1
00:00:01,520 --> 00:00:19,339
Problema número 57, página número 90. Problema número 57 me está diciendo que calcule la suma de los ángulos interiores de un pentágono, un heptágono y un decágono.

2
00:00:19,339 --> 00:00:29,940
Bueno, pues el único problema que tenemos aquí, el gran reto, está en dibujar cada una de las figuras.

3
00:00:29,940 --> 00:00:37,240
Yo voy a pasarme de grande y os sugiero que vosotros también lo hagáis y aquí me dibujo mi pentágono.

4
00:00:37,920 --> 00:00:41,939
Dibujar este pentágono no va a ser muy complicado, no es especialmente difícil.

5
00:00:42,520 --> 00:00:47,219
Hombre, es un poco cochinón lo que he hecho, pero bueno, es lo que hay.

6
00:00:47,219 --> 00:00:55,820
¿Vale? Bueno, pues entonces, lo que hemos hecho siempre, no os olvidéis, esto lo voy a hacer con el color rojo, este es mi pentágono.

7
00:01:01,100 --> 00:01:05,540
Tengo un lado, dos lados, tres lados, cuatro lados, cinco lados y tengo cinco vértices también.

8
00:01:05,760 --> 00:01:11,459
Bueno, pues lo que hago es que le digo un vértice, voy a coger el de arriba por comodidad y voy a dibujar triángulos.

9
00:01:11,920 --> 00:01:17,560
Muy bien. Este otro triángulo y ya lo tengo todo hecho.

10
00:01:17,560 --> 00:01:34,000
Vale, bueno, pues entonces ahora vamos a dibujar ángulos. Fíjate, este triángulo, este triángulo y este triángulo tienen estos tres ángulos azules que corresponden, que si sumados me dan todo este ángulo, ¿vale?

11
00:01:34,540 --> 00:01:50,879
Luego tengo este otro ángulo, que pertenece a este triángulo, que no hay ningún problema, este ángulo de aquí, y este ángulo de aquí, este ángulo y este ángulo, me dan este ángulo grande, este ángulo y este ángulo me dan este ángulo grande, y este ángulo me da este ángulo grande.

12
00:01:50,879 --> 00:02:16,729
Vale, entonces, triángulo 1, triángulo 2, triángulo 3. ¿Cuántos suman los ángulos del triángulo 1? Pues son 180 grados, ¿no? Y son este ángulo, este ángulo y este ángulo. Vale, ¿tengo todos? No, todavía no tengo todos los ángulos que necesito de mi pentágono.

13
00:02:16,729 --> 00:02:22,250
¿Cuáles son los del T2? Pues tengo este ángulo, este ángulo y este ángulo

14
00:02:22,250 --> 00:02:27,430
Fijaos, ya tengo cubierto hasta aquí de este ángulo, este ángulo completo, este ángulo completo

15
00:02:27,430 --> 00:02:33,270
Y hasta aquí de este ángulo, si sumo T2 y T1

16
00:02:33,270 --> 00:02:41,509
Y ahora voy a sumar los ángulos de T3, que son también 180 grados, eso sí que lo sabemos

17
00:02:41,509 --> 00:02:46,310
Si sumo también este ángulo, tengo este completo, este completo, este completo

18
00:02:46,310 --> 00:02:58,310
porque he sumado un cacho del 1, un cacho del 2, un cacho del 3, y estos dos completos. Por tanto, son 3 por 180 grados. 3 por 180 grados son 540 grados.

19
00:02:59,770 --> 00:03:17,020
Vale, pues ahora voy a dibujar un heptágono. Bueno, pues para pintar un heptágono lo que voy a hacer es trabajar poco. Voy a pintarme un pentágono, más o menos razonable, ¿vale?

20
00:03:17,020 --> 00:03:30,139
Y luego lo que voy a hacer es que recorto esquinas. Aquí tengo una esquina, aquí pondré, ya tengo donde tenía dos lados, ahora tengo uno, dos y tres y tendré que recortar otra esquina, pues voy a recortar esta esquina de aquí.

