1 00:00:00,260 --> 00:00:05,139 Comenzamos el tutorial de derivación. El objetivo de este tutorial es explicar desde cero 2 00:00:05,139 --> 00:00:10,839 las diferentes reglas de derivación y las derivadas de las funciones elementales. 3 00:00:11,640 --> 00:00:14,220 Esto es, seno, coseno, etc. 4 00:00:15,359 --> 00:00:17,000 Exponencial, logaritmo... 5 00:00:17,579 --> 00:00:21,339 De modo que se puedan ir aprendiendo poco a poco y con la práctica. 6 00:00:22,460 --> 00:00:25,719 En cuanto a las reglas, solo se van a decir las elementales sin mezclarlas. 7 00:00:25,940 --> 00:00:29,760 El combinar todo esto se deja para la siguiente parte del tutorial. 8 00:00:32,560 --> 00:00:42,200 Vamos a emplear la siguiente tabla de derivación, los suyos que la tengáis a mano, aunque se recomienda que vayáis aprendiendo de memoria las fórmulas según se van explicando. 9 00:00:43,380 --> 00:00:49,880 De hecho, esa es la idea por la cual vamos incluyendo unas fórmulas de forma secuenciada junto con otras reglas, etc. 10 00:00:50,320 --> 00:00:51,240 Facilitar la memoria. 11 00:00:52,579 --> 00:00:53,700 Pero bueno, no viene mal tenerla. 12 00:00:54,659 --> 00:01:01,700 Hacemos un zoom a la parte de arriba de la tabla y podéis ver que en la parte de arriba tenéis las reglas de derivación. 13 00:01:02,140 --> 00:01:06,760 Por ejemplo, aquí tenéis la derivada de la suma y aquí la del producto. 14 00:01:07,680 --> 00:01:08,079 Bien. 15 00:01:08,980 --> 00:01:11,700 Y abajo tenéis las derivadas de funciones particulares. 16 00:01:12,780 --> 00:01:18,560 Bueno, aquí la de la constante, que es cero, y aquí las derivadas de funciones. 17 00:01:18,879 --> 00:01:22,579 Por ejemplo, x elevado a n, raíz de x, o elevado a x. 18 00:01:23,579 --> 00:01:27,159 A la derecha tenemos las mismas derivadas, pero aplicadas a una función. 19 00:01:27,159 --> 00:01:29,840 por ejemplo, f elevado a n 20 00:01:29,840 --> 00:01:32,439 raíz de f o elevado a f 21 00:01:32,439 --> 00:01:33,299 sería por ejemplo 22 00:01:33,299 --> 00:01:36,260 si esta aquí sería x elevado a n 23 00:01:36,260 --> 00:01:37,359 pues x elevado a 5 24 00:01:37,359 --> 00:01:39,239 pues aquí considerar por ejemplo la función 25 00:01:39,239 --> 00:01:42,140 seno de x elevado a 5 26 00:01:42,140 --> 00:01:46,620 bien 27 00:01:46,620 --> 00:01:48,879 y entonces pues nada 28 00:01:48,879 --> 00:01:50,099 son muy parecidas 29 00:01:50,099 --> 00:01:53,519 aquí tenéis las derivadas normales 30 00:01:53,519 --> 00:01:55,519 y las derivadas de la derecha 31 00:01:55,519 --> 00:01:57,799 no es más que aplicar la regla de la cadena 32 00:01:57,799 --> 00:01:59,319 por ejemplo en el caso de 33 00:01:59,319 --> 00:02:03,159 f elevado a n, pues si x elevado a n 34 00:02:03,159 --> 00:02:06,540 derivada es nxn-1, pues sería 35 00:02:06,540 --> 00:02:13,710 lo mismo pero con la f, nf elevado a n-1 36 00:02:13,710 --> 00:02:16,509 con la diferencia de que después multiplicamos por f' 37 00:02:16,750 --> 00:02:21,310 con lo cual si os sabéis todas estas, automáticamente os vais a saber 38 00:02:21,310 --> 00:02:27,479 también estas. Acabaría la tabla y comenzamos 39 00:02:27,479 --> 00:02:30,199 Empezamos con las derivadas más elementales 40 00:02:30,199 --> 00:02:38,669 La primera es que la derivada de x es 1 y que la derivada de cualquier número es 0. 41 00:02:40,819 --> 00:02:48,159 Y estas las unimos con la derivada de x elevado a n, cuya derivada es n por x elevado a n-1. 42 00:02:48,879 --> 00:02:59,500 Por ejemplo, x elevado a 8, derivada sería 8xnx elevado a n-1, que sería 7. 43 00:03:02,659 --> 00:03:07,719 x elevado a 9, derivada sería 9x8, por ejemplo. 44 00:03:07,759 --> 00:03:11,460 bien, si queréis para practicar brevemente 45 00:03:11,460 --> 00:03:13,439 hacéis x15 derivada 46 00:03:13,439 --> 00:03:16,020 y x7 derivada 47 00:03:16,020 --> 00:03:19,699 bueno, pares la grabación y corregimos 48 00:03:19,699 --> 00:03:22,139 eso sería 15x14 49 00:03:22,139 --> 00:03:26,120 bajamos la unidad y esto es 7x6 50 00:03:26,120 --> 00:03:28,360 bueno, junto a esto 51 00:03:28,360 --> 00:03:30,879 aplicamos la siguiente regla de derivación 52 00:03:30,879 --> 00:03:34,159 la primera es que si yo tengo dos funciones 53 00:03:34,159 --> 00:03:37,110 que se suman 54 00:03:37,930 --> 00:03:40,849 La derivada es la suma de las derivadas. 55 00:03:41,449 --> 00:03:52,569 Por ejemplo, si yo tengo x8 y lo sumo x6, la derivada sería la suma de las derivadas 8x7 y 6x5. 56 00:03:54,650 --> 00:04:06,289 La segunda regla es que si yo tengo una función y la multiplico por un número, su derivada es ese número multiplicado por la derivada. 57 00:04:06,289 --> 00:04:22,129 Por ejemplo, si yo tengo, bueno, 15 es un poco más sencilla, 5x al cubo, y yo derivo, la derivada será 5 por la derivada de x al cubo, que sería 3x al cuadrado. 58 00:04:22,930 --> 00:04:27,250 Lo que pasa es que es más rápido poner directamente 15x al cuadrado. 59 00:04:27,350 --> 00:04:35,569 Bueno, si queréis, hacéis uno de ese tipo, pero aplicando el producto directamente. 60 00:04:35,569 --> 00:04:54,329 Entonces, por ejemplo, si tenemos 6x7, directamente hacemos 6 por 7, 42, y ahora bajamos un grado del exponente, 7x4, 7 por 4, 28, y bajamos a x cubo. 61 00:04:54,329 --> 00:05:06,990 Bueno, pues hacéis un par de ellas. Por ejemplo, 5x4 derivada y 3x cuadrado derivada. 62 00:05:11,209 --> 00:05:19,060 Bueno, ahí es para la grabación. Corrijo. 5 por 4 es 20, x al cubo. Bajamos un grado. 63 00:05:19,939 --> 00:05:24,680 3 por 2 es 6, x al lado es 1. Lo que pasa es que x al lado de 1 es x. 64 00:05:24,680 --> 00:05:43,699 Una pequeña observación, es que si yo tengo esto en realidad x es x elevado a 1, si yo derivo tendría 1 por x elevado a 0, eso directamente 1 y como x elevado a 0 es 1, sería 1. 65 00:05:43,699 --> 00:05:50,079 con lo cual pues directamente la regla de esta función pues es la misma que las demás 66 00:05:50,079 --> 00:05:52,420 lo que pasa es que como es un poco distinta en su comportamiento 67 00:05:52,420 --> 00:05:57,839 pues no vale la pena pensarla, directamente ponemos 1 y ya está 68 00:05:57,839 --> 00:06:02,160 respecto a esta, lo mismo, pues x a la 1 no se pone 69 00:06:02,160 --> 00:06:06,160 bueno, aplicamos lo sabido con polinomios, tenemos las reglas 70 00:06:06,160 --> 00:06:10,860 la derivada de x es 1, el número es 0 71 00:06:10,860 --> 00:06:15,240 y x elevado a n derivada es nxn-1 72 00:06:15,240 --> 00:06:18,120 entonces si tenemos un polinomio, por ejemplo 73 00:06:18,120 --> 00:06:23,439 5x4-x al cubo 74 00:06:23,439 --> 00:06:25,920 más 7x cuadrado 75 00:06:25,920 --> 00:06:28,120 menos 9x más 3 76 00:06:28,120 --> 00:06:30,339 y calculamos su derivada 77 00:06:30,339 --> 00:06:32,740 pues aplicamos lo que ya sabemos 78 00:06:32,740 --> 00:06:34,800 multiplicamos exponente 79 00:06:34,800 --> 00:06:38,079 hacemos la de esta, luego la derivada de esta 80 00:06:38,079 --> 00:06:40,259 esta, esta y esta sumando 81 00:06:40,259 --> 00:06:43,800 entonces aquí tendríamos 5 por 4 es 20 82 00:06:43,800 --> 00:06:46,019 20 y bajamos el grado 83 00:06:46,019 --> 00:06:47,420 20x cubo 84 00:06:47,420 --> 00:06:48,160 menos 85 00:06:48,160 --> 00:06:50,759 bueno, aquí no hay ningún número multiplicando 86 00:06:50,759 --> 00:06:53,079 sería 1, pues directamente 3x cuadrado 87 00:06:53,079 --> 00:06:57,350 aquí 7 por 2 es 14 88 00:06:57,350 --> 00:06:58,769 bajamos el grado de x 89 00:06:58,769 --> 00:07:01,810 y aquí, pues cuando tenemos 9x 90 00:07:01,810 --> 00:07:04,750 la derivada es 9 por la derivada de x que es 1 91 00:07:04,750 --> 00:07:05,850 que es menos 9 92 00:07:05,850 --> 00:07:07,930 pero para ahorrar directamente 93 00:07:07,930 --> 00:07:09,170 ponemos el menos 9 94 00:07:09,170 --> 00:07:10,290 bajamos el grado de x 95 00:07:10,290 --> 00:07:12,670 que es poner 1 96 00:07:12,670 --> 00:07:15,209 entonces directamente ponemos menos 9 y ya está 97 00:07:15,209 --> 00:07:17,930 en cuanto a la derivada de 3 sería 0 98 00:07:17,930 --> 00:07:19,250 pero no se pone 99 00:07:19,250 --> 00:07:21,110 porque es perder el tiempo 100 00:07:21,110 --> 00:07:24,310 con lo cual directamente la derivada se queda así 101 00:07:24,310 --> 00:07:26,899 otro ejemplo 102 00:07:26,899 --> 00:07:34,920 9x6 menos 3x4 menos 2x cubo 103 00:07:34,920 --> 00:07:40,699 más x cuadrado menos 7x más 25 104 00:07:40,699 --> 00:08:08,540 por ejemplo, derivada. ¿Cuánto sería esto? Pues sería 9 por 6, 54x, bajamos el grado, 5, menos 3 por 4, 12x cubo, menos 2 por 3, 6x, bajamos el grado, 2, más 2x, y ahora pues el menos 7x se queda un menos 7, y el 25 pues desaparece. 105 00:08:08,540 --> 00:08:11,019 Con lo cual la derivada sería esta. 106 00:08:11,339 --> 00:08:16,939 Bueno, pues podéis practicar haciendo estas dos derivadas. 107 00:08:20,920 --> 00:08:37,779 7x8 menos 4x7 más 3x6 menos x5 más 2x4 más x3 menos 2x2 más x más 8. 108 00:08:38,600 --> 00:08:39,399 Derivada. 109 00:08:39,399 --> 00:09:01,149 Y por ejemplo, pues 7x4 menos 9x al cubo más 10x cuadrado menos 7x más 9 derivada. 110 00:09:01,950 --> 00:09:05,750 Para ir a la grabación, hacéis las dos derivadas y corregimos. 111 00:09:05,750 --> 00:09:37,169 Bien, la corrección sería 7 por 8 es 56x, bajamos el grado, menos 4 por 7 es 28x6, más 3 por 6 es 18x, bajamos el grado de 6 a 5, menos 5x4, más 2 por 4 es 8x3, más 3x2, menos 2x, no volvemos x al lado de 1, se sobreentiende. 112 00:09:37,169 --> 00:09:39,950 y aquí tenemos más x, pues sería más 1 113 00:09:39,950 --> 00:09:42,679 en la de aquí 114 00:09:42,679 --> 00:09:44,679 pues 7 por 4 115 00:09:44,679 --> 00:09:45,879 28 116 00:09:45,879 --> 00:09:48,940 x cubo menos 117 00:09:48,940 --> 00:09:51,419 9 por 3, 27 x cuadrado 118 00:09:51,419 --> 00:09:53,340 más 2 por 10 119 00:09:53,340 --> 00:09:55,500 20 x 120 00:09:55,500 --> 00:09:57,580 y aquí menos 7 x 121 00:09:57,580 --> 00:09:58,799 y queda menos 7 122 00:09:58,799 --> 00:10:01,240 y esto pues se hace 0 123 00:10:01,240 --> 00:10:02,679 no lo tenemos en cuenta 124 00:10:02,679 --> 00:10:05,179 y ya estaría esta derivada 125 00:10:05,179 --> 00:10:09,549 añadimos dos funciones más 126 00:10:09,549 --> 00:10:13,450 que es el seno de x y el coseno de x 127 00:10:13,450 --> 00:10:16,029 cuyas derivadas son 128 00:10:16,029 --> 00:10:20,090 coseno de x y menos seno de x 129 00:10:20,090 --> 00:10:24,259 mi recomendación es que los aprendáis ya 130 00:10:24,259 --> 00:10:28,059 la regla que vamos a emplear va a ser la siguiente 131 00:10:28,059 --> 00:10:31,179 a ver, tenemos 7 por ejemplo 132 00:10:31,179 --> 00:10:32,100 7x4 133 00:10:32,100 --> 00:10:36,840 más 6 seno de x 134 00:10:36,840 --> 00:10:40,539 más 5 coseno de x 135 00:10:40,539 --> 00:11:03,580 más 32, por ejemplo, yo que sé, y menos 7 seno de x, menos 9 coseno de x, más x al cubo, menos 17, derivada y derivada, bueno, pues las hacemos, bueno, las hacemos igual que siempre, 7 por 4, 28x cubo, y ahora, 136 00:11:03,580 --> 00:11:05,879 cuando el seno de x ponemos coseno 137 00:11:05,879 --> 00:11:07,720 manteniendo el signo 138 00:11:07,720 --> 00:11:14,059 y cuando tenemos coseno, como el coseno es menos seno 139 00:11:14,059 --> 00:11:15,360 pues el coseno cambia el signo 140 00:11:15,360 --> 00:11:18,360 sería menos 5 seno de x 141 00:11:18,360 --> 00:11:21,480 y las restantes pues desaparecen 142 00:11:21,480 --> 00:11:23,559 aquí, seno de x 143 00:11:23,559 --> 00:11:26,220 pues es coseno manteniendo el signo 144 00:11:26,220 --> 00:11:28,059 que sería, bueno, como 7 145 00:11:28,059 --> 00:11:30,139 menos 7 coseno de x 146 00:11:30,139 --> 00:11:31,860 el coseno pasa a ser 147 00:11:31,860 --> 00:11:32,620 seno de x 148 00:11:32,620 --> 00:11:35,379 pero el coseno, como aquí hay un menos 149 00:11:35,379 --> 00:11:37,240 cambia el signo de lo que tengamos 150 00:11:37,240 --> 00:11:39,460 tenemos 9, pues sería 151 00:11:39,460 --> 00:11:41,620 sería menos menos 9 que es más 9 152 00:11:41,620 --> 00:11:43,460 pero automáticamente 153 00:11:43,460 --> 00:11:45,059 cambiamos el signo 154 00:11:45,059 --> 00:11:47,080 y ahora pues seguimos derivando 155 00:11:47,080 --> 00:11:49,100 3x cuadrado 156 00:11:49,100 --> 00:11:50,460 y esto desaparece 157 00:11:50,460 --> 00:11:52,519 bueno, pues vamos a hacerlas 158 00:11:52,519 --> 00:11:53,539 hacemos dos más 159 00:11:53,539 --> 00:11:56,460 bueno, las escribimos 160 00:11:56,460 --> 00:11:57,799 a ver 161 00:11:57,799 --> 00:12:01,779 9 seno de x 162 00:12:01,779 --> 00:12:03,559 menos 4 163 00:12:03,559 --> 00:12:05,620 coseno de x 164 00:12:05,620 --> 00:12:08,200 bueno, más 165 00:12:08,200 --> 00:12:11,799 6x a la 4 166 00:12:11,799 --> 00:12:14,340 menos 12, derivada 167 00:12:14,340 --> 00:12:16,259 igual, y ahora 168 00:12:16,259 --> 00:12:22,179 menos 4x al cubo 169 00:12:22,179 --> 00:12:25,820 menos 7 seno de x 170 00:12:25,820 --> 00:12:29,379 bueno, he puesto aquí un 7, vamos a cambiarla 171 00:12:29,379 --> 00:12:33,700 menos 5 seno de x 172 00:12:33,700 --> 00:12:44,019 3 más 8 coseno de x menos x más 7, derivada. 