1
00:00:01,389 --> 00:00:08,589
bueno vamos a representar gráficamente la suma y resta de vectores y vamos a ver cómo hallar el

2
00:00:08,589 --> 00:00:15,750
módulo de esos vectores sumas o restas dependiendo del ángulo que forman esos vectores para empezar

3
00:00:15,750 --> 00:00:25,109
voy a crear un punto en el punto por ejemplo 53 me da igual aquí vemos que se ha creado un vector

4
00:00:25,109 --> 00:00:32,829
con centro perdona un punto en el 5 ahora lo que voy a definir es una circunferencia cuyo centro

5
00:00:32,829 --> 00:00:41,570
es ese punto y de radio le voy a poner un con qué objetivo pues que el módulo de todo de todo

6
00:00:41,570 --> 00:00:49,229
vector que empiecen a y tenga como fin cualquier punto de la circunferencia su módulo va a ser uno

7
00:00:49,229 --> 00:00:56,909
que es el radio, ¿vale? Ahora voy a hacer otra circunferencia, por ejemplo, también con centro A,

8
00:00:57,689 --> 00:01:07,069
pero el radio, perdona, vamos a hacer una circunferencia centro y el radio. Definimos el centro A y el radio,

9
00:01:07,189 --> 00:01:14,829
por ejemplo, 3, ¿de acuerdo? Con lo cual, igual, si yo tengo un vector cuyo origen es el punto A

10
00:01:14,829 --> 00:01:18,010
y cuyo extremo es cualquier punto de esta nueva circunferencia,

11
00:01:18,650 --> 00:01:21,629
pues todos esos vectores van a ser de módulo.

12
00:01:22,670 --> 00:01:32,609
Voy a crear un vector que va desde A, que es 5, 3, a, por ejemplo, el punto 6, 3.

13
00:01:33,129 --> 00:01:41,510
Vemos aquí, no sé si se ve bien, que el punto B está en el 6, 3

14
00:01:41,510 --> 00:01:43,370
y por tanto el vector, si lo veis aquí

15
00:01:43,370 --> 00:01:45,150
tiene coordenadas 1, 0

16
00:01:45,150 --> 00:01:47,349
empieza en

17
00:01:47,349 --> 00:01:49,689
5, 3, empezaba en 6, 3

18
00:01:49,689 --> 00:01:51,629
y tiene 11

19
00:01:51,629 --> 00:01:53,549
si yo este punto

20
00:01:53,549 --> 00:01:55,090
B, yo lo muevo

21
00:01:55,090 --> 00:01:56,230
podéis ver

22
00:01:56,230 --> 00:01:59,510
que evidentemente el punto difiere

23
00:01:59,510 --> 00:02:01,689
las coordenadas también

24
00:02:01,689 --> 00:02:03,469
aquí me voy a el punto

25
00:02:03,469 --> 00:02:05,189
menos 1, 0, aquí

26
00:02:05,189 --> 00:02:07,549
también menos 1

27
00:02:07,549 --> 00:02:09,569
es 0, estos son ya

28
00:02:09,569 --> 00:02:17,189
errores de compilación aquí 0 1 vale pero todos estos vectores todo este vector que une el punto

29
00:02:17,189 --> 00:02:23,129
a y el punto b es cualquiera de las circunferencias de radio 1 pues va a tener de módulo de módulo

30
00:02:25,830 --> 00:02:37,289
el b por ejemplo aquí en el 6 me viene ahora otro vector otro vector cuyo origen es el centro

31
00:02:37,289 --> 00:02:46,270
Y, por ejemplo, va aquí al punto 5, 6, con lo cual el vector es el 0, 3.

32
00:02:46,990 --> 00:02:50,030
El 0, 3, su módulo es 3.

33
00:02:50,270 --> 00:02:58,909
Si yo muevo este punto C, por ejemplo, aquí al punto 8, 3, pues el vector también es 3.

34
00:02:59,689 --> 00:03:02,050
Aquí sería 0, menos 3.

35
00:03:02,610 --> 00:03:05,030
Aquí 3, menos 0.

36
00:03:05,030 --> 00:03:20,069
aquí es justo 0,3, al final todas las coordenadas van cambiando, pero sin embargo, si nosotros hacemos Pitágoras, al final lo que tenemos es un vector de módulo, ¿vale?

