí es fdb

24
00:03:16,770 --> 00:03:18,389
en este caso fdb es más pequeño

25
00:03:18,389 --> 00:03:19,870
el intervalo en vez de ser escrito

26
00:03:19,870 --> 00:03:23,110
estar escrito así sería fdb fda

27
00:03:23,110 --> 00:03:25,189
porque tiene que ir de menos a más

28
00:03:25,189 --> 00:03:27,590
bien, pues como la función es continua

29
00:03:27,590 --> 00:03:29,750
lo que me está diciendo es que

30
00:03:29,750 --> 00:03:30,930
para cualquier

31
00:03:30,930 --> 00:03:32,490
a ver voy a coger

32
00:03:32,490 --> 00:03:34,750
otro color

33
00:03:34,750 --> 00:03:38,479
para cualquier valor de la i

34
00:03:38,479 --> 00:03:40,740
que yo coja de este intervalo

35
00:03:40,740 --> 00:03:42,360
pongamos este de aquí

36
00:03:42,360 --> 00:03:44,159
por ser la función continua

37
00:03:44,159 --> 00:03:46,020
en el intervalo AB

38
00:03:46,020 --> 00:03:48,280
entonces yo voy a

39
00:03:48,280 --> 00:03:50,520
poder encontrar un valor

40
00:03:50,520 --> 00:03:52,539
justo está en este intervalo, este sería

41
00:03:52,539 --> 00:03:54,500
mi C, donde la función vale esto

42
00:03:54,500 --> 00:03:57,219
eso es lo que viene a decir

43
00:03:57,219 --> 00:03:58,000
bien

44
00:03:58,000 --> 00:04:00,539
vamos a resolver este caso

45
00:04:00,539 --> 00:04:02,439
completo, entonces vamos a ver

46
00:04:02,439 --> 00:04:04,039
si vamos comprobando las hipótesis

47
00:04:04,039 --> 00:04:06,360
primera cosa que necesito, que la función sea continua

48
00:04:06,360 --> 00:04:08,039
en el intervalo cerrado, muy bien

49
00:04:08,039 --> 00:04:09,460
pues esta función

50
00:04:09,460 --> 00:04:12,300
es una función continua

51
00:04:12,300 --> 00:04:14,180
porque vale, es un cociente

52
00:04:14,180 --> 00:04:16,639
pero fijaos que este cociente, este denominador

53
00:04:16,639 --> 00:04:17,879
jamás va a valer cero

54
00:04:17,879 --> 00:04:20,660
porque el seno, lo menos que vale es menos uno

55
00:04:20,660 --> 00:04:22,120
o sea, es decir, para que

56
00:04:22,120 --> 00:04:25,079
el denominador vale ese cero, el seno tendría que ser menos dos

