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00:00:00,000 --> 00:00:03,680
Hola, en este vídeo vamos a deducir la fórmula que permite calcular la

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00:00:03,680 --> 00:00:08,360
distancia entre un punto y una recta cualquiera de R3.

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00:00:08,360 --> 00:00:10,480
He aquí una de estas rectas

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00:00:10,480 --> 00:00:13,760
que vendrá caracterizada por uno de sus puntos

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00:00:13,760 --> 00:00:15,680
y uno de sus vectores directores.

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00:00:15,680 --> 00:00:17,280
Y he aquí el punto.

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00:00:17,280 --> 00:00:20,920
El objetivo es calcular la distancia entre el punto y la recta.

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00:00:20,920 --> 00:00:23,760
Si partimos de este punto genérico de la recta

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00:00:23,760 --> 00:00:27,800
obtenemos una distancia al punto dada por el módulo de este vector ARP

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00:00:27,840 --> 00:00:31,560
que es variable y que dependerá del punto elegido.

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00:00:31,560 --> 00:00:35,360
Llamamos distancia entre el punto y la recta a la más corta

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00:00:35,360 --> 00:00:37,440
de todas las distancias posibles

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00:00:37,440 --> 00:00:39,760
y esa es precisamente la que

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00:00:39,760 --> 00:00:42,840
forma un ángulo recto con el vector director.

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00:00:42,840 --> 00:00:45,920
Sin embargo, en la práctica

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00:00:45,920 --> 00:00:49,960
salvo que hayamos obtenido previamente este punto C, que es el punto

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00:00:49,960 --> 00:00:51,760
proyección de P

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00:00:51,760 --> 00:00:53,400
sobre la recta

19
00:00:53,440 --> 00:00:57,680
no sabemos calcular directamente esta distancia.

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00:00:57,680 --> 00:01:00,200
La alternativa para calcularla

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00:01:00,200 --> 00:01:04,080
consiste entonces en considerar este paralelogramo.

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00:01:04,080 --> 00:01:06,520
En este paralelogramo la base

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00:01:06,520 --> 00:01:09,440
viene dada por el módulo del vector director

24
00:01:09,440 --> 00:01:13,360
y la altura es precisamente la distancia buscada.

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00:01:13,360 --> 00:01:19,320
El área del paralelogramo también variará en función del punto elegido.

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00:01:19,320 --> 00:01:22,880
Al igual que lo hará la longitud de su base, lo que no varía nunca es la altura

27
00:01:22,880 --> 00:01:25,640
que queremos calcular.

28
00:01:25,640 --> 00:01:28,640
Procedemos entonces de la siguiente manera.

29
00:01:28,640 --> 00:01:30,520
Consideramos estas dos fórmulas

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00:01:30,520 --> 00:01:32,880
para calcular el área del paralelogramo.

31
00:01:32,880 --> 00:01:34,280
Una como módulo

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00:01:34,280 --> 00:01:38,040
de ese producto vectorial entre el vector director de la recta y el que une

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00:01:38,040 --> 00:01:40,960
uno o cualquiera de sus puntos con el punto P.

34
00:01:40,960 --> 00:01:45,320
La otra fórmula para el área del paralelogramo es la conocida de la

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00:01:45,320 --> 00:01:47,160
geometría elemental.

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00:01:47,160 --> 00:01:48,440
Igualamos ahora

37
00:01:48,440 --> 00:01:50,720
los valores de ambas expresiones

38
00:01:50,720 --> 00:01:53,800
y de ahí podemos despejar la altura

39
00:01:53,800 --> 00:01:55,560
como ese cociente.

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00:01:55,560 --> 00:01:56,920
Observemos que

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00:01:56,920 --> 00:02:00,520
si variamos el punto, el numerador de ese cociente que es el área

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00:02:00,520 --> 00:02:02,360
aumentará o disminuirá

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00:02:02,360 --> 00:02:04,640
pero lo hará de forma proporcional

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00:02:04,640 --> 00:02:05,800
a la variación

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00:02:05,800 --> 00:02:09,120
de la base del módulo de uvr y por lo tanto la altura,

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00:02:09,120 --> 00:02:12,480
como decimos, permanece constante.

47
00:02:12,480 --> 00:02:17,040
Tenemos entonces esta fórmula para la distancia de un punto a una recta

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00:02:17,040 --> 00:02:18,320
en la que los datos

49
00:02:18,320 --> 00:02:21,800
son el vector director y un punto cualquiera de la recta que podemos

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00:02:21,800 --> 00:02:23,680
obtener siempre de sus ecuaciones

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00:02:23,680 --> 00:02:25,320
y el punto

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00:02:25,320 --> 00:02:26,920
cuya distancia queremos calcular.