37
00:03:20,069 --> 00:03:24,150
lo que a mí me interesa es

38
00:03:24,150 --> 00:03:28,289
representar, que vamos a verlo aquí gráficamente

39
00:03:28,289 --> 00:03:30,990
el vector uv

40
00:03:30,990 --> 00:03:35,310
u más v, ¿vale? se representa aquí

41
00:03:35,310 --> 00:03:40,169
de hecho, w, si yo muevo cualquiera de los dos puntos

42
00:03:40,169 --> 00:03:43,189
pues este vector, veis que va

43
00:03:43,189 --> 00:03:47,009
se va modificando, ¿de acuerdo? se va modificando

44
00:03:47,009 --> 00:03:58,349
Y, por supuesto, si yo modifico C, pues este vector, este vector que es suma, se va a cambiar, evidentemente modificando.

45
00:03:59,030 --> 00:04:03,509
La suma que es W la voy a poner en verde, ¿vale?

46
00:04:03,509 --> 00:04:10,550
La voy a poner en verde para que luego veáis ustedes qué es lo que yo quiero estudiar y explicaros, ¿de acuerdo?

47
00:04:10,550 --> 00:04:32,889
Aquí tengo la suma de u más v, es un vector que evidentemente si yo tengo alineado el b con el c, si yo lo tengo alineado pues el vector v va a medir 4, vemos aquí ahora están todos sobre la misma línea,

48
00:04:32,889 --> 00:04:53,389
Por lo tanto, el producto escalar del coseno de 0 es 1, el producto escalar es la multiplicación de esos módulos, pues tenemos uno que mide 3, el otro que mide 1 y el vector suma pues es 4, ¿vale?

49
00:04:53,389 --> 00:05:16,149
Yo, sin embargo, si ahora los hago 180 grados, como el producto escalar, el coseno de 180 es, lo diré, menos 1, pues entonces tenemos 1 menos 3, 1 menos 3 que es menos 1, ¿vale?

50
00:05:16,149 --> 00:05:26,649
Vemos aquí que W va cambiando, va desde menos 2, luego va creciendo un poquillo en módulo, un poquillo en módulo, hasta que llega a 4.

51
00:05:27,370 --> 00:05:36,730
Y luego vuelve a bajar, a bajar, a bajar, a bajar, a bajar, hasta que finalmente vuelve al menos 2, cuando se llevan 100.

52
00:05:36,730 --> 00:05:56,939
El objetivo, pues ahora yo me voy a crear el u menos v, el vector u menos v, que es este de aquí, que además lo voy a representar, a ver si yo lo cambio.

53
00:05:56,939 --> 00:05:58,839
vale

54
00:05:58,839 --> 00:06:01,360
le han llamado a

55
00:06:01,360 --> 00:06:04,370
u menos v

56
00:06:04,370 --> 00:06:06,069
lo voy a poner de color

57
00:06:06,069 --> 00:06:09,980
el positivo verde

58
00:06:09,980 --> 00:06:12,100
y el colorado

59
00:06:12,100 --> 00:06:16,259
si recordamos

60
00:06:16,259 --> 00:06:17,680
lo que era gráficamente

61
00:06:17,680 --> 00:06:20,180
nosotros cuando tenemos dos vectores

62
00:06:20,180 --> 00:06:22,060
aquí tenemos el vector a b y aquí el vector

63
00:06:22,060 --> 00:06:24,019
a c, le hacíamos

64
00:06:24,019 --> 00:06:26,480
un paralelogramo

65
00:06:26,480 --> 00:06:28,019
y si uníamos

66
00:06:28,019 --> 00:06:31,420
al final es una especie de cometa o de rumboide

67
00:06:31,420 --> 00:06:35,339
donde si unimos el origen común de los dos vectores

68
00:06:35,339 --> 00:06:38,360
con la otra diagonal le da la suma

69
00:06:38,360 --> 00:06:43,079
y si unimos la otra diagonal

70
00:06:43,079 --> 00:06:45,639
como aquí lo que nos interesa es el módulo

71
00:06:45,639 --> 00:06:47,860
pues es la diferencia.

72
00:06:48,339 --> 00:06:56,060
Aquí podemos observar que la suma es más pequeña que la vectoria.

73
00:06:56,060 --> 00:06:58,339
sin embargo pues llega un momento

74
00:06:58,339 --> 00:06:59,860
sobre todo cuando están alineados

75
00:06:59,860 --> 00:07:02,600
pues aquí que la suma vuelve a ser

76
00:07:02,600 --> 00:07:03,759
mayor que la recta

77
00:07:03,759 --> 00:07:05,939
en función del ángulo que van formando

78
00:07:05,939 --> 00:07:07,779
así, así, así, así

79
00:07:07,779 --> 00:07:10,019
y llega un momento, si os fijáis

80
00:07:10,019 --> 00:07:12,459
si os fijáis, cuando son

81
00:07:12,459 --> 00:07:14,839
perpendiculares, cuando son 90 grados

82
00:07:14,839 --> 00:07:16,519
los ángulos que

83
00:07:16,519 --> 00:07:17,740
forman, pues

84
00:07:17,740 --> 00:07:19,379
U más V

85
00:07:19,379 --> 00:07:21,120
y U menos V

86
00:07:21,120 --> 00:07:22,180
pues son

87
00:07:22,180 --> 00:07:25,180
ángulos como

88
00:07:25,180 --> 00:07:28,160
como los complejos, los conjugados, ¿no?

