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00:00:00,000 --> 00:00:05,600
En este vídeo se va a aplicar el principio de conservación de la energía

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00:00:05,600 --> 00:00:10,400
para estudiar el movimiento de un cuerpo en el seno de un campo gravitatorio.

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00:00:10,400 --> 00:00:15,500
El principio de conservación de la energía nos dice que la energía total en el movimiento de un cuerpo

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00:00:15,500 --> 00:00:19,000
permanece constante cuando está en un campo gravitatorio.

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00:00:19,000 --> 00:00:23,800
Si el cuerpo cambia entre dos posiciones, A y B del campo gravitatorio,

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00:00:23,800 --> 00:00:31,300
se tiene que cumplir que la energía total en el punto A tiene que ser igual a la energía total en el punto B.

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00:00:31,300 --> 00:00:36,300
Vamos a aplicar este principio de conservación a distintas situaciones que nos podemos encontrar.

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00:00:36,300 --> 00:00:42,800
Una primera sería la caída libre, que podría ser un meteorito que se mueve en un campo gravitatorio,

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00:00:42,800 --> 00:00:48,300
de tal forma que su energía, la energía total, permanece constante.

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00:00:48,300 --> 00:00:53,300
Cuando está en una posición A tendrá una energía total que será cinética más potencial.

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00:00:53,300 --> 00:00:59,800
Cuando está en otra posición B tendrá una energía que será cinética más potencial.

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00:00:59,800 --> 00:01:05,800
La posición del meteorito será siempre el radio del planeta más la altura a la que se encuentra.

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00:01:05,800 --> 00:01:10,800
Por el principio de conservación de la energía se tiene que cumplir que la energía total en el punto A

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00:01:10,800 --> 00:01:15,800
tiene que ser igual a la energía total en el punto B, donde la cinética en el punto A

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00:01:15,800 --> 00:01:20,300
más la potencia en el punto A tiene que ser la cinética en el punto B más potencia en el punto B,

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00:01:20,300 --> 00:01:26,300
sustituyendo la expresión de la cinética por un medio de la masa por la velocidad en el punto A al cuadrado

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00:01:26,300 --> 00:01:33,800
menos la energía potencial, gmm dividido por RA, tiene que ser igual a la energía cinética en el punto B,

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00:01:33,800 --> 00:01:40,300
un medio de la masa por la velocidad al cuadrado, más la energía potencial, que vale menos gmm partido por RB.

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00:01:40,300 --> 00:01:45,800
En esta ecuación tenemos implicadas cuatro variables, que son la velocidad y las posiciones del meteorito,

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00:01:45,800 --> 00:01:49,800
por lo que con las cidas tres podemos calcular la cuarta.

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00:01:49,800 --> 00:01:55,300
Otra situación, también bastante usual, es el lanzamiento hacia arriba desde la superficie del planeta

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00:01:55,300 --> 00:01:59,300
para alcanzar una altura máxima.

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00:01:59,300 --> 00:02:04,800
En el punto de altura máxima se tiene que cumplir que la velocidad tiene que ser nula,

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00:02:04,800 --> 00:02:10,800
y por lo tanto la energía total en el punto B será igual a la energía potencial,

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00:02:10,800 --> 00:02:17,300
y la energía total en el punto A será la energía aplicada más la energía potencial.

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00:02:17,300 --> 00:02:23,300
Por el principio de conservación, la energía total en el punto A tiene que ser igual a la energía total en el punto E,

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00:02:23,300 --> 00:02:28,300
sustituyendo, quedará que en el punto A tendremos la energía aplicada más la potencial,

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00:02:28,300 --> 00:02:32,300
y en el punto B tendremos la energía potencial.

29
00:02:32,300 --> 00:02:38,300
La energía aplicada es a un medio de la masa por la velocidad aplicada, si es en forma de cinética,

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00:02:38,300 --> 00:02:42,300
más la energía potencial, que es menos gmm dividido por RB,

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00:02:42,300 --> 00:02:47,300
tiene que ser igual a la energía potencial en B, que es menos gmm partido por RB,

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00:02:47,300 --> 00:02:49,800
más la altura a la que se encuentra.

