1
00:00:02,279 --> 00:00:15,580
En este caso tenemos un problema de geometría de la EBAU de Madrid de la convocatoria del año 2017, la convocatoria de septiembre, el modelo B ejercicio 3.

2
00:00:17,140 --> 00:00:23,780
Nos dicen que tenemos una recta que pasa por los puntos P1 y P2.

3
00:00:23,780 --> 00:00:33,700
Vamos a pintar la recta, para eso empezamos pintando los puntos P1 y P2, 3, 2, 0 y 7, 0, 2.

4
00:00:34,399 --> 00:00:44,320
Hemos visto para hallar la recta R, pues hemos visto cómo calcular el vector U, restando las coordenadas de P2 menos P1,

5
00:00:44,320 --> 00:00:57,039
le da 4 menos 2, 2, y entonces ya podemos pintar la recta, que pasa por el punto 3, 2, 0, que tiene el vector director 4 menos 2, 2.

6
00:00:57,359 --> 00:01:00,700
Aquí podríamos haber puesto 2 menos 1, 1, o lo que hubiéramos querido.

7
00:01:01,420 --> 00:01:10,019
Luego diré si acaso por qué he puesto esto en este caso, aunque estaría exactamente igual de bien haber puesto 2 menos 1, 1,

8
00:01:10,019 --> 00:01:14,459
simplificado, o menos 4 más 2 menos 2

9
00:01:14,459 --> 00:01:17,060
bueno, pues esta es la recta R

10
00:01:17,060 --> 00:01:21,879
y ahora nos dan un punto Q, 3, 5 menos 3

11
00:01:21,879 --> 00:01:26,000
que es este de aquí, y nos dicen que cuál es la distancia

12
00:01:26,000 --> 00:01:29,219
entre este punto y esta recta

13
00:01:29,219 --> 00:01:33,120
bueno, pues para hallar la distancia de un punto a una recta, vamos a utilizar

14
00:01:33,120 --> 00:01:37,159
la conocida fórmula de módulo

15
00:01:37,159 --> 00:01:47,359
del producto vectorial de P1Q por el vector U, dividido por el módulo del vector U, que

16
00:01:47,359 --> 00:01:54,859
luego veremos de dónde sale y simplemente nos ponemos a hacerlo. En el caso de para

17
00:01:54,859 --> 00:02:04,180
hacer el producto vectorial, primero tenemos que hacer el vector P1Q, que sería 3 menos

18
00:02:04,180 --> 00:02:13,780
3, 0, 5, menos 2, 3, y menos 3, 0, o sea, 0, 3, menos 3, aquí lo he puesto, y el otro,

19
00:02:13,780 --> 00:02:20,120
el vector 4, menos 2, 2, que es el vector de la recta, ¿de acuerdo? Hacemos el producto

20
00:02:20,120 --> 00:02:30,340
vectorial, nos queda menos 12j, menos 12k, y en su módulo, que es lo que tenemos que

21
00:02:30,340 --> 00:02:35,500
hacer en el numerador, pues obviamente queda 12 raíz de 2, aunque aquí lo he puesto

22
00:02:35,500 --> 00:02:42,580
muy expresamente, pero vamos, se veía claramente que era 12 por 1 más 1 raíz de 2, 12 raíz

23
00:02:42,580 --> 00:02:51,020
de 2. El módulo del vector 1, 4 menos 2, 2, es 2 raíz de 6, y entonces si hacemos

24
00:02:51,020 --> 00:02:58,259
la división, 12 raíz de 2 entre 2 raíz de 6, pues nos queda 2 raíz de 3, que es

25
00:02:58,259 --> 00:03:02,419
la distancia del punto

26
00:03:02,419 --> 00:03:04,379
a la recta, ¿de acuerdo?

27
00:03:05,860 --> 00:03:08,860
si lo pasamos a decimales nos da 3,46

28
00:03:08,860 --> 00:03:13,159
que si le preguntamos a GeoGebra cuál es la diferencia, como he hecho yo aquí

29
00:03:13,159 --> 00:03:16,939
con la instrucción distancia entre un punto y una recta

30
00:03:16,939 --> 00:03:20,599
pues nos ha dado 3,46, lo cual coincide

31
00:03:20,599 --> 00:03:23,300
los cálculos que nosotros hemos hecho con el CAS

32
00:03:23,300 --> 00:03:26,620
con la fórmula de la distancia

33
00:03:26,620 --> 00:03:33,300
¿Y qué hubiera pasado si yo hubiera puesto aquí 2 menos 1, 1?

34
00:03:35,120 --> 00:03:38,580
Está claro que este resultado, el numerador, habría sido diferente

35
00:03:38,580 --> 00:03:43,240
Pero lógicamente, en el denominador, también habría sido diferente

36
00:03:43,240 --> 00:03:44,879
Habríamos puesto 2 menos 1, 1

37
00:03:44,879 --> 00:03:49,240
Con lo cual, el cociente, que es lo que me importa, la distancia

38
00:03:49,240 --> 00:03:51,520
Hubiera sido la misma

39
00:03:51,520 --> 00:03:56,520
Cuidado, no nos hubiéramos equivocado al escribirla

40
00:03:56,520 --> 00:04:02,120
ecuación de la recta y uno lo hubiéramos simplificado y otro no. Pero si simplificamos

41
00:04:02,120 --> 00:04:09,539
los dos o cambiamos de signo los dos, lo que queramos los dos, que pongamos lo mismo en

42
00:04:09,539 --> 00:04:16,019
la tercera fila del determinante que de lo que luego hacemos el denominador, pues entonces

43
00:04:16,019 --> 00:04:20,100
no cambia lógicamente la distancia porque está bien hecha. Decía que íbamos a ver

