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00:00:12,339 --> 00:00:17,920
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,920 --> 00:00:22,820
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,820 --> 00:00:32,659
de la unidad AN6 dedicada a las aplicaciones de las integrales. En la videoclase de hoy

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00:00:32,659 --> 00:00:48,560
estudiaremos el cálculo del área subtendida por la gráfica de una función. En esta videoclase

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00:00:48,560 --> 00:00:53,460
vamos a iniciar el estudio de las aplicaciones de las integrales con el caso más sencillo

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00:00:53,460 --> 00:00:59,899
posible, el cálculo del área de una superficie plana y más en concreto el área subtendida por

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00:00:59,899 --> 00:01:05,599
la gráfica de una función. Para ver a qué nos referimos con esto del área subtendida vamos a

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00:01:05,599 --> 00:01:12,569
utilizar un ejemplo. El ejemplo que vamos a tomar es este que tenemos aquí a la izquierda, la función

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00:01:12,569 --> 00:01:18,730
f de x igual a x al cubo menos 4x cuya representación gráfica tenemos aquí y que empleábamos como

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00:01:18,730 --> 00:01:24,209
ejemplo en la unidad cfu2 de funciones elementales y definidas a todos, como podéis ver dentro del

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00:01:24,209 --> 00:01:27,310
apartado de funciones polinómicas de orden superior a 2.

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00:01:27,829 --> 00:01:33,689
Bien, supongamos que se nos pidiera calcular el área limitada, acotada,

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00:01:34,390 --> 00:01:37,890
subtendida por la gráfica de la función, en este caso.

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00:01:38,390 --> 00:01:44,590
Se refiere al área limitada por la función y el eje de las x, el eje de abstizas que tenemos aquí.

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00:01:45,150 --> 00:01:48,209
Y en este caso se refiere a la suma de dos áreas.

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00:01:48,209 --> 00:02:09,370
La de esta superficie limitada que estoy marcando con el cursor por la gráfica de la función y el eje de las X, este lóbulo que encontramos a la izquierda del eje de ordenadas, del eje de las Y, más el área de esta otra superficie, también limitada por el eje de las X y la gráfica de la función, y que se encuentra a la derecha del eje de ordenadas.

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00:02:10,090 --> 00:02:16,889
Si fuéramos más hacia la derecha o más hacia la izquierda, el área que tendríamos no estaría limitada y entonces no se nos pide.

18
00:02:17,629 --> 00:02:25,289
Área acotada, limitada, subtendida por la función, se refiere siempre a la limitada por la función y el eje de las x.

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00:02:26,530 --> 00:02:37,490
Podría haberse nos pedido algo diferente, se nos podría haber pedido el área subtendida por la gráfica de la función entre las abstizas, por ejemplo, x igual a menos 1 y x igual a 1.

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00:02:37,490 --> 00:03:03,770
En ese caso no sería toda este área y toda este área, sino que nos encontramos con a la izquierda el límite, la abstisa x igual a menos 1, así sería el área limitada por esta abstisa, la gráfica de la función y el eje de las x, y en el caso de hacia la derecha lo que tendríamos es el área de este otro trozo limitada por la abstisa x igual a 1, el eje de las x y la gráfica de la función.

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00:03:04,729 --> 00:03:11,110
Algo importante es que, teniendo en cuenta las propiedades de la integral definida que habíamos visto en la unidad anterior,

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00:03:12,030 --> 00:03:18,990
el área de esta superficie subtendida por la función es directamente la integral definida,

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00:03:19,490 --> 00:03:24,870
entre esta abscisa, donde la función corta al eje de las x, y esta otra, que en este caso va a ser x igual a 0,

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00:03:25,810 --> 00:03:33,610
más la suma de este otro área, pero hemos de tener en cuenta que, como decía, teniendo en cuenta las propiedades de las integrales definidas,

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00:03:33,770 --> 00:03:40,349
La integral entre esta abscisa y esta otra de la función nos va a dar un área negativa,

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00:03:41,189 --> 00:03:45,909
puesto que los valores de las imágenes, esas alturas de los rectángulos con los cuales,

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00:03:45,909 --> 00:03:51,729
teniendo en cuenta la definición de Dagú, estábamos calculando el área utilizando esas aproximaciones,

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00:03:52,110 --> 00:03:55,330
todas esas áreas son negativas. Así que hemos de tener cuidado.