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00:02:49,800 --> 00:02:55,300
Aquí tenemos tres variables, con la utilidad 2 se puede calcular la tercera.

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00:02:55,300 --> 00:03:00,300
Otra situación, también importante, es el lanzamiento hacia arriba desde la superficie de un planeta

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00:03:00,300 --> 00:03:03,800
para poner un satélite en órbita a una altura h.

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00:03:03,800 --> 00:03:08,300
La energía que tenemos que comunicar para ponerlo en órbita se llama energía de satelización,

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00:03:08,300 --> 00:03:11,300
y también el principio de conservación de energía mecánica,

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00:03:11,300 --> 00:03:16,300
se tiene que cumplir que la energía aplicada en el punto A, que es la superficie del planeta,

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00:03:16,300 --> 00:03:21,800
tiene que ser igual, perdón, que la energía total en el punto A, que es en la superficie del planeta,

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00:03:21,800 --> 00:03:26,800
tiene que ser igual a la energía total en el punto B, que es donde se encuentra orbitando.

41
00:03:26,800 --> 00:03:31,800
La energía total en el punto A, sea igual a la suma de la energía aplicada,

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00:03:31,800 --> 00:03:36,300
que es la energía de satelización, más la energía potencial en el punto B,

43
00:03:36,300 --> 00:03:42,300
puesto que se encuentra orbitando, tendrá energía cinética orbital más energía potencial orbital.

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00:03:42,300 --> 00:03:48,300
El principio de conservación de la energía, igualamos la energía total en el punto A a la que hay en el punto B,

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00:03:48,300 --> 00:03:52,300
y nos quedará que la aplicada en el punto A más la potencial en el punto A,

46
00:03:52,300 --> 00:03:56,300
sea igual a la cinética en el punto B más la potencial en el punto B,

47
00:03:56,300 --> 00:04:00,300
teniendo en cuenta que la cinética más la potencial en B, la suma de ambas en la mecánica,

48
00:04:00,300 --> 00:04:05,300
nos quedará que la energía aplicada más la energía potencial en el punto A,

49
00:04:05,300 --> 00:04:07,300
sea igual a la energía mecánica en el punto B.

50
00:04:07,300 --> 00:04:12,300
La energía aplicada en el punto A es la energía de satelización,

51
00:04:12,300 --> 00:04:17,300
la energía potencial en el punto A vale menos gmm dividido entre el radio del planeta,

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00:04:17,300 --> 00:04:24,300
y sea igual a la energía mecánica en el punto B, que es menos gmm dividido por dos veces el radio de la órbita.

53
00:04:24,300 --> 00:04:31,300
Por lo tanto, despejando la energía de satelización, será igual a gmm dividido entre el radio del planeta,

54
00:04:31,300 --> 00:04:36,300
menos gmm dividido entre dos veces el radio de la órbita.

55
00:04:36,300 --> 00:04:43,300
Otra situación muy usual es la energía que hay que aplicar en un satélite para cambiarlo de órbita.

56
00:04:43,300 --> 00:04:50,300
Bien, cuando está en una órbita de radio A, tendrá su energía cinética orbital más energía potencial orbital,

57
00:04:50,300 --> 00:04:57,300
y en la órbita de radio B tendrá su energía cinética orbital y su energía potencial.

58
00:04:57,300 --> 00:05:01,300
Bien, para cambiarlo de órbita en el punto A tendremos que aplicar una energía,

59
00:05:01,300 --> 00:05:06,300
por lo que la energía total en el punto A tendrá que ser igual a la energía total en el punto B,

60
00:05:06,300 --> 00:05:11,300
según el principio de conservación de energía, por lo que en el punto A tendremos la energía aplicada,

61
00:05:11,300 --> 00:05:15,300
más la energía cinética orbital, más la energía potencial orbital,

62
00:05:15,300 --> 00:05:22,300
en el punto A tendrá que ser igual a la energía cinética orbital más la energía potencial orbital en el punto B.