21
00:03:30,139 --> 00:03:48,580
Y el procedimiento va a ser exactamente el mismo que en el caso anterior. Voy cogiendo desde un vértice y voy sumando. Este de aquí, este de aquí. ¿Es una cochinada? Pues hombre, muy elegante, muy elegante no es.

22
00:03:49,360 --> 00:03:55,759
No es demasiado elegante, pero bueno, me deja de tener 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 lados.

23
00:03:56,120 --> 00:03:57,620
Bueno, pues ya tengo mis 7 lados.

24
00:03:58,180 --> 00:04:03,139
Y ahora escojo un vértice, por ejemplo, este vértice de aquí, y voy haciendo triángulos.

25
00:04:03,900 --> 00:04:12,419
Este triángulo de aquí, este triángulo de aquí, este triángulo de aquí, y me queda este triángulo de aquí.

26
00:04:12,419 --> 00:04:31,740
Este es el vértice 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6 y el 7. Y este sería el triángulo 1, el 2, el 3, el 4 y el 5. Tengo 5 triángulos y el razonamiento es el mismo.

27
00:04:31,740 --> 00:04:44,699
Como este ángulo lo habré completado, si sumo el 1, el 2, el 3, el 4 y el 5, si sumo el ángulo este de aquí, del 1, el 2, el 3, el 4 y el 5, este ángulo solo pertenece al 1 y este ángulo solo pertenece al 5.

28
00:04:44,699 --> 00:05:06,439
Y luego este ángulo es compartido entre el 1 y el 2, entre el 2 y el 3, entre el 3 y el 4, entre el 4 y el 5, entonces si sumo los ángulos de T1 son 180 grados, los ángulos de T2 son también 180 grados, de T3 son 180 grados también,

29
00:05:06,439 --> 00:05:15,800
De T4 y de T5, 180 grados. Aquí este es mi heptágono, perdonadme que no lo he escrito.

30
00:05:17,319 --> 00:05:29,500
Y ahora lo sumo, ¿y esto cuánto es? Son 5 por 180, es igual a 900 grados, que son los ángulos interiores de un heptágono.

31
00:05:29,500 --> 00:05:36,800
Tan fácil como recordar que si sumo este angulito del 1, este angulito del 2, este del 3, este del 4 y este del 5

32
00:05:36,800 --> 00:05:38,720
Ya tengo este ángulo de aquí

33
00:05:38,720 --> 00:05:43,339
Este ángulo y este ángulo pertenecen solo al 1 y al 5 respectivamente

34
00:05:43,339 --> 00:05:47,980
Y luego este, un trozo en el 4, un trozo en el 5 y así sucesivamente

35
00:05:47,980 --> 00:05:48,899
¿Vale?

36
00:05:49,339 --> 00:05:52,939
Entonces, recordad que para un pentágono me ha salido un 3

37
00:05:52,939 --> 00:05:54,740
3 por 180

38
00:05:54,740 --> 00:05:58,800
Para un heptágono me ha subido 5

39
00:05:59,800 --> 00:06:24,800
Entonces, ¿vamos a dibujar el pentágono? Pues no, no vamos a dibujar el pentágono, porque lo que nos damos cuenta es que si para 5 es 3 por 180 y para 7 son 5 por 180, está claro que para 10 son 2 menos 2 menos son 8 por 180 grados.

40
00:06:24,800 --> 00:06:44,560
grados, porque en este me quito un vértice y en este me quito otro vértice, ¿vale? Bueno, 8 por 180 son, 8 por 0 es 0, 8 por 8 son 64, 1440 grados para un decágono.

41
00:06:44,560 --> 00:07:07,579
Si quieres dibujártelo, dibújatelo y ya verás que fácil te sale, porque no es nada complicado. Bueno, pues voy con el 62. El 62 es un ejercicio que vamos a hacer directamente sobre el libro y vamos a utilizar el transportador para ello. Entonces, no vamos a complicarnos demasiado la vida. Bueno, vamos a verlo.

42
00:07:13,079 --> 00:07:21,600
Ejercicio número 62. Me dice, clasifica los siguientes triángulos atendiendo la amplitud de sus lados, de sus ángulos, perdón.

43
00:07:22,160 --> 00:07:31,759
Si lo que tenemos que hacer es estudiar esto, lo que tendremos que hacer es medir. Para esto tengo mi portaángulos.

