1
00:00:02,540 --> 00:00:10,300
En este vídeo vamos a estudiar el producto mixto de vectores en el espacio.

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00:00:10,779 --> 00:00:15,699
El producto mixto de tres vectores u, v y w en el espacio se denota entre corchetes.

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00:00:16,280 --> 00:00:19,460
Y no va a ser en realidad un producto como tal, sino un triple producto.

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00:00:19,620 --> 00:00:23,899
Vamos a multiplicar escalarmente u por el producto vectorial de v por w.

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00:00:24,839 --> 00:00:32,380
Fijaos que v por w es un vector, un producto vectorial, y al multiplicar un vector por u escalarmente,

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00:00:32,539 --> 00:00:34,899
lo que obtenemos es un escalar, un número.

7
00:00:35,259 --> 00:00:37,880
Es decir, que el producto mixto de tres vectores va a ser un número.

8
00:00:38,740 --> 00:00:41,579
Vamos a calcularlo a partir de las coordenadas de los tres vectores.

9
00:00:42,039 --> 00:00:46,799
Imaginemos que tenemos u coordenadas a1, b1, c1, v coordenadas a2, b2, c2,

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00:00:47,200 --> 00:00:50,979
y w coordenadas a3, b3, c3, respecto de la base canónica.

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00:00:52,079 --> 00:00:55,899
Entonces, para calcular el producto mixto, lo primero que tenemos que hacer es calcular el producto vectorial

12
00:00:55,899 --> 00:01:02,159
y para ello recordar que se puede calcular como un determinante en el que la primera fila es i, j, k, la base canónica.

13
00:01:02,539 --> 00:01:06,280
Este determinante lo podemos desarrollar por la primera fila

14
00:01:06,280 --> 00:01:10,239
y obtendríamos la expresión vectorial del producto vectorial, Ss.

15
00:01:10,620 --> 00:01:13,579
Si ahora ese vector, que es el producto vectorial de v por w,

16
00:01:13,780 --> 00:01:16,640
lo multiplicamos escalarmente por u, ¿qué obtendremos?

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00:01:17,140 --> 00:01:18,140
Pues esa fórmula de ahí.

18
00:01:18,640 --> 00:01:23,200
Y esa fórmula de ahí es el desarrollo por los elementos de la primera fila de ese determinante.

19
00:01:23,200 --> 00:01:26,299
Y ese determinante no es más que coger los tres vectores,

20
00:01:26,500 --> 00:01:30,680
ponerlos por filas, formar una matriz 3x3 y calcular el determinante.

21
00:01:30,680 --> 00:01:37,500
Y así es como se calcula el producto mixto, el determinante de los tres vectores puestos por filas o por columnas, si queremos.

22
00:01:38,480 --> 00:01:43,019
Bueno, muy fácil, ¿veis? Vamos a ver un ejemplo para que veáis lo fácil que se aplica todo esto.

23
00:01:43,480 --> 00:01:49,780
Si suponemos el primer vector que es el 0, 1, 1, el segundo vector que es el 1, 1, 0 y el tercer vector el 2, 1, 1,

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00:01:50,060 --> 00:01:55,700
para calcular el producto mixto no habría más que ponerlos por filas o por columnas, ya digo, porque el determinante no cambia,

25
00:01:55,700 --> 00:01:59,459
y calcular ese determinante. Ahora, podemos aplicar

26
00:01:59,459 --> 00:02:03,719
Sarrus o fijarnos que podemos hacer ceros restando la segunda

27
00:02:03,719 --> 00:02:07,340
la tercera. Hemos hecho ahí ceros, con lo que en la primera fila

28
00:02:07,340 --> 00:02:11,219
si os dais cuenta hay 0, 0, 1. Es decir, que si desarrollamos por esa fila

29
00:02:11,219 --> 00:02:14,599
el determinante 3 por 3 se puede calcular como un determinante 2 por 2

30
00:02:14,599 --> 00:02:18,699
y ese determinante vale menos 2. Así que ese es el producto mixto de los tres vectores.

31
00:02:19,479 --> 00:02:23,259
Facilísimo. Bueno, como veis, el producto mixto se puede escribir

32
00:02:23,259 --> 00:02:27,800
como un determinante, pues a la hora de estudiar las propiedades de este producto mixto, pues

33
00:02:27,800 --> 00:02:34,379
valdrán las mismas propiedades que para los determinantes. Por ejemplo, si queremos calcular

34
00:02:34,379 --> 00:02:41,120
en vez de u por v por w, darle la vuelta y calcular v por u por w, pues el resultado

35
00:02:41,120 --> 00:02:45,860
tiene que ser el opuesto. ¿Por qué? Bueno, pues porque si cogemos un determinante e intercambiamos

36
00:02:45,860 --> 00:02:51,500
dos filas, el resultado cambia de signo. Luego esa propiedad se verifica y se va a verificar

37
00:02:51,500 --> 00:02:57,680
intercambiamos las dos filas que intercambiamos, así que permutando los vectores va a dar siempre

38
00:02:57,680 --> 00:03:05,159
cambiado de signo. Bien, ¿qué pasa si nosotros queremos calcular alfa por u, por v, por w? Es decir,

39
00:03:05,300 --> 00:03:09,479
introducimos un factor en uno de los tres vectores. Bueno, pues el producto mixto queda multiplicado

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00:03:09,479 --> 00:03:14,319
por ese factor alfa. ¿Por qué? Bueno, pues porque si en un determinante una fila está multiplicada

41
00:03:14,319 --> 00:03:20,219
por alfa, ese alfa lo podemos sacar factor y el resultado quedaría multiplicado todo el determinante