57
00:04:25,079 --> 00:04:26,579
y un seno nunca vale menos dos

58
00:04:26,579 --> 00:04:27,839
entonces

59
00:04:27,839 --> 00:04:30,399
nuestra función es continua

60
00:04:30,399 --> 00:04:32,199
en todo R

61
00:04:32,199 --> 00:04:34,500
en particular en el intervalo que esta vez

62
00:04:34,500 --> 00:04:36,180
sí nos dan, pero estupendo

63
00:04:36,180 --> 00:04:37,180
no lo tenemos que buscar

64
00:04:37,180 --> 00:04:39,379
ya tengo esto

65
00:04:39,379 --> 00:04:41,980
y ahora vamos a ver que valores toma

66
00:04:41,980 --> 00:04:44,100
en ese intervalo, entonces vamos a calcular

67
00:04:44,100 --> 00:04:46,160
el valor de la función en menos pi medios

68
00:04:46,160 --> 00:04:48,399
que sería

69
00:04:48,399 --> 00:04:50,300
6 partido por 2

70
00:04:50,300 --> 00:04:52,399
más, ¿cuánto es el seno de menos

71
00:04:52,399 --> 00:04:54,240
pi medios? menos pi medios es

72
00:04:54,240 --> 00:04:56,160
girar 90 grados

73
00:04:56,160 --> 00:04:58,180
pero en el sentido contrario

74
00:04:58,180 --> 00:05:00,360
es decir, que sería

75
00:05:00,360 --> 00:05:01,100
menos 1

76
00:05:01,100 --> 00:05:04,180
menos 1, lo cual sería

77
00:05:04,180 --> 00:05:06,139
abajo tengo un 1, pues esto sale

78
00:05:06,139 --> 00:05:08,339
6, y f de pi medios

79
00:05:08,339 --> 00:05:10,639
es igual

80
00:05:10,639 --> 00:05:15,199
A 6 partido por 2

81
00:05:15,199 --> 00:05:16,579
Y medio es 90 grados

82
00:05:16,579 --> 00:05:17,439
Ese no es 1

83
00:05:17,439 --> 00:05:19,399
6 entre 3, 2

84
00:05:19,399 --> 00:05:21,959
Entonces fijémonos en estos dos valores de la I

85
00:05:21,959 --> 00:05:22,720
2 y 6

86
00:05:22,720 --> 00:05:24,660
Y comparémoslo con 4

87
00:05:24,660 --> 00:05:27,100
¿Qué 4 está entre medias?

88
00:05:28,259 --> 00:05:30,360
A ver, no tiene que ser exactamente el punto medio

89
00:05:30,360 --> 00:05:31,319
Esto es casualidad, ¿vale?

90
00:05:31,600 --> 00:05:33,100
Pero sería como este C

91
00:05:33,100 --> 00:05:34,819
Perdón, perdón, perdón

92
00:05:34,819 --> 00:05:36,220
Sería este valor de la I

93
00:05:36,220 --> 00:05:37,759
Un valor que está entre medias

94
00:05:37,759 --> 00:05:40,220
El más pequeño que toma es 2

95
00:05:40,220 --> 00:05:41,779
y el más grande que toma

96
00:05:41,779 --> 00:05:43,220
que es 6

97
00:05:43,220 --> 00:05:45,920
bueno, no es el más pequeño y el más grande

98
00:05:45,920 --> 00:05:47,899
pero el que toma en los extremos del intervalo

99
00:05:47,899 --> 00:05:50,060
me refiero, esa es la idea

100
00:05:50,060 --> 00:05:51,680
bien, entonces

101
00:05:51,680 --> 00:05:53,300
¿qué es lo que me dice el teorema de Darboux?

102
00:05:53,439 --> 00:05:54,740
pues me dice, entonces

103
00:05:54,740 --> 00:05:58,399
por el teorema de Darboux

104
00:05:58,399 --> 00:06:01,730
yo sé que

105
00:06:01,730 --> 00:06:03,089
existe un valor

106
00:06:03,089 --> 00:06:05,529
g de la x

107
00:06:05,529 --> 00:06:08,069
con lo cual está entre menos pi medios

108
00:06:08,069 --> 00:06:09,050
y pi medios

109
00:06:09,050 --> 00:06:10,829
tal

110
00:06:10,829 --> 00:06:16,930
que f de c es 4

111
00:06:16,930 --> 00:06:19,670
y en la misma conclusión podría sacar

112
00:06:19,670 --> 00:06:21,970
si en vez de 4 me hubieran dicho 2,5

113
00:06:21,970 --> 00:06:24,129
3,5, 5,7

114
00:06:24,129 --> 00:06:27,550
cualquier número que estuviera entre 2 y 6

115
00:06:27,550 --> 00:06:30,810
que son los valores que toma para los extremos

116
00:06:30,810 --> 00:06:32,089
de mi intervalo

117
00:06:32,089 --> 00:06:32,990
eso es lo que significa

118
00:06:32,990 --> 00:06:36,490
el otro nombre que tiene el teorema de Darbu

119
00:06:36,490 --> 00:06:38,970
que también se le llama el teorema de los valores intermedios

120
00:06:38,970 --> 00:06:42,589
de que la función en ese intervalo

121
00:06:42,589 --> 00:06:45,389
de valores de x toma todos los valores intermedios

122
00:06:45,389 --> 00:06:48,209
entre el que toman un extremo en el intervalo y el que toman el otro

123
00:06:48,209 --> 00:06:49,790
ya está