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00:03:56,550 --> 00:04:02,689
No podemos calcular la integral definida alegremente, sino que tenemos que tener en mente que,

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00:04:02,689 --> 00:04:06,750
en el caso en el que la función es definida no negativa, el área va a ser positiva.

31
00:04:07,289 --> 00:04:11,449
En el caso en el que el área es definida no positiva, el área va a ser negativa.

32
00:04:11,889 --> 00:04:13,169
Así pues hemos de tener cuidado.

33
00:04:13,590 --> 00:04:19,850
Y no calcular una única integral, entre en este caso esta abscisa y esta otra,

34
00:04:20,329 --> 00:04:25,009
sino que tenemos que tener cuidado de dónde se producen estos posibles cambios de signo.

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00:04:25,889 --> 00:04:29,670
Dependiendo de cuál sea el grado del polinomio, en el caso de que se trate de una función polinómica,

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00:04:29,670 --> 00:04:34,870
si tenemos una función distinta tenemos cosas más complicadas bueno pues lo que necesitamos va a

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00:04:34,870 --> 00:04:42,269
ser encontrar los puntos de corte de la función con el eje de abscisas y tener en cuenta que entre el

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00:04:42,269 --> 00:04:46,889
primer y el segundo punto de corte entre el segundo y el tercero entre el tercero y el cuarto y así

39
00:04:46,889 --> 00:04:52,870
sucesivamente la función tendrá un mismo signo positivo o negativo y lo que tenemos que hacer

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00:04:52,870 --> 00:04:58,269
será calcular las áreas de cada uno de estos lóbulos entre el primero y el segundo el segundo

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00:04:58,269 --> 00:05:03,610
tercer tercero y cuarto etcétera puntos de corte y si no queremos mirar el signo

42
00:05:03,610 --> 00:05:07,870
poner directamente el valor absoluto de la integral definida esto nos va a

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00:05:07,870 --> 00:05:12,269
garantizar que en estos casos donde la función es negativa tendremos el valor

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00:05:12,269 --> 00:05:16,149
absoluto del área tendremos positiva y en estos otros casos de una función es

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00:05:16,149 --> 00:05:20,930
positiva tendremos el área positiva en el caso en el que tengamos que

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00:05:20,930 --> 00:05:25,930
calcular el área limitada entre una abscisa o dos abscisas lo que tenemos

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00:05:25,930 --> 00:05:31,550
que hacer será descartar todos los ceros de la función que se encuentren a la izquierda de la

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00:05:31,550 --> 00:05:35,970
primera abstisa y a la derecha de la segunda, de tal forma que si por ejemplo aquí tuviéramos que

49
00:05:35,970 --> 00:05:41,750
calcular el área subtendida limitada por las abstisas x igual a menos 1, x igual a 1, la

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00:05:41,750 --> 00:05:47,009
función y el eje de las x, una vez que determinamos todos estos puntos de corte nos quedaremos con,

51
00:05:47,470 --> 00:05:53,389
empezando menos 1, desecharemos este, nos quedaremos con este punto de corte 0, nos quedaremos con la

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00:05:53,389 --> 00:05:58,930
Abstisa x igual a 1 y desecharíamos este otro punto de corte que está más allá de la última abstisa.

53
00:05:59,670 --> 00:06:08,209
E insisto, el área que se nos pide se va a calcular con una integral definida y hemos de tener cuidado de que en el caso en el que la función es no negativa,

54
00:06:08,790 --> 00:06:11,329
la integral definida nos va a dar el área con el signo adecuado.

55
00:06:11,790 --> 00:06:20,769
En el caso en el que la función es no positiva, hemos de tener cuidado porque nos va a dar la integral definida un valor negativo que va a ser el área pero con el signo cambiado.

