1
00:00:00,500 --> 00:00:04,379
Bienvenidos a la sesión número 6 de esta tercera evaluación.

2
00:00:05,179 --> 00:00:12,640
A ver, vamos a ver brevemente qué es una sucesión con una progresión aritmética y una progresión geométrica.

3
00:00:14,580 --> 00:00:26,480
Esta parte de las matemáticas va unida a las funciones, ya que a cada posición le vamos a encontrar un número diferente siguiendo un patrón numérico

4
00:00:26,480 --> 00:00:31,420
Y es interesante porque describe situaciones que se dan en la vida cotidiana

5
00:00:31,420 --> 00:00:34,920
¿Qué es una sucesión?

6
00:00:35,460 --> 00:00:36,259
Bueno, pues vamos a ver

7
00:00:36,259 --> 00:00:41,420
Hay que diferenciar los números ordinales

8
00:00:41,420 --> 00:00:42,640
Que establecen un orden

9
00:00:42,640 --> 00:00:47,500
Y qué número ocupa esa posición

10
00:00:47,500 --> 00:00:49,340
Es decir, por ejemplo

11
00:00:49,340 --> 00:00:51,759
En la sucesión 2, 4, 6, 8, 10

12
00:00:51,759 --> 00:00:53,780
A1 es 2

13
00:00:53,780 --> 00:00:55,420
A2 es 4

14
00:00:55,420 --> 00:00:59,380
a sub 3 es 6, es decir, a cada orden de un número

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00:00:59,380 --> 00:01:03,340
le corresponde un número par, que sería 2n, y aquí estaría

16
00:01:03,340 --> 00:01:07,420
su representación, en esta sucesión, sin embargo

17
00:01:07,420 --> 00:01:11,340
vemos que 1, 1 medio, 1 tercio, 1 cuarto

18
00:01:11,340 --> 00:01:15,400
esta sería una sucesión, se llama armónica, y si yo la describo

19
00:01:15,400 --> 00:01:18,879
la dibujo, me da esta situación, vale

20
00:01:18,879 --> 00:01:23,239
bueno, aquí tenemos más ejercicios

21
00:01:23,239 --> 00:01:46,379
Esto viene de marea verde, acordaros, y si te dan un término general, te dicen, mira, n cuadrado más 3, y yo digo, no hombre, esa n tú la vas a sustituir por 1, por 2, por 3, en lugar de, para calcular qué número ocupa esa posición.

22
00:01:46,379 --> 00:01:55,459
Por ejemplo, a 50 es cuánto, si yo sustituyo aquí n por 50, voy a calcular el número que ocupa esa posición.

23
00:01:56,299 --> 00:01:59,280
Aquí tenemos otra, pues se procede de igual manera.

24
00:02:00,099 --> 00:02:10,219
El número 75 es ocupado por qué número, pues tú sustituyes la n por 75 y llega a esta solución.

25
00:02:11,659 --> 00:02:14,259
Venga, pasamos a las progresiones aritméticas.

26
00:02:14,259 --> 00:02:19,979
son aquellas que se obtienen, un término le suma siempre una cantidad constante

27
00:02:19,979 --> 00:02:22,599
delante al anterior, entonces no entienden mucho.

28
00:02:22,879 --> 00:02:29,780
Por ejemplo, los números pares, el número 2, 4, 6, 8, se obtiene sumando 2

29
00:02:29,780 --> 00:02:37,099
para obtener el número siguiente, o los números 1, 4, 7, ¿qué está haciendo?

30
00:02:37,300 --> 00:02:41,879
Pues estoy sumando 3, esa sería nuestra diferencia de la progresión, ¿vale?

31
00:02:41,879 --> 00:02:53,599
De manera que si yo voy sumando, sumando, sumando, pues al lugar n hemos obtenido, o sea, ¿qué número va a ocupar esa posición?

32
00:02:54,080 --> 00:03:00,360
Pues el primero más n menos 1, esa diferencia, ¿vale?

33
00:03:02,000 --> 00:03:11,060
A ver, aquí tenemos la gráfica, a veces esa diferencia puede ser negativa, si es 0, fíjate,

34
00:03:11,060 --> 00:03:17,120
Todos los términos valen lo mismo, 3, 3, 3, 3, 3, o 1, 1, o lo que tú quieras.

