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00:00:12,339 --> 00:00:18,339
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:18,339 --> 00:00:23,440
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:23,440 --> 00:00:32,780
de la unidad AL3 dedicada a los sistemas de ecuaciones lineales. En la videoclase de hoy

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00:00:32,780 --> 00:00:37,659
estudiaremos la resolución de sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss.

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00:00:47,850 --> 00:00:52,189
En esta videoclase vamos a volver sobre la resolución de sistemas de ecuaciones utilizando

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00:00:52,189 --> 00:00:56,229
el método de Gauss. Y digo volver porque el método de Gauss para resolver sistemas

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00:00:56,229 --> 00:01:00,549
de ecuaciones ya lo estudiamos el año pasado, en primero de bachillerato, en el bloque de

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00:01:00,549 --> 00:01:04,030
álgebra elemental dentro de la unidad de ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

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00:01:04,829 --> 00:01:09,810
Lo primero que necesitamos antes de poder definir el método de Gauss es hablar de la

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00:01:09,810 --> 00:01:14,430
equivalencia de sistemas. Como veis aquí, dos sistemas de ecuaciones son equivalentes

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00:01:14,430 --> 00:01:19,950
cuando tienen las mismas soluciones. Y se llaman transformaciones elementales a aquellas

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00:01:19,950 --> 00:01:25,349
que podemos hacer sobre distintos sistemas de ecuaciones manteniendo la equivalencia,

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00:01:25,510 --> 00:01:27,129
manteniendo cuáles son las soluciones.

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00:01:27,909 --> 00:01:31,670
Y estas son, como podéis ver, cambiar el orden de ecuaciones o de incógnitas,

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00:01:32,450 --> 00:01:35,049
multiplicar una ecuación por un número que sea distinto de cero,

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00:01:35,209 --> 00:01:38,730
si podemos multiplicar también podemos dividir por un número distinto de cero,

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00:01:39,549 --> 00:01:43,209
y sumar a una ecuación una combinación lineal de las restantes ecuaciones.

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00:01:43,670 --> 00:01:46,209
Y igual que podemos sumarla, podemos restarla.

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00:01:46,209 --> 00:02:01,349
Os recuerdo que una combinación lineal de las ecuaciones puede ser 2 veces la ecuación 3 menos la ecuación 1, o bien menos 2 veces la ecuación 2 más 4 veces la ecuación 3 menos 4 veces la ecuación 1.

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00:02:01,829 --> 00:02:06,769
Como veis, sumas o restas de números que multiplican a las distintas ecuaciones.

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00:02:07,750 --> 00:02:14,530
El método de Gauss lo que hace es partir de la matriz de coeficientes ampliada m estrella de un sistema

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00:02:14,530 --> 00:02:21,330
y sobre ella realizar distintas transformaciones elementales para obtener una matriz escalonada.

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00:02:21,729 --> 00:02:30,530
La razón es que en una matriz escalonada directamente podemos leer, o más adelante en la siguiente videoclase hablando de sistemas con parámetros,

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00:02:31,090 --> 00:02:36,530
podremos discutir de una forma muy sencilla cuáles son los rangos de la matriz de coeficientes

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00:02:36,530 --> 00:02:41,069
y la matriz de coeficientes ampliada, de tal forma que de una forma muy sencilla

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00:02:41,069 --> 00:02:46,930
podremos discutir la compatibilidad del sistema y podremos decidir si el sistema es compatible o incompatible

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00:02:46,930 --> 00:02:51,610
y en el primer caso incluso si es compatible determinado o compatible indeterminado.

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00:02:51,610 --> 00:02:57,550
Y asimismo, una vez que tenemos esa matriz escalonada, siempre y cuando sea equivalente, por supuesto,

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00:02:57,550 --> 00:03:04,150
podremos determinar de una forma muy sencilla sin ver que el sistema sea compatible la solución del

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00:03:04,150 --> 00:03:09,969
sistema si es compatible determinado o bien las infinitas soluciones si es compatible indeterminado

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00:03:09,969 --> 00:03:15,550
cuáles son esas transformaciones elementales que podemos hacer y que haremos sobre la matriz de

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00:03:15,550 --> 00:03:20,389
coeficientes ampliada para obtener esa matriz escalonada que va a ser el objeto el objetivo

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00:03:20,389 --> 00:03:25,389
del método de gauss pues bien podremos sin restricciones cambiar el orden de las filas

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00:03:26,389 --> 00:03:34,490
Podremos cambiar el orden de las columnas, pero cuidado, únicamente dentro de la submatriz M, dentro de la submatriz de coeficientes.

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00:03:34,490 --> 00:03:44,689
Os recuerdo que la última columna en la matriz ampliada va a ser siempre la columna de los términos independientes, y esa columna no puede cambiar de sitio.