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00:06:20,769 --> 00:06:22,610
Habremos de tomar el valor absoluto.

57
00:06:22,949 --> 00:06:29,850
Y si no queremos mirar los signos, directamente pondremos las sumas de esas integrales definidas siempre en valor absoluto.

58
00:06:32,459 --> 00:06:37,819
Con el ejemplo que acabo de mencionar en mente, lo que viene aquí descrito en la parte de teoría cobra sentido.

59
00:06:38,639 --> 00:06:46,060
Se nos dice que queremos calcular el área subtendida por la gráfica de una función en el intervalo cerrado AB.

60
00:06:46,639 --> 00:06:51,740
Este es el caso en el que se nos dice entre las abstisas x igual a y la abstisa x igual a b.

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00:06:52,279 --> 00:07:05,800
Lo que hemos de hacer en ese caso es calcular las soluciones de la ecuación f de x igual a cero en el intervalo de integración, los puntos de acorte de la función, como os decía, que están a la derecha de la primera abstiza y a la izquierda de la segunda en el intervalo de integración.

62
00:07:06,519 --> 00:07:19,000
Vamos a expresar el intervalo de integración como la unión de esos subintervalos que van desde a al primer cero, del primer cero al segundo, del segundo ante cero, etc., así hasta el último cero, hasta este valor x igual a b, hasta la última abstiza.

63
00:07:19,000 --> 00:07:33,519
Y vamos a aplicar la regla de Barrow a cada uno de los subintervalos anteriores. Esto es, vamos a calcular las sucesivas integrales definidas entre a y el primer cero, entre el primer cero y el segundo, etc. hasta entre el último cero y esta abstisa b.

64
00:07:34,360 --> 00:07:47,360
Esas integrales definidas nos van a dar esas áreas que indicaba anteriormente con cuidado de que en ocasiones será positiva porque la función es positiva, no negativa, o en otros casos nos saldrá un valor negativo puesto que la función es no positiva.

65
00:07:47,360 --> 00:07:53,560
Así pues, el área buscada, como veis aquí, será la suma de los valores absolutos de los resultados anteriores.

66
00:07:53,720 --> 00:07:58,759
Haremos la suma de los valores absolutos de las correspondientes integrales definidas.

67
00:07:59,259 --> 00:08:03,620
El primer caso que os mencionaba era en el caso en el que no nos dan este intervalo cerrado AB,

68
00:08:04,160 --> 00:08:10,079
sino que eso nos sabrá directamente del área de la superficie acotada, limitada, etc.

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00:08:10,439 --> 00:08:16,259
En ese caso, como os decía, lo que hemos de hacer es calcular todos los ceros de la función

70
00:08:16,259 --> 00:08:22,819
y considerar que este intervalo cerrado es el que empieza en el primer cero, el más pequeño, y acaba en el último, el más grande.

71
00:08:23,500 --> 00:08:26,240
Por lo demás, el procedimiento sería exactamente el mismo.

72
00:08:26,860 --> 00:08:32,580
Determinamos los ceros de la función, expresamos el intervalo de integración como la unión de esos subintervalos

73
00:08:32,580 --> 00:08:37,840
que van, en este caso, del primer cero al segundo, del segundo al tercero, etc., así hasta llegar al último,

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00:08:38,519 --> 00:08:40,700
y los últimos dos pasos son iguales.

75
00:08:40,700 --> 00:08:47,700
En esencia, vamos a calcular el área como la suma de los valores absolutos de las integrales definidas en cada uno de esos intervalos.

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00:08:48,500 --> 00:08:56,460
Con esto que acabamos de ver, ya se pueden resolver estos ejercicios propuestos que veremos en clase y probablemente veremos en alguna videoclase posterior.

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00:08:59,529 --> 00:09:05,090
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:09:05,850 --> 00:09:09,929
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:09:10,789 --> 00:09:15,509
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:09:16,070 --> 00:09:17,470
Un saludo y hasta pronto.