63
00:05:22,300 --> 00:05:27,300
Puesto que la energía cinética orbital más la potencial orbital en la mecánica,

64
00:05:27,300 --> 00:05:32,300
nos quedará que la energía aplicada en el punto A más la energía mecánica en el punto A

65
00:05:32,300 --> 00:05:36,300
tiene que ser igual a la energía mecánica en el punto B, sustituyendo la expresión de la energía mecánica,

66
00:05:36,300 --> 00:05:44,300
nos quedará que la energía mecánica más la energía aplicada más la energía mecánica en el punto A

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00:05:44,300 --> 00:05:50,300
que será menos gmm dividido por 2rA, tiene que ser igual a la energía mecánica en el punto B

68
00:05:50,300 --> 00:05:53,300
igual a menos gmm dividido por 2rB.

69
00:05:53,300 --> 00:06:00,300
Despejando la energía aplicada, me quedará que será igual a gmm dividido por dos veces el radio de la órbita A

70
00:06:00,300 --> 00:06:06,300
menos gmm dividido por dos veces el radio de la órbita B.

71
00:06:06,300 --> 00:06:11,300
También es muy usual utilizar el principio de conservación de la energía mecánica

72
00:06:11,300 --> 00:06:16,300
para calcular la velocidad de escape, teniendo en cuenta que la energía de escape,

73
00:06:16,300 --> 00:06:21,300
la energía que hay que aplicarle a un satélite para que abandone el campo gravitatorio terrestre

74
00:06:21,300 --> 00:06:25,300
y que en ese punto de abandono su altura se considera que está en el infinito

75
00:06:25,300 --> 00:06:30,300
por lo que no tiene energía potencial y se supone que la velocidad en ese punto es cero.

76
00:06:30,300 --> 00:06:35,300
La energía total en el punto B será nula, será igual a cero, y la energía total en el punto A

77
00:06:35,300 --> 00:06:42,300
será la energía aplicada, que es la energía cinética, más la potencial.

78
00:06:42,300 --> 00:06:45,300
La energía total en el punto A tiene que ser igual a la que tiene el punto B,

79
00:06:45,300 --> 00:06:49,300
por lo tanto la energía aplicada en el punto A más la potencial tiene que ser igual a cero,

80
00:06:49,300 --> 00:06:54,300
por lo que la energía aplicada, sustituyéndola por la expresión de un medio de la masa

81
00:06:54,300 --> 00:06:59,300
por la velocidad al cuadrado y la energía potencial por la expresión menos gmm

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00:06:59,300 --> 00:07:04,300
dividido entre el radio del planeta, nos queda que la velocidad de escape

83
00:07:04,300 --> 00:07:09,300
será igual a la raíz de 2gm dividido entre el radio del planeta.

84
00:07:09,300 --> 00:07:13,300
Aquí podemos también comprobar que la velocidad de escape es independiente de la masa del cuerpo

85
00:07:13,300 --> 00:07:18,300
y que depende exclusivamente de la masa del planeta y del radio del planeta.

86
00:07:18,300 --> 00:07:22,300
Si nos piden que calcule la velocidad de escape desde una altura determinada,

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00:07:22,300 --> 00:07:28,300
en lugar de hacerlo en la superficie, la expresión será idéntica a la obtenida anteriormente,

88
00:07:28,300 --> 00:07:32,300
todo el planteamiento lo mismo, por conservación de la energía total,

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00:07:32,300 --> 00:07:35,300
y en el punto A tiene que ser igual a el punto B,

90
00:07:35,300 --> 00:07:38,300
la energía aplicada más la potencial en A tiene que ser igual a cero,

91
00:07:38,300 --> 00:07:43,300
la medida de masa por velocidad de escape en el punto A menos gmm partido por RA

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00:07:43,300 --> 00:07:48,300
será igual a cero, donde la velocidad de escape será la raíz de 2gm dividido entre RA.

93
00:07:48,300 --> 00:07:52,300
La diferencia con el caso anterior es que, en este caso,

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00:07:52,300 --> 00:08:00,300
la posición del satélite o del cuerpo que estamos sacando fuera del campo gravitatorio

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00:08:00,300 --> 00:08:06,300
se encuentra a una distancia que es el radio del planeta más la altura h sobre el planeta.