1
00:00:01,780 --> 00:00:09,599
Vamos a calcular el área y el volumen de una pirámide recta, en este caso de base cuadrada.

2
00:00:10,400 --> 00:00:14,279
Entonces vamos a empezar por lo más fácil que es el área.

3
00:00:14,480 --> 00:00:19,620
Vamos a suponer que los datos que me han dado en este caso, que podría haberlos conseguido yo,

4
00:00:20,059 --> 00:00:24,239
de hecho yo lo he hecho así, midiendo, son las medidas de las aristas que veo.

5
00:00:24,239 --> 00:00:33,240
Esto mide 6 centímetros, por tanto la base es un cuadrado de lado 6 y esta otra arista que va al vértice superior mide 8 centímetros.

6
00:00:33,880 --> 00:00:38,240
Por tanto las cuatro aristas que van al vértice superior miden 8 centímetros.

7
00:00:39,200 --> 00:00:46,060
Si queremos empezar por calcular el área conviene que pensemos en el desarrollo plano de esta figura.

8
00:00:46,060 --> 00:00:56,179
Si yo abriera la pirámide como si pelara un plátano, lo que me queda es este desarrollo de la figura

9
00:00:56,179 --> 00:01:00,979
Se podría desarrollar de distintas formas, pero en esta forma se ve muy bien

10
00:01:00,979 --> 00:01:06,500
Entonces, vamos a comenzar a calcular el área

11
00:01:06,819 --> 00:01:18,340
El área total de la figura será igual a la suma del área de la base más las áreas laterales

12
00:01:18,340 --> 00:01:23,379
es decir, el área de cada cara, y como tengo cuatro caras laterales, pues multiplicado por cuatro.

13
00:01:23,799 --> 00:01:26,840
Estas cuatro caras, como la pirámide es recta, son iguales.

14
00:01:27,700 --> 00:01:34,000
Lo más sencillo de calcular es el área de la base, porque el área de la base se trata de un cuadrado,

15
00:01:34,140 --> 00:01:36,760
por tanto es simplemente lado al cuadrado.

16
00:01:38,299 --> 00:01:45,299
¿Y esto qué me queda? Cuando hago lado al cuadrado, este lado, hemos visto en la pirámide que mide seis centímetros,

17
00:01:45,299 --> 00:01:54,379
Por tanto, esto será 6 al cuadrado, 36 centímetros cuadrados

18
00:01:54,379 --> 00:01:57,000
Y ya sé lo que mide la base

19
00:01:57,000 --> 00:01:59,519
Vamos a ver lo que mide un lado

20
00:01:59,519 --> 00:02:04,959
Entonces, como cada lado, perdón, una cara

21
00:02:04,959 --> 00:02:06,859
Cada cara es un triángulo

22
00:02:06,859 --> 00:02:15,250
El área de un triángulo sabemos que es base por altura dividido entre 2

23
00:02:15,250 --> 00:02:18,860
Aquí sabemos lo que mide la base

24
00:02:18,860 --> 00:02:24,120
porque la base es esto de aquí que son 6 centímetros

25
00:02:24,120 --> 00:02:25,860
pero no sabemos lo que mide la altura

26
00:02:25,860 --> 00:02:30,800
entonces lo que vamos a hacer es dividir este triángulo

27
00:02:30,800 --> 00:02:33,979
puesto que mi pirámide era recta

28
00:02:33,979 --> 00:02:36,860
las caras sabemos que son triángulos isósceles

29
00:02:37,379 --> 00:02:42,300
es decir, estos dos lados miden lo mismo que en mi pirámide eran 8 centímetros

30
00:02:42,300 --> 00:02:45,460
esto mide 8 y esto mide 8

31
00:02:45,460 --> 00:02:48,219
y por tanto cuando yo trazo la altura

32
00:02:48,219 --> 00:02:51,500
se me forma un triángulo rectángulo

33
00:02:51,500 --> 00:02:54,960
voy a quedarme por ejemplo con este triángulo de la derecha

34
00:02:54,960 --> 00:02:58,240
por tanto tengo un triángulo cuya hipotenusa es 8

35
00:02:58,240 --> 00:03:01,259
este cateto pequeño es la mitad de este lado

36
00:03:01,259 --> 00:03:03,300
por tanto 3 centímetros

37
00:03:03,300 --> 00:03:06,580
y la altura, que sería el cateto que me falta

38
00:03:06,580 --> 00:03:09,360
no sé lo que vale, mide 8, mide x, perdón

39
00:03:09,360 --> 00:03:12,919
pues vamos a calcularlo usando el teorema de Pitágoras

40
00:03:12,919 --> 00:03:36,889
Sé que x al cuadrado más 3 al cuadrado es igual a 8 al cuadrado, es decir, x al cuadrado más 9 es igual a 64, el 9 está aquí sumando, pasa al otro lado restando, es decir, es igual a 55x al cuadrado.

41
00:03:36,889 --> 00:03:47,270
Por tanto, X era la raíz de 55 y esto es aproximadamente 7,42 centímetros.

42
00:03:48,469 --> 00:03:56,090
Por tanto, ya conozco la altura de mi triángulo y puedo calcular ya el área de la cara.

43
00:03:57,050 --> 00:04:01,229
Esto era base. La base era todo el lado, 6 centímetros.