173 00:12:45,220 --> 00:12:49,279 Para ir a la elevación, realicemos las dos derivadas y corregimos. 174 00:12:50,720 --> 00:12:58,200 Bueno, corregimos, 9 seno de x, pues el signo es el 9, coseno de x, manteniendo el signo que teníamos que era positivo. 175 00:12:59,500 --> 00:13:03,220 Menos 4, ¿tenemos un coseno? Pues cambia el signo, más. 176 00:13:03,220 --> 00:13:06,879 y de coseno pasa seno 177 00:13:06,879 --> 00:13:08,179 y ahora igual que antes 178 00:13:08,179 --> 00:13:10,759 6 por 4, 24x al cubo 179 00:13:10,759 --> 00:13:13,019 y la constante desaparece 180 00:13:13,019 --> 00:13:14,379 siguiente 181 00:13:14,379 --> 00:13:16,059 4 por 3, 12 182 00:13:16,059 --> 00:13:18,879 x, bajamos un grado a 2 183 00:13:18,879 --> 00:13:21,000 y mantenemos el signo 184 00:13:21,000 --> 00:13:21,879 y ahora 185 00:13:21,879 --> 00:13:24,240 el seno mantiene el signo 186 00:13:24,240 --> 00:13:26,899 menos 5 coseno de x 187 00:13:26,899 --> 00:13:29,980 el coseno cambia el signo 188 00:13:29,980 --> 00:13:32,779 menos 8 seno de x 189 00:13:32,779 --> 00:13:37,740 Y ahora, pues, por el menos x ponemos un menos 1. La constante desaparece. 190 00:13:38,799 --> 00:13:41,779 Eso siempre igual. El coseno sería menos seno, pero es más... 191 00:13:42,700 --> 00:13:45,620 Cuando hacemos cálculos, lo que hacemos es cambiar automáticamente el signo. 192 00:13:46,779 --> 00:13:50,360 El seno es más coseno, pero cuando hacemos cálculo, mantenemos el signo. 193 00:13:50,820 --> 00:13:51,779 Es la forma de hacerlo automáticamente. 194 00:13:55,720 --> 00:13:57,639 Bien, añadimos una regla más. 195 00:13:58,740 --> 00:13:59,659 Ahora la del producto. 196 00:13:59,659 --> 00:14:02,639 f por g derivada 197 00:14:02,639 --> 00:14:04,700 es f' por g 198 00:14:04,700 --> 00:14:06,899 más f por g' 199 00:14:07,240 --> 00:14:09,419 por ejemplo 200 00:14:09,419 --> 00:14:10,820 si tenemos 201 00:14:10,820 --> 00:14:14,080 x5 202 00:14:14,080 --> 00:14:16,559 seno de x 203 00:14:16,559 --> 00:14:17,620 bueno 204 00:14:17,620 --> 00:14:20,220 3x5 para hacerlo un poco más 205 00:14:20,220 --> 00:14:21,559 interesante 206 00:14:21,559 --> 00:14:23,980 derivada, ¿qué sería? 207 00:14:25,379 --> 00:14:27,220 pues aquí hay que localizar 208 00:14:27,220 --> 00:14:28,899 la función f, que puede ser esta 209 00:14:28,899 --> 00:14:43,320 y la función g. La derivada es f' por g más f por g'. 3x5 es la f, pues derivamos 15x4. 210 00:14:46,070 --> 00:14:53,110 Ahora ponemos seno de x. Entonces, la regla suele ser derivada del primero más el segundo 211 00:14:53,110 --> 00:15:02,039 sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del segundo. Pero bueno, también 212 00:15:02,039 --> 00:15:04,659 Y es más rápido hacer f'g más f'g'. 213 00:15:04,659 --> 00:15:07,960 Ya sabéis que la prima está aquí y aquí. 214 00:15:09,159 --> 00:15:09,639 Seguimos. 215 00:15:10,120 --> 00:15:12,700 Más f. ¿Cuál es f? 3x5. 216 00:15:13,559 --> 00:15:14,500 Ahora la derivada de g. 217 00:15:16,360 --> 00:15:19,139 Pues coseno de x. 218 00:15:21,519 --> 00:15:22,639 Y ya está. Así se queda. 219 00:15:24,240 --> 00:15:24,919 Otro ejemplo. 220 00:15:24,919 --> 00:15:31,360 Pues 4x coseno de x, por ejemplo. 221 00:15:32,720 --> 00:15:33,360 Derivada. 222 00:15:33,600 --> 00:15:36,399 pues esta sería la f 223 00:15:36,399 --> 00:15:38,539 esta sería la g 224 00:15:38,539 --> 00:15:40,600 y ya está 225 00:15:40,600 --> 00:15:41,879 pues 226 00:15:41,879 --> 00:15:44,279 bueno, de hecho 227 00:15:44,279 --> 00:15:45,820 vamos a añadir una cosilla más 228 00:15:45,820 --> 00:15:50,230 y es 229 00:15:50,230 --> 00:15:52,490 más x al cubo menos 2 230 00:15:52,490 --> 00:15:54,710 bueno, pues 231 00:15:54,710 --> 00:15:56,590 hacemos primero esta parte de aquí 232 00:15:56,590 --> 00:15:58,629 y lo demás es lo de siempre sumas 233 00:15:58,629 --> 00:16:01,070 primero la f 234 00:16:01,070 --> 00:16:02,909 f' por g 235 00:16:02,909 --> 00:16:05,309 más f por g' 236 00:16:05,309 --> 00:16:13,210 prima. ¿Derivada de f prima cuánto es? Pues si f es 4, es 4x, sería 4. Ahora g sin 237 00:16:13,210 --> 00:16:22,870 derivar, coseno de x más, ahora ponemos la f sin derivar, 4x, y la derivada de g, que 238 00:16:22,870 --> 00:16:32,399 como hay una derivada ponemos un paréntesis, menos seno de x. Y ahora ya seguimos con lo 239 00:16:32,399 --> 00:16:36,000 que está sumando, más 3x cuadrado y la constante que desaparece. 240 00:16:37,620 --> 00:16:44,639 Y esto, pues, habrá que significar un poco 4 coseno de x menos 4x seno de x. 241 00:16:44,980 --> 00:16:50,139 Cuando ya tengáis práctica la derivación, vais a poner directamente el menos sin pensar. 242 00:16:50,940 --> 00:16:58,019 Pero por ahora mejor hacerlo así, porque ya tendréis tiempo para quitar ese tipo de cálculos. 243 00:16:58,019 --> 00:17:02,279 Bueno, pues haced un par de ejemplos 244 00:17:02,279 --> 00:17:08,059 Por ejemplo, x elevado a 8 seno de x más 2 derivada 245 00:17:08,059 --> 00:17:25,240 Y por ejemplo, x7 coseno de x, bueno, 3x7 coseno de x menos 6x más 1 derivada 246 00:17:25,240 --> 00:17:27,900 para ir a la grabación 247 00:17:27,900 --> 00:17:30,119 y luego pues 248 00:17:30,119 --> 00:17:33,740 reanudar la grabación para corregir 249 00:17:33,740 --> 00:17:36,200 corregimos 250 00:17:36,200 --> 00:17:39,200 a ver, aquí tenemos un producto 251 00:17:39,200 --> 00:17:40,799 esta es la F 252 00:17:40,799 --> 00:17:42,519 esta es la G 253 00:17:42,519 --> 00:17:45,460 y esto ya lo 254 00:17:45,460 --> 00:17:46,940 lo daremos después 255 00:17:46,940 --> 00:17:48,960 derivada de F 256 00:17:48,960 --> 00:17:50,359 8X7 257 00:17:50,359 --> 00:17:53,559 F' por G 258 00:17:53,559 --> 00:17:56,440 más f por g prima 259 00:17:56,440 --> 00:17:58,240 ahora la g 260 00:17:58,240 --> 00:18:00,519 sin derivar 261 00:18:00,519 --> 00:18:01,359 más 262 00:18:01,359 --> 00:18:04,220 ahora la f sin derivar 263 00:18:04,220 --> 00:18:05,960 x8 y ahora la g 264 00:18:05,960 --> 00:18:08,299 derivada que sería 265 00:18:08,299 --> 00:18:09,720 coseno de x 266 00:18:09,720 --> 00:18:12,299 y como ya hablamos antes, pues desaparece 267 00:18:12,299 --> 00:18:14,240 la derivada de esto es cero, ni se pone 268 00:18:14,240 --> 00:18:16,680 siguiente derivada 269 00:18:16,680 --> 00:18:18,299 aquí esta sería la f 270 00:18:18,299 --> 00:18:19,859 y esta la g 271 00:18:19,859 --> 00:18:22,420 la derivada de este 272 00:18:22,420 --> 00:18:37,009 producto es f' por g más f por g'. Podríamos hacerlo. Derivada de f, pues 3 por 7, 21x6. 273 00:18:37,910 --> 00:18:48,839 Ahora ponemos la g, que es coseno de x. Ahora más la f sin derivar, que sería más 3x7 por la derivada 274 00:18:48,839 --> 00:18:56,759 de la g. Como el coseno tiene derivada menos seno, ponemos un paréntesis. Fundamental 275 00:18:56,759 --> 00:19:01,079 los paréntesis que es el fallo más recurrente que hay. Lo demás lo daríais bien, pero 276 00:19:01,079 --> 00:19:09,400 el paréntesis se os olvida en muchas ocasiones. Menos seno de x. Y ahora pues seguimos derivando 277 00:19:09,400 --> 00:19:19,079 lo que queda, que es menos 6. Y ya está. Bueno, hemos visto ya que la derivada de x 278 00:19:19,079 --> 00:19:22,680 elevado a n es nx n-1. 279 00:19:23,180 --> 00:19:27,059 Bueno, pues bien, eso se puede aplicar no solamente cuando n es un número 280 00:19:27,059 --> 00:19:30,960 natural, sino para cualquier tipo de 281 00:19:30,960 --> 00:19:33,039 exponente con n. Por ejemplo, 282 00:19:34,980 --> 00:19:39,259 la raíz cuadrada de x derivada es x elevado a 1 medio 283 00:19:39,259 --> 00:19:42,799 derivada. Entonces, podemos aplicar esa fórmula. 284 00:19:43,619 --> 00:19:45,700 1 medio de x elevado a 1 medio menos 1. 285 00:19:45,700 --> 00:19:48,880 Ahora bien, 1 medio menos 1, ¿cuánto es? 286 00:19:49,019 --> 00:19:52,660 Pues 1 medio menos 2 medios, que es menos 1 medio 287 00:19:52,660 --> 00:19:57,119 Esto es 1 medio de x elevado a menos 1 medio 288 00:19:57,119 --> 00:20:03,279 Y esto es 1 medio de 1 partido por x elevado a 1 medio 289 00:20:03,279 --> 00:20:07,799 Y esto es 1 medio de 1 partido por raíz de x 290 00:20:07,799 --> 00:20:11,259 O lo que es mejor, 1 partido por 2 raíz de x 291 00:20:11,259 --> 00:20:12,980 Bien 292 00:20:12,980 --> 00:20:31,259 Y luego, pues lo mismo, si tenemos, por ejemplo, 1 partido por x derivada, eso sería x elevado a menos 1 derivada, esto es menos 1x menos 1 menos 1, menos 1 elevado a x menos 2, 293 00:20:32,460 --> 00:20:43,019 esto es, bueno, este menos x ya se podría haber puesto directamente con un menos, y esto ya es menos 1 entre x cuadrado. 