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00:00:00,000 --> 00:00:13,000
Pues vamos a comenzar con el siguiente tema, el tema 5, que es el dedicado a la geometría plana y la vamos a tener dividida en varias sesiones

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00:00:13,000 --> 00:00:21,000
y hoy nos vamos a centrar con algunas definiciones básicas. Vamos a hablar de qué son los ángulos, cuáles son las figuras planas básicas,

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00:00:21,000 --> 00:00:30,000
algunos puntos más representativos y vamos a pasar al cálculo del área de figuras planas. Eso es lo que vamos a ver hoy.

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00:00:30,000 --> 00:00:39,000
¿Para qué? Para el próximo día dar el salto a dos teoremas que son muy importantes en geometría, que son el teorema de Pitágoras y el teorema de Tales.

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00:00:39,000 --> 00:00:48,000
Además, el teorema de Pitágoras nos va a ayudar a resolver muchos ejercicios de cálculo de áreas, incluso también de cálculo de volúmenes.

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00:00:48,000 --> 00:00:58,000
Para finalizar este bloque con los movimientos que se realizan en el plano, simetría, rotación, por ejemplo, eso os tiene que sonar.

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00:00:58,000 --> 00:01:09,000
Pero hoy nos centramos con este primer bloque, la introducción a la geometría plana. Y este enlace, la introducción a la geometría plana, es el que vamos a ver ahora en pantalla

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00:01:09,000 --> 00:01:16,000
y luego tenéis un cuestionario para poder hacer, que de hecho veremos alguna de las preguntas que os aparecen.

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00:01:16,000 --> 00:01:30,000
Así que nos vamos ya al contenido teórico. Primero es una pequeña introducción de un poquito de qué es lo que vamos a ver, pero sobre todo ya vamos al contenido.

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00:01:31,000 --> 00:01:41,000
Los ángulos. Definición de ángulo. Un ángulo es una región del plano que está comprendida entre dos semirrectas y que tienen un origen en común.

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00:01:41,000 --> 00:01:53,000
Si yo lo veo, las dos semirrectas nacen de un mismo punto, de un vértice. Y gráficamente, visualmente, el ángulo sería esta apertura que hay entre las dos semirrectas.

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00:01:53,000 --> 00:02:11,000
Que estén más abiertas o más cerradas, será que el ángulo sea mayor o que sea menor. A las dos semirrectas se le va a llamar la dor del ángulo y al punto de intersección de las dos semirrectas es el vértice del ángulo.

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00:02:11,000 --> 00:02:24,000
Por definición también. Hoy veremos muchas definiciones básicas. El punto es el elemento más sencillo que tenemos. Todos sabéis lo que es un punto.

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00:02:24,000 --> 00:02:33,000
Solemos representarlo, si ponemos letras al lado de un puntito, con letras en mayúsculas. A, B, C. Pero con letras mayúsculas se representa el punto.

15
00:02:33,000 --> 00:02:44,000
Y una recta va a estar definida por dos puntos. Yo, con dos puntos, si los uno con una regla, ya tengo una recta. Lógicamente, la recta se prolonga indefinidamente.

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00:02:44,000 --> 00:02:54,000
Si yo lo dibujo en un papel, tengo que cortar. El papel se termina. De manera imaginaria, digamos, que continúa en las dos direcciones.

17
00:02:54,000 --> 00:03:12,000
Y una recta está formada por infinitos puntos. Voy a parar, que creo que he simulado. Continuamos, que ha sonado la alarma aquí en el Centro de Humanidades.

18
00:03:12,000 --> 00:03:26,000
Si no recuerdo mal, estábamos con la definición de recta. Decíamos que una recta está definida por dos puntos. Pero que una recta está constituida por infinitos puntos.

19
00:03:26,000 --> 00:03:36,000
Y no tiene ni principio ni final. Se prolonga indefinidamente. En cambio, una semirrecta es una recta con principio pero sin final.

20
00:03:36,000 --> 00:03:50,000
Tengo un puntito que es de donde nace. Y ya, en uno de los dos sentidos, tiro esa recta de manera indefinida. Y el segmento es un trocito de la recta.

21
00:03:50,000 --> 00:03:59,000
Hay un principio, hay un final y los uno en línea recta. Unirlos en línea recta no quiere decir que sea una recta.

22
00:03:59,000 --> 00:04:12,000
Las rectas no tienen ni principio ni final. El segmento tiene principio pero no final. Y la semirrecta tiene principio pero no final. Y el segmento tiene principio y final.

23
00:04:12,000 --> 00:04:24,000
La posición relativa de dos rectas en el plano es como se encuentran. Si se cortan, se van a cortar en un único punto y se dice que esas dos rectas se llaman secantes.

24
00:04:24,000 --> 00:04:38,000
Si las dos rectas no se cortan nunca, es que esas dos rectas son paralelas. Y si las dos rectas están superpuestas, visualmente es la misma recta porque una está encima de la otra, se dice que esas dos rectas son coincidentes.

25
00:04:38,000 --> 00:04:51,000
Nos vamos a los ángulos. Hemos definido lo que era un ángulo pero hace falta medirlo. Existen distintas formas de medir o distintas unidades de medida.

26
00:04:51,000 --> 00:05:13,000
Nosotros estamos acostumbrados a medir en grados. Y decimos que un círculo tiene 360 grados. Un círculo sería un ángulo en el cual, fijaos, si yo empezaba aquí a abrir, la apertura esta de la semirrecta que llama A, es que la semirrecta A estuviera sobre la B.

27
00:05:13,000 --> 00:05:30,000
Es decir, que realmente tuviéramos un círculo. Ese círculo sería 360 grados. Existe otra medida que se llama radianes. Nosotros no la vamos a ver, pero simplemente que os suene que 360 grados es lo mismo que decir 2 pi radianes.

28
00:05:30,000 --> 00:05:59,000
2 pi radianes es un número que equivale a 3,14159. Tiene infinitas cifras decimales y lo veremos cuando lleguemos al círculo y a la circunferencia. Tenemos un utensilio que se llama el transportador de ángulos, que es este que veis aquí en la pantalla, que seguro que lo habéis manejado más de una vez, que me sirve para poder calcular si yo lo sitúo sobre el ángulo que tengo, puedo medir de qué ángulo se trata.

29
00:06:00,000 --> 00:06:20,000
A veces las unidades, pues digamos que hay un pico, o sea, no son exactas. Entonces, entre 5 grados y 6 grados, ¿puede haber un grado de intermedio? Sí. Igual que en las horas tenemos hora, minutos y segundos, pues en los grados vamos a tener también minutos y segundos.

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00:06:20,000 --> 00:06:35,000
Porque 60 unidades, 60 segundos, va a ser igual a un minuto, y 60 minutos va a ser igual a un grado, en vez de una hora. Para que entendáis más o menos que es muy parecido a si hablamos de horas, minutos y segundos.

31
00:06:35,000 --> 00:06:59,000
Entonces, un grado se va a dividir en 60 trocitos, y cada uno de esos trocitos se llama minutos. Y el tramo de un minuto se divide en 60 partes iguales, y cada una de esas se llama segundos. Por lo tanto, podemos encontrarnos ángulos expresados en lo que se llama forma compleja y forma incompleja, que es lo que viene aquí explicado.

32
00:07:00,000 --> 00:07:23,000
La forma compleja es cuando digo, por ejemplo, que un ángulo es el 2 grados, 35 minutos y 15 segundos. Pero yo puedo pasar todo a segundos, o todo a grados, todo a una misma unidad. Bueno, si yo tengo todo en una misma unidad, pues en este caso sería lo que se llama expresión incompleja.