42
00:03:20,219 --> 00:03:26,780
por alfa. La tercera propiedad nos dice que si tres vectores el determinante da cero

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00:03:26,780 --> 00:03:31,639
es porque son linealmente dependientes. Pues efectivamente, entonces eso significará que

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00:03:31,639 --> 00:03:37,560
el producto mixto de tres vectores es cero si solo si son dependientes. Eso es exactamente

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00:03:37,560 --> 00:03:42,759
las propiedades de los determinantes. Y bueno, pues como cuarta propiedad podemos ver que

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00:03:42,759 --> 00:03:48,099
si uno de los tres vectores descompone como suma de dos, el producto mixto puede descomponer

47
00:03:48,099 --> 00:03:53,319
como suma de dos productos mixtos. Y de nuevo, eso es la descomposición de una línea de

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00:03:53,319 --> 00:03:58,139
un determinante en suma de dos. Bueno, de todas las propiedades, la más interesante

49
00:03:58,139 --> 00:04:06,199
es la interpretación geométrica, porque nos va a salir en numerosos problemas. Veremos

50
00:04:06,199 --> 00:04:10,020
que esta interpretación geométrica tiene que ver con el cálculo de volúmenes. Para

51
00:04:10,020 --> 00:04:14,740
ello, imaginemos que tenemos este producto mixto y que cogemos los tres vectores y los

52
00:04:14,740 --> 00:04:19,459
aplicamos sobre un mismo punto. Fijaos que entonces, a partir de estos tres vectores,

53
00:04:19,579 --> 00:04:24,819
si son linealmente independientes, podríamos formar un paralelepípedo, sin más que trasladar

54
00:04:24,819 --> 00:04:28,899
todos los vectores a todos los lados que faltan por construir del paralelepípedo, es decir,

55
00:04:28,980 --> 00:04:34,160
un prisma con caras paralelas 2 a 2. Bueno, si queremos calcular el volumen de este paralelepípedo,

56
00:04:34,360 --> 00:04:38,560
¿qué habría que hacer? Pues como todo paralelepípedo, su volumen será área de la base por

57
00:04:38,560 --> 00:04:46,319
altura. El área de la base, en nuestro caso, es el producto vectorial de v por w, porque v y w son

58
00:04:46,319 --> 00:04:50,519
los vectores que determinan la base y recordad la interpretación geométrica del producto vectorial

59
00:04:50,519 --> 00:04:56,819
de dos vectores. Ahora bien, ¿cómo calcular la h? Bueno, pues si os fijáis, por trigonometría, h puede

60
00:04:56,819 --> 00:05:01,500
descomponerse como producto del módulo de u por coseno del ángulo que forma u con el producto

61
00:05:01,500 --> 00:05:07,339
vectorial de v por w. ¿Por qué esto es así? Bueno, v por w, el producto vectorial, es el vector

62
00:05:07,339 --> 00:05:13,259
normal al plano, a la base. Entonces el vector normal a la base forma con u el ángulo precisamente

63
00:05:13,259 --> 00:05:19,920
que tenéis en la imagen, así que por trigonometría la longitud de u por el coseno del ángulo

64
00:05:19,920 --> 00:05:25,600
que forma sería la h. Es decir, ahora recordad la propiedad del producto escalar. El producto

65
00:05:25,600 --> 00:05:29,259
escalar de dos vectores se puede calcular como el producto de los módulos por el coseno

66
00:05:29,259 --> 00:05:34,100
del ángulo que forman. Es decir, que ese producto que tenéis ahí sería el producto

67
00:05:34,100 --> 00:05:39,779
escalar de u por producto vectorial v por w, es decir, el producto mixto. Hemos demostrado entonces

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00:05:39,779 --> 00:05:44,279
que el volumen del paralelepípedo va a ser en valor absoluto el producto mixto de los tres

69
00:05:44,279 --> 00:05:50,560
vectores. Ahora, si quisiésemos calcular el volumen de un tetraedro, pues la cosa sería ligeramente

70
00:05:50,560 --> 00:05:55,720
distinta. Para formar el volumen de un tetraedro simplemente cogemos los tres vectores, los

71
00:05:55,720 --> 00:06:01,060
aplicamos sobre un punto y ahora ¿cuál es el volumen del tetraedro? Bueno, pues es un tercio

72
00:06:01,060 --> 00:06:06,220
del área de la base por la altura, como sabemos. Y ahora, desarrollando la misma idea, el área

73
00:06:06,220 --> 00:06:10,079
de la base ahora es un triángulo en lugar de un paralogramo, es decir, que no va a ser

74
00:06:10,079 --> 00:06:13,600
el módulo del producto vectorial, sino la mitad del módulo del producto vectorial.

75
00:06:14,079 --> 00:06:21,060
Y ahora, el mismo argumento anterior nos permite deducir que todo eso es el producto mixto,

76
00:06:21,420 --> 00:06:25,180
así que el resultado va a ser un sexto del producto mixto en valor absoluto de los tres

77
00:06:25,180 --> 00:06:30,459
vectores, y ese sería el volumen del tetrahedro. Vamos a ver un ejemplo. En el ejemplo anterior,

78
00:06:30,459 --> 00:06:33,339
en el que habíamos ya calculado el producto mixto, que valía menos 2,

79
00:06:33,800 --> 00:06:36,459
el volumen del tetrahedro formado por esos tres vectores,

80
00:06:36,660 --> 00:06:39,899
¿cuál sería? Pues simplemente, si tuviésemos que calcularlo,

81
00:06:39,980 --> 00:06:42,579
un sexto por valor absoluto de menos 2, es decir,

82
00:06:42,980 --> 00:06:45,439
un tercio sería el volumen de ese tetrahedro.