294 00:20:43,019 --> 00:20:47,660 Bueno, en general todas las derivadas de este tipo se pueden hacer así 295 00:20:47,660 --> 00:20:51,619 Pero estas dos compensa sabérselas porque aparecen mucho 296 00:20:51,619 --> 00:21:03,059 Por ejemplo, pues yo que sé, hacemos, a ver, la derivada de la raíz cúbica de x 297 00:21:03,059 --> 00:21:07,880 Voy a hacer una más complicada, 1 partido de raíz cúbica de x se lo da 4 derivada 298 00:21:07,880 --> 00:21:09,599 Vamos a hacer esta 299 00:21:09,599 --> 00:21:16,880 Bueno, lo primero que hacemos es convertir esta función en un x al lado de n 300 00:21:16,880 --> 00:21:23,720 Pues nada, eso sería 1 partido por x elevado a 4 tercios derivada 301 00:21:23,720 --> 00:21:28,319 Eso sería x elevado a menos 4 tercios derivada 302 00:21:28,319 --> 00:21:29,559 Y ahora ya aplicamos la regla 303 00:21:29,559 --> 00:21:36,720 Menos 4 tercios por x elevado a menos 4 tercios menos 1 304 00:21:36,720 --> 00:21:38,940 Podemos irnos a una esquina y calcular 305 00:21:38,940 --> 00:21:45,259 Menos 4 tercios menos 1 es menos 4 tercios menos 3 tercios que es menos 7 tercios 306 00:21:45,259 --> 00:21:46,880 y ahora lo ponemos 307 00:21:46,880 --> 00:21:50,480 menos 4 tercios x elevado a menos 7 tercios 308 00:21:50,480 --> 00:21:52,700 y ahora hay que deshacer un poco esto 309 00:21:52,700 --> 00:21:54,079 bueno, esto ya sería la derivada 310 00:21:54,079 --> 00:21:55,299 y estaría bien 311 00:21:55,299 --> 00:21:57,500 pero para entenderlo un poco mejor 312 00:21:57,500 --> 00:22:01,640 convendría desarrollarla 313 00:22:01,640 --> 00:22:05,160 entonces esto sería menos 4 tercios 314 00:22:05,160 --> 00:22:07,180 por 315 00:22:07,180 --> 00:22:10,420 perdón 316 00:22:10,420 --> 00:22:13,700 por 1 entre 317 00:22:13,700 --> 00:22:16,180 x elevado a 318 00:22:16,180 --> 00:22:19,640 7 tercios, ya podemos juntar estas dos fracciones 319 00:22:19,640 --> 00:22:23,660 eso sería menos 4 entre 3 veces 320 00:22:23,660 --> 00:22:24,839 y ahora esto es una raíz 321 00:22:24,839 --> 00:22:27,259 raíz cúbica de x elevado a 7 322 00:22:27,259 --> 00:22:30,700 y esta incluso se puede sacar fuera de la raíz lo que haga falta 323 00:22:30,700 --> 00:22:33,720 pues como 7 es 324 00:22:33,720 --> 00:22:37,099 perdón, como 7 325 00:22:37,099 --> 00:22:43,279 como esto es la raíz cúbica de x elevado a 6 por x 326 00:22:43,279 --> 00:22:48,859 pues esto es la raíz cúbica de x elevado a 6 raíz cúbica de x 327 00:22:48,859 --> 00:22:51,119 que es x cuadrado raíz cúbica de x 328 00:22:51,119 --> 00:22:55,220 3x cuadrado raíz cúbica de x 329 00:22:55,220 --> 00:22:57,259 pero bueno, esto es igual de claro 330 00:22:57,259 --> 00:23:03,279 con lo cual, pues nada, ya estaría la derivada 331 00:23:03,279 --> 00:23:07,059 entonces, pues nada, si queréis para practicar 332 00:23:07,059 --> 00:23:10,619 haced pues una de cada, pues por ejemplo 333 00:23:10,619 --> 00:23:14,299 1 partido por x al cuadrado derivada 334 00:23:14,299 --> 00:23:19,339 la raíz cúbica de x derivada 335 00:23:19,339 --> 00:23:21,960 y una que mezcle ambas, pues yo que sé 336 00:23:21,960 --> 00:23:25,839 1 partido por la raíz de quinta de x al cubo 337 00:23:25,839 --> 00:23:27,779 derivada 338 00:23:27,779 --> 00:23:31,019 hacéis hasta 3, paráis la grabación 339 00:23:31,019 --> 00:23:32,339 y luego corregimos 340 00:23:32,339 --> 00:23:37,250 bien, corregimos 341 00:23:37,250 --> 00:23:38,710 pues esto es 342 00:23:38,710 --> 00:23:42,509 x elevado a menos 2 derivada 343 00:23:42,509 --> 00:23:48,529 Esto es menos 2x elevado a menos 2 menos 1, que sería menos 3 344 00:23:48,529 --> 00:23:55,269 Y eso sería menos 2 partido por x al cubo 345 00:23:55,269 --> 00:23:56,230 Y ya está 346 00:23:56,230 --> 00:23:59,049 Este de aquí, pues vamos a ver 347 00:23:59,049 --> 00:24:05,609 Sería, pues, x elevado a un tercio derivada 348 00:24:05,609 --> 00:24:10,890 Y esto es, pues, un tercio por x elevado a un tercio menos 1 349 00:24:10,890 --> 00:24:12,250 Ahora vamos a la esquina 350 00:24:12,250 --> 00:24:13,970 y 1 tercio menos 1 es 351 00:24:13,970 --> 00:24:16,069 1 tercio menos 3 tercios 352 00:24:16,069 --> 00:24:17,509 que es menos 2 tercios 353 00:24:17,509 --> 00:24:19,269 también se puede hacer esto en la calculadora 354 00:24:19,269 --> 00:24:21,970 esta cosa que hacéis rápido, o bien de cabeza 355 00:24:21,970 --> 00:24:24,430 pero bueno, como ya os he explicado 356 00:24:24,430 --> 00:24:25,450 lo hago con todos los casos 357 00:24:25,450 --> 00:24:28,329 es 1 tercio de x elevado a 358 00:24:28,329 --> 00:24:29,269 menos 2 tercios 359 00:24:29,269 --> 00:24:32,390 esto es 1 tercio por 360 00:24:32,390 --> 00:24:34,829 1 partido por x elevado a 2 tercios 361 00:24:34,829 --> 00:24:36,589 ahora ya podemos juntar fracciones 362 00:24:36,589 --> 00:24:39,009 y eso es 1 partido por 3 veces 363 00:24:39,009 --> 00:24:40,609 y ahora 364 00:24:40,609 --> 00:24:44,170 Esto lo convertimos en la raíz cúbica de x al cuadrado. 365 00:24:46,220 --> 00:24:47,900 Y ya tenemos otra derivada hecha. 366 00:24:48,880 --> 00:24:49,920 Vamos a la siguiente. 367 00:24:50,619 --> 00:24:52,039 Aquí hay que hacer un poquito más de cálculo. 368 00:24:53,019 --> 00:24:57,900 Esto es 1 partido por x elevado a 3 quintos derivada. 369 00:24:58,759 --> 00:25:01,519 Y eso es la derivada de x elevado a menos 3 quintos. 370 00:25:02,000 --> 00:25:05,400 Y ahora ya podemos aplicar esta fórmula. 371 00:25:07,730 --> 00:25:12,829 Eso sería menos 3 quintos de x elevado a menos 3 quintos menos 1. 372 00:25:13,809 --> 00:25:28,410 Ahora, o bien lo hacemos de cabeza, o bien ponemos que, o bien en la calculadora, o bien ponemos que menos tres quintos menos uno es menos tres quintos menos tres tercios, que es menos, perdón, me he fistado. 373 00:25:29,410 --> 00:25:35,490 Quería poner menos cinco quintos y esto es menos ocho quintos. 374 00:25:36,609 --> 00:25:41,910 Entonces sería menos tres quintos x elevado a menos ocho quintos. 375 00:25:41,910 --> 00:25:51,799 Y ahora ya, pues nada, eso es menos tres quintos por uno entre x elevado a ocho quintos. 376 00:25:52,700 --> 00:26:02,839 Ahora ya podemos juntar fracciones, menos tres entre cinco por, y esto lo convertimos en la raíz quinta de x elevado a ocho. 377 00:26:03,519 --> 00:26:13,259 Como resulta que la raíz quinta de x elevado a ocho es la raíz quinta de x elevado a cinco por la raíz quinta de x elevado a cubo, 378 00:26:13,480 --> 00:26:17,599 Esto es x, la raíz quinta de x al cubo. 379 00:26:20,180 --> 00:26:33,180 Y nada, pues nos saldría menos 3 partido por 5x, la raíz quinta de x elevado al cubo. 380 00:26:34,119 --> 00:26:35,039 Bueno, pues ya está. 381 00:26:35,519 --> 00:26:44,240 Una observación, es que si os fijáis, en estos dos casos, aquí hemos multiplicado por x justamente debajo. 382 00:26:44,759 --> 00:26:46,819 Aquí también, lo que pasa es que hemos multiplicado más y no se ve. 383 00:26:47,619 --> 00:26:51,660 Esto es lo mismo que x, la raíz séptima de x elevado. 384 00:26:51,660 --> 00:26:55,559 perdón, la raíz cúbica de x elevado a 4 385 00:26:55,559 --> 00:26:57,019 que es lo que tenemos aquí 386 00:26:57,019 --> 00:26:59,640 es lógico, porque estamos dividiendo por x 387 00:26:59,640 --> 00:27:01,519 porque al elevar por n-1 388 00:27:01,519 --> 00:27:04,039 eso también es n por x elevado a n 389 00:27:04,039 --> 00:27:06,279 por x elevado a menos 1 390 00:27:06,279 --> 00:27:08,359 o sea, es lo mismo que dividir por x 391 00:27:08,359 --> 00:27:10,799 que sería otra forma de verlo 392 00:27:10,799 --> 00:27:15,079 a ver, existen fórmulas que se pueden hacer para esto 393 00:27:15,079 --> 00:27:16,960 y de hecho en la tabla están 394 00:27:16,960 --> 00:27:19,799 por ejemplo 395 00:27:19,799 --> 00:27:41,980 En ese tipo de funciones, la gráfica sería, bueno, voy a hacer una siguiente página, de esa forma, la derivada de la función 1x elevado a n sería menos n entre x elevado a n más 1. 396 00:27:43,980 --> 00:27:49,039 Os podéis aprender una nueva derivada y ponerla, o bien aplicar la anterior. 397 00:27:49,039 --> 00:28:14,240 Por ejemplo, en este caso, esto sería, pues, es fácil de demostrar, esto es x elevado a n derivada, esto es menos n x elevado a menos n menos 1, esto es menos n x elevado a menos n más 1, esto es menos n entre x elevado a n más 1. 398 00:28:14,240 --> 00:28:16,180 y ya tenemos esta fórmula 399 00:28:16,180 --> 00:28:18,640 entonces o bien se deduce en cada caso particular 400 00:28:18,640 --> 00:28:19,940 o bien 401 00:28:19,940 --> 00:28:22,440 se pone pues así 402 00:28:22,440 --> 00:28:24,019 ahora bien las que sí que son útiles 403 00:28:24,019 --> 00:28:25,460 es la de 404 00:28:25,460 --> 00:28:28,380 que la raíz de x derivada es 405 00:28:28,380 --> 00:28:29,880 1 entre 2 raíz de x 406 00:28:29,880 --> 00:28:32,140 debido a que esto se utiliza muchísimo 407 00:28:32,140 --> 00:28:37,539 ya sabéis que la raíz cuadrada se utiliza mucho más 408 00:28:37,539 --> 00:28:39,839 que cualquier otra raíz de modo práctico 409 00:28:39,839 --> 00:28:41,259 y bueno 410 00:28:41,259 --> 00:28:43,059 y la de 1 partido por x también se utiliza 411 00:28:43,059 --> 00:28:45,279 sobre todo cuando haya que hacer las integrales 412 00:28:45,279 --> 00:28:46,099 aquí será 413 00:28:46,099 --> 00:28:48,500 menos 1 entre x cuadrado 414 00:28:48,500 --> 00:28:50,640 entonces o bien os aprendéis esta o esta 415 00:28:50,640 --> 00:28:52,380 conviene saberlo 416 00:28:52,380 --> 00:28:55,119 bueno, pasamos a lo siguiente 417 00:28:55,119 --> 00:28:58,200 hagamos un ejercicio breve 418 00:28:58,200 --> 00:29:01,079 vamos a calcular raíz de x por raíz de x 419 00:29:01,079 --> 00:29:02,019 derivada 420 00:29:02,019 --> 00:29:04,240 vale la grabación y lo hacéis 421 00:29:04,240 --> 00:29:06,799 bueno, corregimos 422 00:29:06,799 --> 00:29:08,839 vamos quizá a dos métodos 423 00:29:08,839 --> 00:29:09,940 el corto y el largo 424 00:29:09,940 --> 00:29:11,579 primero el largo 425 00:29:11,579 --> 00:29:14,859 eso sería ver que tenemos f por g 426 00:29:14,859 --> 00:29:19,420 y la derivada sería f' por g más f por g' 427 00:29:19,700 --> 00:29:24,220 f' ¿cuánto es? pues si f es raíz de x, 1 entre 2 raíz de x 428 00:29:24,220 --> 00:29:30,920 g raíz de x más f raíz de x, g, 1 entre 2 raíz de x 429 00:29:30,920 --> 00:29:32,880 y ahora ya operamos 430 00:29:32,880 --> 00:29:37,079 a ver, aquí la raíz cuadrada está dividiendo y aquí multiplicando, se van 431 00:29:37,079 --> 00:29:38,900 divide y multiplica, se van 432 00:29:38,900 --> 00:29:43,559 y esto nos da 1 medio más 1 medio, que es 1 433 00:29:43,559 --> 00:29:46,160 Y esto es sorprendentemente fácil 434 00:29:46,160 --> 00:29:50,220 ¿Por qué tenemos eso? Vamos a ver 435 00:29:50,220 --> 00:29:52,160 Eso también es igual 436 00:29:52,160 --> 00:29:54,380 Porque raíz cuadrada de x por raíz cuadrada de x 437 00:29:54,380 --> 00:29:56,259 ¿Cuánto es raíz de x al cuadrado? 438 00:29:59,079 --> 00:30:01,559 Y esto es la derivada de x 439 00:30:01,559 --> 00:30:03,420 Que ya sabemos que es 1 440 00:30:03,420 --> 00:30:06,140 Entonces si os dais cuenta queda más fácil 441 00:30:06,140 --> 00:30:09,000 Bueno, pasemos a lo siguiente 442 00:30:09,000 --> 00:30:14,599 Bien, hemos dado hasta ahora la función potencial 443 00:30:14,599 --> 00:30:22,220 también las derivadas de las funciones seno de x y coseno de x 444 00:30:22,220 --> 00:30:27,220 y algunas potenciales especiales, bueno todas estas generalizadas 445 00:30:27,220 --> 00:30:35,579 y unas como 1r de x, 1 partido por x e incluso si queréis 1 partido por x elevado a n 446 00:30:35,579 --> 00:30:42,079 entonces conviene ir aprendiéndolas de memoria mientras vemos este tutorial 447 00:30:42,079 --> 00:30:51,339 Las que vamos a añadir ahora y que también conviene aprenderles ahora mismo de memoria son elevado a x y logaritmo de piano de x 448 00:30:51,339 --> 00:30:57,160 La derivada de elevado a x es la más sencilla de todas, es elevado a x 449 00:30:57,160 --> 00:31:01,880 La del logaritmo neperiano de x es 1 partido por x 450 00:31:01,880 --> 00:31:06,039 Bueno, pues con esto ya podemos hacer algunos ejemplos 451 00:31:06,039 --> 00:31:18,519 Empezamos por ejemplo con uno sencillo, derivada de 7 elevado a x menos 8 logaritmo de p1 de x más 5, derivada. 452 00:31:18,519 --> 00:31:36,099 Y también, yo que sé, pues un producto, 8 elevado a x coseno de x menos x a la 5 logaritmo de p1 de x más, yo que sé, x al cubo menos 3, por ejemplo. 453 00:31:36,099 --> 00:31:38,319 derivada 454 00:31:38,319 --> 00:31:39,480 y otra más 455 00:31:39,480 --> 00:31:42,599 pues 7 456 00:31:42,599 --> 00:31:44,559 elevado a x 457 00:31:44,559 --> 00:31:46,180 logaritmo de perinodo de x 458 00:31:46,180 --> 00:31:47,500 menos 459 00:31:47,500 --> 00:31:51,329 x cuadrado 460 00:31:51,329 --> 00:31:54,049 coseno de x 461 00:31:54,049 --> 00:31:54,849 más 462 00:31:54,849 --> 00:31:57,450 elevado a x menos 463 00:31:57,450 --> 00:31:59,990 6 logaritmo 464 00:31:59,990 --> 00:32:00,930 de perinodo de x 465 00:32:00,930 --> 00:32:02,450 seno de x 466 00:32:02,450 --> 00:32:03,930 más 3 467 00:32:03,930 --> 00:32:07,630 para ir repitiendo todo 468 00:32:07,630 --> 00:32:12,230 Bueno, pues empezando haciendo estos ejemplos 469 00:32:12,230 --> 00:32:15,809 Eso es una suma normal, hay que hacer cada derivada 470 00:32:15,809 --> 00:32:19,349 7 por la derivada de elevado a x, que es elevado a x 471 00:32:19,349 --> 00:32:22,509 Menos 8 por la derivada del logaritmo 472 00:32:22,509 --> 00:32:25,349 Y el 5 desaparece 473 00:32:25,349 --> 00:32:28,049 Y esto es igual a 474 00:32:28,049 --> 00:32:32,390 7 elevado a x menos 8 partido por x 475 00:32:32,390 --> 00:32:34,529 A ver, cuando tenéis ya práctica 476 00:32:34,529 --> 00:32:37,769 En vez de hacer este paso, hacéis directamente este. 477 00:32:40,420 --> 00:32:46,220 Sigamos. Aquí tenemos dos productos, este y este. 478 00:32:46,420 --> 00:32:55,519 Aquí tenemos una función f y una función g multiplicando, y aquí otra función f y otra función g multiplicando. 