44
00:04:01,229 --> 00:04:06,449
Por la altura que acabamos de ver, que es 7,42 partido por 2.

45
00:04:06,889 --> 00:04:15,930
Hago esta multiplicación y luego divido entre 2 y me queda 22,26 centímetros cuadrados.

46
00:04:17,470 --> 00:04:34,149
Entonces, ya sé lo que mide la base y lo que miden las caras, por tanto, el área total será el área de la base, 36, más 4 veces el área de cada cara, 22,26.

47
00:04:34,149 --> 00:04:48,949
Hago primero la multiplicación, esto me queda 89,04 y ahora hago la suma y esto me queda 124,04 centímetros cuadrados.

48
00:04:49,850 --> 00:04:54,009
Por tanto, ya tengo el área de mi figura.

49
00:04:55,149 --> 00:04:57,310
Vamos a ver cómo calculamos ahora el volumen.

50
00:04:57,310 --> 00:05:08,910
El volumen de una pirámide sabemos que es área de la base por la altura de la pirámide dividido entre 3.

51
00:05:09,550 --> 00:05:11,310
Entonces, ¿qué es lo que pasa?

52
00:05:11,490 --> 00:05:23,209
En mi pirámide he medido las aristas, pero la altura sería la longitud que va desde este punto, desde el vértice, hasta el centro de la base.

53
00:05:23,709 --> 00:05:27,430
Y esa longitud no la conozco, pero la puedo calcular con los datos que tengo.

54
00:05:27,430 --> 00:05:34,110
Vamos a imaginarnos que cortamos mi pirámide por la mitad, ¿vale?

55
00:05:34,490 --> 00:05:45,310
De forma que la atravieso con un plano en vertical, que me corta esta cara por la mitad, la base por la mitad, esta otra cara por la mitad

56
00:05:45,310 --> 00:05:52,550
Y entonces, si yo mirara mi pirámide cortada, ¿qué vería? Vería exactamente este triángulo

57
00:05:52,550 --> 00:05:55,670
Este triángulo, ¿qué medidas tiene?

58
00:05:55,670 --> 00:06:02,610
Si me fijo en mi figura, de base va a tener 6 centímetros

59
00:06:02,610 --> 00:06:13,089
Y de lado va a tener la altura del lado, que habíamos dicho que era 7,42

60
00:06:13,089 --> 00:06:18,810
Y como va a ser un triángulo isósceles

61
00:06:18,810 --> 00:06:22,790
Porque fijaos que cuando corto mi pirámide, al cortar por aquí

62
00:06:22,790 --> 00:06:27,769
Y al cortar por aquí, estoy cortando por las alturas de dos triángulos que son iguales.

63
00:06:27,769 --> 00:06:33,089
Por tanto, tanto este lado como este lado miden 7,42.

64
00:06:34,410 --> 00:06:41,389
Necesito la altura del triángulo, que eso coincidirá exactamente con la altura de mi pirámide.

65
00:06:42,430 --> 00:06:44,649
Bueno, pues vuelvo a usar el teorema de Pitágoras.

66
00:06:45,490 --> 00:06:48,110
Divido mi triángulo por la mitad.

67
00:06:49,290 --> 00:06:51,449
Este lado de aquí mide 3.

68
00:06:51,449 --> 00:06:55,550
la hipotenusa mide 7,42

69
00:06:55,550 --> 00:07:02,029
y a la altura del triángulo que coincide con el cateto de este triángulo rectángulo

70
00:07:02,029 --> 00:07:03,930
lo voy a llamar I porque no sé lo que vale

71
00:07:03,930 --> 00:07:06,129
y vamos a calcular lo que vale I

72
00:07:06,129 --> 00:07:09,389
yo sé por el teorema de Pitágoras que

73
00:07:09,389 --> 00:07:18,670
I al cuadrado más 3 al cuadrado es igual a 7,42 al cuadrado

74
00:07:18,670 --> 00:07:47,370
es decir, y al cuadrado más 9 es igual a 7,42, fijaos que salió de hacer la raíz de 55, si yo meto esto en la calculadora me va a salir 55, algo, bueno, yo por tomar una aproximación un poco mejor voy a coger directamente 55, puesto que este número lo había sacado de hacer la raíz cuadrada de 55, al elevarlo al cuadrado voy a decir que esto es 55.

75
00:07:47,370 --> 00:08:00,540
El 9 lo quito al otro miembro y por tanto me queda que I al cuadrado es igual a 46

76
00:08:00,540 --> 00:08:09,720
Hago la raíz cuadrada y será la raíz cuadrada de 46 que es aproximadamente 6,78 cm

77
00:08:09,720 --> 00:08:13,300
Y con esto ya puedo calcular el volumen

78
00:08:13,300 --> 00:08:30,139
El volumen de la figura es el área de la base, que la había calculado al principio, 36 centímetros, por la altura de mi pirámide, 6,78, dividido entre 3.

79
00:08:31,180 --> 00:08:41,399
Entonces, si hago esta cuenta, primero la multiplicación, luego la división, veréis que sale 81,36 centímetros cúbicos.

80
00:08:41,399 --> 00:08:46,740
Y aquí tengo el volumen de mi pirámide