1
00:00:00,370 --> 00:00:18,690
Bueno, vamos con este ejercicio que trata sobre el teorema de error. Nos dan una función definida en trozos, lo tenéis ahí por pantalla, y nos piden calcular unos parámetros a, b y c para que esa función verifique las hipótesis del teorema de error.

2
00:00:18,690 --> 00:00:23,429
entonces lo primero de todo es declarar las hipótesis del teorema de error

3
00:00:23,429 --> 00:00:27,429
las hipótesis del teorema de error como sabéis son las siguientes

4
00:00:27,429 --> 00:00:31,690
primero la función debe ser continua en el intervalo cerrado

5
00:00:31,690 --> 00:00:35,030
nos están diciendo que el intervalo es el intervalo 0,4

6
00:00:35,030 --> 00:00:37,869
entonces f es continua en el intervalo cerrado

7
00:00:37,869 --> 00:00:45,369
tiene que ser continua en el derivable en el abierto

8
00:00:45,369 --> 00:00:57,759
y pues la función vale lo mismo en los extremos

9
00:00:58,299 --> 00:01:10,939
Si se verifican estas tres condiciones, entonces va a existir un valor de dentro, un valor de la x de dentro del intervalo abierto, de modo que la derivada en ese punto se hace cero.

10
00:01:18,689 --> 00:01:29,390
Fijaos que en esa situación, si tenemos la función que es derivable, que en la función vale lo mismo, en f de 0, f de 0 y f de 4 valen lo mismo,

11
00:01:30,049 --> 00:01:34,849
necesariamente, al menos una vez, va a haber un máximo o un mínimo.

12
00:01:35,170 --> 00:01:44,950
Puede haber varios máximos o varios mínimos, pero como mínimo, bueno, a no ser que la función sea constante, en cuyo caso, pues todas las de puntos la derivada es 0.

13
00:01:44,950 --> 00:01:47,950
En este caso no es constante porque tenemos un trozo de parábola y un trozo de recta.

14
00:01:48,730 --> 00:01:52,090
Bien, entonces existe al menos un valor.

15
00:01:55,879 --> 00:01:59,099
Bien, pues luego después nos van a pedir que calculemos este valor precisamente.

16
00:01:59,640 --> 00:02:04,000
Bueno, pues vamos a interpretar estas tres condiciones como tres ecuaciones

17
00:02:04,000 --> 00:02:09,319
y a partir de ellas pues resolveremos un sistema, plantearemos mejor dicho un sistema

18
00:02:09,319 --> 00:02:15,039
que luego resolveremos teniendo en cuenta que tenemos tres incógnitas, vamos a tener tres ecuaciones, pues listo.

19
00:02:15,039 --> 00:02:39,199
Bien, en primer lugar observad que la función f es una función definida a trozos y que tiene dos trozos, una parábola, si no me equivoco, si x es mayor o igual que 2, ¿verdad?

20
00:02:39,599 --> 00:02:58,509
No, perdón, si x es mayor que 2 y una recta si la x es menor o igual que 2. Por tanto, va a ser continuo y derivable salvo quizá en el 2.

21
00:02:58,509 --> 00:03:17,159
bueno y vamos a ver en x igual a 2 que es lo que ocurre

22
00:03:17,159 --> 00:03:20,979
en x igual a 2 lo que tenemos que imponer es que sea continuo y que sea derivable

23
00:03:20,979 --> 00:03:22,340
pues vamos a ello

24
00:03:22,340 --> 00:03:27,520
la primera de las condiciones va a ser que el límite cuando la x tiende a 2 por la izquierda

25
00:03:27,520 --> 00:03:33,039
debe ser lo mismo que el límite cuando la x tienda a 2 por la derecha

26
00:03:33,039 --> 00:03:40,800
y esto equivale a pues al sustituir la x por 2 porque las funciones son continuas

27
00:03:40,800 --> 00:03:49,460
A la izquierda tendremos 2c más 1 y a la derecha tendremos 4 más 2a más b.

28
00:03:50,259 --> 00:03:51,360
Pues vamos con ello.

29
00:03:53,280 --> 00:03:56,300
Vamos con ello.

30
00:04:02,460 --> 00:04:12,259
Efectivamente, si estaba revisando, por si acaso, 4 más 2a más b será el límite por la derecha y por la izquierda 2c más 1.