479 00:32:56,500 --> 00:33:04,380 Pues nada, aplicamos en ambos casos la regla del producto, f' por g más f por g'. 480 00:33:04,380 --> 00:33:09,019 ¿Cuánto es f'? Pues 8 elevado a x 481 00:33:09,019 --> 00:33:11,279 ¿Cuánto es g? Coseno de x 482 00:33:11,279 --> 00:33:15,059 ¿Cuánto es f? 8 elevado a x 483 00:33:15,059 --> 00:33:18,200 ¿Y cuánto es g'? Menos seno de x 484 00:33:18,200 --> 00:33:22,119 Ahora vamos con lo siguiente, restamos 485 00:33:22,119 --> 00:33:27,039 Nuevamente, tenemos f' por g más f por g' 486 00:33:28,059 --> 00:33:30,839 f' por g más f por g' 487 00:33:31,099 --> 00:33:33,319 Pero ojo, aquí tenemos un menos 488 00:33:33,319 --> 00:33:35,140 Y hay que tener cuidado 489 00:33:35,140 --> 00:33:37,980 porque el menos abarca a todo 490 00:33:37,980 --> 00:33:40,039 entonces hay que poner un paréntesis 491 00:33:40,039 --> 00:33:43,480 punto número 1 492 00:33:43,480 --> 00:33:47,880 y ahora ya podemos hacer eso 493 00:33:47,880 --> 00:33:49,279 si no, ponemos un paréntesis 494 00:33:49,279 --> 00:33:51,339 tenemos que poner aquí un menos en vez de un más 495 00:33:51,339 --> 00:33:53,980 ponemos un más porque he puesto paréntesis 496 00:33:53,980 --> 00:33:56,930 pues vamos a hacerla 497 00:33:56,930 --> 00:33:58,269 f' ¿cuánto es? 498 00:33:58,690 --> 00:34:01,190 pues 5x4 499 00:34:01,190 --> 00:34:03,329 ahora logaritmo de p1 de x 500 00:34:03,329 --> 00:34:03,990 más 501 00:34:03,990 --> 00:34:06,289 f que es x5 502 00:34:06,289 --> 00:34:08,909 por g' 1 partido por x 503 00:34:08,909 --> 00:34:16,530 Sigamos, más la deriva de x cubo, que es 3x cuadrado, y el número que desaparece. 504 00:34:17,250 --> 00:34:18,690 Y ahora hay que simplificar. 505 00:34:20,250 --> 00:34:21,829 Entonces, ¿cómo simplificamos? 506 00:34:21,949 --> 00:34:28,550 Bueno, esto se deja igual, 8 elevado a x coseno de x. 507 00:34:29,190 --> 00:34:35,030 Ahora quitamos el paréntesis y tenemos menos 8 elevado a x seno de x. 508 00:34:35,030 --> 00:34:36,869 observación 509 00:34:36,869 --> 00:34:38,730 igual que antes dije que esto 510 00:34:38,730 --> 00:34:41,369 el que tiene práctica lo hace de forma automática 511 00:34:41,369 --> 00:34:42,929 pues el que tiene práctica 512 00:34:42,929 --> 00:34:44,309 y sabe que aquí hay un coseno 513 00:34:44,309 --> 00:34:47,030 y sabe que luego va a haber un menoseno 514 00:34:47,030 --> 00:34:48,929 pone directamente el menos aquí 515 00:34:48,929 --> 00:34:50,170 y luego este producto 516 00:34:50,170 --> 00:34:52,969 pero claro, hay que tener práctica 517 00:34:52,969 --> 00:34:55,469 si no se tiene práctica se puede ir haciendo esto 518 00:34:55,469 --> 00:34:56,269 y luego simplificar 519 00:34:56,269 --> 00:34:59,090 ahora tenemos el menos 520 00:34:59,090 --> 00:35:00,070 que afecta a dos cosas 521 00:35:00,070 --> 00:35:01,889 un menos y un menos 522 00:35:01,889 --> 00:35:04,590 pues 5x4 523 00:35:04,590 --> 00:35:05,949 logaritmo de pi 1 de x 524 00:35:05,949 --> 00:35:08,650 y menos esto, pero esto se puede significar 525 00:35:08,650 --> 00:35:10,710 porque x5 entre x 526 00:35:10,710 --> 00:35:11,469 es x4 527 00:35:11,469 --> 00:35:15,639 y ahora ya más 3x al cuadrado 528 00:35:15,639 --> 00:35:17,360 y ya hemos terminado 529 00:35:17,360 --> 00:35:20,280 vamos con la siguiente 530 00:35:20,280 --> 00:35:21,960 esta ya es más compleja 531 00:35:21,960 --> 00:35:24,679 bueno, más que compleja, más larga 532 00:35:24,679 --> 00:35:26,380 aquí tenemos 533 00:35:26,380 --> 00:35:27,820 tres productos 534 00:35:27,820 --> 00:35:31,559 este, este y este 535 00:35:31,559 --> 00:35:33,139 bueno, pues ponemos en cada uno lo mismo 536 00:35:33,139 --> 00:35:43,710 F por G, F por G y F por G 537 00:35:43,710 --> 00:35:48,369 Empezamos con el primero, vamos a poner 538 00:35:48,369 --> 00:35:54,590 F por G más, perdón, F' por G más F por G' 539 00:35:55,690 --> 00:35:57,250 F' ¿cuánto es? 540 00:35:58,590 --> 00:36:02,170 Pues es 7e elevado a X 541 00:36:02,170 --> 00:36:04,429 Por G, logaritmo de P1 de X 542 00:36:04,429 --> 00:36:07,949 Más F, 7 elevado a X 543 00:36:07,949 --> 00:36:10,329 Por G', 1 partido por X 544 00:36:10,329 --> 00:36:12,070 ya está 545 00:36:12,070 --> 00:36:14,989 menos, ahora cuidado 546 00:36:14,989 --> 00:36:16,130 a por paréntesis 547 00:36:16,130 --> 00:36:19,570 la mayor parte de los fallos que suelo corregir 548 00:36:19,570 --> 00:36:21,349 con las derivadas 549 00:36:21,349 --> 00:36:23,070 es por no poner paréntesis 550 00:36:23,070 --> 00:36:26,460 y de hecho 551 00:36:26,460 --> 00:36:28,480 si en ese momento lo ponéis 552 00:36:28,480 --> 00:36:30,980 sin paréntesis podéis saber lo que hacéis 553 00:36:30,980 --> 00:36:33,119 pero si lo leéis a cada dos meses 554 00:36:33,119 --> 00:36:34,420 pues 555 00:36:34,420 --> 00:36:36,079 os confundiréis 556 00:36:36,079 --> 00:36:38,300 porque no sabéis que hay un paréntesis invisible 557 00:36:38,300 --> 00:36:39,539 que no habéis puesto 558 00:36:39,539 --> 00:36:41,420 ahora, pues lo mismo 559 00:36:41,420 --> 00:36:46,940 f' por g más f por g'. 560 00:36:46,940 --> 00:37:01,139 Pues lo ponemos, f' es 2x, g es coseno de x, más f es x cuadrado, y g' menos el seno de x. 561 00:37:03,900 --> 00:37:10,019 Ahora, derivada de elevado a x, que es elevado a x, menos, a volver a repetir nuevamente, 562 00:37:10,019 --> 00:37:12,260 y repetimos la historia 563 00:37:12,260 --> 00:37:14,659 f' por g 564 00:37:14,659 --> 00:37:16,539 más f por g' 565 00:37:16,840 --> 00:37:21,389 f' que es 566 00:37:21,389 --> 00:37:23,550 6 567 00:37:23,550 --> 00:37:27,500 por 1 partido por x 568 00:37:27,500 --> 00:37:28,440 por g 569 00:37:28,440 --> 00:37:30,559 seno de x 570 00:37:30,559 --> 00:37:33,460 más f6 logaritmo 571 00:37:33,460 --> 00:37:35,139 de x por g 572 00:37:35,139 --> 00:37:36,579 coseno de x 573 00:37:36,579 --> 00:37:39,019 y el más 3 pues que desaparece 574 00:37:39,019 --> 00:37:39,820 porque es una constante 575 00:37:39,820 --> 00:37:42,639 y ahora ya lo que toca es simplificar 576 00:37:42,639 --> 00:37:45,340 sabiendo que va a ser un poco más difícil aquí 577 00:37:45,340 --> 00:37:47,219 voy a hacer dos simplificaciones 578 00:37:47,219 --> 00:37:49,400 voy a hacerlo sencillo 579 00:37:49,400 --> 00:37:52,260 esto es 7 elevado a x 580 00:37:52,260 --> 00:37:53,559 logaritmo de pn de x 581 00:37:53,559 --> 00:37:54,119 más 582 00:37:54,119 --> 00:37:56,039 podemos juntar esto 583 00:37:56,039 --> 00:37:57,599 7 elevado a x 584 00:37:57,599 --> 00:37:58,559 partido por x 585 00:37:58,559 --> 00:38:01,460 menos 2x coseno de x 586 00:38:01,460 --> 00:38:04,400 menos x cuadrado por menos seno de x 587 00:38:04,400 --> 00:38:05,980 a ver, si somos rápidos 588 00:38:05,980 --> 00:38:07,139 podemos apostar directamente 589 00:38:07,139 --> 00:38:09,260 menos y menos más y ya está 590 00:38:09,260 --> 00:38:09,840 pero bueno 591 00:38:09,840 --> 00:38:12,260 por simplificado voy a hacer dos pasos 592 00:38:12,260 --> 00:38:23,300 Más elevado a x menos 6 seno de x partido por x menos 6 logaritmo de p1 de x coseno de x 593 00:38:23,300 --> 00:38:32,260 Y ya para acabar, esto sería 7 elevado a x logaritmo de p1 de x más 7 elevado a x entre x menos 2x coseno de x 594 00:38:32,260 --> 00:38:33,420 Ahora quitamos este menos 595 00:38:33,420 --> 00:38:42,239 Más x cuadrado seno de x más elevado a x menos 6 seno de x partido por x 596 00:38:42,239 --> 00:38:45,059 menos 6 logaritmo de x coseno de x 597 00:38:45,059 --> 00:38:46,139 a ver 598 00:38:46,139 --> 00:38:48,639 quizás 599 00:38:48,639 --> 00:38:50,940 habría sido más rápido hacer directamente 600 00:38:50,940 --> 00:38:51,880 que menos 601 00:38:51,880 --> 00:38:54,679 por menos es más y poner aquí un más 602 00:38:54,679 --> 00:38:56,380 pero como estoy explicando 603 00:38:56,380 --> 00:38:57,679 hago todos los pasos 604 00:38:57,679 --> 00:39:02,719 bueno pues hacemos 3 ejemplos 605 00:39:02,719 --> 00:39:04,280 por ejemplo pues 606 00:39:04,280 --> 00:39:05,599 una sencillita al principio 607 00:39:05,599 --> 00:39:08,760 8 logaritmo de x 608 00:39:08,760 --> 00:39:10,579 menos 7 elevado a x 609 00:39:10,579 --> 00:39:12,960 más x cuadrado menos 8 610 00:39:12,960 --> 00:39:14,500 derivada 611 00:39:14,500 --> 00:39:16,440 la segunda 612 00:39:16,440 --> 00:39:17,940 una que incluye a productos 613 00:39:17,940 --> 00:39:20,980 3 elevado a x 614 00:39:20,980 --> 00:39:22,940 seno de x 615 00:39:22,940 --> 00:39:25,000 menos 5 616 00:39:25,000 --> 00:39:26,440 logaritmo de piano de x 617 00:39:26,440 --> 00:39:29,139 por x al cubo 618 00:39:29,139 --> 00:39:33,159 menos x cuadrado más 3 619 00:39:33,159 --> 00:39:35,099 derivada 620 00:39:35,099 --> 00:39:36,860 y yo que sé 621 00:39:36,860 --> 00:39:37,860 pues 622 00:39:37,860 --> 00:39:40,400 4 623 00:39:40,400 --> 00:39:41,840 elevado a x 624 00:39:41,840 --> 00:39:43,380 coseno de x 625 00:39:43,380 --> 00:39:49,320 menos 3 logaritmo de la persona de x por seno de x 626 00:39:49,320 --> 00:39:57,980 menos 8, yo que sé, elevado a x, coseno de x 627 00:39:57,980 --> 00:40:04,869 menos 1, derivada 628 00:40:04,869 --> 00:40:09,469 Para ir a la grabación, hacéis las derivadas y corregimos 629 00:40:09,469 --> 00:40:17,289 Bueno, voy a reducir un poco el espacio en la parte de arriba 630 00:40:17,289 --> 00:40:18,949 para escribir mejor 631 00:40:21,420 --> 00:40:26,840 La primera es una suma de funciones con derivada sencilla, pues hacemos la derivada de cada uno de los términos. 632 00:40:27,800 --> 00:40:41,659 A ver, la derivada del primero es 8 por la derivada del logaritmo, menos 7 por la derivada de elevado a x, más la derivada de x al cuadrado, y la constante que tiene derivada de 0, pues desaparece directamente. 633 00:40:42,880 --> 00:40:47,380 Simplificamos y nos queda 8 partido por x, menos 7 elevado a x, más 2x. 634 00:40:48,159 --> 00:40:50,639 Si bien esto se podría haber puesto directamente desde el principio. 635 00:40:50,840 --> 00:41:01,840 La segunda es un poco más compleja, tiene dos productos, con una función f y una función g, y nuevamente una función f y una función g. 636 00:41:01,840 --> 00:41:10,840 Pues nada, es cuestión de hacer cada una de ellas. Empezamos, f' por g más f por g'. 637 00:41:10,840 --> 00:41:16,840 A ver, estas letras no hace falta ponerlas, las pongo yo porque las estoy explicando, y nada más que por eso. 638 00:41:16,840 --> 00:41:25,000 También podéis tener en mente la frase derivada del primero más el segundo sin derivar, más el primero sin derivar por la derivada del segundo. 639 00:41:26,280 --> 00:41:33,860 Bueno, sigamos. f' es 3 elevado a x, pues es igual. La derivada de x no cambia. 640 00:41:34,800 --> 00:41:45,300 Ahora g, que es seno de x, más primero sin derivar 3 elevado a x por la derivada del segundo, derivada del seno, es el coseno. 