89
00:07:28,220 --> 00:07:32,860
Si os fijáis, sin embargo, el módulo es exactamente el mismo.

90
00:07:33,120 --> 00:07:37,959
Aquí cuando ya son 180, las restas miden más que la suma.

91
00:07:38,480 --> 00:07:41,920
Aquí cuando son perpendiculares, volvemos a ver que tienen el mismo módulo

92
00:07:41,920 --> 00:07:43,279
y que son los dos conjugados.

93
00:07:43,279 --> 00:07:50,459
Y aquí cuando están alineados, pues evidentemente la suma es mayor que...

94
00:07:50,459 --> 00:07:54,759
Y me interesa mucho que veáis gráficamente, pues eso, ¿no?

95
00:07:54,759 --> 00:08:10,540
El módulo de a más b o el módulo de a menos b es exactamente el mismo cuando son perpendiculares los vectores a y b, en este caso u y v.

96
00:08:10,800 --> 00:08:17,660
Cuando u y v son perpendiculares, el módulo de a más b y el módulo de a menos b es exactamente igual.

97
00:08:17,660 --> 00:08:26,420
Y aquí lo que hacemos precisamente es el módulo de 1 más el módulo de otro.

98
00:08:27,180 --> 00:08:30,199
Aquí lo que hacemos es pitágoras.

99
00:08:30,879 --> 00:08:38,620
Tenemos que el u es de módulo 1, el v es de módulo 3,

100
00:08:38,620 --> 00:08:50,519
Por lo tanto, el módulo de la suma o el módulo de la diferencia es la raíz cuadrada de 1 al cuadrado más 3 al cuadrado, que no es otra cosa que el módulo de 10.

101
00:08:50,519 --> 00:09:15,019
Nosotros aquí, si vemos precisamente la distancia o longitud, voy a quedar, me está boteando un poco, vamos a ver si hallamos distancia o longitud, vamos a ver desde aquí hasta aquí, me lo halla, y desde aquí hasta aquí, bueno.

102
00:09:15,019 --> 00:09:36,000
Voy a ver si me pone aquí, voy a poner valor absoluto de u más v, cierro valor absoluto y aquí vemos que es 3.17, si comparáis la raíz de 10 es 3.17.

103
00:09:36,000 --> 00:09:55,539
Y aquí si hago el módulo de u menos v y cierro el módulo, pues también cuando son perpendiculares exactos, pues es el mismo.

104
00:09:55,539 --> 00:09:58,559
pero para eso tiene que ser justamente

105
00:09:58,559 --> 00:10:00,399
perpéndico

106
00:10:00,399 --> 00:10:06,940
esto sea perpéndicular lo veis 3,16

107
00:10:06,940 --> 00:10:10,320
voy a hacerle un momentillo con la calculadora

108
00:10:10,320 --> 00:10:12,460
para comprobarlo, ahí ya sí que son

109
00:10:12,460 --> 00:10:14,720
perpendiculares, por lo tanto u más v

110
00:10:14,720 --> 00:10:18,539
el módulo es lo mismo que v más u, voy a hacer raíz de 10

111
00:10:18,539 --> 00:10:20,879
y efectivamente es 3,16

112
00:10:20,879 --> 00:10:24,299
entonces esto es

113
00:10:24,299 --> 00:10:28,539
muy importante y aquí lo vemos gráficamente. Como yo aquí, si voy

114
00:10:28,539 --> 00:10:32,620
moviendo esto, pues los módulos van cambiando.

115
00:10:32,740 --> 00:10:36,460
Vemos aquí que el módulo de la recta, cuando el ángulo

116
00:10:36,460 --> 00:10:39,340
es 180, es

117
00:10:39,340 --> 00:10:44,360
la suma 2 y lo tenéis que ver aquí. La suma

118
00:10:44,360 --> 00:10:48,360
es 2, la recta es 4 y ahora que son

119
00:10:48,360 --> 00:10:51,519
la misma línea, pues la suma vale 4

120
00:10:51,519 --> 00:10:58,240
y la resta vale 2, es decir, cuando el ángulo es 0, pues la suma es la suma de los dos,

121
00:10:58,720 --> 00:11:03,120
la resta es la resta de los dos módulos, en este caso recordamos que era 1 y 3.