35
00:03:17,740 --> 00:03:24,280
Si es negativa, quiere decir que partimos de un número y cada vez, como le voy sumando algo negativo, pues va siendo más pequeño.

36
00:03:25,680 --> 00:03:31,020
Y sin embargo, si va creciendo, pues le está sumando algo positivo, a diferencia de la versión expositiva.

37
00:03:32,819 --> 00:03:36,560
Aquí está hecho aquí a mano una demostración muy chapucerilla.

38
00:03:36,560 --> 00:03:43,400
Bueno, dice la leyenda que a Gauss, a Karl Friedrich Gauss, perdonad mi alemán horroroso,

39
00:03:44,560 --> 00:03:48,860
era un niño muy inquieto, estos niños listos es lo que tienen, que se ponían muy nerviosos y no paran.

40
00:03:49,439 --> 00:03:54,800
Bueno, pues el profesor le dijo, vas a sumar los primeros 100 números naturales.

41
00:03:55,379 --> 00:04:00,139
Por lo visto el profesor se dio la vuelta y a los pocos minutos el niño levantó la mano.

42
00:04:00,900 --> 00:04:06,340
Le había terminado y le dijo, pues un hombre imposible, ¿cómo va a sumar el crío 100 números si tiene 5 años?

43
00:04:06,560 --> 00:04:10,979
Y sí, sí, el niño se dio cuenta, dice la leyenda, que ocurría lo siguiente.

44
00:04:11,199 --> 00:04:18,279
Yo pongo los primeros 100 números y pongo debajo los mismos números, pero cambiados de orden.

45
00:04:18,420 --> 00:04:25,420
Dices, ¿cómo? Pues que el que en la primera fila es el primero, o sea, es el último, lo pongo en la segunda fila el primero.

46
00:04:25,839 --> 00:04:31,680
Y este que es el primero en la primera fila, aquí, la última posición.

47
00:04:31,680 --> 00:04:37,379
Yo lo sumo y siempre me va a dar el mismo valor

48
00:04:37,379 --> 00:04:39,620
Yo estoy sumando dos veces la misma sucesión

49
00:04:39,620 --> 00:04:42,100
Entonces voy sumando, voy sumando

50
00:04:42,100 --> 00:04:44,019
Pero es n veces lo mismo

51
00:04:44,019 --> 00:04:49,360
Por ejemplo, si es 1, 2, 3, 4, ahí hasta el 100

52
00:04:49,360 --> 00:04:53,620
Y aquí, 100, 99, 98, 2, 1

53
00:04:53,620 --> 00:04:56,379
Siempre vas a obtener la misma suma

54
00:04:57,500 --> 00:04:58,480
Y de la misma suma

55
00:04:58,480 --> 00:05:01,220
Hombre, pues 1 más 100 es 101

56
00:05:01,220 --> 00:05:09,220
Pero 2 más 99 es 101. 3 más 98 es 101. Es decir, n veces la misma suma.

57
00:05:09,699 --> 00:05:15,579
Entonces, si 2 veces la suma de la progresión es lo mismo que n veces el primero más el último,

58
00:05:16,339 --> 00:05:25,379
pues este 2 que está multiplicando pasa a dividir y es de donde viene la fórmula general de sumar n números de una progresión aritmética.

59
00:05:25,379 --> 00:05:30,220
Ok, este es el ejemplo que os acabo de contar

60
00:05:30,220 --> 00:05:33,300
De Gauss, dice la leyenda, a ver si es cierto

61
00:05:33,300 --> 00:05:40,060
Bueno, lo digo también porque qué envidia que con 5 años nos diga algo que a los adultos nos cuesta un montón

62
00:05:40,060 --> 00:05:41,920
Bueno, pues así es que la gente no lista

63
00:05:41,920 --> 00:05:47,240
Bueno, una progresión geométrica ya no sumamos una cantidad constante

64
00:05:47,240 --> 00:05:49,680
Sino que lo que hacemos es un número

65
00:05:49,680 --> 00:05:54,480
al que llamo razón de la progresión

66
00:05:54,480 --> 00:05:57,600
lo voy a aplicar a un término para calcular el siguiente

67
00:05:57,600 --> 00:06:00,360
y el siguiente por la misma razón

68
00:06:00,360 --> 00:06:06,459
entonces, un término que ocupa la posición 4

69
00:06:06,459 --> 00:06:08,860
pues cojo la posición anterior

70
00:06:08,860 --> 00:06:11,360
el número que ocupa la posición 3 por r

71
00:06:11,360 --> 00:06:12,980
ya tengo la progresión

72
00:06:12,980 --> 00:06:15,459
el término general será el primero

73
00:06:15,459 --> 00:06:18,699
por la razón, pero n-1 veces

74
00:06:20,060 --> 00:06:24,480
Aquí tenemos ejemplos para el vídeo de charlomestazo.