641 00:41:45,300 --> 00:41:47,260 Eso ya está 642 00:41:47,260 --> 00:41:48,639 Sigamos con lo siguiente 643 00:41:48,639 --> 00:41:49,659 Ahora tenemos un menos 644 00:41:49,659 --> 00:41:52,880 Ojo, porque ahora hay que poner un paréntesis 645 00:41:52,880 --> 00:41:56,019 Ya que aquí va a haber una suma 646 00:41:56,019 --> 00:41:57,460 Y el menos afecta a todo 647 00:41:57,460 --> 00:42:01,880 Pues nada, vamos a poner lo siguiente 648 00:42:01,880 --> 00:42:02,639 Igual que antes 649 00:42:02,639 --> 00:42:05,039 F' por g más f por g' 650 00:42:05,320 --> 00:42:08,719 Esto es f 651 00:42:08,719 --> 00:42:10,900 La derivada de f es 5 por 3 es 15 652 00:42:10,900 --> 00:42:12,480 15x cuadrado 653 00:42:12,480 --> 00:42:14,719 Por g que es el logaritmo de x 654 00:42:14,719 --> 00:42:18,380 Más f que es 5x al cubo 655 00:42:18,380 --> 00:42:21,579 por la derivada del logaritmo, que es 1 partido por x. 656 00:42:23,340 --> 00:42:31,699 Seguimos. Ahora tenemos la derivada de menos x al cuadrado, que es menos 2x, y el 3 que desaparece. 657 00:42:33,019 --> 00:42:37,880 Ahora toca simplificar. Para simplificar solo habrá que hacer dos cosas. 658 00:42:38,639 --> 00:42:42,679 La primera, quitar el paréntesis, y la segunda, operar esto. 659 00:42:43,719 --> 00:42:47,820 Con algo de práctica, ya hemos dicho antes que este paréntesis se puede poner directamente un menos y un menos. 660 00:42:47,820 --> 00:43:04,800 Pero bueno, yo empezaría poniendo paréntesis. A ver, 3 elevado a x, seno de x, más 3 elevado a x, coseno de x, y ahora ya quitamos paréntesis, menos 15x cuadrado logaritmo de pleno de x. 661 00:43:04,800 --> 00:43:22,719 Y ahora este menos lo combinamos con este más y nos queda menos, ahora calculamos esto, que es 5x al cuadrado y ahora quitamos el menos 2x y ya está. 662 00:43:23,840 --> 00:43:31,400 La siguiente es un poco más compleja porque tiene tres productos, este, este y este. 663 00:43:31,400 --> 00:43:41,280 Bueno, pues empezamos. Aquí tenemos la f y la g, la f y la g, y la f y la g. 664 00:43:42,260 --> 00:43:48,019 Pues empezamos con el primero, sería f' por g más f por g'. 665 00:43:48,019 --> 00:43:50,619 pues lo ponemos 666 00:43:50,619 --> 00:43:52,460 f'4 elevado a x 667 00:43:52,460 --> 00:43:53,039 g' 668 00:43:53,360 --> 00:43:55,900 perdón, g coseno de x 669 00:43:55,900 --> 00:43:57,900 más 670 00:43:57,900 --> 00:43:59,780 f'4 elevado a x 671 00:43:59,780 --> 00:44:02,400 g' menos 672 00:44:02,400 --> 00:44:04,199 seno de x 673 00:44:04,199 --> 00:44:06,440 si tenemos ya práctica 674 00:44:06,440 --> 00:44:08,099 podríamos ponerle aquí un menos 675 00:44:08,099 --> 00:44:09,539 y nos subiría un poquito de paréntesis 676 00:44:09,539 --> 00:44:11,519 sigamos 677 00:44:11,519 --> 00:44:13,599 menos, como hay un menos 678 00:44:13,599 --> 00:44:16,239 y hay una derivada de un producto, ponemos un paréntesis grande 679 00:44:16,239 --> 00:44:21,690 podemos ponerlo luego ya 680 00:44:21,690 --> 00:44:23,869 hacerlo después, ponemos nuevamente 681 00:44:23,869 --> 00:44:25,809 f por g' 682 00:44:26,150 --> 00:44:27,409 perdón, f' por g 683 00:44:27,409 --> 00:44:32,030 más f por g' 684 00:44:32,289 --> 00:44:34,670 puedes saber 685 00:44:34,670 --> 00:44:36,010 derivada de f es 686 00:44:36,010 --> 00:44:38,530 3 por 1 partido por x 687 00:44:38,530 --> 00:44:41,289 que podríamos haber puesto directamente 3 entre x 688 00:44:41,289 --> 00:44:43,030 por g 689 00:44:43,030 --> 00:44:43,690 que es 690 00:44:43,690 --> 00:44:45,570 seno de x 691 00:44:45,570 --> 00:44:48,489 más f 692 00:44:48,489 --> 00:44:50,630 que es 693 00:44:50,630 --> 00:44:52,130 3 logaritmo de pino de x 694 00:44:52,130 --> 00:44:54,730 por la derivada de g que es coseno de x 695 00:44:54,730 --> 00:44:56,070 cerramos paréntesis 696 00:44:56,070 --> 00:44:58,030 y ahora ponemos la tercera 697 00:44:58,030 --> 00:45:00,329 menos, abrimos paréntesis 698 00:45:00,329 --> 00:45:03,289 ahora, derivada de 8 elevado a x 699 00:45:03,289 --> 00:45:04,670 que es 8 elevado a x 700 00:45:04,670 --> 00:45:06,630 bueno, ponemos, perdonad 701 00:45:06,630 --> 00:45:08,210 f por g 702 00:45:08,210 --> 00:45:10,570 más f por g prima y prima 703 00:45:10,570 --> 00:45:13,110 derivada de f es 704 00:45:13,110 --> 00:45:14,630 8 elevado a x 705 00:45:14,630 --> 00:45:17,090 por g coseno de x 706 00:45:17,090 --> 00:45:18,829 más f 707 00:45:18,829 --> 00:45:20,809 nuevamente 8 elevado a x 708 00:45:20,809 --> 00:45:23,889 por la derivada de g menos seno de x 709 00:45:23,889 --> 00:45:25,349 cerramos y cerramos 710 00:45:25,349 --> 00:45:27,829 y ahora pues simplificamos 711 00:45:27,829 --> 00:45:30,050 las simplificaciones que va a haber que hacer 712 00:45:30,050 --> 00:45:31,469 es quitar este paréntesis 713 00:45:31,469 --> 00:45:33,550 quitar este paréntesis 714 00:45:33,550 --> 00:45:35,670 y aquí va a haber que quitar este menos 715 00:45:35,670 --> 00:45:36,489 además 716 00:45:36,489 --> 00:45:39,190 de este menos de aquí 717 00:45:39,190 --> 00:45:40,670 bueno, pues empezamos 718 00:45:40,670 --> 00:45:43,550 4 elevado a x 719 00:45:43,550 --> 00:45:45,349 coseno de x menos 720 00:45:45,349 --> 00:45:46,630 4 elevado a x 721 00:45:46,630 --> 00:45:48,349 seno de x 722 00:45:48,349 --> 00:46:13,980 Ahora quitamos el paréntesis, menos, vamos a hacer ya esto, 3 seno de x partido por x, menos, porque menos por más es menos, 3 logaritmo de piano de x, coseno de x, menos 8 elevado a x, coseno de x. 723 00:46:13,980 --> 00:46:42,119 Y ahora, a ver, lo más rápido sería quitar directamente estos dos menos, lo voy a hacer con dos pasos, aquí debajo voy a hacer el paso intermedio, que sería menos 8 elevado a x por menos seno de x, y esto de aquí es más 8 elevado a x seno de x. 724 00:46:42,119 --> 00:47:04,519 Entonces sería más 8 elevado a x seno de x y ya lo tendríamos. Esto no hace de ponerlo, lo suyo sería hacer un menos y otro menos es más y ya está. Pasamos a lo siguiente. 725 00:47:04,519 --> 00:47:15,739 La siguiente regla de derivación que veremos es la del cociente de dos funciones, que es f' por g menos f por g' entre g cuadrado. 726 00:47:18,400 --> 00:47:23,780 Podemos observar que el numerador es muy parecido a la del producto y que en el denominador solo aparece la g y sin derivar. 727 00:47:24,719 --> 00:47:26,639 Vamos a poner algunos ejemplos. 728 00:47:26,880 --> 00:47:29,940 Elevado a x entre coseno de x, derivada. 729 00:47:30,880 --> 00:47:35,530 Logaritmo de peno de x entre x4, derivada. 730 00:47:36,050 --> 00:47:42,570 Y una cosa que aparece en los ejercicios de forma habitual, que es un cociente de polinomios. 731 00:47:46,159 --> 00:47:50,920 Útil, por ejemplo, a la hora de estudiar el crecimiento de funciones o de representarlas. 732 00:47:57,369 --> 00:47:58,570 Bien, vamos con cada una. 733 00:47:59,250 --> 00:47:59,849 Empezamos. 734 00:47:59,849 --> 00:48:09,150 Aquí tenemos un cociente f entre g cuya derivada es f' por g menos f por g' 735 00:48:09,469 --> 00:48:12,349 Y tenemos un g cuadrado en el denominador 736 00:48:12,349 --> 00:48:18,809 Pues a ponerlo, f' es la derivada de elevado a x que es elevado a x 737 00:48:18,809 --> 00:48:24,289 g es el coseno de x menos f es elevado a x 738 00:48:24,289 --> 00:48:29,510 y g' sería menos seno de x que ponemos entre paréntesis 739 00:48:29,510 --> 00:48:43,789 Por último, en el denominador ponemos el coseno de x al cuadrado, pero recordando que en el coseno, el cuadrado se suele poner encima del coseno y así nos cerramos unos paréntesis. 740 00:48:46,300 --> 00:48:55,380 Esto simplificando sería elevado a x, coseno de x, menos por menos más, elevado a seno de x, todo ello entre coseno al cuadrado de x. 741 00:48:55,380 --> 00:48:59,480 Bien, cojamos el siguiente ejemplo 742 00:48:59,480 --> 00:49:03,079 Igual tenemos numerador f, denominador g, ya no lo escribo 743 00:49:03,079 --> 00:49:08,280 f' por g menos f por g' entre g cuadrado 744 00:49:08,280 --> 00:49:13,650 Numerador es la f, pues sería derivada del logaritmo 1 partido por x 745 00:49:13,650 --> 00:49:17,389 por la g, que es x4, menos la f sin derivar 746 00:49:17,389 --> 00:49:19,269 logaritmo en el plano de x 747 00:49:19,269 --> 00:49:24,230 por la derivada de g, que es 4x al cubo 748 00:49:24,230 --> 00:49:30,780 Y en el denominador ponemos el x4, todo ello al cuadrado. 749 00:49:31,619 --> 00:49:39,099 Ahora simplificamos, 1 partido por x por x4 es x al cubo, menos, podemos poner antes el 750 00:49:39,099 --> 00:49:45,239 polidinomio, aunque es todo un poco igual, pero es más elegante, entre x a la 8. 751 00:49:47,500 --> 00:49:52,179 Bien, ahora hagamos la siguiente, aquí va a ser un poquito más larga la simplificación, 752 00:49:53,619 --> 00:49:56,880 pero tampoco mucho porque el denominador es de grado 1. 753 00:49:57,300 --> 00:50:05,179 Bien, pues igual que antes, ponemos f' por g menos f por g' y aquí g cuadrado. 754 00:50:07,239 --> 00:50:25,460 La derivada de f sería 2x menos 3, la g es x más 7 menos, ahora f es x cuadrado menos 3x más 5 y g' es 1 directamente, que no haré falta ni ponerlo. 755 00:50:26,300 --> 00:50:30,340 Por último, en el denominador ponemos x más 7 al cuadrado. 756 00:50:31,659 --> 00:50:37,199 Ahora, para simplificar, bueno, en el denominador podemos poner x más 7 al cuadrado, que eso ya está simplificado. 757 00:50:37,480 --> 00:50:41,159 Además nos indica que siempre es mayor o igual que 0. 758 00:50:41,159 --> 00:50:53,969 Y ahora, en el numerador, lo único que tiene un poco más de cálculo es este producto, que podemos hacer en una esquina. 759 00:50:53,969 --> 00:50:58,940 2x menos 3 por x más 7 760 00:50:58,940 --> 00:51:00,619 también se podría hacer directamente pero bueno 761 00:51:00,619 --> 00:51:03,539 14x menos 21 762 00:51:03,539 --> 00:51:06,539 2x cuadrado menos 3x 763 00:51:06,539 --> 00:51:11,059 la suma nos da 2x cuadrado menos 11x menos 21 764 00:51:11,059 --> 00:51:16,329 lo ponemos 765 00:51:16,329 --> 00:51:19,809 2x cuadrado menos 11x menos 21 766 00:51:19,809 --> 00:51:20,550 menos 767 00:51:20,550 --> 00:51:24,710 y ahora ya que solo tenemos un paréntesis nada más 768 00:51:24,710 --> 00:51:26,489 porque el 1 es como si no estuviera 769 00:51:26,489 --> 00:51:51,829 Podemos quitar directamente el paréntesis. Menos x al cuadrado menos por menos más más 3x menos 5. Y ya podemos operar. Y esto nos daría 2x cuadrado menos x cuadrado sería x cuadrado menos 11x más 3x menos 8x y menos 21 menos 5 menos 26. 770 00:51:51,829 --> 00:51:56,289 todo ello entre x más 7 al cuadrado 771 00:51:56,289 --> 00:52:01,469 y ya no se puede simplificar más porque desarrollar el denominador sería absurdo 772 00:52:01,469 --> 00:52:05,949 bueno, pues ahora os pongo tres ejemplos similares 773 00:52:05,949 --> 00:52:08,489 podéis parar la grabación y realizarlos 774 00:52:08,489 --> 00:52:11,369 vamos a poner una línea divisoria 775 00:52:11,369 --> 00:52:14,670 por ejemplo, pues yo que sé 776 00:52:14,670 --> 00:52:21,730 logaritmo de piano de x entre coseno de x derivada 777 00:52:21,730 --> 00:52:27,849 e elevado a x entre x cuadrado menos 3x más 1 778 00:52:27,849 --> 00:52:29,989 y también un cociente de polinomios. 779 00:52:30,250 --> 00:52:31,570 Ahora podríamos poner en el denominador 780 00:52:31,570 --> 00:52:37,909 e elevado a 2 x cuadrado menos 3x más 5 781 00:52:37,909 --> 00:52:40,329 y aquí un 2x más 3. 782 00:52:50,909 --> 00:52:52,550 Corregimos, igual que antes, 783 00:52:53,389 --> 00:52:54,670 esta es la f, esta es la g 784 00:52:54,670 --> 00:52:57,909 y la derivada es f' por g menos f por g'. 785 00:52:57,909 --> 00:53:01,650 Y en el denominador tenemos un g cuadrado. 786 00:53:03,130 --> 00:53:04,889 Vamos a poner las funciones. 