44
00:07:32,259 --> 00:07:39,220
Claro, ¿qué ocurre? Pues que esto no es muy preciso sobre un libro y tal, pero bueno, tampoco me piden gran cosa.

45
00:07:39,220 --> 00:07:57,740
¿Qué tipos de ángulos hay con respecto a la amplitud de sus ángulos? Pues está el acutángulo, el que tiene todos sus ángulos agudos, el obtusángulo y el rectángulo. Este ángulo de aquí es rectángulo, es de 90 grados, por tanto este primer triángulo es rectángulo.

46
00:07:57,740 --> 00:08:15,399
Muy bien. Este triángulo de aquí tiene este ángulo que está por encima de 90 grados. Si te fijas aquí, vas a ver que está por encima de 190 grados, porque está este trocito de aquí, ¿vale? Pues entonces, este es un obtusángulo.

47
00:08:15,399 --> 00:08:39,000
¿Vale? Este de aquí, pues mirad, es muy sencillo. ¿Cuánto mide este ángulo? Pues este ángulo, si lo seguimos por aquí, que lo podemos seguir con una regla que podamos tener en casa, si me hago con una que tenga yo aquí en el chiscón mío, ¿vale?

48
00:08:39,000 --> 00:09:00,129
Fíjate, si yo sigo el lado, si sigo el lado me llega hasta 60. Uy, este 60, fíjate. ¿Y este cuánto mide? Pues desde aquí, si sigo, este también me mide 60.

49
00:09:00,129 --> 00:09:21,250
Y este otro ángulo que tengo aquí también me va a dar 60% por sumar todo, 180. Entonces va a ser un acutángulo. Muy bien. Y ahora aquí lo que tengo es un triángulo en el que tengo un ángulo recto y por tanto es un ángulo rectángulo.

50
00:09:21,250 --> 00:09:41,039
Bueno, pues entonces vamos a pasar todo esto a bonito, vamos a escribirlo. Evidentemente, lo que tendremos que hacer cuando resolvamos el ejercicio y me lo entreguéis, lo que tenéis que hacer es hacer un esquema de lo que hemos hecho.

51
00:09:41,039 --> 00:10:07,620
Entonces en el 60A recordad que teníamos un ángulo rectángulo aquí. Entonces este es un triángulo rectángulo. En el B lo que teníamos era un ángulo aquí que era un poco más grande todavía que el rectángulo. Este alfa es mayor que 90 grados y por tanto es un obtusángulo.

52
00:10:07,620 --> 00:10:28,580
En el C lo que teníamos era un triángulo con todos sus ángulos que eran menores de 90 grados, 60 grados, 60 grados y 60 grados, por tanto es acutángulo.

53
00:10:28,580 --> 00:10:47,279
Y en el último de todos teníamos, este era en el D, teníamos que este ángulo era rectángulo, un ángulo recto, entonces este triángulo es rectángulo.

54
00:10:47,279 --> 00:10:59,809
Muy bien, pues este es el ejercicio número 62. Y ahora vamos a coger el número 67 y vamos a empezar ya a hacernos unos teoremitas de Pitágoras.

55
00:11:00,370 --> 00:11:26,149
El teorema de Pitágoras, creo que no tengo que recordároslo, me dice que si este es un cateto, este es el otro cateto y este es mi hipotenusa, este es el cateto mayúscula y este es el cateto minúscula, el cateto pequeño más cateto grande elevado al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado.

56
00:11:26,149 --> 00:11:38,690
Y entonces vamos a resolver 67a. ¿Qué me dice mi figura? Que son todo triángulos rectángulos. Bueno, pues lo que se perezca a un ángulo recto lo voy a considerar como tal.

57
00:11:38,690 --> 00:11:45,750
Aquí me dice que esto es 1,8, este me dice que es 2,7 y este me dice que no sabemos cuál es.

58
00:11:46,289 --> 00:11:56,149
Bueno, pues entonces, fijaos, lo que tengo es que esta es mi hipotenusa, este es mi cateto supuestamente grande y aquí pone C.