31
00:04:12,479 --> 00:04:13,039
Correcto.

32
00:04:13,379 --> 00:04:16,519
Y entonces, ahora vamos con el tema de la derivada.

33
00:04:16,519 --> 00:04:41,189
La derivada hay que calcularla, para ello lo que tendremos que hacer es derivar la parábola y derivar la recta. La derivada de x cuadrado más ax más b es 2x más a, si la x es mayor que a, mayor que 2, y si la x es menor que 2, la derivada valdrá c.

34
00:04:41,189 --> 00:04:52,560
¿Y qué pasa en el 2? Eso es el dilema. Pues lo que tenemos que ver en el 2 es que los límites laterales de la derivada coincidan.

35
00:04:53,420 --> 00:04:57,899
Si coinciden estos límites laterales, pues la derivada, la función será derivable en el 2.

36
00:04:58,500 --> 00:05:02,500
Es decir, que lo que vamos a hacer es sustituir en esa ecuación de ahí.

37
00:05:04,779 --> 00:05:15,339
De manera que al sustituir nos queda por 2, pues el límite por la derecha será 4 más a y el límite por la izquierda será a.

38
00:05:15,339 --> 00:05:26,680
Con lo cual tenemos ahí esa ecuación. De momento tenemos 2. ¿Cuál es la tercera? Pues la tercera es la que poníamos antes. La función debe valer lo mismo en el 0 que en el 4.

39
00:05:26,860 --> 00:05:48,279
Habrá que sustituir por 0. La función en el 0 vale como la de abajo. f de 0 vale 1 y f de 4 vale, pues sustituir arriba, 4 al cuadrado 16 más 4 a más b, 16 más 4 a más b.

40
00:05:48,279 --> 00:06:05,769
Y ahora pues debemos igualar esas dos ecuaciones. 4a más b más 16 debe ser igual a 1. Entonces, ¿qué hacemos ahora? Pues juntar las tres ecuaciones.

41
00:06:06,230 --> 00:06:15,610
Si juntamos las tres ecuaciones habremos resuelto, habremos planteado ya el sistema. Vamos con ellas. La primera de ellas vamos a simplificarla un poquito.

42
00:06:15,610 --> 00:06:42,240
Que quedaría 2a más b menos 2c. 2a más b menos 2c igual a menos 3. La segunda quedaría a menos c igual a menos 4. Y la última quedaría 4a más b igual a menos 15.

43
00:06:42,240 --> 00:06:47,319
Correcto, bueno, entonces ahora lo que vamos a hacer es aplicar la reducción

44
00:06:47,319 --> 00:06:51,160
Lo más sencillo es restar la primera a la segunda

45
00:06:51,160 --> 00:06:54,300
Vamos a ver, perdón, la tercera menos la primera

46
00:06:54,300 --> 00:06:57,600
Restamos y obtenemos una ecuación que solo tiene a y c

47
00:06:57,600 --> 00:06:59,339
Que luego juntamos con la segunda

48
00:06:59,339 --> 00:07:01,879
Bueno, pues venga, restamos 2a

49
00:07:01,879 --> 00:07:06,560
b menos b es 0, menos menos c es más 2c

50
00:07:06,560 --> 00:07:09,040
Eso es igual a 3

51
00:07:09,040 --> 00:07:12,160
perdón, menos 15

52
00:07:12,160 --> 00:07:14,220
menos menos 3, menos 15 más 3

53
00:07:14,220 --> 00:07:15,399
pues

54
00:07:15,399 --> 00:07:17,899
menos 15 más 3 es

55
00:07:17,899 --> 00:07:20,040
menos 12 y dividiendo todo entre 2

56
00:07:20,040 --> 00:07:22,139
A más C igual a

57
00:07:22,139 --> 00:07:22,980
menos 6

58
00:07:22,980 --> 00:07:26,300
tenemos esa ecuación y ahora vamos a juntar

59
00:07:26,300 --> 00:07:28,120
esa ecuación con esta de aquí

60
00:07:28,120 --> 00:07:30,279
y juntando esas dos

61
00:07:30,279 --> 00:07:32,040
ecuaciones resolvemos ese sistema

62
00:07:32,040 --> 00:07:33,879
chupado y obtenemos A y B

63
00:07:33,879 --> 00:07:35,899
A y C, perdón, vamos con ello

64
00:07:35,899 --> 00:07:40,040
Vamos a pintar mejor en boli, ¿verdad?