787 00:53:06,190 --> 00:53:20,849 La f' es la deriva del logaritmo, que es 1 partido por x, g es el coseno de x, menos f es el logaritmo de p1 de x, y g' es menos el seno de x, que ponemos entre paréntesis. 788 00:53:22,090 --> 00:53:27,789 En el denominador ponemos coseno cuadrado de x, que es el cuadrado del denominador. 789 00:53:27,909 --> 00:53:45,329 Ahora simplificamos. Por ejemplo, en el numerador tenemos coseno de x partido por x, y ahora quitamos el signo, menos por menos más, logaritmo de pleno de x, seno de x entre coseno cuadrado de x. 790 00:53:46,010 --> 00:53:50,630 Esto ya está bastante simplificado. Lo que pasa es que se puede simplificar todavía más. 791 00:53:50,630 --> 00:53:58,630 Por ejemplo, si nos piden hallar máximos y mínimos, habría que igualar a cero, en cuyo caso habría que hacer el numerador un poco más sencillo. 792 00:53:59,849 --> 00:54:03,750 Aunque bueno, podrías igualar a cero el numerador y luego hacer lo que va a salir ahora. 793 00:54:05,190 --> 00:54:13,710 Bueno, igual que antes, gente con mucha práctica se podría quitar directamente este signo desde el principio, adelantándose. 794 00:54:13,710 --> 00:54:38,579 Pero bueno, sigamos, pues podemos observar que si ponemos aquí x y aquí x, multiplicando arriba y abajo, obtenemos el coseno de x más x logaritmo de piano de x, seno de x, todo ello entre x, y dividiendo entre coseno cuadrado de x. 795 00:54:38,579 --> 00:54:55,579 Si ponemos aquí el partido por 1 para hacer la regla de división de fracciones, obtendríamos coseno de x más x logaritmo de piano de x por seno de x y abajo x coseno cuadrado de x. 796 00:54:55,579 --> 00:54:58,079 Sigamos con la siguiente 797 00:54:58,079 --> 00:55:01,280 Igual que antes, esta es la f, esta es la g 798 00:55:01,280 --> 00:55:06,659 Y aquí tenemos f' por g menos f por g' 799 00:55:06,940 --> 00:55:09,119 Abajo podemos poner g' 800 00:55:13,789 --> 00:55:17,210 f' es la derivada de elevado a x, que es elevado a x 801 00:55:17,210 --> 00:55:23,409 g es x cuadrado menos 3x más 1 802 00:55:23,409 --> 00:55:25,010 Que ponemos como un paréntesis 803 00:55:25,010 --> 00:55:29,650 Y recuerdo que el fallo que más veces he visto 804 00:55:29,650 --> 00:55:31,849 es no poner paréntesis cuando hay que ponerlos 805 00:55:31,849 --> 00:55:32,750 a la hora de derivar 806 00:55:32,750 --> 00:55:35,309 menos f que es elevado a x 807 00:55:35,309 --> 00:55:37,550 y aquí g' sería la derivada 808 00:55:37,550 --> 00:55:38,690 del denominador 809 00:55:38,690 --> 00:55:40,809 que es 2x menos 3 810 00:55:40,809 --> 00:55:43,530 por último ponemos 811 00:55:43,530 --> 00:55:44,929 el denominador al cuadrado 812 00:55:44,929 --> 00:55:47,250 x cuadrado menos 3x 813 00:55:47,250 --> 00:55:49,090 más 1, todo ello al cuadrado 814 00:55:49,090 --> 00:55:53,809 en este caso la forma más fácil de derivar 815 00:55:53,809 --> 00:55:55,289 es sacar tu factor común 816 00:55:55,289 --> 00:55:57,230 de elevado a x, podemos hacer todo con una esquina 817 00:55:57,230 --> 00:55:59,090 y hacerlo rápido, pero 818 00:55:59,090 --> 00:56:01,650 voy a poner todos los cálculos 819 00:56:01,650 --> 00:56:13,110 Entonces es elevado a x, saco factor común de x cuadrado menos 3x más 1 menos, abor paréntesis, 2x menos 3. 820 00:56:14,449 --> 00:56:19,369 Todo ello entre x cuadrado menos 3x más 1 al cuadrado. 821 00:56:19,730 --> 00:56:21,909 Voy a hacer todos los pasos para que se entienda mejor. 822 00:56:21,909 --> 00:56:27,769 elevado a x por x cuadrado menos 3x más 1 menos 2x más 3 823 00:56:27,769 --> 00:56:34,170 entre x cuadrado menos 3x más 1 al cuadrado 824 00:56:34,170 --> 00:56:45,170 lo que nos da elevado a x por x cuadrado menos 5x más 4 825 00:56:45,170 --> 00:56:49,849 entre x cuadrado menos 3x más 1 al cuadrado. 826 00:56:49,849 --> 00:57:03,380 ¿Ya se ha simplificado? Bueno, habitualmente se suele poner el elevado a x después de los polinomios, o sea, se pondría habitualmente aquí, pero el anterior estaba bien. 827 00:57:08,460 --> 00:57:17,599 Igual que antes, ponemos aquí la f, aquí la g, y la derivada es f' por g menos f por g'. 828 00:57:17,599 --> 00:57:42,119 Y en el denominador tenemos g cuadrado. f' sería 2, que es la derivada de este polinomio. g es x cuadrado menos 3x más 5 menos f, que es 2x más 3. 829 00:57:42,119 --> 00:57:49,909 Y en el denominador tenemos la derivada que es 2x menos 3. 830 00:57:52,480 --> 00:57:58,579 Y abajo ponemos x cuadrado menos 3x más 5 al cuadrado. 831 00:58:01,449 --> 00:58:02,590 Y ahora simplificamos. 832 00:58:05,880 --> 00:58:06,900 Esto es muy sencillo. 833 00:58:07,440 --> 00:58:11,920 Esto es 2x cuadrado menos 6x más 10. 834 00:58:13,019 --> 00:58:19,719 Y aquí hemos tenido suerte porque tenemos suma por diferencia de cuadrados. 835 00:58:19,719 --> 00:58:26,760 Esto es 2x más e2x menos 3, tendríamos 2x al cuadrado menos 3 al cuadrado. 836 00:58:27,780 --> 00:58:35,659 Una de las igualdades notables que nos da, ahora paréntesis, 4x al cuadrado menos 9. 837 00:58:36,739 --> 00:58:44,159 Y en el denominador tenemos, pues, x al cuadrado menos 3x más 5, todo ello al cuadrado. 838 00:58:45,340 --> 00:58:48,199 Voy a hacer todos los pasos nuevamente en la simplificación. 839 00:58:48,199 --> 00:59:02,679 2x cuadrado menos 6x más 10 menos 4x cuadrado más 9, todo ello entre x cuadrado menos 3x más 5. 840 00:59:02,679 --> 00:59:20,889 Y esto nos da menos 2x cuadrado menos 6x más 19, todo ello, bueno aquí falta un cuadrado, entre x cuadrado menos 3x más 5 al cuadrado. 841 00:59:24,690 --> 00:59:28,210 Y con esto habíamos terminado este apartado. 842 00:59:29,190 --> 00:59:34,730 Vamos a ver ahora una hereda nueva, concretamente la de la tangente de x. 843 00:59:37,280 --> 00:59:49,460 Vamos a verla como cociente del seno y del coseno porque calculando la derivada así se van a deducir automáticamente las diferentes formas que tiene esta derivada y que son equivalentes. 844 00:59:52,349 --> 01:00:00,610 Vamos a empezar igual que antes. Esto es f, esto es g. Tendríamos f' por g, menos f por g' y aquí g cuadrado. 845 01:00:00,610 --> 01:00:17,489 De modo que en el numerador tendríamos derivada del seno, que es el coseno de x, ahora por gx, nuevamente el coseno de x, menos f, que es el seno de x, y ahora la derivada del coseno, que es menos seno de x, y que ponemos entre paréntesis. 846 01:00:17,489 --> 01:00:22,289 y en el denominador tenemos coseno al cuadrado de x. 847 01:00:23,789 --> 01:00:29,590 Significando, tenemos coseno de x por coseno de x, coseno al cuadrado de x, menos por menos, más, 848 01:00:30,190 --> 01:00:33,150 y ahora seno de x por seno de x, seno al cuadrado de x. 849 01:00:34,050 --> 01:00:36,949 Y dividimos entre coseno al cuadrado de x. 850 01:00:38,170 --> 01:00:40,449 Bien, y aquí podemos simplificar de dos maneras. 851 01:00:43,239 --> 01:00:46,860 La primera será observar que el coseno al cuadrado de x más el seno al cuadrado de x es 1. 852 01:00:46,860 --> 01:00:50,880 De modo que tenemos 1 entre coseno cuadrado de x. 853 01:00:51,599 --> 01:00:55,119 Y ya tenemos una de las fórmulas de la derivada. 854 01:00:58,380 --> 01:01:06,539 Esto además es 1 partido por coseno de x al cuadrado, y esto por definición es la secante de x. 855 01:01:08,579 --> 01:01:09,940 ¿Cómo es el cuadrado? Pues el cuadrado. 856 01:01:11,199 --> 01:01:14,699 Y tenemos otra forma de poner la derivada, que es directa. 857 01:01:14,699 --> 01:01:22,400 Lo que pasa es que, bueno, en general utilizamos más la palabra coseno de x que la palabra secante de x. 858 01:01:23,559 --> 01:01:35,360 Y luego, pues otra sería, pues separar en dos, en el delineador tenemos coseno cuadrado de x entre coseno cuadrado de x más seno cuadrado de x entre seno cuadrado de x. 859 01:01:36,099 --> 01:01:42,639 Y esto nos da, perdón, entre coseno cuadrado de x. 860 01:01:42,639 --> 01:01:45,679 entonces aquí tenemos 1 más 861 01:01:45,679 --> 01:01:47,739 seno de x entre coseno de x 862 01:01:47,739 --> 01:01:48,659 al cuadrado 863 01:01:48,659 --> 01:01:51,320 que es 1 más la tangente de x 864 01:01:51,320 --> 01:01:52,539 al cuadrado 865 01:01:52,539 --> 01:01:55,599 y entonces pues así 866 01:01:55,599 --> 01:01:56,119 tenemos 867 01:01:56,119 --> 01:01:59,380 tres formas de poner la derivada en realidad 868 01:01:59,380 --> 01:02:01,460 dos, esta y esta 869 01:02:01,460 --> 01:02:03,760 ¿cuál es mejor? pues depende 870 01:02:03,760 --> 01:02:05,539 del contexto, por ejemplo 871 01:02:05,539 --> 01:02:09,190 pues puede parecer 872 01:02:09,190 --> 01:02:11,010 que tengas que utilizar esta, por ejemplo 873 01:02:11,010 --> 01:02:13,210 la hora de hacer integrales o lo que sea, con lo cual en este 874 01:02:13,210 --> 01:02:19,869 caso compensa saberse las dos. Tanto 1 partido por coseno cuadrado de x como 1 más tangente 875 01:02:19,869 --> 01:02:29,500 cuadrado de x. Además, sabiendo que esto es la secante de x al cuadrado, por definición. 876 01:02:29,880 --> 01:02:35,260 Bueno, de hecho, es que una de las fórmulas de la trigonometría es que secante de cuadrado 877 01:02:35,260 --> 01:02:41,039 de x es 1 más tangente cuadrado de x. Igual que otra muy parecida es que la cosecante 878 01:02:41,039 --> 01:02:47,480 que cuadrado de x es 1 más la cotangente cuadrado de x. 879 01:02:48,219 --> 01:02:50,280 Y se deduce precisamente haciendo esto. 880 01:02:53,010 --> 01:02:56,030 Borremos un poco de información y pongamos algunos ejemplos. 881 01:02:58,250 --> 01:02:59,869 Tenemos tres formas de expresar la derivada. 882 01:03:00,110 --> 01:03:03,309 Nosotros emplearemos sobre todo la primera y la segunda. 883 01:03:03,690 --> 01:03:04,949 Hagamos un par de ejemplos. 884 01:03:06,050 --> 01:03:12,650 Pues 7 tangente de x menos logaritmo de periano de x más 5, por ejemplo, derivada. 885 01:03:12,650 --> 01:03:20,889 Y por ejemplo, pues, tangente de x entre elevado a x más 2 derivada. 886 01:03:22,090 --> 01:03:25,650 Vamos a emplear en la primera esta y en la segunda esta. 887 01:03:27,429 --> 01:03:30,250 Bueno, pues, vamos a hacerlo. 888 01:03:30,909 --> 01:03:35,750 Aquí tenemos dos derivadas sencillas que están restando, pues hacemos cada una. 889 01:03:37,230 --> 01:03:41,750 7 por 1 partido por coseno cuadrado de x menos 1 partido por x. 890 01:03:42,650 --> 01:03:44,989 Y ya está. Se podría simplificar ligeramente. 891 01:03:47,500 --> 01:03:49,460 Y con mucho operar esto, sí hay que igualar a cero. 892 01:03:56,989 --> 01:03:58,590 Pero bueno, así estaría bien. 893 01:03:59,670 --> 01:04:01,170 La siguiente es un poco más compleja. 894 01:04:01,969 --> 01:04:02,889 Tenemos lo de siempre. 895 01:04:04,670 --> 01:04:09,150 Fg, f' por g, menos f por g' entre g al cuadrado. 