59
00:11:56,649 --> 00:12:03,529
Bueno, pues entonces sabemos que la hipotenusa al cuadrado es igual al cateto supuestamente grande más el otro elevado al cuadrado.

60
00:12:03,529 --> 00:12:20,029
Entonces ponemos que 2,7 al cuadrado es igual a 1,8 al cuadrado menos c al cuadrado. ¿Veis? Ya lo he identificado todo. Entonces c al cuadrado es igual a 2,7 al cuadrado menos 1,8 al cuadrado.

61
00:12:20,029 --> 00:12:39,860
Por tanto, C, el cateto pequeño, es 2,7 al cuadrado menos 1,8 al cuadrado y le saco la raíz cuadrada. Bueno, pues vamos a ver qué tal me queda esto. 2,7 al cuadrado y lo sumo a la memoria.

62
00:12:39,860 --> 00:13:00,799
Y luego esto es 1.8 elevado al cuadrado, que son 3.24. ¿A este le puedo cambiar el signo aquí? No. Vale, pues menos 3.24. Menos 3.24 y hago la raíz cuadrada y me sale 2.012, pues vamos a ver si puede ser 2.

63
00:13:00,799 --> 00:13:18,860
4, perdón, 1.8 al cuadrado más 4 es igual a 7,24 entre 2.7, tiene que dar 2.7, sí, más o menos por el estilo.

64
00:13:18,860 --> 00:13:42,600
Entonces este me da igual a 4. Aproximadamente. No, esto está mal. 4 no me da 2. A ver, que me estoy equivocando yo. Vamos a repetirlo todo. 2.7 al cuadrado menos 1.8 por 1.8.

65
00:13:42,600 --> 00:14:21,879
No, esto no se puede hacer así con esta calculadora. Voy a hacerlo con la calculadora de verdad. A ver si me funciona. 2.7 elevado al cuadrado. 2.7 al cuadrado menos 1.8 al cuadrado. Y esto sale 4,05. Vale, pues raíz de 4,05. ¿Dónde está aquí esto? Es 2,01. Vale.

66
00:14:21,879 --> 00:14:57,960
2,01. Muy bien. Bueno, pues fijaos cómo nos ha engañado la figura, pero bueno, no he hecho más que copiar la figura.

67
00:14:58,220 --> 00:15:03,980
La verdad es que me da igual llamarlo C mayúscula, C minúscula, no hay ningún tipo de problema, esto se soluciona solo.

68
00:15:04,740 --> 00:15:18,830
Vale, el 67B me dan otro triángulo rectángulo. Tengo 3,2 aquí, me dan aquí 4,6 y me falta este que tengo aquí, que lo llaman B.

69
00:15:18,830 --> 00:15:26,690
Bueno, pues vamos a llamarlo b, que sería la hipotenusa al cuadrado es igual al cateto grande al cuadrado más el cateto pequeño al cuadrado.

70
00:15:26,990 --> 00:15:39,429
Vamos a suponer que este es el grande, por ejemplo, entonces tengo que 4,6 al cuadrado es igual a 3,2 al cuadrado más b al cuadrado.

71
00:15:39,429 --> 00:16:01,590
Entonces B al cuadrado es igual, todavía no pongo la raíz, es igual a 4,6 al cuadrado menos 3,2 al cuadrado. Aquí voy a quitar esto para que quede más bonito. Bueno, pues entonces ahora B es igual a la raíz de 4,6 al cuadrado menos 3,2 al cuadrado.

72
00:16:01,590 --> 00:16:22,820
Bueno, pues vamos a ver cuánto queda esto. Esto es la raíz cuadrada de 4.6 elevado al cuadrado menos 3.2 elevado al cuadrado. Es decir, me queda 3,3. Aquí son centímetros y aquí también son centímetros.

73
00:16:22,820 --> 00:16:36,720
Bueno, pues vamos a hacer el C y el D. Vamos a optimizar un poquito el espacio. Voy a hacer aquí el C y aquí el D. Y aquí voy a poner el D y que quede claro. Muy bien.

74
00:16:36,720 --> 00:16:55,149
Bueno, pues entonces aquí me están pidiendo esto de aquí. Esto sé que son los 90 grados. Me dicen que esto es x, me dicen que esto es y, me dicen que esto es 3 y que esto es 1 y que esto es 2.