44
00:04:20,100 --> 00:04:27,100
de dónde salía esta fórmula como curiosidad como sabéis esto se define como el área del

45
00:04:27,100 --> 00:04:35,519
paralelogramo aquí tenéis el paralelogramo formado por los puntos p1 p2 q y este que sería

46
00:04:35,519 --> 00:04:42,699
q más u de acuerdo aquí lo podemos ver entonces ese es el área del paralelogramo si yo lo divido

47
00:04:42,699 --> 00:04:55,560
por el módulo de U, que es la base, ¿qué pasaría? Pues que entonces me daría esto ahora que lo estoy

48
00:04:55,560 --> 00:05:05,939
viendo como plano, vamos a decirlo así, es un romboide. Si yo divido el área entre la base,

49
00:05:05,939 --> 00:05:09,399
pues me va a dar la altura en perpendicular

50
00:05:09,399 --> 00:05:13,759
luego lo veremos en el apartado B

51
00:05:13,759 --> 00:05:16,819
que este ejercicio está muy bien puesto

52
00:05:16,819 --> 00:05:19,160
y me permite además entender esto

53
00:05:19,160 --> 00:05:24,939
esa es la distancia de Q a la recta

54
00:05:24,939 --> 00:05:31,120
ahora vamos a calcular el punto de corte de la recta R

55
00:05:31,120 --> 00:05:32,740
con el plano perpendicular a R

56
00:05:32,740 --> 00:05:37,680
Bueno, pues tenemos que empezar por calcular el plano perpendicular a R que pasa por Q.

57
00:05:38,420 --> 00:05:42,540
Para eso, lo vamos a hacer aquí, ya lo hemos pintado incluso,

58
00:05:43,360 --> 00:05:48,139
pues lo que hacemos es la forma de un plano en forma normal.

59
00:05:48,620 --> 00:05:54,279
Utilizamos de coeficientes 4 menos 2, 2, que si recordáis es el vector director de la recta,

60
00:05:55,279 --> 00:06:00,519
y de punto el 3, 5 menos 3, que es el punto Q.

61
00:06:00,519 --> 00:06:03,220
aquí, está aquí

62
00:06:03,220 --> 00:06:06,519
entonces, lógicamente, la ecuación del plano que me sale

63
00:06:06,519 --> 00:06:09,939
es perpendicular a la recta

64
00:06:09,939 --> 00:06:11,660
y que pasa por Q

65
00:06:11,660 --> 00:06:15,800
decir, bueno, pues yo no lo veo

66
00:06:15,800 --> 00:06:18,300
que aquí esté, pero sí, si lo veis

67
00:06:18,300 --> 00:06:20,699
ahí está, ¿de acuerdo?

68
00:06:20,839 --> 00:06:23,959
y por cierto, si yo consigo poner esto

69
00:06:23,959 --> 00:06:26,720
completamente recto, perpendicular

70
00:06:26,720 --> 00:06:30,259
a ver, cuanto más lo muevo, peor

71
00:06:30,259 --> 00:06:51,579
ahí estamos, resulta que la altura del paralelogramo anterior, la distancia de Q a la recta, también va a ser la proyección, calculando la proyección de Q sobre la recta, la longitud de este segmento, ¿de acuerdo?

72
00:06:51,579 --> 00:06:58,199
Con lo cual vamos a comprobar en el apartado B, de alguna manera, si hemos hecho bien el apartado A.

73
00:07:00,160 --> 00:07:03,819
¿Cómo se halla la intersección del plano con la recta?

74
00:07:04,319 --> 00:07:15,040
Pues ya lo sabéis también, simplemente lo que tengo que hacer es sustituir en la ecuación del plano,

75
00:07:15,040 --> 00:07:37,439
la he puesto simplificada, he dividido por 2, 2 menos 1, 1, lo que pasa es que aquí ya lo he puesto más 2, he sustituido las coordenadas paramétricas del plano, 3 más 4 lambda, 2 menos 2 lambda, 2 lambda, que por cierto lo tengo aquí también.

76
00:07:37,439 --> 00:07:43,699
Bueno, pues esto lo hemos metido en la ecuación del plano naranja

77
00:07:43,699 --> 00:07:52,180
y trabajando con ello me da 12 lambda más 6 igual a 0, resolviéndolo me queda lambda menos 1 medio

78
00:07:52,180 --> 00:07:57,699
y si ahora yo sustituyo lambda menos 1 medio en la ecuación de la recta,

79
00:07:57,699 --> 00:08:04,259
pues me da las coordenadas del punto Q' que he llamado, que es la proyección de Q sobre la recta,

80
00:08:04,699 --> 00:08:07,259
que es 1, 3, menos 1, ¿lo veis?

81
00:08:07,439 --> 00:08:32,039
Ahí está Q'. Por cierto, si yo le digo a GeoGebra, que en vez de como lo hemos hecho nosotros con cuentas, que es como hay que hacerlo en un examen, que nos calcule la intersección, pues vamos a ver lo que me ha salido.

82
00:08:32,039 --> 00:08:40,019
Me ha salido el punto A, que está aquí, 1, 3, menos 1, que coincide con el punto Q', que nosotros hemos calculado.

83
00:08:40,379 --> 00:08:42,679
Evidentemente, lo hemos hecho bien.

84
00:08:43,360 --> 00:08:50,360
Por otro lado, de paso, le he pedido a GeoGebra que me calcule la longitud del vector QQ'.

85
00:08:50,360 --> 00:08:58,799
Y, oh sorpresa, sale 2 raíz de 3, que es la distancia del punto a la recta.

86
00:08:58,799 --> 00:09:03,059
Así que este ejercicio también sirve para aprender bastante teoría.