896 01:04:10,730 --> 01:04:14,309 f' es 1 más tangente al cuadrado de x. 897 01:04:14,309 --> 01:04:17,289 por g, pues sería 898 01:04:17,289 --> 01:04:21,849 elevado a x más 2 menos f 899 01:04:21,849 --> 01:04:26,510 tangente de x, por g, pues la derivada de g 900 01:04:26,510 --> 01:04:29,989 prima, la derivada de g es elevado a x 901 01:04:29,989 --> 01:04:32,889 y en el denominador ponemos 902 01:04:32,889 --> 01:04:37,889 g cuadrado, que es elevado a x más 2 al cuadrado 903 01:04:37,889 --> 01:04:40,849 y ya está. Bueno, pues como ejercicio 904 01:04:40,849 --> 01:04:44,110 podéis hacer dos, una muy sencillita 905 01:04:44,110 --> 01:04:56,670 Pues yo que sé, 5 tangente de x menos x al cubo más coseno de x más 1 derivada 906 01:04:56,670 --> 01:05:01,429 Si queréis hacer lo mismo que antes, ponéis primero esta y luego esta 907 01:05:01,429 --> 01:05:03,269 Para practicar las dos 908 01:05:03,269 --> 01:05:15,969 Y en la segunda, pues, elevado a x tangente de x menos 3, por ejemplo, derivada 909 01:05:15,969 --> 01:05:19,869 Paréis la grabación y luego corregimos 910 01:05:19,869 --> 01:05:24,389 bueno, vamos a corregir 911 01:05:24,389 --> 01:05:27,489 la primera sería hacer cada una 912 01:05:27,489 --> 01:05:30,630 5 por 1 partido por coseno cuadrado de x 913 01:05:30,630 --> 01:05:35,230 menos 3x cuadrado menos seno de x 914 01:05:35,230 --> 01:05:35,849 y ya está 915 01:05:35,849 --> 01:05:38,230 como mucho se podría poner así 916 01:05:38,230 --> 01:05:39,369 pero poco más 917 01:05:39,369 --> 01:05:41,309 no se puede simplificar más 918 01:05:41,309 --> 01:05:45,539 en la siguiente pues tenemos aquí un producto 919 01:05:45,539 --> 01:05:48,019 esto es f por g 920 01:05:48,019 --> 01:05:51,340 sería f' por g más f por g' 921 01:05:51,340 --> 01:06:04,840 prima. Sería e elevado a x, que es la derivada de f, por g, que es tangente de x, más f elevado a x por la derivada de g. 922 01:06:06,840 --> 01:06:14,519 Tangente cuadrado de x más 1. Ojo, habría que poner aquí un paréntesis porque si no estaría mal. 923 01:06:15,699 --> 01:06:20,920 Y aquí ya está. Bueno, se puede simplificar ligeramente sacando el factor común de elevado a x, pero poco más. 924 01:06:20,920 --> 01:06:27,920 tangente de x más tangente cuadrada de x más 1, incluso se puede reordenar 925 01:06:27,920 --> 01:06:38,690 y ya está. Vamos a ver ahora la regla de la cadena 926 01:06:38,690 --> 01:06:42,230 que dice que si busco la derivada de g de f de x 927 01:06:42,230 --> 01:06:47,530 entonces es g' de f de x 928 01:06:47,530 --> 01:06:51,170 por f' de x. Concretemos un poco 929 01:06:51,170 --> 01:06:55,409 si tenemos por ejemplo las funciones 930 01:06:55,409 --> 01:07:02,190 Entonces x elevado a n, elevado a x, logaritmo de periódico de x, seno de x o coseno de x. 931 01:07:03,809 --> 01:07:06,329 Y tenemos sus respectivas derivadas. 932 01:07:13,079 --> 01:07:26,909 Cuando tengo la función, una función elevado a n o elevado a una función, o el logaritmo en el periódico de la función, o el seno de la función o el coseno de la función, 933 01:07:26,909 --> 01:07:31,429 automáticamente su derivada va a ser lo que teníamos antes 934 01:07:31,429 --> 01:07:32,949 por ejemplo en el caso de elevado a f 935 01:07:32,949 --> 01:07:37,550 multiplicando después por f' 936 01:07:37,869 --> 01:07:41,510 en el caso del seno, si teníamos coseno de x 937 01:07:41,510 --> 01:07:44,750 pues tendríamos coseno de f y luego multiplicamos por f' 938 01:07:45,070 --> 01:07:50,230 la derivada del coseno menos seno de f 939 01:07:50,230 --> 01:07:50,909 y luego por f' 940 01:07:51,190 --> 01:07:56,449 y lo mismo, f elevado a n, nf, n-1 941 01:07:56,449 --> 01:07:57,230 por f' 942 01:07:57,469 --> 01:07:59,750 y el logaritmo sería 943 01:07:59,750 --> 01:08:01,969 1 partido por f por f' 944 01:08:02,230 --> 01:08:05,010 pero en el caso del logaritmo 945 01:08:05,010 --> 01:08:07,329 la cosa puede mejorar un poco 946 01:08:07,329 --> 01:08:08,409 porque se puede escribir 947 01:08:08,409 --> 01:08:10,429 mejor 948 01:08:10,429 --> 01:08:14,739 f' partido por f 949 01:08:14,739 --> 01:08:17,800 que es un poco más 950 01:08:17,800 --> 01:08:19,800 elegante y rápido de escribir 951 01:08:19,800 --> 01:08:22,000 con lo cual es aplicar esto 952 01:08:22,000 --> 01:08:23,439 por ejemplo, nos dicen 953 01:08:23,439 --> 01:08:25,659 e elevado a 954 01:08:25,659 --> 01:08:27,340 x cuadrado más 3 955 01:08:27,340 --> 01:08:44,340 Pues la derivada sería, esto es elevado a f, ¿dónde f es esta función? Pues la derivada sería elevado a f por f', regla de la cadena, elevado a x cuadrado más 3 por la derivada de lo de adentro. 956 01:08:44,340 --> 01:08:56,689 coseno de e elevado a x menos 3x más 2 derivada 957 01:08:56,689 --> 01:09:00,489 pues tenemos la función f y tenemos coseno de f 958 01:09:00,489 --> 01:09:03,689 la derivada sería menos seno de f por f' 959 01:09:03,689 --> 01:09:11,789 que sería pues menos seno de e elevado a x menos 3x más 2 960 01:09:11,789 --> 01:09:14,930 por la derivada que es 961 01:09:14,930 --> 01:09:16,670 elevado a x menos 3 962 01:09:16,670 --> 01:09:19,390 y así sucesivamente 963 01:09:19,390 --> 01:09:22,090 tenemos el logaritmo periano de 964 01:09:22,090 --> 01:09:25,369 x cubo menos 2x más 5 965 01:09:25,369 --> 01:09:27,989 derivada 966 01:09:27,989 --> 01:09:29,729 tenemos el logaritmo de f 967 01:09:29,729 --> 01:09:31,029 es más fácil poner 968 01:09:31,029 --> 01:09:34,569 la derivada del logaritmo 969 01:09:34,569 --> 01:09:35,409 que sería 970 01:09:35,409 --> 01:09:38,670 f periado partido por f 971 01:09:38,670 --> 01:09:40,430 entonces sería 972 01:09:40,430 --> 01:09:45,710 f' pues 3x cuadrado menos 2 y f 973 01:09:45,710 --> 01:09:49,710 x cubo menos 2x más 5 974 01:09:49,710 --> 01:09:53,130 con lo cual en general lo que hacemos es repetir la función 975 01:09:53,130 --> 01:09:57,270 y poner la derivada después, salvo en el caso del logaritmo 976 01:09:57,270 --> 01:09:59,289 que es la única que habría que aprender un poco más de memoria 977 01:09:59,289 --> 01:10:02,829 que escribimos de forma un poco más elegante 978 01:10:02,829 --> 01:10:06,350 bueno, y hacemos una polinomial 979 01:10:06,350 --> 01:10:15,810 coseno de x elevado a 5 980 01:10:15,810 --> 01:10:19,170 que esto lo excluimos como coseno de 5 de x 981 01:10:19,170 --> 01:10:20,890 si hacemos la derivada 982 01:10:20,890 --> 01:10:23,189 ¿qué tendríamos? 983 01:10:23,930 --> 01:10:26,529 pues una función que es el coseno elevado a 5 984 01:10:26,529 --> 01:10:30,560 entonces, ¿la derivada cuál sería? 985 01:10:30,720 --> 01:10:33,239 pues 5f4 por f' 986 01:10:33,520 --> 01:10:34,779 pues eso es 987 01:10:34,779 --> 01:10:38,960 5 por coseno 4 de x 988 01:10:38,960 --> 01:10:41,640 por la derivada del coseno que es menos seno de x 989 01:10:41,640 --> 01:10:48,840 Si simplificamos, tenemos menos 5 coseno de 4 de x por seno de x. 990 01:10:50,800 --> 01:10:53,140 Bueno, pues vamos a practicar algunas. 991 01:10:53,880 --> 01:10:59,539 Aquí no hay espacio, vamos a hacer un zoom y seguimos. 992 01:11:01,100 --> 01:11:02,399 Bueno, vamos a practicar algunas. 993 01:11:02,399 --> 01:11:12,840 He elevado al coseno de x más 3, logaritmo de Periano de x al cuadrado menos 3x más 1, 994 01:11:13,079 --> 01:11:58,000 e elevado a 5x, coseno de x más 3 derivada, coseno a la cuarta de x derivada, y por ejemplo, pues, e elevado a x más logaritmo de perinode x menos 1, todo ello elevado a 7 derivada. 995 01:11:58,000 --> 01:12:00,880 Bueno, pues hace de estas y luego corregimos. 996 01:12:12,729 --> 01:12:17,550 Corregimos la primera derivada de la forma elevado a f, donde f es esta función. 997 01:12:18,590 --> 01:12:22,430 Por lo tanto, la derivada será elevado a f por f' 998 01:12:22,689 --> 01:12:35,550 Es decir, elevado a coseno de x más 3 por f' que es menos seno de x. 999 01:12:35,550 --> 01:12:41,149 Esto sería más simple si pusiéramos el menos y quitaríamos de paréntesis 1000 01:12:41,149 --> 01:12:48,029 Y de hecho más elegante si ponemos seno de x y luego elevado a coseno de x más 3 1001 01:12:48,029 --> 01:12:56,609 La segunda derivada es de la forma logaritmo de periodo de f 1002 01:12:56,609 --> 01:12:59,069 Donde f es esta función 1003 01:12:59,069 --> 01:13:02,729 Y la derivada es f' partido por f 1004 01:13:02,729 --> 01:13:06,529 Pues nada, esta es la única que hay que aprender de memoria 1005 01:13:06,529 --> 01:13:12,189 entonces pondremos arriba la derivada que es 2x menos 3 1006 01:13:12,189 --> 01:13:16,529 y abajo la función x cuadrado menos 3x más 1 1007 01:13:16,529 --> 01:13:20,189 la siguiente es nuevamente de la forma elevado a f 1008 01:13:20,189 --> 01:13:22,890 donde f es 5x 1009 01:13:22,890 --> 01:13:26,350 como tenemos como derivada elevado a f por f' 1010 01:13:26,350 --> 01:13:31,810 pues sería elevado a 5x por la derivada de 5x que es 5 1011 01:13:31,810 --> 01:13:36,149 puesto de forma más elegante 5 por elevado a 5x 1012 01:13:36,149 --> 01:13:43,319 En la siguiente tenemos una derivada de la forma coseno de f, donde f es x más 3 1013 01:13:43,319 --> 01:13:53,680 De modo que la derivada es menos seno de f, que es la derivada del coseno en la f, por f' 1014 01:13:53,680 --> 01:13:58,640 Es decir, menos el seno de x más 3 1015 01:13:58,640 --> 01:14:04,199 Pero f' ¿cuál es? 1, realmente se deja igual, no hace falta poner 1 1016 01:14:04,199 --> 01:14:08,590 Directamente pondríamos esto 1017 01:14:08,590 --> 01:14:19,609 Vamos a la siguiente, aquí tenemos coseno de 4 de x que sería una función que es coseno de x elevado a 4 1018 01:14:19,609 --> 01:14:26,369 Entonces tenemos f elevado a 4 cuya derivada es 4f cubo por f prima 1019 01:14:26,369 --> 01:14:37,770 Pues lo ponemos 4 coseno cubo de x, 4f cubo por la derivada del coseno que es menos seno de x 1020 01:14:37,770 --> 01:14:47,130 Simplificando esto es menos 4 coseno cubo de x por seno de x 1021 01:14:47,130 --> 01:14:55,390 La última es nuevamente una derivada de una función de la forma f elevado a 7 1022 01:14:55,390 --> 01:15:00,890 Cuyo derivada sería 7f elevado a 6 por f' 1023 01:15:00,890 --> 01:15:05,250 Pues nada, donde f es esta función 1024 01:15:05,250 --> 01:15:26,710 Bueno, pues lo ponemos. Sería 7 por elevado a x más logaritmo de piano de x menos 1 elevado a 6 por eje prima, que es elevado a x más 1 partido por x y la constante que se va. 1025 01:15:27,510 --> 01:15:30,569 Y ya está. Esta no se puede significar más. 1026 01:15:30,569 --> 01:15:33,550 un par de ejemplos calificadores 1027 01:15:33,550 --> 01:15:37,590 si hacemos la derivada del logaritmo de x a la 5 1028 01:15:37,590 --> 01:15:42,289 nos sale lo siguiente 1029 01:15:42,289 --> 01:15:43,550 esto es de la forma 1030 01:15:43,550 --> 01:15:46,130 logaritmo de pierna de f 1031 01:15:46,130 --> 01:15:48,909 cuya derivada es f' partido por f 1032 01:15:48,909 --> 01:15:52,329 por lo tanto sería 1033 01:15:52,329 --> 01:15:55,930 5x4 entre x a la 5 1034 01:15:55,930 --> 01:15:58,750 ahora bien, si simplificamos 1035 01:15:58,750 --> 01:16:00,510 nos sale 5 partido por x 1036 01:16:00,510 --> 01:16:05,130 la razón es la siguiente 1037 01:16:05,130 --> 01:16:16,460 Si cogemos esta derivada por las propiedades de los logaritmos, esto es 5 veces el logaritmo heperiano de x. 1038 01:16:17,479 --> 01:16:24,479 Derivada que es precisamente 5 por 1 partido por x, esto es 5 partido por x. 1039 01:16:25,859 --> 01:16:26,920 Obviamente coinciden. 1040 01:16:30,029 --> 01:16:35,489 Otro ejemplo calificador es hacer la derivada del seno de 2x. 1041 01:16:35,489 --> 01:16:50,670 que va a ser lo mismo que la derivada de la función equivalente 2 seno de x coseno de x. 1042 01:16:51,109 --> 01:17:07,020 Aquí tendríamos seno de f cuya derivada es coseno de f por f' en este caso coseno de 2x por 2. 1043 01:17:07,760 --> 01:17:09,659 Esto es 2 coseno de 2x. 1044 01:17:09,659 --> 01:17:19,640 En este caso, si derivamos, tendremos f y g, cuya derivada es f' por g más f por g' 1045 01:17:19,920 --> 01:17:25,439 y obtenemos 2, porque multiplica todo lo que vaya a dar, 1046 01:17:26,500 --> 01:17:31,420 bueno, podemos poner también que la función f tiene el 2 incluido, 1047 01:17:31,420 --> 01:17:46,859 Pues 2 coseno de x por coseno de x más 2 seno de x por menos seno de x 1048 01:17:46,859 --> 01:17:56,380 Esto es 2 coseno cuadrado de x, aquí ponemos el menos, menos 2, seno por seno, seno cuadrado de x 1049 01:17:56,380 --> 01:18:01,439 Esto es 2 coseno cuadrado de x menos seno cuadrado de x 1050 01:18:01,439 --> 01:18:12,979 Y esto coincide con el 2 veces el coseno de 2x, de modo que nuevamente son iguales como no podía ser de otra manera. 