122
00:11:03,700 --> 00:11:09,440
Aquí cuando son 180 grados, precisamente por el producto escalar que es menos 1,

123
00:11:09,440 --> 00:11:14,039
la suma vale 2 y sin embargo la resta, su módulo vale 4.

124
00:11:14,039 --> 00:11:21,039
cuando son 90 grados estrictos, aquí podéis ver que este es 3.16 y este es 3.16,

125
00:11:21,259 --> 00:11:25,659
es aplicar Pitágoras, módulo de uno al cuadrado más módulo de otro al cuadrado, su raíz cuadrada.

126
00:11:26,320 --> 00:11:33,320
Y aquí igual, aquí cuando hacen 90 grados, a ver si consigo ponerlo aquí en 90 grados,

127
00:11:33,320 --> 00:11:39,500
pues son dos vectores, si estábamos en complejo son los conjugados y el módulo

128
00:11:39,500 --> 00:11:45,320
pues es exactamente el 3,16 ¿no?

129
00:11:45,320 --> 00:11:46,960
¿Qué ocurre aquí?

130
00:11:47,120 --> 00:11:49,220
Que cuando hace 90 grados

131
00:11:49,220 --> 00:11:53,480
lo que forma la suma y la resta es un rombo

132
00:11:53,480 --> 00:11:55,320
un rombo, perfecto

133
00:11:55,320 --> 00:11:57,200
aquí no sé si os podéis imaginar

134
00:11:57,200 --> 00:12:02,639
cómo se forma ese rombo

135
00:12:02,639 --> 00:12:06,139
más v y v más u

136
00:12:06,139 --> 00:12:06,799
¿vale?

137
00:12:06,799 --> 00:12:15,840
Entonces, bueno, si tenéis alguna duda de esto, decídmelo, pero a mí lo que me interesa mucho es eso, ¿no?

138
00:12:15,840 --> 00:12:24,100
Que veáis cómo la suma o la recta de ángulos va variando en función de los ángulos que forman esos vectores, ¿no?

139
00:12:24,620 --> 00:12:34,419
Y por curiosidad, pues cuando los vectores forman 90 grados, pues el módulo de la suma de vectores es igual al módulo de la recta

140
00:12:34,419 --> 00:12:36,139
y ahí es aplicar Pitágoras

141
00:12:36,139 --> 00:12:42,580
y es pues eso, el módulo de uno al cuadrado más el módulo del otro al cuadrado

142
00:12:42,580 --> 00:12:46,340
la raíz de la raíz. Veis aquí que si aquí formamos el paralelogramo

143
00:12:46,340 --> 00:12:50,120
pues tanto el U más V como el V más U

144
00:12:50,120 --> 00:12:53,659
es decir, el U más V sería, imaginaros que aquí tengo el punto D

145
00:12:53,659 --> 00:12:57,980
voy a ver si puedo hacer el punto y lo llamo D

146
00:12:57,980 --> 00:13:02,120
sería aquí, pues esto formaría un paralelogramo

147
00:13:02,120 --> 00:13:04,080
logramos, ¿vale? A, B, C, D

148
00:13:04,080 --> 00:13:06,279
cuando se forman 90 grados y vemos

149
00:13:06,279 --> 00:13:08,559
que al ser un rectángulo

150
00:13:08,559 --> 00:13:10,120
pues las diagonales son

151
00:13:10,120 --> 00:13:12,240
exactamente iguales y una diagonal

152
00:13:12,240 --> 00:13:13,860
A, D es la suma

153
00:13:13,860 --> 00:13:15,580
y la otra diagonal

154
00:13:15,580 --> 00:13:18,279
B, C es la recta

155
00:13:18,279 --> 00:13:20,259
su módulo pues tiene que

156
00:13:20,259 --> 00:13:22,379
ser igual y aquí es aplicar

157
00:13:22,379 --> 00:13:24,080
Pitágoras, ¿no? Este mide

158
00:13:24,080 --> 00:13:25,139
uno al otro mide tres

159
00:13:25,139 --> 00:13:26,960
por lo cual

160
00:13:26,960 --> 00:13:30,279
en este caso sería raíz

161
00:13:30,279 --> 00:13:31,320
de raíz

162
00:13:31,320 --> 00:13:34,440
dicha. Cualquier duda, me decís.