33
00:07:24,000 --> 00:07:49,000
¿Cómo pasar de una a otra? Mentalmente, lo mejor es pensar en horas, minutos y segundos para tener, digamos, ese referente. Los grados, yo los quiero pasar, dicen, a segundos. Vale, tengo 25 grados. Pero 25 grados, un grado tiene 60 minutos. Pues si yo paso de grados a minutos, ¿qué tengo que hacer? Multiplicar por 60.

34
00:07:49,000 --> 00:08:04,000
Pero si luego voy a pasar de minutos a segundos, tengo que multiplicar otra vez por 60. Dos veces por 60. 60 por 60 es 3600, ¿vale? Que es lo que veis aquí en pantalla. 25 por 3600.

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00:08:05,000 --> 00:08:20,000
Tengo 34 minutos. Los minutos los paso a segundos. Es multiplicar por 60, pues 34 por 60. Y los segundos ya los tengo en segundos. ¿Y qué hago? Todos esos resultados, sumarlos. ¿Vale?

36
00:08:21,000 --> 00:08:36,000
Que resulta que yo quiero pasar a grados. Es como si quiero pasarlo a horas, pensar en horas. ¿Vale? Bueno, tengo 3 grados, 18 minutos y 45 segundos. Bueno, pues 3 grados se queda como 3 grados, porque quiero pasar a grados.

37
00:08:36,000 --> 00:08:57,000
Ahora tengo 18 minutos. Los 18 minutos los quiero pasar a una unidad que es mayor. Como es mayor, en vez de multiplicar voy a dividir. Y voy de 60 en 60. 18 entre 60 me da 0,3 grados. Como es menos de 60 minutos, tiene que ser menos de un grado. ¿Vale?

38
00:08:58,000 --> 00:09:17,000
45 segundos. Para pasarlo de segunda a minuto divido entre 60. Y pasar de minutos a grados divido otra vez entre 60. 60 por 60 son 3600. ¿Vale? Que viene aquí indicado. Puedo hacerlo de golpe o puedo hacerlo paso a paso. ¿Sí?

39
00:09:18,000 --> 00:09:34,000
Este es el paso de complejo a incomplejo. Luego tenemos como pasar de la expresión incompleja a la compleja. Es decir, yo tengo todo en una misma unidad. Tengo un montón de segundos. Dice 53.475 segundos.

40
00:09:34,000 --> 00:09:49,000
A lo mejor si pienso en grados no me hago a la idea. Es que incluso pensar en horas, minutos y segundos. A ti te dicen 53.000 segundos y no tenemos una idea de cuantos minutos o de cuantas horas son. ¿Vale? Pues aquí sucede lo mismo.

41
00:09:49,000 --> 00:10:08,000
Pues lo podemos pasar a grado, minutos y segundos. Y sabemos realmente de que ángulo estamos hablando. ¿Cómo se va a hacer eso? Segundos en la unidad más pequeña. Si yo voy a pasar a minutos, yo quiero ver cuantos minutos hay aquí, en este conjunto de 53.475 segundos.

42
00:10:08,000 --> 00:10:30,000
Voy a hacer grupos de 60 segundos porque cada grupito de 60 segundos es un minuto. Hacer grupos es dividir. Pues yo divido entre 60 y me queda un cociente de 891 y un resto de 15 segundos. Es decir, yo he conseguido hacer 891 grupos de 60 segundos.

43
00:10:30,000 --> 00:10:55,000
O lo que es lo mismo. Tengo 891 minutos. Pero me han quedado 15 segundos, este resto, que no he podido agruparlo. Bueno, pues ya tengo un resto, 15 segundos que no puedo agrupar. Lo dejo ahí marcado. Pero tengo 891 minutos. Eso es más de un grado. Un grado son 60. Pensad lo mismo con horas, minutos y segundos. Son muchos minutos.

44
00:10:56,000 --> 00:11:12,000
Oye, pues voy a ver cuantos grados hay. ¿Vale? ¿Qué hago? Divido, otra vez, entre 60. Hago grupos de 60. Divido entre 60 y me da 14 grados, 14 grupos de 60 minutos. Y me quedan 51 minutos que no he podido agrupar.

45
00:11:12,000 --> 00:11:32,000
Luego, en total, fijaros, con lo que está aquí marcado en rojo, ¿qué me queda? 14 grados, un resto de 51 minutos y un resto de 15 segundos que no he podido agrupar. ¿Vale? Luego esto se irá a pasar de complejo a incomplejo en los ángulos.

46
00:11:33,000 --> 00:12:00,000
Ahora vamos a ver cómo se clasifica. Y aquí hay nombres que nos tienen que sonar porque van a ir apareciendo progresivamente. El ángulo nulo es el que mide 0 grados. El ángulo agudo es el que mide entre 0 y 90 grados. Gráficamente, el de 90 grados es el que es perpendicular. ¿Vale? Pues un ángulo más chiquitito del de 90 grados, como este que tenéis en pantalla, es un ángulo agudo. ¿Vale?

47
00:12:01,000 --> 00:12:22,000
El ángulo recto es el que mide 90 grados. ¿El que es? A ver si me dejo aquí activar esto y lo vemos. Fijaros, 90 grados. Si lo voy haciendo más grande, 120, 125, 130, estos ángulos, ¿cómo se llaman?

48
00:12:23,000 --> 00:12:48,000
Ángulo, lo tenemos aquí. ¿Vale? El agudo es decir el de 90, el recto es el de 90 y el obtuso es el que va hasta los 180 grados. ¿Vale? Pero cuando llegamos al de 180 grados, que es como si los dos segmentos estuvieran alineados, como si tuviéramos una recta. ¿Vale?

49
00:12:48,000 --> 00:13:09,000
Eso es un ángulo que se llama ángulo llano. Y luego, si yo sigo haciendo más grande, más grande, más grande, hasta que se juntan, que yo veo ahí, ¿veis que esta es la circunferencia casi entera? Pues cuando llegan a juntarse son los 360 grados. Ese es el ángulo completo. ¿Vale?

50
00:13:10,000 --> 00:13:32,000
El agudo de 0 a 90 grados, el recto 90 grados, el obtuso de 90 a 180 y el llano 180. ¿Vale? Además, si un ángulo mide entre 0 y 180, se le llama ángulo convexo y si mide entre 180 y 360, es un ángulo concavo. ¿Vale?

51
00:13:32,000 --> 00:13:59,000
Puede encontrarme casos que me pueden ayudar a conocer cuanto mide un ángulo. Por ejemplo, si yo tengo dos rectas que se cortan, que son secantes, como esta de aquí. Tengo ángulos que son opuestos, los que están enfrentados. ¿Veis aquí el ángulo naranja y el verde? Estos dos ángulos son iguales. Igual que los que no se han dibujado, es el de la parte de arriba y el de la parte de abajo. ¿Vale? Medirían lo mismo, es el mismo.

52
00:13:59,000 --> 00:14:13,000
Porque están definidos por el mismo vértice y las mismas rectas. ¿Vale? Dos ángulos se dice que son consecutivos. ¿Vale? Cuando comparten el vértice y uno de sus lados.

53
00:14:14,000 --> 00:14:36,000
Se dice que son adyacentes. ¿Vale? Si, dentro de que sean consecutivos, tienen el vértice y uno de sus lados comunes. Y además, suman 180 grados. ¿Vale? Y eran dos términos que estos son los que más, al final más, van a aparecer en los ejercicios.

54
00:14:36,000 --> 00:15:01,000
Dos ángulos son complementarios si suman 90 grados. Y dos ángulos se dice que son suplementarios si suman 180 grados. Claro, en un ejercicio me puede decir que calculemos algún dato conociendo que un ángulo es agudo, que es complementario, o que son complementarios dos ángulos, que son suplementarios.

55
00:15:01,000 --> 00:15:17,000
Y esa terminología hace falta saber porque no es lo mismo pensar en 90 grados que en 180, por ejemplo. ¿Vale? Entonces, es terminología que hay que asentar. Aquí abajo, bueno, viene también un poquito gráficamente, pues un poco de arrasure.

56
00:15:17,000 --> 00:15:41,000
Lo siguiente es operaciones con los ángulos. Voy un poquito rápido porque al final todo esto se supone que son cosas que se deberían ya saber. Cuando vamos a hacer operaciones de suma o de resta de ángulos, o incluso multiplicación, división, es como cuando trabajamos con horas, minutos y segundos.

57
00:15:41,000 --> 00:15:59,000
Lo mismo, ¿vale? Porque al final, repito, un grado o una hora son 60 minutos y un minuto son 60 segundos. En la práctica es lo mismo, ¿vale? Si yo sumo ángulos, yo voy a colocar los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos, los segundos debajo de los segundos.

58
00:15:59,000 --> 00:16:22,000
Y yo voy a sumar a lo bestia. Bueno, voy a sumar, no que sea lo bestia, sino 50 más 33, 83. Pues 83 segundos. 43 y 29, 72 minutos. 12 y 32, 44 grados. He sumado. Lo único que yo luego quiero, no pasarme nunca de 60. Es decir, si yo me he pasado de 60, tendré que hacer grupitos de 60.

59
00:16:23,000 --> 00:16:48,000
Muchas veces se ve visualmente, no hace falta ni siquiera hacer la división. El 83, ¿me he pasado con 83 segundos? ¿Me he pasado de 60? Sí. Y yo digo, oye, ¿de 60 cuánto me he pasado? Pues, 83 menos 60 me he pasado 23. O sea, ¿cuántos minutos he conseguido ahí? Uno. Porque solo es 60. Pues digo, tengo un minuto y 23 segundos. ¿Qué haría en este caso?

60
00:16:48,000 --> 00:17:10,000
Mira, aquí viene expresado. 83 es 60 más 23. Luego, como he sacado un minuto, como tenía 72 minutos, ahora voy a tener uno más. 73. 72 más 1, que arrastro de los segundos, 73. Y me quedan 23 segundos. He ajustado los segundos. Ahora voy a ajustar los minutos. Tengo 73, me he pasado igualmente.

61
00:17:10,000 --> 00:17:29,000
¿73 es 60 más 13? Sí. 60 minutos es 1 grado, la siguiente unidad superior. Pues hablamos de 1 grado y 13 minutos. Pues el grado tendré que sumarlo. Tiene 44 más 1, 45. Y me quedan 13 minutos y los 23 segundos que venía arrastrado.

62
00:17:29,000 --> 00:17:56,000
Si en una suma de ésta, pues en vez de 83 me sale 138, puedo pensar que, bueno, 60, 60, 120. Ya, mira, pues son 2 minutos. Y de 120 a 138 me quedan 18. O divido entre 60. Divido entre 60, el cociente es cuánto grupito de 60 hago y el resto es lo que me queda. ¿Vale?

63
00:17:57,000 --> 00:18:17,000
Con la resta de ángulos, pues depende cómo me den los números. Yo coloco grados minutos segundos y si yo voy a restar, yo puedo restar cuando el, digamos, el número que está arriba, ¿vale? En mi momento es más grande que el que está debajo. Me sustraen en cada una de las unidades.

64
00:18:18,000 --> 00:18:38,000
En segundos, si yo voy a restar 50 menos 33, puedo. El de arriba es más grande. 50 menos 33 es 17. No habría ningún problema. Pero ¿qué pasaría con los minutos? Que a 23 tengo que restarle 29. En estos casos, lo que tengo que hacer es conseguir un número más grande.

65
00:18:39,000 --> 00:19:04,000
¿Cómo lo consigo? Cogiendo de la unidad siguiente superior, le quito una unidad y me la traigo para la que es inferior. Claro, tengo que coger un grado, le doy 74 grados, me van a quedar 73 porque cojo uno. Y ese grado lo paso a minutos. Un grado son 60 minutos y 60 más 23 es 83. Esto está mal, ¿vale?

66
00:19:05,000 --> 00:19:23,000
Si os fijáis. O bien esto sería 3 en vez de 23, para que me de 63. O si yo parto de 23, 23 y 60 es 83, ¿vale? Esto está con un error. Pero se entiende la idea, ¿sí? Y luego los grados son más grandes. Luego ya cojo a continuación el resto, ¿vale?

67
00:19:23,000 --> 00:19:45,000
Aquí está hecho con este 63 que debería ser 83 y me cambiaría el resultado. Multiplicar un ángulo por un número natural. En este caso, 14 grados, 23 minutos y 50 segundos. Y que lo multipliquemos por 4. Por ejemplo, resulta que es que una persona se... bueno.

68
00:19:45,000 --> 00:20:01,000
Da igual, no es complicado. Tengo 4 ángulos iguales, ¿vale? Estaba pensando en tiempo, ¿vale? En ejercicio de tiempo. Tengo 4 ángulos iguales, pues yo quiero saber en total cuánto mide. Pues como son iguales, en vez de sumarlo 4 veces, multiplico por 4, ¿vale?

69
00:20:01,000 --> 00:20:25,000
Multiplico los segundos por 4, los minutos por 4 y los grados por 4, por separado. Pero ¿qué sucede? Que segundos y minutos me paso. Pues hago un grupito y digo, oye, 200 segundos ¿a qué equivalen? Pues 200 segundos es 60, 120, 180. 3 minutos y me sobran 20 segundos. Mira, 3 minutos y 20 segundos.

70
00:20:25,000 --> 00:20:39,000
¿Lo 92? Pues 92 es 60 más 32. Pues igual, 60 es 1 grado y me quedaría 32. Bueno, aquí viene todo y luego al final sumarlo, ¿vale?

71
00:20:39,000 --> 00:21:05,000
Dividir. Voy a dividir 16 grados, 22 minutos, 51 segundos entre 3 porque tengo un ángulo que lo quiero dividir en 3 ángulos iguales. ¿Cuánto tiene que medir cada uno de ellos? Pues comienzo desde los grados y digo, divido 16 entre 3, me da 5. 5 por 3, 15, 16, 1. Vale, ya sé que mide 5 grados, pero hay un grado que no he podido repartirlo. Como grado me queda el resto.

72
00:21:05,000 --> 00:21:30,000
Como yo tengo que seguir dividiendo este grado, lo pasaré a la siguiente unidad. Digo, yo tengo que seguir repartiéndolo, tengo que seguir dividiéndolo. Pues un grado son 60 minutos, lo sumo con los 29 minutos que ya tenía, son 82 minutos. Y ahora divido 82 entre 3. Bueno, me da 27 y me queda un resto de 1. Pues este minuto que me queda, ¿qué debo hacer? Pasarlo a segundos.

73
00:21:30,000 --> 00:21:51,000
¿Cómo? Multiplicando por 60. 51 más 60 es 111. Pues divido 111 segundos entre 3. En este caso me da 37 segundos y el resto, 0. No, el resto podría dar en este caso 0, 1 o 2 al dividir entre 3. Vale, en este caso yo podría ir a unidades todavía más pequeñas.

74
00:21:51,000 --> 00:22:20,000
Si se le da algo en los ejercicios intentaremos que le de 0 al resto o bajaríamos ahí. No vamos a unidades más pequeñas. Vale. Bien. Ahora con los ángulos vamos a ver algunas propiedades en los que son los polígonos. Vale, los polígonos al final es una región del plano que está cerrada. Vale, si yo empiezo a unir segmentos, esa región está cerrada. Vale.

75
00:22:21,000 --> 00:22:39,000
En un ángulo, esto es importante esta propiedad, los tres ángulos interiores suman 180 grados. Siempre. Vale. Luego si yo conozco dos ángulos puedo calcular el tercero. En un cuadrilátero, pues un cuadrado, un rectángulo, un rombo es 360 grados.

76
00:22:39,000 --> 00:22:59,000
Pero si yo me voy a cualquier otro polígono, vale, existe una fórmula, vale, que es esta. En un polígono de n lados la suma de todos los ángulos interiores es 180 por el número de lados menor 2.

77
00:22:59,000 --> 00:23:19,000
Si yo tomo un polígono que tiene 10 lados, pues yo digo 10-2, 8. 8 por 180. Y me dice cuántos son todos los ángulos interiores. Si yo conociera todos los ángulos menos uno, pues, oye, ¿cuánto me falta la diferencia hasta este 180 por n-2?

78
00:23:19,000 --> 00:23:42,000
Bueno, aquí habla más en los ángulos interiores de polígonos regulares porque todos los ángulos son iguales. Bueno, pues la suma de todos los ángulos dividido entre el número de lados. Si yo tengo 10 lados, yo digo 10-2, 8. 8 por 180. Esa es la suma de todos.

79
00:23:43,000 --> 00:23:57,000
Pero como todos los ángulos son iguales, ¿cuánto mide cada ángulo? Pues tengo que dividir entre 10. Si fueran 12 lados, en un polígono regular, en polígonos regulares, todos los ángulos son iguales. Todos los lados son iguales.

80
00:23:57,000 --> 00:24:24,000
Bueno, aquí nos habla un poquito de los ángulos exteriores, pero al final lo importante es que los ángulos exteriores de cualquier polígono, la suma de todos ellos al final, ¿qué va a sumar? 160 grados. Porque al final se basa, digamos, en el concepto de la circunferencia. Si el interior mide 180, los exteriores al final van a medir otros 180.

81
00:24:25,000 --> 00:24:40,000
Bueno, aquí viene una actividad para hacer. Más definiciones. Estas las paso rápidas porque, en fin, no las preguntaré en el examen, ¿vale? Pero bueno, esta la habéis visto tranquilamente luego en casa de una circunferencia, ¿vale?

82
00:24:40,000 --> 00:25:03,000
Donde tenemos aquí el punto que sería el centro de la circunferencia. Pues ángulos interiores, que son aquellos cuyo vértice del ángulo está dentro de la circunferencia, ¿vale? Y el ángulo central, o sea, un caso particular es cuando este vértice coincide con el centro de la circunferencia, ¿vale?

83
00:25:04,000 --> 00:25:17,000
En este caso, este ángulo es el ángulo interior central. Que este sí tiene, pues, algunas propiedades. En matemáticas son un poquito más avanzadas. Luego puede ser que el vértice caiga sobre un punto de la circunferencia.

84
00:25:17,000 --> 00:25:30,000
Se da el caso de que los dos lados, o las dos similitudes, pasan por dentro de la circunferencia y, por lo tanto, tiene que cortar la circunferencia en dos puntos. En este caso hablamos de un ángulo inscrito.

85
00:25:31,000 --> 00:25:52,000
Si resulta que los dos lados del ángulo, uno de ellos sí pasa por dentro de la circunferencia, pero el otro es tangente, ¿vale? Tangente es que, lógicamente, nace de ese vértice, ¿vale? Pero si yo lo prolongo no llega a entrar ni en un sentido ni en otro. No entra dentro de la circunferencia y eso es tangente, ¿vale?

86
00:25:52,000 --> 00:26:17,000
Ese es el ángulo semi-inscrito, ¿vale? Luego aquí tenemos un poco casos más particulares y, bueno, un pequeño esquema. En este caso voy a pasar a los polígonos que aquí ya tenemos más chicha pensando en el contenido de este bloque, ¿vale?

87
00:26:18,000 --> 00:26:32,000
Un polígono, como decía antes, es la región del plano delimitada por una poligonal cerrada y una poligonal es una línea formada por la unión de varios segmentos. En este caso yo tengo varios segmentos, ¿vale? Pero va a estar cerrado.

88
00:26:32,000 --> 00:26:53,000
Yo comienzo con uno de los vértices, empiezo a recorrer la figura y al final vuelvo al punto inicial. Esta que está de color azul es una poligonal cerrada, lo que sería un polígono, ¿vale? La que está de color rojo no, porque yo empiezo esos segmentos, parece que van todos consecutivos, pero no llego al punto de partida.

89
00:26:53,000 --> 00:27:22,000
No cierro ninguna región, ¿vale? Al final, los lugares importantes que son los lados, que son los segmentos que van a delimitar nuestra figura, los vértices, que son los puntos donde confluyen los lados, las diagonales, que van a ser los segmentos que ponen vértices que no son consecutivos,

90
00:27:23,000 --> 00:27:34,000
luego están los ángulos interiores, que son los ángulos formados por dos lados, y los ángulos exteriores, que son los que se forman por un lado y la prolongación del siguiente.

91
00:27:35,000 --> 00:27:40,000
Esta que veis aquí de color azul en la figura, coges un lado y la prolongación del siguiente.

92
00:27:41,000 --> 00:28:02,000
En un polígono, aquí tenemos el caso de un hexágono, tenemos el vértice, tenemos los lados. La diagonal mayor es la que va de un vértice a otro, ¿vale? Pero es de todas las diagonales que hay, la que pasa por aquí, la que pasa por el centro, ¿vale?

93
00:28:03,000 --> 00:28:13,000
Hay otras diagonales que si yo uno o dos vértices que no son consecutivos, como esta que hice menor, une dos vértices no consecutivos, pero no pasa por el centro, ¿vale?

94
00:28:14,000 --> 00:28:31,000
Y el apotema, que en algunos ejercicios, y además usando pitágoras, que dan ejercicios chulos, ¿el apotema qué es? Es el segmento que une el centro de un polígono con la mitad, el punto que es la mitad de uno de los segmentos, ¿vale?

95
00:28:32,000 --> 00:28:48,000
Esto en los polígonos regulares es bastante importante para el cálculo de áreas, ¿vale? Aquí está dibujado hacia arriba, muchas veces en los ejercicios lo vamos a dibujar hacia abajo, ¿vale? Desde el vértice a la mitad del lado. Ese es el apotema.

96
00:28:48,000 --> 00:29:08,000
Bueno, los polígonos se van a clasificar en convexos o en cóncavos, dependiendo de si todos sus ángulos interiores son menores de 180 grados, que sería convexo, o mayores de 180 grados, en cuyo caso los llamamos cóncavos, ¿vale?

97
00:29:09,000 --> 00:29:35,000
Además, los polígonos, y esto ya nos va a sonar más sobre todo para los triángulos, ¿vale? Se va a decir que es equiángulo cuando tiene todos sus ángulos iguales. Equilátero, todos sus lados iguales. Lo de equilátero nos tiene que sonar ya por los triángulos, ¿vale? Regular, cuando todos sus lados y ángulos son iguales, e irregular, cuando los lados y los ángulos son desiguales.

98
00:29:35,000 --> 00:29:54,000
Luego, aquí tenéis el nombre que reciben los polígonos, ¿vale? Según el número de lados que tienen. Triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, octágono, pero claro, ya también los que tienen 15, 16, 17 lados, ya el prefijo es más complejo.

99
00:29:54,000 --> 00:30:20,000
Aquí tenéis, bueno, algunos prefijos, ¿vale?, para las unidades que a veces aparecen en ejercicios o en teoría, ¿vale? Triángulos. De todos los polígonos que existe es, digamos, el que tiene menos lados, porque para tener una región cerrada necesito al menos tres lados, ¿vale? Con dos lados no consigo cerrarlos porque son líneas rectas, ¿vale?

100
00:30:20,000 --> 00:30:44,000
Antes hemos dicho que los ángulos interiores de un triángulo medían 180 grados, ¿vale? Y si yo sumo dos lados siempre me va a dar más que el tercer lado. Yo no puedo tener, si yo tengo tres lados, cojo dos de ellos cualquiera, la suma va a ser mayor que el tercer, ¿vale?

101
00:30:44,000 --> 00:30:54,000
Y también dice la diferencia de dos lados es siempre más pequeña que el tercer lado. De estas propiedades. La importante suma de los ángulos, 180 grados, ¿vale?

102
00:30:54,000 --> 00:31:18,000
Clasificación de los triángulos según sus lados y luego lo vemos según sus ángulos, ¿vale? Y esto es importante porque en los ejercicios puede aparecernos de, sea un triángulo equilátero, sea un triángulo isósceles, ¿qué es? Triángulo equilátero tiene los tres lados iguales y por lo tanto los tres ángulos son iguales.

103
00:31:18,000 --> 00:31:36,000
Si los tres ángulos son iguales y la suma de los ángulos interiores mide 180, ¿cuánto mide cada ángulo? 60. 180 entre 3. Triángulo isósceles, ¿qué tiene? Dos lados iguales y el tercer lado pues es diferente, es desigual.

104
00:31:36,000 --> 00:32:00,000
Eso supone que voy a tener dos lados, perdón, dos ángulos que van a ser iguales que ¿dónde van a estar situados? Sobre el lado desigual. En esta figura, en el isósceles, el lado desigual es el de abajo, ¿no? Por los ángulos que son iguales y están en B y en C, ¿vale? Y luego el escaleno donde los tres lados son diferentes.

105
00:32:00,000 --> 00:32:26,000
Equilátero e isósceles pues son los que suelen aparecer en los ejercicios, ¿vale? También se clasifican según sus ángulos. Si los tres ángulos interiores, los tres ángulos de dentro tienen menos de 90 grados, es decir, son ángulos agudos, el triángulo se llama acutángulo, ¿vale? Es esta figurita aquí.

106
00:32:26,000 --> 00:32:45,000
Si uno de los tres ángulos es 90 grados, porque no pueden ser más, en total suma a 180, no puedo tener dos ángulos rectos de 90 y 90 a 180, el tercer tendría que ser cero, ¿vale? Como mucho puedo tener un ángulo de 90 grados. En este caso se llama un ángulo, pero un triángulo rectángulo.

107
00:32:45,000 --> 00:33:04,000
Y si uno de los ángulos mide más de 90 grados, como está figurada aquí, el ángulo se va a llamar octusángulo. Solo puedo tener un ángulo octusángulo porque entre los tres tiene que sumar 180, ¿vale? Gráficamente se ve muy bien cuando está esa apertura que pasa de 90, ¿vale?

108
00:33:05,000 --> 00:33:26,000
Luego, pues, tenemos unos criterios de igualdad de triángulos, unas características que me permiten saber si dos triángulos, pues en este caso hablamos del mismo triángulo, ¿vale? Por ejemplo, si dos triángulos tienen los tres lados iguales, que miden lo mismo, pues entonces hablamos del mismo triángulo.

109
00:33:27,000 --> 00:33:39,000
Si un triángulo mide 10, 8 y 6 centímetros respectivamente, y otro triángulo mide 10, 8 y 6, da igual como esté dibujado la forma, como esté girado, es el mismo triángulo, ¿vale?

110
00:33:39,000 --> 00:34:01,000
Si dos triángulos tienen dos lados iguales, miden lo mismo, y el ángulo que forman esos dos lados es el mismo, estamos hablando también del mismo triángulo, ¿vale? Y si dos triángulos tienen iguales un lado y los dos lados que son contiguos, los que están al lado, también hablamos del mismo triángulo, son iguales, ¿vale?

111
00:34:01,000 --> 00:34:17,000
Bueno, luego aquí sale un poquito de cómo dibujar con regla y compás triángulos, esto no lo vamos a ver, pero sí vamos a ir a ver los lugares geométricos que hay en los triángulos, ¿vale?

112
00:34:17,000 --> 00:34:37,000
Los lugares geométricos son lugares que cumplen, o puntos concretos, que suelen cumplir una propiedad, ¿vale? Lugar geométrico suele ser un punto del plano que equidista de un lugar, equidista quiere decir que está en la misma distancia, por ejemplo, de tres puntos, ¿vale?

113
00:34:37,000 --> 00:34:59,000
Mirad, una mediatriz, me dice, la mediatriz son las rectas perpendiculares a cada uno de los lados que pasa por su punto medio. Bueno, yo cojo un segmento, y este es el AC de aquí abajo, el punto medio estaría aquí, y la recta perpendicular, esta es la mediatriz del segmento AC, ¿vale?

114
00:34:59,000 --> 00:35:19,000
Bien, tienen la propiedad de que cualquier punto de esta recta equidista del vértice A y del vértice C, porque está situado a la mitad, ¿vale? Y como es perpendicular, aunque yo me vaya alejando, por ejemplo, hacia arriba, la distancia se sigue manteniendo, ¿vale?

115
00:35:19,000 --> 00:35:41,000
Bueno, pues en un triángulo yo dibujo las tres mediatrices, resulta que las tres se cortan en un punto que se llama circuncentro, ¿vale? Eso quiere decir que este puntito, que aquí está dibujado en color rojo, está a la misma distancia de los tres vértices de A, de B y de C, equidista de los tres vértices.

116
00:35:41,000 --> 00:36:07,000
Eso quiere decir que si yo cojo un compás, pincho en este puntito rojo, en el circuncentro, lo abro hasta uno de los vértices y trazo la circunferencia, me tiene que pasar sí o sí por las otras dos. Aquí está dibujada esa circunferencia, ¿la veis? ¿Vale? Esa es la que se llama la circunferencia circunscrita, pasa por los vértices, pasa por fuera, ¿vale? Pero para dibujarla hace falta calcular el circuncentro, que es donde se cortan las mediatrices.

117
00:36:07,000 --> 00:36:31,000
Tenemos el caso también de una circunferencia que en vez de pasar por los vértices pasa por dentro tocando los lados. Pero para ello tenemos que calcular un punto que se llama incentro. ¿Qué es el incentro? Para saber qué es el incentro nos tenemos que ir a ver qué es la bisectriz. Y la bisectriz es un ángulo, lo quiero dividir por la mitad.

118
00:36:32,000 --> 00:36:46,000
Bien, pues si yo un ángulo lo divido por la mitad y trazo el segmento que lo divide un ángulo en dos iguales, aquí está en color verde, ¿vale? Esas tres rectas se van a cortar en un punto que se llama incentro.

119
00:36:46,000 --> 00:36:59,000
Como sobre una de las bisectrices, como yo lo he dividido con este segmento, perdón, con esta recta, en dos partes iguales, cualquier punto de la bisectriz he que dista de los dos lados de ese ángulo.

120
00:37:00,000 --> 00:37:15,000
Es decir, que este puntito donde se cortan las tres bisectrices está a la misma distancia de un puntito de cada uno de los tres lados. Y puedo dibujar esa circunferencia que pasa por aquí por dentro, ¿vale?

121
00:37:15,000 --> 00:37:31,000
Que es la circunferencia inscrita. Luego las alturas. Las alturas es la recta que es perpendicular a un lado y que pasa por el vértice opuesto. Por ejemplo, aquí veis el segmento AC.

122
00:37:32,000 --> 00:37:48,000
Su altura es una recta que es perpendicular, pero tiene que pasar por el vértice opuesto, por el B, ¿vale? Esta sería la altura. Si yo dibujo la altura de los tres lados, se van a cortar en un punto que se llama ortocentro.

123
00:37:48,000 --> 00:38:09,000
Si dibujo las medianas, las medianas son las rectas o los segmentos que pasan por un vértice y por la mitad del lado opuesto, ¿vale? Este segmento, punto intermedio y luego uno, uno vértice con el punto intermedio.

124
00:38:10,000 --> 00:38:33,000
Lo puedo prolongar. Esa es la mediana de un lado. Si yo dibujo las tres medianas, se van a cortar en un punto que se llama el varicentro. ¿Vale? Bueno, y aquí tenéis, por si queréis un poquito practicar, ¿vale? Esta actividad que es interáctica.

125
00:38:34,000 --> 00:38:50,000
En los cuadriláteros no todos son cuadrados, rectángulos y rombos. Cuando hablamos de polígonos de cuatro lados. Entonces, en la categoría de paralelogramos es porque tienen los lados que son paralelos dos a dos.

126
00:38:50,000 --> 00:39:05,000
Es decir, un lado y el que está, digamos, opuesto a suyo son paralelos. Aunque los prolongaran, no se podrían cortar nunca. En el caso del cuadrado, que tiene cuatro lados iguales, cuatro ángulos iguales, rectángulos que son iguales dos a dos, ¿vale?

127
00:39:05,000 --> 00:39:28,000
Distinta longitud, ¿vale? La altura y la base son iguales dos a dos. Los cuatro ángulos son de noventa grados, son ángulos rectos, ¿vale? En el rombo, los cuatro lados miden lo mismo y los ángulos en este caso van a ser iguales dos a dos. Este de arriba va a ser igual al de abajo y el que está aquí en la apertura es igual que el del frente, ¿vale?

128
00:39:29,000 --> 00:39:47,000
Y en el romboide, que los lados y los ángulos son iguales dos a dos. Es como si yo tomara un rectángulo y pudiera empujar un poquito la parte de arriba y se desplaza de esta forma. La longitud del lado de arriba es la misma que la de abajo. El lado este que está como inclinado mide lo mismo que el que está enfrente que está inclinado.

129
00:39:47,000 --> 00:40:02,000
Y los ángulos, ¿vale? Que son opuestos, este y el que está enfrente miden lo mismo. Lados y ángulos iguales dos a dos, ¿vale? En los cuadriláteros los cuatro ángulos miden trescientos sesenta grados.

130
00:40:02,000 --> 00:40:23,000
Trapecios y trapezoides. Pues, en este caso sólo tienen paralelos dos lados. Aquí tenemos algunos ejemplos, ¿vale? Trapecio rectángulo y sórceles escaleno. Bueno, a mí lo que me interesa es que veis que son iguales, en las tres figuras coincide que son iguales el lado de abajo y el de arriba.

131
00:40:24,000 --> 00:40:42,000
Los otros no tienen la misma longitud ni respecto al tema de los ángulos. El trapecio rectángulo es importante porque uno de los lados al final es perpendicular a dos lados y es más fácil de trabajar para poder calcular áreas.

132
00:40:42,000 --> 00:40:54,000
Porque, jolín, si esta figura, esta primera de aquí arriba, yo pudiera, desde este vértice que estoy marcando, trazar para abajo otra perpendicular, consigo dividir la figura en un rectángulo y un triángulo a la derecha.

133
00:40:55,000 --> 00:41:05,000
Puedo calcular el área del rectángulo, el área del triángulo y con eso calculo el área de la figura total, por ejemplo. Vamos a poder descomponer una figura en distintas figuras.

134
00:41:06,000 --> 00:41:19,000
Y un trapezoide, pues aquí ya no hay nada, ni lados paralelos, ni ángulos que guarden relación, simplemente tiene cuatro lados y son de su manera, sin seguir ningún patrón, nada. ¿Vale?

135
00:41:21,000 --> 00:41:31,000
Polígonos regulares, pues son aquellos polígonos en los que todos sus lados y todos sus ángulos son iguales. Estos son los más cómodos para poder trabajar, ¿vale?

136
00:41:32,000 --> 00:41:43,000
Ya lo hemos comentado antes, pero el apotema, mira, esto es importante, el radio de la circunferencia circunscrita, la que pasa por los vértices, va desde el centro hasta uno de los vértices.

137
00:41:45,000 --> 00:41:58,000
Y el apotema, que este sí lo hemos comentado, va desde el centro de este polígono hasta la mitad de uno de los lados. Pero aquí queda un triángulo-rectángulo. Este es el triángulo-rectángulo que va a ser muy útil para calcular a veces el área. ¿Vale?

138
00:41:59,000 --> 00:42:04,000
Bueno, aquí hablo un poquito de los ejes de simetría. Esto lo podéis ver un poquito con calma.

139
00:42:06,000 --> 00:42:21,000
Circunferencia. En una circunferencia, diferencias de circunferencia y círculo, ¿vale? Circunferencia es todo el borde, ¿vale? Si yo lo dibujo, lo que es el borde es la circunferencia. Y el círculo es todo el relleno.

140
00:42:22,000 --> 00:42:35,000
¿Vale? La circunferencia, pues digamos que es una rueda de una bicicleta en la goma. En cambio, el círculo es una moneda, pues todo el material, todo lo que está dentro. ¿Vale?

141
00:42:36,000 --> 00:42:50,000
Tenemos el centro del radio, es la distancia que está desde el centro a cualquier punto de la circunferencia. Y el diámetro, que es dos veces el radio, pues será un segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro.

142
00:42:51,000 --> 00:43:02,000
¿Vale? El círculo, ya hemos dicho que sería todo, punto interior. Bueno, aquí se habla un poquito del sector circular, segmento circular, semicírculo, corona circular. Pues esto lo veis tranquilamente.

143
00:43:03,000 --> 00:43:20,000
Hay mucha nomenclatura que hace falta conocer, pero bueno, no es lo más esencial de este tema. ¿Vale? Igualmente, posición relativa de un punto con respecto a una circunferencia, pues puede estar dentro, punto interior, puede estar sobre la circunferencia o puede estar fuera en el exterior.

144
00:43:21,000 --> 00:43:31,000
¿La recta? Pues una recta puede ser secante si corta la circunferencia en dos puntos, tangente si la corta en un único punto o está por fuera, es exterior y no la corta nunca.

145
00:43:31,000 --> 00:43:44,000
¿Con dos circunferencias? Pues puede suceder que una esté adentro de otra. ¿Vale? Compartiendo el centro o no, puede que esté dentro y sea tangente por dentro o que sea tangente por fuera, es decir, compartiendo un único punto.

146
00:43:45,000 --> 00:44:02,000
Puede ser que la corte en dos puntos, en cuyo caso sea secante o que una esté fuera de la otra y no llegue a tocarse. ¿Vale? Y con esto pasamos a medida de los polígonos.

147
00:44:03,000 --> 00:44:21,000
Lo primero, perímetro. El perímetro en un polígono cualquiera es la suma de las longitudes de todos sus lados. Por ejemplo, aquí me han explicado con un problema, veis esta figura, dice que esto es un jardín y lo del borde nos dice que es la valla que se ha puesto.

148
00:44:21,000 --> 00:44:35,000
Y viene aquí cuánto mide cada trocito de valla. Me dice que diga cuánta valla he tenido que poner. Sin pensar en perímetro, vosotros veis la figura y ¿qué es lo que hacéis? Pues sumamos toda la valla que viene aquí, 1 con 5, 6 con 2, 1 con 2, 2 y 7.

149
00:44:36,000 --> 00:44:48,000
Lo que estamos calculando no es la valla, estamos calculando el perímetro de esa figura. El perímetro es la suma de todos los lados de la figura. ¿Vale? Claro, esto es un polígono irregular.

150
00:44:49,000 --> 00:45:01,000
Cuando nos encontramos con un polígono regular, aunque yo me puedo poner a sumar todos los lados en plan a lo bestia, también saco propiedades. Por ejemplo, en un rectángulo sabemos que los lados son iguales 2 a 2.

151
00:45:01,000 --> 00:45:14,000
Será 2 veces el lado que he llamado A, que es el que viene como de altura, y 2 veces el lado B, que es la base, porque el de abajo y el de arriba es el mismo. En un rectángulo el perímetro es 2 veces un lado más 2 veces el otro.

152
00:45:14,000 --> 00:45:31,000
En un rombo o en un cuadrado, ¿los 4 lados son iguales? Pues el perímetro es 4 veces el lado. En un polígono regular de 18 lados, el perímetro va a ser 18 veces lo que mida ese lado.

153
00:45:31,000 --> 00:45:42,000
Si yo sé que el lado mide 10 centímetros y tengo 18 lados, ¿cuánto suman los 18 lados? 18 veces 10, que es lo que mide cada punto. Esto que veis aquí es de n por n. ¿Vale?

154
00:45:43,000 --> 00:46:02,000
Cuando nos vamos a la circunferencia, ya los lados no son segmentos. Estamos hablando de una línea curva. Luego ya no podemos hablar de perímetro. Si yo quiero medir cuánto mide ese contorno, es lo que se llama la longitud de la circunferencia de ese borde.

155
00:46:02,000 --> 00:46:17,000
No del círculo, sino de la circunferencia del borde. Hay una fórmula. Si yo toco un círculo hecho con una cuerda, lo corto y lo estiro, entonces ya es una cosa recta que yo puedo medir con un metro.

156
00:46:17,000 --> 00:46:38,000
Pero si puedo calcular cuál es el radio, puedo ver cuál es el centro de ese círculo, mido cuál es el radio, distancia a cualquier punto de la circunferencia, va a ser 2 por el número pi por el radio. El número pi es 3,1415926. Tiene infinitas cifras decimales.

157
00:46:39,000 --> 00:47:01,000
En los ejercicios que os aparezca, sobre todo pensando en el examen, usar 3,14. No pongáis más. ¿Vale? El ejercicio del aula virtual que puede aparecer, si no te indica nada, hacedlo con 3,14. No pongáis más. Si quiere más decimales te va a indicar, oye, usa 3,1415. ¿Vale?

158
00:47:02,000 --> 00:47:17,000
Longitud de la circunferencia. Luego viene aquí la de largo, que es el arco de circunferencia, un trocito nada más. ¿Vale? Pues aquí habrá que multiplicar por el número de ángulos y dividir 360. Pero bueno, lo importante, longitud de la circunferencia.

159
00:47:18,000 --> 00:47:42,000
Y con esto pasamos al área de figuras planas, ¿vale? Sobre todo saberse la fórmula. El área de un triángulo es base por altura partido de 2. Yo cojo un triángulo, un lado, este de aquí abajo por ejemplo, aquí llama B, pues la base, lo multiplico por su altura, que es el segmento perpendicular al lado que pasa por el vértice opuesto, ¿vale? Base por altura partido de 2.

160
00:47:42,000 --> 00:48:02,000
Si yo le digo quién es la base y cuál es la altura, es numérico, es sustituir y hacer cuentas. Lo malo es que no os voy a dar esos números. Ya el próximo día resulta que ahí a lo mejor te digo quién es la altura, te digo cuánto mide el lado abajo, perdón, no te digo quién es la altura, te digo cuánto mide el lado abajo, cuánto mide este otro.

161
00:48:02,000 --> 00:48:18,000
Resulta que el triángulo es sin sórceles y vamos a ir calculando ya datos. Y vas a tener que usar el teorema de Pitágoras, que veremos el próximo día. Pero un triángulo, cualquiera de ellos, base por altura partido de 2. Tenga la forma que tenga, ¿vale?

162
00:48:19,000 --> 00:48:37,000
En un paralelogramo, en un rectángulo, pues es lado por lado, A por B, dos dimensiones. Si resulta que es un cuadrado, que encima son iguales los cuatro lados, pues será lado por lado, ¿vale? Lado por lado en el cuadrado. Rectángulo, lado por lado, que aquí no coincide.

163
00:48:37,000 --> 00:48:57,000
Y en el rombo, que esto me gusta mucho para los exámenes, es diagonal mayor por diagonal menor partido de 2. El rombo, que veis que al dibujar las diagonales parece una cometa, ¿vale? Es multiplicar la longitud de esas dos diagonales y dividir entre dos.

164
00:48:57,000 --> 00:49:19,000
Esta fórmula sale de calcular el área de solo un triángulo. Mira, esto es un triángulo, ¿sí? Vale, pues si la diagonal entera, la he llamado de media diagonal, será de partido de 2. La de minúscula. La mayor, que es de mayúscula, pues este trocito de arriba será igual de mayúscula partido de 2.

165
00:49:19,000 --> 00:49:45,000
Como son perpendiculares tengo la base y la altura. La multiplico, pero luego tengo que sumar cuatro triángulitos iguales. De ahí viene la fórmula, ¿vale? Pero diagonal por diagonal partido de 2. En el romboide, como realmente es como un desplazamiento del triángulo, es multiplicar la base por la altura. Que no el lado, ¿vale? Sino el lado que apoya por la altura con el vértice este que está aquí en el opuesto.

166
00:49:49,000 --> 00:50:03,000
En los trapecios yo sumo los dos lados que son paralelos, ¿vale? La base de abajo, la base de arriba, que lo llamo con B mayúscula y B minúscula, lo multiplico por la altura y divido entre dos.

167
00:50:03,000 --> 00:50:25,000
En un polígono regular cualquiera de 8 lados iguales, 7 lados iguales, 18 lados iguales, es perímetro por apotema partido por 2. Recordad que el apotema es el segmento que va desde el centro del círculo hasta la mitad del punto del segmento, ¿vale? Este triángulito el próximo día le daremos más juego.

168
00:50:25,000 --> 00:50:45,000
Este que está aquí debajo, ¿vale? Perímetro por apotema partido 2. El área de un círculo, el número pi, el 3,1415, por el radio al cuadrado. Si en vez de tener el círculo entero tenemos un trocito, el sector circular, pues toca multiplicarlo por el número de grados partido 360.

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00:50:45,000 --> 00:51:07,000
Como si fuera una regla de 3. Mi fórmula es para 360 grados, pues para 80 grados X. Ahí me sale esa fórmula, ¿vale? Y al final, y esto sí puede aparecernos en cualquier ejercicio, una figura que no sea tan replicada una fórmula la puedo descomponer en varias.

170
00:51:08,000 --> 00:51:33,000
¿Veis esta figura aquí? Si yo trozo estas rayitas en rojo, aquí abajo se ha quedado un cuadrado de al lado 1,5. ¿Sé calcular el área de este cuadrado? Sí, lado por lado, 1,5 por 1,5. Aquí me ha quedado un rectángulo. ¿Conozco las dimensiones? Pues a ver, aquí todo este lado era 4 centímetros, pero el trocito que le he quitado valía 1,5, pues 4 menos 1,5, 2,5.

171
00:51:34,000 --> 00:51:45,000
Y este ancho, pues mira, que es 1,5 más otros 3 que suman por aquí, 1,5 y 3, 4,5. Ya tengo las dos dimensiones del rectángulo, lado por lado.