1051 01:18:15,189 --> 01:18:21,529 Un último apunte, si en el logaritmo en vez de tener el logaritmo de periano de x a la 5, 1052 01:18:21,869 --> 01:18:28,750 tuviéramos por ejemplo el logaritmo de periano de x a la 5 más 3, entonces esto ya no se podría hacer. 1053 01:18:28,750 --> 01:18:48,840 De hecho su derivada es, pues tomamos aquí logaritmo de pierna de f, aquí f' partido por f y tendríamos que es f' que es 5x4 entre x a la 5 más 3. 1054 01:18:49,560 --> 01:18:54,319 Y efectivamente esto no se puede poner como una potencia y esto no se puede simplificar. 1055 01:18:56,819 --> 01:19:02,399 Ahora que hemos explicado la derivada de la composición, esto es la regla de la cadena, 1056 01:19:03,079 --> 01:19:08,899 es un buen momento para explicar cuál es la derivada de coger un número a y elevarlo a x. 1057 01:19:10,619 --> 01:19:17,340 Y también de paso, pues explicar qué ocurre cuando tomamos el logaritmo en base a de x y derivamos. 1058 01:19:19,460 --> 01:19:25,399 En el primer caso obtenemos el logaritmo de perinodo de a por a elevado a x 1059 01:19:25,399 --> 01:19:30,859 y en el segundo, 1 entre el logaritmo de Pena de A por X. 1060 01:19:31,779 --> 01:19:39,779 Por ejemplo, la deriva de 2 elevado a X sería el logaritmo de Pena de 2 por 2 elevado a X 1061 01:19:39,779 --> 01:19:51,079 y el logaritmo en base 5 de X derivada sería 1 entre el logaritmo de Pena de 5 por X. 1062 01:19:51,079 --> 01:20:12,119 El caso del número e, cuando a es igual a e, es un caso particular de esto, puesto que si aplicamos esta fórmula a la función elevada a x derivada, obtendríamos el logaritmo neperiano de e por elevado a x, 1063 01:20:12,119 --> 01:20:30,789 Y lo mismo si tomamos el logaritmo neperiano de x, que no es más que el logaritmo en base de x, que sería 1 entre el logaritmo neperiano de e por x. 1064 01:20:31,750 --> 01:20:43,210 Lo que ocurre es que al ser el logaritmo neperiano de e igual a 1, esto se nos simplifica a tener e elevado a x y 1 partido por x. 1065 01:20:44,210 --> 01:20:55,069 Esta es la razón por la cual en cálculo, cuando uno hace la exponenciación, la base natural es e elevado a x y con el logaritmo, la base natural es el logaritmo de Operiano. 1066 01:20:56,390 --> 01:20:59,750 Porque la derivada se nos queda mucho más sencilla y también la integral. 1067 01:21:00,409 --> 01:21:07,170 Y ahora al hacer cálculos, y la derivada integral hay que utilizarlas bastante, pues todo se simplifica notablemente. 1068 01:21:11,180 --> 01:21:15,760 De hecho, históricamente, el número e tomó relevancia precisamente por cuestiones como esta. 1069 01:21:16,500 --> 01:21:31,260 Ya se conocía, pero cuando realmente tomó importancia es a la hora de calcular las tablas de logaritmos, que gracias precisamente a estos hechos que estamos indicando aquí, se hacían muchísimas más simples empleando el número e. 1070 01:21:31,260 --> 01:21:41,050 Bien, si sólo conocemos estas derivadas, no pasa nada porque las otras se pueden deducir de ellas. 1071 01:21:46,699 --> 01:21:56,960 En efecto, por ejemplo, a elevado a x es elevado al logaritmo de pleno de a, todo ello elevado a x. 1072 01:21:57,220 --> 01:22:01,319 Esto es elevado al logaritmo de pleno de a por x. 1073 01:22:01,319 --> 01:22:20,479 Por lo tanto, al derivar, si hacemos a elevado a x derivada, tendríamos elevado al logaritmo de perinodo de a por x, que es una función de la forma elevado a f y cuya derivada es elevado a f por f'. 1074 01:22:20,479 --> 01:22:30,279 Entonces obtenemos elevado al logaritmo de perinodo de a por x por el logaritmo de perinodo de a. 1075 01:22:30,279 --> 01:22:37,119 Y esto es el logaritmo de P no de A, cambiándolo de orden, por esto que ya hemos visto que es A elevado a X. 1076 01:22:38,420 --> 01:23:03,550 Muy rápidamente, en el caso de que nos pidan la derivada de 2 elevado a X, pues tendríamos lo mismo como el logaritmo, solo que quiero ir a la cadena. 1077 01:23:03,550 --> 01:23:18,909 Ahora, el logaritmo, por ejemplo, en base a dx es el logaritmo de P1 de x entre el logaritmo de P1 de a de x. 1078 01:23:19,289 --> 01:23:21,789 Y esto ya es una constante aunque esté dividiendo por un número. 1079 01:23:22,010 --> 01:23:26,649 Esto es 1 partido por el logaritmo de P1 de a por el logaritmo de P1 de x, 1080 01:23:26,649 --> 01:23:34,939 cuya derivada es 1 partido por el logaritmo de P1 de A por 1 partido por X. 1081 01:23:35,640 --> 01:23:39,279 Y esto es 1 entre el logaritmo de P1 de A por X. 1082 01:23:39,800 --> 01:23:51,859 Por ejemplo, el logaritmo en base 10 que el 10 nos describe de X 1083 01:23:51,859 --> 01:23:57,579 sería el logaritmo de P1 de A por X entre el logaritmo de P1 de 10 1084 01:23:57,579 --> 01:24:08,720 Y eso sería, pues, 1 partido por logaritmo de P9 de 10, por 1 partido por X, esto es... 1085 01:24:08,720 --> 01:24:30,649 A ver, como ejemplos de ese tipo de derivadas, podéis hacerlas directamente, podéis tomar, pues, 5 elevado a X derivada y el logaritmo en base 7 de X derivada. 1086 01:24:30,649 --> 01:24:32,890 Ahora ahí lo realizáis y corregimos 1087 01:24:32,890 --> 01:24:36,239 Bueno, corregimos, muy fácil 1088 01:24:36,239 --> 01:24:39,359 Logaritmo neperiano de 5 por 5 elevado a x 1089 01:24:39,359 --> 01:24:51,439 Y aquí 1 entre logaritmo neperiano de 7 por x 1090 01:24:51,439 --> 01:24:53,140 Y ya hemos terminado 1091 01:24:53,140 --> 01:24:58,010 Nos quedan tres derivadas por dar 1092 01:24:58,010 --> 01:24:59,590 Que son 1093 01:24:59,590 --> 01:25:02,250 Largo tangente de x 1094 01:25:02,250 --> 01:25:04,489 Cuya derivada es 1095 01:25:04,489 --> 01:25:07,409 1 entre 1 más x al cuadrado 1096 01:25:07,409 --> 01:25:15,569 el arseno de x cuya derivada es 1 entre 1 menos x al cuadrado raíz cuadrada 1097 01:25:15,569 --> 01:25:24,770 y el arcoseno de x cuya derivada es menos 1 entre raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado. 1098 01:25:27,680 --> 01:25:31,779 Puede sorprender que el arseno y el arcoseno tengan derivada opuesta 1099 01:25:31,779 --> 01:25:36,619 pero si observamos que tenemos la siguiente identidad 1100 01:25:36,619 --> 01:25:50,439 10 que el arco seno de x es pi medios menos el arco seno de x y al revés, que el arco 1101 01:25:50,439 --> 01:26:01,069 seno de x es pi medios menos el arco seno de x, entonces a la hora de derivar ya sabemos 1102 01:26:01,069 --> 01:26:08,729 que la constante se nos va y entonces tendríamos una función, la deriva de una función es 1103 01:26:08,729 --> 01:26:13,359 menos la derivada de otra función, y viceversa aquí también. 1104 01:26:14,600 --> 01:26:19,060 Así que, pues, es lógico. Además, el arseno es creciente y eso es positivo, 1105 01:26:20,000 --> 01:26:22,039 y el arcoseno es decreciente y eso es negativo. 1106 01:26:24,779 --> 01:26:28,239 Vuelvo a esas observaciones y seguimos trabajando en el tema. 1107 01:26:29,899 --> 01:26:31,779 Hagamos algunos ejemplos para practicar. 1108 01:26:33,159 --> 01:26:39,300 Por ejemplo, la derivada de la arcotangente de elevado a x, 1109 01:26:39,300 --> 01:26:58,840 la derivada del arseno del logaritmo de x y el arcoseno de x al cubo, derivada, derivada y derivada. 1110 01:26:58,840 --> 01:27:11,180 En el primer caso, pues tendríamos la arco tangente de una función cuya derivada es 1 partido por 1 más f cuadrado por f prima. 1111 01:27:12,060 --> 01:27:14,960 O si queréis, f prima partido por 1 más f cuadrado. 1112 01:27:16,380 --> 01:27:25,600 Pues nada, sería e elevado a x, f prima, por 1 más f cuadrado, que es elevado a x al cuadrado. 1113 01:27:25,600 --> 01:27:31,199 Aunque eso se puede simplificar poniendo elevado a x entre 1 más elevado a 2x 1114 01:27:31,199 --> 01:27:33,260 La segunda lo mismo 1115 01:27:33,260 --> 01:27:37,680 Tenemos el arc seno de una función 1116 01:27:37,680 --> 01:27:43,979 Cuya derivada es 1 partido por raíz cuadrada de 1 menos f cuadrado por f' 1117 01:27:43,979 --> 01:27:48,520 O si queréis f' entre 1 menos f cuadrado raíz cuadrada 1118 01:27:48,520 --> 01:27:55,329 Entonces tendríamos la derivada del logaritmo que es 1 partido por x 1119 01:27:55,329 --> 01:28:01,270 y raíz cuadrada de 1 menos el logaritmo de x al cuadrado 1120 01:28:01,270 --> 01:28:03,890 Se podría simplificar dejándolo así 1121 01:28:03,890 --> 01:28:08,770 1 entre x raíz cuadrada de 1 menos logaritmo de x al cuadrado 1122 01:28:08,770 --> 01:28:19,859 Por último, aquí tendríamos el arcoseno de una función 1123 01:28:19,859 --> 01:28:23,439 cuya derivada es menos 1 entre 1 menos f cuadrado 1124 01:28:23,439 --> 01:28:26,159 raíz cuadrada por f prima 1125 01:28:26,159 --> 01:28:30,859 que también se puede poner como menos f entre raíz cuadrada de 1 menos f al cuadrado. 1126 01:28:32,000 --> 01:28:43,750 La derivada es, pues, menos derivada de f menos 3x al cuadrado entre raíz cuadrada de 1 menos x al cubo al cuadrado. 1127 01:28:44,189 --> 01:28:50,210 La única simplificación sería poner menos 3x al cuadrado entre raíz cuadrada de 1 menos x a la 6. 1128 01:28:51,329 --> 01:28:55,560 Bueno, pues hace tres ejemplos y ya está. 1129 01:28:55,560 --> 01:29:13,680 Por ejemplo, la derivada del arco tangente de x a la 5, del arc seno de x a la 8 menos 3 y del coseno de elevado a x, por ejemplo. 1130 01:29:20,409 --> 01:29:24,670 Para ir a grabación lo hacéis y corregimos. 1131 01:29:24,670 --> 01:29:40,869 Bien, corregimos. Aquí tenemos el arco tangente de una función cuya derivada es 1 partido por 1 más f cuadrado por f', es decir, f' partido por 1 más f cuadrado. 1132 01:29:40,869 --> 01:29:52,770 Es cuestión de ponerlo, sería f' que es 5x4 entre 1 más x5 al cuadrado 1133 01:29:52,770 --> 01:29:58,630 Ya con práctica, voy a poner directamente 5x4 entre 1 más x a la 10 1134 01:29:58,630 --> 01:30:09,880 En la otra, pues sería el arc seno de una función, tiene como derivada 1 entre la red cuadrada de 1 menos f cuadrado por f' 1135 01:30:09,880 --> 01:30:14,880 esto es f' entre 1 menos f al cuadrado raíz cuadrada. 1136 01:30:17,000 --> 01:30:34,699 Entonces su derivada sería f' que es 8x7 entre 1 menos raíz cuadrada de x a la 8 menos 3 al cuadrado. 1137 01:30:34,699 --> 01:30:36,359 se podría 1138 01:30:36,359 --> 01:30:39,960 simplificar 1139 01:30:39,960 --> 01:30:40,979 tampoco hace falta 1140 01:30:40,979 --> 01:30:43,119 si lo hacemos, pero tampoco 1141 01:30:43,119 --> 01:30:46,680 8x7 entre la raíz cuadrada 1142 01:30:46,680 --> 01:30:47,020 de 1143 01:30:47,020 --> 01:30:52,699 esto da 1144 01:30:52,699 --> 01:30:55,460 1 menos, ahora paréntesis 1145 01:30:55,460 --> 01:30:58,979 x a la 16 menos 6x8 1146 01:30:58,979 --> 01:31:01,319 más 9 1147 01:31:01,319 --> 01:31:06,390 que nos da 8x7 1148 01:31:06,390 --> 01:31:08,189 entre, bueno ya 1149 01:31:08,189 --> 01:31:09,470 calculando todo esto 1150 01:31:09,470 --> 01:31:13,590 menos x a la 16 más 6x a la 8 1151 01:31:13,590 --> 01:31:19,939 y luego sería menos 9 que más 1 es menos 8 1152 01:31:19,939 --> 01:31:27,550 Por último, pues esta función es un arco seno de x 1153 01:31:27,550 --> 01:31:32,569 cuya derivada es menos 1 entre raíz cuadrada de 1 menos f cuadrado por f prima 1154 01:31:32,569 --> 01:31:37,170 esto es menos f prima entre raíz cuadrada de 1 menos f cuadrado 1155 01:31:37,170 --> 01:31:42,449 La derivada es menos f prima que es menos elevado a x 1156 01:31:42,449 --> 01:31:44,890 entre la raíz cuadrada de 1 menos 1157 01:31:44,890 --> 01:31:47,909 f cuadrado que es elevado a x al cuadrado 1158 01:31:47,909 --> 01:31:50,710 la significación que se podría hacer es 1159 01:31:50,710 --> 01:31:54,069 menos elevado a x entre la raíz cuadrada de 1 menos 1160 01:31:54,069 --> 01:31:55,210 elevado a 2x 1161 01:31:55,210 --> 01:31:58,430 y ya está