65
00:07:40,660 --> 00:07:42,839
a más c igual a menos 6

66
00:07:42,839 --> 00:07:49,199
Bien, y luego tenemos a menos c igual a menos 4

67
00:07:49,199 --> 00:07:53,459
Sumando, 2a igual a menos 10

68
00:07:53,459 --> 00:07:55,740
Con lo que a vale menos 5

69
00:07:55,740 --> 00:07:58,680
Si la a vale menos 5, ya la tenemos resuelta

70
00:07:58,680 --> 00:08:03,220
Necesariamente, de la de arriba, la c valdrá menos 6 menos a

71
00:08:03,220 --> 00:08:11,660
es decir, la c vale menos 1, con lo que ya tenemos el valor de la c y ahora calculamos el valor de la b que nos queda

72
00:08:11,660 --> 00:08:21,660
que la sacamos de aquí, por ejemplo, b será igual a menos 15 menos 4a, es decir, menos 15 menos 4 por menos 5 más 20

73
00:08:21,660 --> 00:08:29,160
con lo que la b vale 5 y ahora ya sustituimos la función, vamos a copiarla y vamos a pegarla

74
00:08:29,160 --> 00:08:47,379
No la tengo copiada en ningún lado, no la puedo copiar y pegar, pero la reproducimos. f de x será igual a x cuadrado más ax más b. f de x será x cuadrado menos 5x más b, que la b valía 5.

75
00:08:47,379 --> 00:09:07,480
Aquí la tenemos. Y eso si la x es mayor que 2. Y cx, la c hemos quedado que vale menos 1, pues menos x más, ¿cuánto era? Menos x más 1 si la x es menor o igual que 2.

76
00:09:07,480 --> 00:09:31,559
Ya tenemos nuestra función, ya tenemos gran parte de lo que nos pedían y ahora lo que necesitamos es, vamos a calcular la derivada porque nos piden el punto donde se verifica el punto que asegura el teorema de Rho, para ello derivamos, ya teníamos, podíamos sustituir en la derivada que ya la tenemos calculada o directamente como sabemos que es derivable podemos poner algún igual en los dos lados,

77
00:09:31,559 --> 00:09:37,779
Fijaos que al sustituir por 2, 2 por 2 es 4, menos 5 menos 1 igual a menos 1, o sea que funciona, es continua y derivada.

78
00:09:37,879 --> 00:09:40,879
Esta derivada existe, es continua en todo R.

79
00:09:41,580 --> 00:09:48,360
Y nada más, ahora, ¿qué hacemos? Igualar a 0 porque sabemos que existe un valor c dentro del intervalo 0, 4.

80
00:09:48,519 --> 00:09:51,500
Esta solución tiene que estar en el intervalo 0, 4.

81
00:09:52,000 --> 00:09:56,580
Aquí no hay ninguna ecuación, menos 1 igual a 0 nada, nada, pero 2x menos 5 sí.

82
00:09:56,580 --> 00:10:09,240
2x menos 5 igual a 0, con lo cual x igual a 5 medios es el valor, buscar es nuestro valor que llamaban c minúscula en la letra

83
00:10:09,240 --> 00:10:15,220
aquí utilizar una c cuando se está utilizando aquí, o sea que enunciado, ahí habría que cambiarlo para poner ahí otra letra

84
00:10:15,220 --> 00:10:28,299
pero bueno, este es el valor que aseguraba nuestro teorema de Rolle, así que ahí lo tenéis, f' de 5 medios es igual a 0

85
00:10:28,299 --> 00:10:46,190
Este valor que existe por el teorema de Rho es el 5 medios.

86
00:10:46,549 --> 00:10:49,970
Solo existe uno en este caso, que es el 5 medios, donde la derivada es acelera.

87
00:10:50,070 --> 00:10:53,529
Bueno, pues esto es todo. Vamos a por el siguiente ejercicio, ¿os parece?

88
00:10:54,049 --> 00:10:54,570
Venga, por él.