75
00:06:26,560 --> 00:06:28,660
¿Y cómo se calcula la suma?

76
00:06:28,899 --> 00:06:31,660
Bueno, pues a ver, es un poquito más peculiar.

77
00:06:32,339 --> 00:06:36,879
Yo tengo aquí la suma de n términos

78
00:06:36,879 --> 00:06:43,040
y decido multiplicar por r la suma.

79
00:06:43,860 --> 00:06:49,519
Y aquí resto, pero a ver, de este conjunto de dos ecuaciones a esta,

80
00:06:49,519 --> 00:06:50,540
¿qué ha ocurrido?

81
00:06:50,540 --> 00:07:09,740
Mira, que A2 será R cuadrado, bueno, es que aquí falta una R, perdonad, perdonad, muy mal, aquí hay, no me lo coge, aquí falta una R, ¿vale?

82
00:07:09,740 --> 00:07:31,980
Entonces, vamos a ver, entre esta fila, la primera fila y la tercera, r a 1 la dejas como está, pero a 2 tú sabes que es a 1 por r, entonces r por r es r al cuadrado, a 3 es r a 2, pero a 2 es r a 1, conclusión, r cubo a 1.

83
00:07:31,980 --> 00:07:44,839
Y así sucesivamente. Cuando llegas a n, es r elevado a n-1 por a1, pero como tengo aquí una r, sumamos los exponentes y nos queda r elevado a n.

84
00:07:45,579 --> 00:07:53,180
Si tú restas, mira lo que está en verde, se te va todo, excepto el primer término, a1, pero tiene un menos delante.

85
00:07:53,180 --> 00:07:55,699
Y el último de aquí

86
00:07:55,699 --> 00:07:58,519
Entonces, si tú sacas factor común

87
00:07:58,519 --> 00:07:59,339
Sn

88
00:07:59,339 --> 00:08:00,379
Te quedará

89
00:08:00,379 --> 00:08:03,160
Sn multiplica a r menos 1

90
00:08:03,160 --> 00:08:04,279
Que es lo mismo que esto de aquí

91
00:08:04,279 --> 00:08:06,300
R menos

92
00:08:06,300 --> 00:08:08,959
Y aquí, pues, dices

93
00:08:08,959 --> 00:08:09,699
¿Qué es esto? ¿Qué es esto?

94
00:08:09,740 --> 00:08:11,660
Y mira, tenías aquí

95
00:08:11,660 --> 00:08:14,600
Rn a 1 menos a 1

96
00:08:14,600 --> 00:08:15,779
Sacamos factor común

97
00:08:15,779 --> 00:08:17,079
Lo que se repite que es a 1

98
00:08:17,079 --> 00:08:19,519
Y te queda rn menos 1

99
00:08:19,519 --> 00:08:22,220
¿Qué hacemos con este r menos 1?

100
00:08:22,220 --> 00:08:35,700
Vas a dividir. Y ahora algo muy importante. Si r es muy pequeño, con que sea una fracción menor que 1, rn va a tender a cero.

101
00:08:35,840 --> 00:08:45,460
Y dices, no entiendo eso. Digo, sí, hombre, que un medio elevado a 5.000, pues si lo coges con la calculadora te va a quedar 0,0000,

102
00:08:45,460 --> 00:08:52,299
cero mogollón de ceros y luego algunos números vale entonces esto desaparece y te quedaría menos

103
00:08:52,299 --> 00:09:00,230
a 1 partido de re menos 1 es para quitar este menos y damos la vuelta a la diferencia y los

104
00:09:00,230 --> 00:09:06,429
ejercicios os voy a subir un documento resuelto vale el documento no es mío pero está fantástico

105
00:09:06,429 --> 00:09:11,490
bueno espero que os haya sido útil y mucho ánimo que esto se acaba ya