172
00:51:45,000 --> 00:52:11,000
De aquí me queda un triángulo, que es un triángulo rectángulo, luego ya tengo cuál puede ser la base, cuál puede ser la altura. Este me mide 4,5 y este otro de aquí arriba, pues si todo esto es 4,5 y este trángulo, hemos dicho que era 3, pues 4,5 y aquí me queda, esto es 2,5, pues 4,5 menos 2,5 me queda 2, lado por lado.

173
00:52:12,000 --> 00:52:21,000
Con todo esto, podemos irnos al cuestionario que encontráis en el aula virtual, ¿vale?

174
00:52:22,000 --> 00:52:30,000
¿Tenéis ejercicio de...? Cerrar el micro, porfa, que se solapa. A ver, un segundito.

175
00:52:31,000 --> 00:52:54,000
Silencio. Ahora. Vale. Ángulo suplementario de 55º. Complementario de sumar 90º, suplementario de sumar 180º, lo vais a hacer la resta. 180 menos 55, 125, ¿vale?

176
00:52:55,000 --> 00:53:08,000
O sea, para que veáis que os van a salir preguntas de este tipo. ¿Cuál es la diferencia? Este es muy fácil. Del ángulo de 78º y 72º. Ya está. Y además ha quedado un número sin problemas.

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00:53:09,000 --> 00:53:27,000
Ángulo suplementario de 95º. Lo que me falta para llegar a 180º. Dos ángulos son complementarios cuando suman 180º, 90º o 190º. Complementario es 90º.

178
00:53:28,000 --> 00:53:44,000
El punto equidistante de todos los puntos de la circunferencia es el radio, el arco, el centro. El centro. Ni el radio ni el arco son puntos, ya partiendo de esa base. Pero el centro está a la misma distancia del resto de puntos.

179
00:53:45,000 --> 00:53:57,000
Si el perímetro de un cuadrado mide 20 centímetros, ¿cuántos centímetros cuadrados mide su área? Mirad. Este. Voy a dibujar el cuadrado. Porque aquí nos va a quedar una pequeña ecuación.

180
00:53:58,000 --> 00:54:08,000
El perímetro de un cuadrado mide 20 centímetros. Si el perímetro de un cuadrado mide 20 centímetros, ¿cuánto mide el lado?

181
00:54:08,000 --> 00:54:23,000
¿20 entre 4 o 5? Vale. ¿Y el área cuánto va a ser? 5 por 5, 25. Aquí no tiene que usar ninguna fórmula. Es en este otro, este de aquí.

182
00:54:23,000 --> 00:54:37,000
Dice si el perímetro de un cuadrado es 36 centímetros mayor que uno de sus lados. Hablamos de un cuadrado, ¿no? En un cuadrado todos los lados son iguales.

183
00:54:37,000 --> 00:54:53,000
¿Sí? Mirad. Luego estamos en un cuadrado, el lado mide X, pero el ejercicio me dice que el perímetro del cuadrado es 36 centímetros mayor que uno de sus lados.

184
00:54:53,000 --> 00:55:07,000
Vamos a ver. El perímetro, ¿quién va a ser? 4 veces el lado. X más X más X más X. El perímetro es 4 veces el lado. Y me dice que el perímetro es 36 centímetros mayor que el lado.

185
00:55:07,000 --> 00:55:27,000
Pues el perímetro, el perímetro que es 4X, es el lado más 36. El perímetro de un cuadrado es 36 veces mayor que uno de sus lados. El perímetro es 36 veces mayor que uno de sus lados.

186
00:55:27,000 --> 00:55:44,000
Es una ecuación muy sencillita. La X pasa restando. Me queda 3X igual a 36. X es 36 entre 3. Me da 12. Vale, pues un lado mide 12 centímetros. Ahora me pregunta que cuántos centímetros tiene el área.

187
00:55:44,000 --> 00:56:01,000
Pues multiplico 12 por 12, que es 144. Anda, mira, 144 es una de las soluciones que teníamos aquí. ¿Vale? Más ejercicios. Área de un triángulo de base 4 a uña de altura 6. Multiplicar directamente.

188
00:56:01,000 --> 00:56:17,000
Pero mirad, estos. Estos me gustan para examen también. Poner una figurita de estos. ¿Vale? No lo vamos a hacer entero, pero ¿dónde puedo yo dividir? Mirad. Pues a ver, donde yo pueda trazar rectas perpendiculares al final.

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00:56:17,000 --> 00:56:40,000
Vértice abajo a la derecha. Si trazo la perpendicular para arriba me va a quedar un triángulo. Rectángulo, ¿no? Como es rectángulo, su área va a ser este trocito de arriba por la altura. La altura de ese que es 12. Y este trocito de aquí, ¿cuánto es? Pues a ver. Este trágono coincide. Luego yo tengo 9 centímetros hasta donde está el vértice. Y de 9 a 14 es el triángulo.

190
00:56:40,000 --> 00:57:04,000
Pues oye, de 9 a 14 me faltan 5. Este trocito va a ser 5 y lo que baja es 12. El rectángulo lo tengo. Me envío 9 y 12 de altura. Y aquí me queda este triángulo. Este trozo. Que si tengo 5 de subida hasta aquí y hasta arriba hay 12, aquí me quedarían 7 centímetros. 7 centímetros.

191
00:57:04,000 --> 00:57:28,000
Pero además aquí me dice que tengo 3 centímetros. De este vértice hasta aquí a la mitad me queda 3. Pues tengo un triángulo porque conozco la base y conozco la altura. Es decir, que alargando aquí este lado y trazando aquí la perpendicular consigo 3 figuras y puedo calcular el área de cada una de las 3 figuras. Y luego lo sumo.

192
00:57:28,000 --> 00:57:49,000
Esta de teoría. Y bueno, pues aquí otra también de figuras. En un rectángulo ABCD el rectángulo mide 16 centímetros de ancho y el doble de largo. El ancho es 16 y el largo será el doble, 32.

193
00:57:50,000 --> 00:58:14,000
Luego tenemos la otra figura, la EFGH, que es la que me da lugar este rombo de color rojo. Y se calcula el área de la zona que está de color rojo. Tengo varias formas de hacerlo. Si me doy cuenta que es un rombo, la diagonal HF me mide lo mismo que el tramo A20, que es 32. La diagonal GE me mide lo mismo que este lado.

194
00:58:14,000 --> 00:58:32,000
Son las dos dimensiones, 16 y 32, que me da el ejercicio. Diagonal por diagonal partido 2. No tengo que hacer más. Que no, yo puedo trocear la figura. Si yo la troceo aquí en ejes, como en 2 rectas perpendiculares, se me van a quedar triangulitos.

195
00:58:32,000 --> 00:58:48,000
Igual calculo la longitud de los lados perpendiculares. Multiplico el área de la base por la altura partido 2. Son triangulos iguales. Lo fácil sería darse cuenta de que esto es un rombo y ya me ha dicho que son la medida de sus diagonales.

196
00:58:48,000 --> 00:59:01,000
Con esto quedaría visto lo que es esta primera introducción a la geometría en el plano. La semana que viene nos vamos al teorema de Pitágoras, al teorema de Tales y a aplicaciones de ejercicios.

197
00:59:01,000 --> 00:59:19,000
De hoy, como ejercicio, el que quizás veo más con vistas al examen, con lo que hemos visto hoy, es algo como este. De coger una figura y descomponerla. ¿Para qué? Para poder aplicar todos esos conceptos y fórmulas que hemos visto antes.

198
00:59:19,000 --> 00:59:27,000
Hoy la clase ha sido bastante teórica. ¿Para qué? Para llevarnos aquí y a lo que veremos la semana que viene.