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00:03:45,330 --> 00:03:51,669
Así pues, podemos cambiar el orden de columnas, pero nunca la última, únicamente dentro de la submatriz M.

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00:03:51,669 --> 00:03:56,990
Podremos multiplicar una fila por un número siempre que sea distinto de 0

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00:03:56,990 --> 00:04:00,629
Y como decía anteriormente, si podemos multiplicar también podemos dividir

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00:04:00,629 --> 00:04:08,090
Y podemos sustituir una fila por una combinación lineal que la incluya con coeficiente distinto de 0

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00:04:08,090 --> 00:04:14,969
Y haremos, por ejemplo, sustituciones de la fila 3 por la fila 3 menos la fila 2

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00:04:14,969 --> 00:04:16,910
Aquí estamos multiplicando la fila 3 por 1

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00:04:16,910 --> 00:04:21,930
y le estamos restando una combinación lineal que es sencillamente la fila 2.

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00:04:22,209 --> 00:04:28,230
O podremos sustituir la fila 3 por 4 veces la fila 3 más 2 veces la fila 1.

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00:04:28,769 --> 00:04:34,629
Y aquí estamos sustituyendo la fila 3 por la combinación lineal 4 veces esa misma fila.

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00:04:34,629 --> 00:04:39,110
Aquí tenemos el coeficiente distinto de 0 más 4 veces la primera, lo que corresponda.

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00:04:40,209 --> 00:04:46,490
Otras transformaciones que podemos hacer va a ser eliminar una fila que sea nula

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00:04:46,490 --> 00:04:50,910
o igual a otra o múltiplo de otra

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00:04:50,910 --> 00:04:54,149
o bien que se vea que es combinación lineal de otras.

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00:04:55,029 --> 00:04:58,670
Para más detalles os invito a que volváis a ver las videoclases

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00:04:58,670 --> 00:05:02,930
que he mencionado dentro de la unidad de ecuaciones

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00:05:02,930 --> 00:05:06,350
y sistemas de ecuaciones en el bloque de álgebra elemental, donde

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00:05:06,350 --> 00:05:10,810
definíamos con cuidado desde el principio en qué consiste

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00:05:10,810 --> 00:05:14,810
el método de Gauss, se veían cuáles eran esas transformaciones elementales que se

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00:05:14,810 --> 00:05:21,649
podrían realizar. Se veía con mucho detalle cuál es el algoritmo concreto que nos permite utilizar

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00:05:21,649 --> 00:05:26,509
el método de Gauss para transformar la matriz de coeficientes ampliada en esa matriz escalonada

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00:05:26,509 --> 00:05:33,569
utilizando los pivotes. Y veíamos distintos ejemplos de sistemas incompatibles y entonces

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00:05:33,569 --> 00:05:39,470
veíamos cómo el sistema de Gauss nos indicaba que el sistema no tiene solución. Sistemas compatibles

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00:05:39,470 --> 00:05:45,170
determinados y veíamos como el método de Gauss nos indicaba que había una única solución y sistemas

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00:05:45,170 --> 00:05:51,370
compatibles indeterminados y veíamos como el método de Gauss nos indicaba el espacio, el tamaño del

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00:05:51,370 --> 00:05:57,410
espacio de soluciones y nosotros elegíamos o podíamos elegir de una determinada manera cuáles

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00:05:57,410 --> 00:06:03,889
eran las incógnitas que no iban a estar determinadas y tomaban valores arbitrarios y cómo expresar el

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00:06:03,889 --> 00:06:10,129
resto de incógnitas en función de éstas. Con esto que hemos visto y con lo que vais a ver en las

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00:06:10,129 --> 00:06:18,170
videoclases a las que he hecho referencia ya se podrá resolver estos ejercicios en donde mediante

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00:06:18,170 --> 00:06:23,649
el método de Gauss se van a estudiar los sistemas de ecuaciones que ya se han estudiado en los

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00:06:23,649 --> 00:06:29,069
ejercicios anteriores, se va a discutir y resolver siempre que sea posible, puesto que si el sistema

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00:06:29,069 --> 00:06:34,430
es incompatible, no se puede resolver estos sistemas de ecuaciones y vamos a hacer hincapié

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00:06:34,430 --> 00:06:40,149
en los sistemas homogéneos. Aquí fijaos en que en estos dos ejemplos los términos independientes

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00:06:40,149 --> 00:06:47,310
son todos idénticamente nulos y vamos a discutir y resolver estos sistemas homogéneos. Esto lo

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00:06:47,310 --> 00:06:55,500
haremos en clase, lo haremos también en alguna videoclase posterior. En el aula virtual de la

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00:06:55,500 --> 00:07:01,939
asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información

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00:07:01,939 --> 00:07:07,180
en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes

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00:07:07,180 --> 00:07:11,740
a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto.