1 00:00:02,540 --> 00:00:13,380 Bienvenidos al siguiente vídeo del bloque de geometría en el espacio. En esta ocasión vamos 2 00:00:13,380 --> 00:00:20,219 a estudiar las distintas formas que hay de escribir la ecuación de una recta. Antes de nada necesitamos 3 00:00:20,219 --> 00:00:25,480 recordar que las coordenadas de un punto P coinciden con las coordenadas del vector que 4 00:00:25,480 --> 00:00:33,789 tiene por extremo inicial el origen de coordenadas y por extremo final el punto P. Si lo que queremos 5 00:00:33,789 --> 00:00:39,729 es calcular las coordenadas del vector que une dos puntos arbitrarios del espacio A y B, no hay más 6 00:00:39,729 --> 00:00:47,030 que restar a las coordenadas del extremo final B las del inicial A. Fácil, ¿verdad? Bueno, pues ahora 7 00:00:47,030 --> 00:00:53,009 vamos a fijar una recta en el espacio tridimensional. ¿Qué datos son necesarios para determinarla del 8 00:00:53,009 --> 00:01:00,750 todo? Pues, por ejemplo, un punto llamado punto posición y un vector, el vector director. Si 9 00:01:00,750 --> 00:01:07,010 tomamos un punto arbitrario P de coordenadas X, Y, Z, las condiciones para que ese punto 10 00:01:07,010 --> 00:01:11,849 pertenezca a la recta nos determinarán las distintas ecuaciones de la misma. Por ejemplo, 11 00:01:12,430 --> 00:01:18,170 el punto P estará en la recta R si el vector AP, que une el punto posición de la recta 12 00:01:18,170 --> 00:01:24,549 con P, es proporcional al vector director de la recta U. Obtenemos así la llamada ecuación 13 00:01:24,549 --> 00:01:31,750 vectorial OP igual a OA más lambda por U. Veamos un ejemplo con datos concretos. A igual 14 00:01:31,750 --> 00:01:37,790 a menos 2, 6 menos 1 y U igual a 2, 1, 3. La ecuación vectorial se calcula de esa manera 15 00:01:37,790 --> 00:01:43,390 y determina en realidad una ecuación para la X, otra para la Y y otra para la Z. Escribiendo 16 00:01:43,390 --> 00:01:50,900 esto como un sistema de ecuaciones obtenemos las ecuaciones paramétricas. Las ecuaciones 17 00:01:50,900 --> 00:01:55,819 paramétricas son muy sencillas. Los coeficientes del parámetro lambda son las coordenadas 18 00:01:55,819 --> 00:02:02,719 del vector director y los términos independientes son las coordenadas del punto posición. A partir 19 00:02:02,719 --> 00:02:07,819 de las ecuaciones paramétricas, si despejamos lambda de una ecuación y la sustituimos en las 20 00:02:07,819 --> 00:02:15,310 otras dos, obtenemos la ecuación en forma continua. Siguiendo con el ejemplo anterior, 21 00:02:15,789 --> 00:02:21,129 vemos cómo las coordenadas del punto posición quedan en el numerador cambiadas de signo y las 22 00:02:21,129 --> 00:02:29,469 del vector director en el denominador. Si en lugar ahora de tener como datos un punto y un vector 23 00:02:29,469 --> 00:02:34,909 tenemos dos puntos, A y B, la cuestión es también sencilla. No hay más que calcular el vector 24 00:02:34,909 --> 00:02:40,150 director AB, restando las coordenadas de B menos las de A, y sustituir en la ecuación continua. 25 00:02:41,009 --> 00:02:47,110 Obtenemos así la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Y vamos por fin con el último tipo 26 00:02:47,110 --> 00:02:52,569 de ecuación de la recta. La ecuación en forma continua es en realidad dos ecuaciones. Lo mismo 27 00:02:52,569 --> 00:02:57,090 ocurre con su primera hermana, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Si simplificamos 28 00:02:57,090 --> 00:03:02,770 la primera de ellas, obtendríamos una ecuación del tipo ax más bi igual a c. Y si hacemos 29 00:03:02,770 --> 00:03:07,650 lo mismo con la segunda, la de la derecha, obtendremos una ecuación del mismo tipo en 30 00:03:07,650 --> 00:03:12,289 las variables y y z. Como vamos a ver en el próximo vídeo, una ecuación lineal con 31 00:03:12,289 --> 00:03:17,810 tres incógnitas representa un plano. Dos ecuaciones de ese tipo representan dos planos. Por tanto, 32 00:03:17,949 --> 00:03:22,669 estamos escribiendo la ecuación de la recta como la intersección de dos planos. Estas 33 00:03:22,669 --> 00:03:27,169 son las ecuaciones implícitas o cartesianas de la recta. Cualquier pareja de planos que 34 00:03:27,169 --> 00:03:32,889 se corten en nuestra recta nos valdrá para ello, claro. En resumen, hemos obtenido cinco 35 00:03:32,889 --> 00:03:37,229 formas de escribir la ecuación de la recta. Dos de ellas, vectorial y paramétrica, que 36 00:03:37,229 --> 00:03:42,009 dependen de un parámetro. Las otras tres, recta que pasa por dos puntos, ecuación continua 37 00:03:42,009 --> 00:03:47,530 y ecuaciones implícitas, se escriben sólo en función de las coordenadas x y z. Para 38 00:03:47,530 --> 00:03:53,110 pasar de las ecuaciones paramétricas a las implícitas no hay más que eliminar el parámetro 39 00:03:53,110 --> 00:03:59,250 lambda. Al revés, para obtener las paramétricas a partir de las ecuaciones implícitas basta con 40 00:03:59,250 --> 00:04:06,270 resolver el sistema. Fijaos que es un sistema compatible indeterminado cuya solución dependerá 41 00:04:06,270 --> 00:04:12,569 de un parámetro, el parámetro lambda. Geométricamente las ecuaciones que dependen de un parámetro 42 00:04:12,569 --> 00:04:16,529 representan a la recta como la trayectoria que describe un punto al 43 00:04:16,529 --> 00:04:21,009 variar dicho parámetro, mientras que las ecuaciones implícitas describen a la 44 00:04:21,009 --> 00:04:26,509 recta como intersección de dos planos. Esta misma filosofía en realidad se puede 45 00:04:26,509 --> 00:04:30,610 aplicar a cualquier curva en el espacio. Bien se puede representar como la 46 00:04:30,610 --> 00:04:35,350 intersección de dos superficies mediante sus ecuaciones implícitas o bien 47 00:04:35,350 --> 00:04:39,529 mediante unas ecuaciones paramétricas que describen la posición de un punto al 48 00:04:39,529 --> 00:04:44,689 moverse en el espacio en función de los valores del parámetro. Pero eso ya es adentrarse 49 00:04:44,689 --> 00:04:48,829 en el maravilloso mundo de la geometría de curvas y superficies, que será objeto de 50 00:04:48,829 --> 00:04:50,269 futuros vídeos. ¡Hasta la próxima!