75
00:16:55,149 --> 00:17:30,460
¿Vale? Bueno, pues aquí tengo dos triángulos, rectángulos, porque esto es una altura, y aquí tengo otro triángulo rectángulo, ¿vale? Entonces, si me voy al triángulo verdecito, la hipotenusa es 2, 2 al cuadrado es igual a 1 al cuadrado más x al cuadrado, ¿no?

76
00:17:30,460 --> 00:17:48,539
vale, pues entonces x me vale 2 al cuadrado menos 1 que es 3 y le saco la raíz, x es igual a raíz de 3, que esto es 1,71 lo que sea, vale, y ahora me voy al triángulo rojo

77
00:17:48,539 --> 00:17:57,920
Y en el triángulo rojo lo que tengo es que y al cuadrado es igual a 3 al cuadrado más x al cuadrado.

78
00:17:58,880 --> 00:18:00,539
Entonces, como...

79
00:18:01,339 --> 00:18:05,900
Espérate, aquí voy a poner que x al cuadrado es igual a 3 porque en realidad esto es lo que voy a poner aquí.

80
00:18:07,220 --> 00:18:09,619
Es 3 al cuadrado más x al cuadrado.

81
00:18:09,920 --> 00:18:17,059
Vale, pues entonces tengo que y al cuadrado es igual a 3 al cuadrado más x al cuadrado, que es 3.

82
00:18:17,059 --> 00:18:29,839
Es decir, que i al cuadrado es igual a la raíz de 12. ¿Tengo que calcularlo? Pues bueno, voy a ponerlo, porque ya sé que a vosotros os gustan los números. A mí no me importa dejarlo así como una raíz.

83
00:18:29,839 --> 00:18:43,859
Pero bueno, raíz de 12 es 3,46 centímetros y raíz de 3 es 1,73.

84
00:18:43,859 --> 00:18:56,339
Pues vamos a hacer el D. El D es también un triángulo compuesto de estos.

85
00:18:56,740 --> 00:19:05,119
Entonces aquí tengo una altura. La altura ya sé que es la que me forma el ángulo recto y por tanto tengo dos triángulos rectángulos.

86
00:19:05,700 --> 00:19:11,779
Esto es una aplicación de Pitágoras de forma sucesiva. Esto no es demasiado complicado, pero bueno, hay que saberlo.

87
00:19:11,779 --> 00:19:24,279
Vale, esto del lado de aquí lo voy a poner que mide 2 centímetros, este mide 3 centímetros, este mide x, este mide y y este mide 4 centímetros.

88
00:19:24,740 --> 00:19:34,940
Bueno, pues entonces en este triángulo aquí tengo que la hipotenusa al cuadrado, que es 3, es igual a 2 al cuadrado más x, es decir, al cuadrado.

89
00:19:34,940 --> 00:19:48,880
X al cuadrado es igual a 9 menos 4 que son 5. Es decir, X es igual a raíz de 5. Ya tengo X. Muy bien. Bueno, ¿y ahora cómo calculo el Y?

90
00:19:48,880 --> 00:20:01,099
¿Y? Pues Y, otro triángulo rectángulo que tengo aquí, es decir, la hipotenusa al cuadrado, que va a ser 4 al cuadrado, es igual a 2 al cuadrado más Y al cuadrado.

91
00:20:01,839 --> 00:20:10,720
Y al cuadrado es igual a 4 al cuadrado, que es 16, menos 4, que son 12, y es igual a raíz de 12.

92
00:20:11,240 --> 00:20:13,259
Y ahora hacemos las cuentas con la calculadora.

93
00:20:16,420 --> 00:20:17,339
¿Cuánto es raíz de 5?

94
00:20:17,339 --> 00:20:53,269
Pues raíz de 5 es, a ver, 5 raíz, 223. Y raíz de 12, ya lo hemos calculado de antes, es 3,46. Muy bien. Bueno, pues ya tenemos hechos los ejercicios hasta el 67 y ahora vamos a hacer el 68 muy rápidamente, en el siguiente vídeo.